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《量子雜志》每周都會(huì)闡釋推動(dòng)現(xiàn)代研究發(fā)展的重要理念之一。本周，數(shù)學(xué)專欄作家約瑟夫·豪利特（Joseph Howlett）將深入探討流體動(dòng)力學(xué)的深邃奧秘。

圖源：量子雜志Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志數(shù)學(xué)專欄作家）2025-6-16

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-6-18

如今的科學(xué)家和工程師們已經(jīng)非常擅長(zhǎng)預(yù)測(cè)颶風(fēng)的軌跡，或者計(jì)算水龍頭里會(huì)有多少水。但流體運(yùn)動(dòng)的方程仍然讓數(shù)學(xué)家們困惑不已。

大約200年前，看似簡(jiǎn)單的納維-斯托克斯方程刻畫(huà)了流體運(yùn)動(dòng)所有難以想象的復(fù)雜性。對(duì)于流體的任何初始狀態(tài)，這些方程都能預(yù)測(cè)其未來(lái)變化，至少在理論上如此。1960年代，氣象學(xué)家嘗試用這些方程預(yù)測(cè)天氣時(shí)發(fā)現(xiàn)，即使是初始狀態(tài)哪怕是最微小的不確定性，也會(huì)迅速膨脹，最終導(dǎo)致預(yù)測(cè)失效。這種混沌的行為，現(xiàn)在被稱為“蝴蝶效應(yīng)”，這正是一周以上的天氣預(yù)報(bào)如此不可靠的原因。

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，情況更糟。他們甚至不知道納維-斯托克斯方程是否總有解。它們能有效地描述任何流體的流動(dòng)嗎？或者是否存在一組特定的初始條件，使方程“爆破”（blow up）——也就是說(shuō)，爆炸到無(wú)窮大？如果發(fā)生這種情況——用數(shù)學(xué)家們的話來(lái)說(shuō)，如果方程“變成奇異的”——他們將不再能夠模擬當(dāng)前流體的行為。這意味著數(shù)學(xué)家們?cè)谒麄兊牧黧w流動(dòng)理論中缺失了一些東西。

克萊數(shù)學(xué)研究所懸賞100萬(wàn)美元，獎(jiǎng)勵(lì)第一個(gè)證明納維-斯托克斯方程是否存在奇異解的人。（我曾在本通訊的早期版本中總結(jié)過(guò)七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)難題”https://www.linkedin.com/pulse/who-wants-math-millionaire-quanta-magazine-iwief/ 。）其中很大一部分難題在于湍流（turbulence） https://www.quantamagazine.org/the-trouble-with-turbulence-20190128/ ，其中大大小小的渦旋不可避免地交織在一起，相互作用，產(chǎn)生難以預(yù)測(cè)但威力強(qiáng)大的行為。

數(shù)學(xué)家們找到了創(chuàng)造性的方法來(lái)應(yīng)對(duì)流體力學(xué)核心的數(shù)學(xué)難題。盡管他們距離完全理解流體還很遙遠(yuǎn)（如果這真的有可能實(shí)現(xiàn)的話），但他們?cè)诔@個(gè)遙遠(yuǎn)的目標(biāo)前進(jìn)的過(guò)程中，不斷取得令人矚目且重要的進(jìn)展。

最新動(dòng)態(tài)和值得關(guān)注的內(nèi)容

20世紀(jì)初，流體的復(fù)雜性令數(shù)學(xué)家們束手無(wú)策。于是，他們決定拋開(kāi)流體本身，轉(zhuǎn)而思考物體落入湍急的流體中會(huì)發(fā)生什么：比如，將氣象氣球放入颶風(fēng)中，將橡皮鴨扔進(jìn)湍急的河流中，將黑色油漆灑進(jìn)翻騰的白色海洋中。他們驚訝地發(fā)現(xiàn)，湍流的許多難題都迎刃而解，這使得他們能夠?qū)α黧w將如何影響這些物體的運(yùn)動(dòng)軌跡做出具體的、可重復(fù)的預(yù)測(cè)。

其中一個(gè)預(yù)測(cè)被稱為巴徹勒定律（Batchelor’s law，以澳大利亞數(shù)學(xué)家George Batchelor命名，人名batchelor請(qǐng)勿與另一個(gè)相近單詞bachelor單身漢、學(xué)士混淆，zzllrr小樂(lè)譯注），它與顏料混合示例中出現(xiàn)的漩渦的大小有關(guān)。它預(yù)測(cè)了小尺度特征的數(shù)量與大尺度特征的數(shù)量之比——當(dāng)你進(jìn)一步向外放大并考慮越來(lái)越大的漩渦時(shí)，這個(gè)比例仍然成立。正如凱文·哈特內(nèi)特（Kevin Hartnett）在《量子雜志》Quanta Magazine上報(bào)道的那樣，數(shù)學(xué)家們?cè)?019年證明了這一定律，適用于大量湍流系統(tǒng) 。https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-universal-law-of-turbulence-20200204/

近期，數(shù)學(xué)家們通過(guò)研究簡(jiǎn)化的流體模型，證明了湍流的另一個(gè)特征。1926年，一位名叫劉易斯·弗萊·理查森（Lewis Fry Richardson）的科學(xué)家觀察到，前面提到的氣球和小黃鴨會(huì)被湍流以驚人的效率散射。物理學(xué)家后來(lái)證實(shí)，這種現(xiàn)在被稱為超擴(kuò)散（superdiffusion）的現(xiàn)象確實(shí)存在。但數(shù)學(xué)家們直到去年才能夠嚴(yán)格地證明這一點(diǎn)，正如我上個(gè)月在 https://www.quantamagazine.org/new-superdiffusion-proof-probes-the-mysterious-math-of-turbulence-20250516/ 上所描述的那樣。

數(shù)學(xué)家們也更直接地研究了納維-斯托克斯方程，通常在一些簡(jiǎn)化假設(shè)下研究其基礎(chǔ)。一種經(jīng)典的簡(jiǎn)化方法是從納維-斯托克斯方程中去除摩擦力；這些簡(jiǎn)化的方程被稱為歐拉方程（Euler equations）。2022年，兩位數(shù)學(xué)家通過(guò)大量依賴計(jì)算機(jī)，證明了 ：https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/ ：在特定條件下，歐拉方程可能會(huì)失效。這標(biāo)志著我們朝著完整的“千禧難題”邁出了一小步，但卻意義重大。

即使是最直接的流體方面也很難用數(shù)學(xué)證明。根據(jù)你想了解的流體的具體內(nèi)容，你可以用不同的方式對(duì)其進(jìn)行建模。例如，在微觀層面上，流體由像臺(tái)球一樣運(yùn)動(dòng)的單個(gè)分子組成。但在宏觀層面上，流體表現(xiàn)為單一實(shí)體。（納維-斯托克斯方程描述了這種宏觀行為。）1900年，大衛(wèi)·希爾伯特向數(shù)學(xué)家們提出挑戰(zhàn)，要求他們證明這些不同的模型是兼容的。125年來(lái)，無(wú)人能證明。但現(xiàn)在，三位數(shù)學(xué)家聲稱已經(jīng)做到了。如果證明成立，這將標(biāo)志著數(shù)學(xué)物理史上的重大進(jìn)步。Leila Sloman對(duì)這一突破性證明的詳細(xì)描述 https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/ 上周發(fā)表在量子雜志上，參閱小樂(lè)數(shù)學(xué)科普：。

盡管流體力學(xué)以難度高而聞名——有人認(rèn)為它是“職業(yè)生涯的終結(jié)地”https://www.quantamagazine.org/an-unexpected-twist-lights-up-the-secrets-of-turbulence-20200903/ ——但該領(lǐng)域仍然異?；钴S。我們最偉大的頭腦仍在繼續(xù)探索流體翻騰深處的奧秘。

網(wǎng)絡(luò)上

安德烈·柯?tīng)柲缏宸颍ˋndrey Kolmogorov）的“五分之三”定律與劉易斯·弗萊·理查森（Lewis Fry Richardson）發(fā)現(xiàn)的超擴(kuò)散現(xiàn)象密切相關(guān)。3Blue1Brown在YouTube視頻 https://www.youtube.com/watch?v=_UoTTq651dE 中對(duì)此進(jìn)行了精彩的解釋。

“沒(méi)人知道飛機(jī)是如何在空中停留的”，這已成為科普界的陳詞濫調(diào)，但這與納維-斯托克斯方程的難度無(wú)關(guān)。埃德·雷吉斯（Ed Regis）在《科學(xué)美國(guó)人》雜志上發(fā)表了一篇文章，解釋了如何在沒(méi)有復(fù)雜數(shù)學(xué)的情況下理解飛機(jī)機(jī)翼——同時(shí)也解釋了為什么科學(xué)家們對(duì)該解釋的細(xì)節(jié)仍存在分歧。

然而，你在跨大西洋航班上遇到的湍流，正是令世界頂尖數(shù)學(xué)家困惑的湍流。它會(huì)擾亂飛機(jī)機(jī)翼上氣流的平穩(wěn)流動(dòng)。我們無(wú)法預(yù)測(cè)湍流，但國(guó)家氣象局的衛(wèi)星會(huì)監(jiān)測(cè)它，并幫助飛行員避開(kāi)它。 航空氣象中心提供的可視化工具 https://aviationweather.gov/gfa/#turb 會(huì)顯示最新數(shù)據(jù)，以便你為可能出現(xiàn)的顛簸做好準(zhǔn)備。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/the-math-of-rushing-rivers-and-turbulent-jet-streams

https://www.linkedin.com/pulse/who-wants-math-millionaire-quanta-magazine-iwief/

https://www.quantamagazine.org/the-trouble-with-turbulence-20190128/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-universal-law-of-turbulence-20200204/

https://www.quantamagazine.org/new-superdiffusion-proof-probes-the-mysterious-math-of-turbulence-20250516/

https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/

https://www.quantamagazine.org/an-unexpected-twist-lights-up-the-secrets-of-turbulence-20200903/

https://www.youtube.com/watch?v=_UoTTq651dE

https://aviationweather.gov/gfa/#turb

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