在繪畫藝術(shù)作品中，不乏含有精妙的數(shù)學(xué)元素，比如完美的幾何圖形、分形、黃金分割等。當(dāng)然，很多數(shù)學(xué)解讀是后來(lái)人們?yōu)橹x予的，創(chuàng)作者本身并不了解其中的奧秘，此時(shí)藝術(shù)與數(shù)學(xué)卻和諧交融。本文介紹的藝術(shù)家艾瑪·昆茨的作品正是這樣一個(gè)例子。饒有趣味的是，昆茨本人是一位通靈治療師，她沒有正規(guī)的藝術(shù)背景，從事的工作在如今會(huì)被貼上偽科學(xué)標(biāo)簽。但她在幫助患者過(guò)程中創(chuàng)造了超越時(shí)代的藝術(shù)作品，得到了今天藝術(shù)界極高的評(píng)價(jià)。畫作中顯而易見的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不僅吸引了公眾的目光，也讓專業(yè)的數(shù)學(xué)家感興趣——他們發(fā)現(xiàn)，昆茨作品中有許多包絡(luò)線。

撰文 | Sumit Dhar、Pamela Gorkin Sofi Jeffrey（巴克內(nèi)爾大學(xué)數(shù)學(xué)系）

翻譯 | 許釗 箐

艾瑪·昆 茨 （Emma Kunz，1892-1963）是瑞士的研究者、幻想藝術(shù)家，也是一名心靈療愈師。為了幫助她的患者，她使用輻射感知療法（ radiesthesia ），一種 涉及占卜擺錘的技術(shù)，她認(rèn)為擺錘受到能量場(chǎng)引導(dǎo)。把使用擺錘所得到的點(diǎn)用石墨線連起來(lái)，再填上顏色，她創(chuàng)造出許多幾何圖畫。這些作品有時(shí)會(huì)被稱為精神（spiritual）藝術(shù)或者幻想（visionary）藝術(shù)，如今已多次在重要的個(gè)人展和群展中展出。1993年，她的作品No.095（圖1）甚至登上了瑞士郵票。

盡管昆 茨 使用她的藝術(shù)來(lái)答疑解惑，并深入了解她的患者，但我們特別感興趣的是那些繪畫展現(xiàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。她創(chuàng)作的曲線可以被看作是眾多直線的 包絡(luò)線 ，因此我們可以在包絡(luò)算法的幫助下進(jìn)行分析。事實(shí)上，在我們所研究的作品中，昆 茨 反復(fù)運(yùn)用了一種技法，這使得那些出現(xiàn)在她諸多作品中的包絡(luò)曲線能夠被計(jì)算出來(lái)。而她對(duì)色彩、鏡像、平移和旋轉(zhuǎn)的巧妙運(yùn)用，又使這些作品各具特色。本文將探討昆 茨 作品中的圖案、數(shù)學(xué)變換，以及能夠揭示其結(jié)構(gòu)的原理。我們相信，這一研究為包絡(luò)算法提供了一個(gè)理想的應(yīng)用實(shí)例。

圖1 1993年發(fā)行的瑞士郵票，以昆 茨 的 0 95 號(hào) 作品為圖 案。

艾瑪·昆茨與她的作品

艾瑪·昆 茨 （圖2）1892年出生于瑞士阿爾高州一個(gè)貧窮的織工家庭。1 909 年對(duì)她而言尤為艱難：那一年，兩位姐妹去世，之后父親也自殺了。不久之后，她開始使用擺錘進(jìn)行預(yù)言、心靈感應(yīng)以及療愈。1 9 歲時(shí)，她邁出了不尋常的一步——前往美國(guó)追求自己的興趣愛好。然而一年之后，她失望地回到了瑞士，并重新開始施行心靈治療。

圖2 艾瑪·昆 茨 （圖片由艾瑪·昆 茨 基金會(huì)提供 ）

此后，昆 茨 在一家針織廠打工養(yǎng)活自己。1923年至1939年間的夏季，她在具象藝術(shù)家和藝術(shù)評(píng)論家雅各布·弗里德里?！し茽柕伲?Jakob Friedrich Welti ，1871-1952）的家中擔(dān)任管家， 并在此后與這一家族建立了 深入 的聯(lián)系 。在1942年，昆 茨 開始在毫米方格紙上作畫，并和她在布里特 瑙 的姐妹一起發(fā)現(xiàn)了一種“瑞士治療石粉”，名為AION A。1939年，她離開了菲爾蒂家族，并搬到了離她兄弟更近的地方，之后在阿彭策爾的瓦爾德施塔特附近建造了一所房子，因?yàn)檫@里允許她實(shí)踐自然療法。

有關(guān)艾瑪·昆 茨 的生平和工作的信息收錄在她的一位患者安東·邁爾（ Anton Meier ）所著的《艾瑪·昆茨》（

Emma Kunz

邁爾目睹了昆 茨 的工作過(guò)程：“直到今天，我都不敢相信她可以用擺錘那么快地找到那些點(diǎn)并靈活地繪制線條。沒有數(shù)數(shù)，沒有計(jì)算，沒有測(cè)量，也沒有構(gòu)造?！?[9,P.30] 她對(duì)著擺錘發(fā)問(wèn)，范圍從政治到個(gè)人或者哲學(xué)。她用擺錘軌跡提供的點(diǎn)，繪制線條并增添顏色。她的眾多作品都沒有標(biāo)題，也 不 標(biāo)記日期，她相信這樣可以讓它們以新的方式被詮釋。

盡管這個(gè)過(guò)程表面上沒用測(cè)量、計(jì)數(shù)和計(jì)算，但許多她在方格紙上創(chuàng)作的作品（甚至可能是大多數(shù)）都使用了等距線條、對(duì)稱或者幾何圖形。正如昆 茨 所說(shuō)，“我的作品是為了21世紀(jì)而設(shè)計(jì)。它們傳達(dá)了作為維度、韻律、符號(hào)、數(shù)字和原理變換的構(gòu)造和形式。”（ 注2：參考 https://www.emma-kunz.com/en/ ）

艾瑪·昆 茨 于1963年1月16日在瓦爾德施塔特去世，后被安葬在布里特 瑙 。1986年，邁爾創(chuàng)立了艾瑪·昆 茨 中心（Emma Kunz Center）來(lái)保存昆 茨 的探索和創(chuàng)作。參觀者可以游覽附近的洞室，艾瑪曾在那里發(fā)現(xiàn)了AION A。

昆茨創(chuàng)作語(yǔ)境

2018-2019年，《世界接收者》（World Receivers）展覽會(huì)在慕尼黑舉辦。 正如 該 展覽的策展人所言 ：

《世界接收者》展覽帶領(lǐng)觀者走入現(xiàn)代主義歷史中一段非凡而鮮為人知的篇章：英格蘭的喬治亞娜·霍頓 （Georgianna Houghton，1814-1884），瑞典的希爾瑪·阿芙·克林特（Hilma af Klint，1862-1944），以及瑞士的艾瑪·昆茨，她們各自完全獨(dú)立地發(fā)展出具有豐富含義的高度抽象視覺語(yǔ)言。她們都致力于在作品中將自然規(guī)律、精神世界與超自然現(xiàn)象加以可視化，并以堅(jiān)定而自信的姿態(tài)追隨各自的信念。[1]

這并非孤 例 ：人們常將艾瑪·昆 茨 與更廣為人知的希爾瑪· 阿芙· 克林特相提并論，但不同的是，阿芙·克林特受過(guò)專業(yè)藝術(shù)訓(xùn)練，而昆 茨 并無(wú)正規(guī)藝術(shù)背景。她們兩人同屬于抽象藝術(shù)家的行列，只有個(gè)別作品的確具有一定的相似性（可對(duì)比圖3右側(cè)克林特的作品與左側(cè)的昆 茨 的作品）。

圖3 左：昆 茨 第168號(hào)作品，現(xiàn)印于Aion A產(chǎn)品包裝上（圖片由艾瑪·昆 茨 基金會(huì)提供）。 右：希爾瑪·阿夫·克林特 作品 ， Altarpiece No. 1, Group X ，1915年，布面油畫 并使用 金屬箔（圖片由希爾瑪·阿夫·克林特基金會(huì)提供 ）

具體而言， 阿芙· 克林特早期的作品呈現(xiàn)出鮮明的幾何風(fēng)格；她 也 將通靈實(shí)踐融入創(chuàng)作，試圖通過(guò) 降神會(huì) 與超自然存在進(jìn)行溝通。 (注3：在那個(gè)時(shí)代，許多人自認(rèn)為是通靈者，其中包括英國(guó)自然學(xué)家、進(jìn)化論生物學(xué)家阿爾弗雷德·拉塞爾·華萊士（Alfred Russel Wallace, 1 823-1913 ）。美國(guó)第一夫人瑪麗·托德·林肯（Mary Todd Lincoln，1 818-1882 ）甚至曾在白宮中舉行通靈會(huì)。數(shù)據(jù)顯示，僅在1 9 世紀(jì)后期，美國(guó)有400萬(wàn)至1100萬(wàn)人自稱是通靈者 [3] 。）

然而，由于 阿芙· 克林特將其主要作品私藏，并且要求在她去世20年內(nèi)不得公開展示，所以昆 茨 等人幾乎不可能受到她的影響。 直到1986年， 阿芙· 克林特的作品在洛杉磯郡藝術(shù)博物館的《藝術(shù)中的靈性： 1890-1985 年抽象繪畫》（

The Spiritual in Art: Abstract Painting

昆 茨 的創(chuàng)作于1 973 年開始被認(rèn)可為藝術(shù)作品，這比阿芙·克林特1 986 年的展覽早了13年。昆 茨 的作品曾在瑞士的阿爾高藝術(shù)館展出，并入選了哈拉德·塞曼（Harald Szeemann）1 975 年策劃的展覽《單身機(jī)器》（The Bachelor Machines）。（注5：塞曼是一位瑞士策展人、藝術(shù)史學(xué)者，一生策劃超過(guò)兩百場(chǎng)展覽，其中 許多展 被認(rèn)為具有開創(chuàng)性意義。策展人過(guò)去主要是藝術(shù)品的看護(hù)者與展覽的執(zhí)行者。但在整整50年前，塞曼在伯爾尼美術(shù)館策劃的一場(chǎng)劃時(shí)代的展覽，徹底打破了這一界限——他的影響幾乎可以說(shuō)是無(wú)限大的。1961年塞曼就成為館長(zhǎng)，那時(shí)他年僅28歲。 [13] ）

塞曼特別指出，在1991年-1992年蘇黎世藝術(shù)館的《預(yù)見瑞士》（Visionary Switzerland）展覽、馬德里的索菲亞王后國(guó)家藝術(shù)中心博物館，以及杜塞爾多夫藝術(shù)館舉辦的展覽中，昆 茨 的作品均引發(fā)廣泛關(guān)注。2 019 年，昆 茨 四十余幅罕見畫作 [6] 亮相倫敦蛇形畫廊，這次展覽被描述為“已故瑞士幻想藝術(shù)家、療愈師和研究者艾瑪·昆 茨 在英國(guó)的首次個(gè)人展覽”。該展與瑞士格勞賓登州的蘇施博物館共同策劃。蛇形 畫廊官網(wǎng)援引 了塞曼的評(píng)價(jià)：

（昆茨的）天賦在于她能夠感知那些既違背日常經(jīng)驗(yàn)、又超越自然科學(xué)與藝術(shù)法則的隱秘聯(lián)系。這是一種超自然現(xiàn)象，一種奇跡——在揭示神圣真理的同時(shí)，傳遞著一種與宇宙創(chuàng)生同頻的隱秘脈動(dòng)。艾瑪昆茨的繪畫作品正是尋找一種普世關(guān)聯(lián)的嘗試。[6]

2021 年，阿爾高藝術(shù)館舉辦展覽 《艾瑪·昆茨的宇宙：與當(dāng)代藝術(shù)對(duì)話的愿景 》（ Kosmos Emma Kunz: A Visionary in Dialogue with Contemporary Art ），展出了昆 茨 60幅作品。 次年，即2022年，《艾瑪·昆茨的宇宙：與當(dāng)代藝術(shù)對(duì)話的愿景》巡展來(lái)到西班牙巴斯克自治區(qū)的“塔巴卡萊拉 （ Tabakalera ） ”文化中心——一個(gè)由舊煙草工廠改建而成的藝術(shù)空間，其名稱在巴斯克語(yǔ)中正是“煙草工廠”的意思。在這里，我們注意到觀眾在某種程度上感知到了畫作中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)，并渴望獲得更深層次的解讀：

對(duì)于塔巴卡萊拉的文化總監(jiān)來(lái)說(shuō)，昆茨作品對(duì)于觀眾視線的吸引有雙重效應(yīng)：“她的創(chuàng)作具有一種獨(dú)特的張力：既引人深入細(xì)節(jié)，探索她精密而細(xì)致的創(chuàng)造，又允許觀者在觀看時(shí)保持某種距離——以辨識(shí)她所追尋的圖式、秩序、韻律與能量?！?strong>[15]

最后，我們 要 提 一下 位于瑞士維倫 洛 斯的“艾瑪·昆 茨 中心”——這是一個(gè)專為昆 茨 設(shè)立的機(jī)構(gòu)，并持續(xù) 更新 展覽。

以上敘述清楚地表明，艾瑪·昆 茨 的作品如今廣為人知，然而其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)卻并非如此。令人驚訝的是，我們文中使用的幾幅圖都有一個(gè)中心焦點(diǎn)（central focal point）。這種焦點(diǎn)強(qiáng)化了圖像的冥想性和輻射性。接下來(lái)，我們將從昆 茨 的通靈藝術(shù)轉(zhuǎn)向其作品背后的數(shù)學(xué)。我們將探討昆 茨 的三幅作品，均是由直線族的包絡(luò)線構(gòu)成。

尋找包絡(luò)

包絡(luò)在數(shù)學(xué)中頻繁出現(xiàn)。例如，在線性代數(shù)中，包絡(luò)可以被用于求解和分析一個(gè)矩陣的數(shù)值域，即包含該矩陣特征值的集合。（更多的相關(guān)內(nèi)容見 [7] 。其他相關(guān)的材料亦可見《數(shù)學(xué)通訊》（

The Mathematical Intelligencer

梯子問(wèn)題的解恰好就是柯朗書中四個(gè)包絡(luò)線例子之一。如果這個(gè)梯子是單位長(zhǎng)度的，則圖像中這些 梯子線族的 包絡(luò)（即與圖4中所有梯子直線相切的曲線）可以表達(dá)為 x 2/3 + y 2/3 =1 ，因此這個(gè)包絡(luò)是星形線的一部分。另外最近一篇清晰明了的文獻(xiàn)是格雷戈里·奎內(nèi)爾（ Gregory Quenell ）的文章 [11] ，其中包括對(duì)弦線藝術(shù)的探討，以及多個(gè)包絡(luò)線的實(shí)例，包括梯子問(wèn)題——研究等長(zhǎng)直線族的包絡(luò)線。昆 茨 的畫作則展現(xiàn)的是另一番藝術(shù)景象。

圖4 梯子問(wèn)題

數(shù)學(xué)上關(guān)于包絡(luò)線的定義有很多種，但我們當(dāng)前語(yǔ)境下，幾何包絡(luò)線的定義或許是最直觀的：

定義1 （幾何包絡(luò)線） [2, Section 1.2] ：令 為一族曲線，使得對(duì)于某個(gè)在恰當(dāng)開區(qū)間的固定的參數(shù)t以及某個(gè)光滑函數(shù) F ， 中的每一個(gè)元素 C t 由方程 F ( x,y,t ) =0 給出，則 的幾何包絡(luò)線是一個(gè)光滑曲線，其上的每一個(gè)點(diǎn)都與某一個(gè) 中曲線 C t 相切。

需要指出的是，包絡(luò)線有多種不同的定義方式，其中一些定義所涵蓋的曲線范圍更為寬泛。根據(jù)文獻(xiàn) [2]，我們接下來(lái)將介紹的包絡(luò)線算法，同樣定義了一種意義下的包絡(luò)線 [4]?？吕蕦⑵浞Q為“判別曲線”（ Discriminant curve ），因此我們稱之為“判別包絡(luò)線”（Discriminant envelope）。在本文例子中，判別包絡(luò)線與幾何包絡(luò)線是相同的。我們將在后文圖像中直觀呈現(xiàn)這一點(diǎn)。在正式定義包絡(luò)線算法之前，有必要先建立對(duì)其推導(dǎo)過(guò)程的直觀理解。

在我們所考慮的情形中，我們從一個(gè)定義在區(qū)間 I 上的直線族 出發(fā)，并要求其包絡(luò)線與該直線族中的每條線在某一點(diǎn)相切。并且這條包絡(luò)線上每一點(diǎn)都必須和直線族中某一條線相切。一般來(lái)說(shuō)，一條曲線可以在不同的位置上和不止一條直線相切，但幸運(yùn)的是，如果合適地限制定義域，并且利用圖形的對(duì)稱性，我們可以避免這種情況。因此在一個(gè)合適的區(qū)間上，我們可以選擇光滑函數(shù) F ,x,y ，使得 F ( x ( t ) ,y ( t ) ,t ) =0 。

第二個(gè)有助于構(gòu)建包絡(luò)線算法的性質(zhì)可能不是很明顯。以下是一種理解方式：首先，限制區(qū)間 I 使得線族中 任意兩條直線都不是平行的。對(duì)于 中兩條直線 L t , L t ' ，當(dāng) t ' → t ，兩條線交點(diǎn)的極限正是包絡(luò)線和兩條直線相切位置的點(diǎn) [2, Section 1.2] 。也就是說(shuō)， F ( x,y,t ) = 0 且 F ( x,y, t ' ) =0 ，其中 t ' =t+h ， h →0 。如果這一點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x,y) ，那么（極限意義下） F ( x,y,t ) = F ( x,y, t+ h ) 。我們假設(shè)相應(yīng)的光滑性，因此偏導(dǎo)數(shù)存在， 之后令 h →0 ，我們就可以計(jì)算在相切的點(diǎn)上的偏導(dǎo)數(shù) ?F/?t :

基于以上討論，我們接下來(lái)介紹包絡(luò)線算法。該算法將使我們能夠計(jì)算出昆 茨 的多幅作品中相應(yīng)的包絡(luò)線。

包絡(luò)線算法 [4, p.172]. 令 為一個(gè)直線族，使得 中任意的元素 L t 由方程 F ( x,y,t ) =0 給出，其中參數(shù) t 定義在一個(gè)開區(qū)間。令 E 為 的一條包絡(luò)線。以下步驟（如果可能）將導(dǎo)出E的閉合表達(dá)式：

1. 求解 F ( x,y,t ) =0 ，以 x 和 y 表示 t ；

2. 求解 ，以 x 和 y 表示 t ；

3. 結(jié)合前兩步得出的方程，消去 t 得到包絡(luò)線方程。

柯朗在 [4, p.173] 中寫道，“ 在求得判別曲線之后，仍有必要對(duì)每個(gè)具體情形進(jìn)行深入分析，以判斷該曲線是否真正構(gòu)成包絡(luò)線，或在何種程度上偏離包絡(luò)線的定義 ?！?在下文中，我們將構(gòu)建自己的圖像，并與昆 茨 的作品進(jìn)行對(duì)比。畢竟，唯有親見，方能相信。

隨處可見的拋物線

借助包絡(luò)線算法，我們可以十分自然地推導(dǎo)出艾瑪·昆 茨靈擺 幾何繪畫中所蘊(yùn)含的包絡(luò)曲線。接下來(lái)，我們將具體探討她的三幅作品。

作品No.13

觀察圖5，畫面不僅關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱。作為一幅視覺作品， 色彩為整體構(gòu)圖注入了石墨線條所無(wú)法賦予的生命與活力 。然而從數(shù)學(xué)角度， 真正令人著迷的 ，正是那些石墨線條。

圖5 昆 茨 的0 13 號(hào)作品（圖片由艾瑪·昆 茨 基金會(huì)提供）

從圖5可以觀察到，石墨線條衍生出四條跨越不同象限、彼此相似的曲線。通過(guò)包絡(luò)線算法，我們可以為每一條邊界曲線推導(dǎo)出閉合表達(dá)式。仔細(xì)觀察便會(huì)發(fā)現(xiàn)，昆 茨 并沒有畫完所有的線條——如果我們想象這幅作品代表一只眼睛，似乎在她勾勒出虹膜完整的周邊區(qū)域時(shí)便戛然而止了（注7：我們將其視為眼睛這一解讀得益于艾瑪·昆 茨 中心的卡琳·凱吉（Karin K?gi）的提示）。因此，我們得到的曲線是下文所討論曲線的子集。我們將闡述如何推導(dǎo)這些包絡(luò)線的方程，并且概述應(yīng)用包絡(luò)線算法的一般過(guò)程。

首先，我們必須考慮關(guān)于繪畫的一些假設(shè)。我們使用了博物館提供的一件復(fù)制品，其中每條線均按照方格紙上間隔約兩格（總計(jì)1厘米間距）沿著橫縱軸線繪制而成。繪圖本身被設(shè)定在一個(gè)邊長(zhǎng)為4 0 個(gè)單位的正方形區(qū)域，并以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心。當(dāng)然，昆 茨 繪制的線條數(shù)量有限，但這些線條卻形成了看似連續(xù)光滑的曲線。為了應(yīng)用包絡(luò)線算法，我們讓 t 在整個(gè)區(qū)間內(nèi)取值。

基于這些假設(shè)，我們現(xiàn)在可以運(yùn)用包絡(luò)線算法。推導(dǎo)的下一步是定義直線族 。 在這幅作品中存在多組曲線，還有很多直線從中心向邊界放射延伸，而這些直線僅相交于原點(diǎn)，所以根據(jù)前面包絡(luò)線定義，該直線族不存在包絡(luò)線。此外，在每個(gè) 角還有 對(duì)角線族，其連線勾勒出跨越圖畫中不同角落的弧形。這些直線族將成為包絡(luò)線算法的研究對(duì)象，我們希望能夠求出其數(shù)學(xué)表達(dá)式。

先考慮主要位于第一象限的直線族，我們觀察到該族包含40條直線。這些直線的斜率逐漸變化，從水平線 y =20 到垂直線 x =20 。（假設(shè)原點(diǎn)位于中心，繪圖的寬度為 [-20,20] ）該直線族一種可能的參數(shù)化可以定義為以下方程的 (x,y) 解集，

其中 ， 0≤t<40 。（譯者注：如果關(guān)注在直線 y=20 與直線 x=20 上并在繪圖寬度內(nèi)均勻分布離散的點(diǎn)，坐標(biāo)為 ( t - 20,20 ) ,( 20 , 20 - t ) ，對(duì)應(yīng)連線即可求得參數(shù)化的直線族。）

在變量重組之后， 我們得到直線族 ，其中每一個(gè)L t 定義為

L t ={(x,y): t 2 -tx+ty-40t-40y+800 =0}

該直線族的包絡(luò)線正是本作品中我們所關(guān)注曲線的方程。

對(duì)于方程 F ( x,y,t ) = t 2 -tx+ty-40t-40y+800 ，我們可以求解 F ( x,y,t ) =0 ，使用 x , y 顯式表達(dá) t ，

之后，我們求解 ，并用 x , y 表達(dá) t ： t =(x-y+40)/2 。最后，對(duì)于固定的 t ，聯(lián)立并求解兩個(gè)方程，我們會(huì)得到：

回顧圓錐曲線的一般方程為 A x 2 +Bxy+C y 2 +Dx+Ey+F=0 ，當(dāng)判別式滿足 B 2 -4AC=0 時(shí)，該方程所表示的曲線為拋物線。由包絡(luò)線算法得出，

判別式檢驗(yàn)表明該方程為拋物線，而包絡(luò)線上點(diǎn)的集合是該拋物線的一個(gè)子集。

如圖6所示，這條拋物線 弧 確實(shí)構(gòu)成了主要在第一象限的直線族的包絡(luò)線。其中直線族 中各條直線以灰黑兩色繪制（主要位于第一象限），而用紅色標(biāo)示的包絡(luò)拋物線 弧 E I 是邊界。這些直線 L t 對(duì)應(yīng)參數(shù) t=0,…,40 的結(jié)果。

為驗(yàn)證包絡(luò)線算法中使用的微積分計(jì)算，直線族必須在開區(qū)間上進(jìn)行參數(shù)化。圖6意在重現(xiàn)昆 茨 的作品。與前文相同，我們定義如下的直線族：

其中，

因此我們可以顯式求出對(duì)應(yīng)的拋物線弧段，需要注意的是（位于第I、II、III象限，以及位于I、III、IV象限的）兩個(gè)包絡(luò)線實(shí)際上是不完整的；前文也提及，當(dāng)昆 茨 繪制到 所需要的交點(diǎn)時(shí)便停止了：

圖6 線族疊畫在第一象限

作品NO.009

圖7展示了編號(hào)009的作品，其尺寸為101厘米 × 101厘米。在這幅作品中，我們采用與之前 文類似 的包絡(luò)線算法，可以得到空白區(qū)域八條邊界曲線的封閉形式解。接下來(lái)，我們將詳細(xì)描述其中一條曲線。

圖7 昆茨的009號(hào)作品（圖片由艾瑪·昆茨基金會(huì)提供）

在No.009號(hào)作品中，我們觀察到存在八個(gè)矩形區(qū)域，其中在頂部和底部的第一個(gè)和最后一個(gè)矩形互為鏡像對(duì)稱，而中間的兩個(gè)區(qū)塊則包含著空白區(qū)域，其邊界為簡(jiǎn)單的閉 合橢圓形曲線。我們先考慮該橢圓形狀四分之一的部分，其余部分可通過(guò)昆 茨 反復(fù)運(yùn)用的對(duì)稱變換生成。與之前類似的是，紅藍(lán)直線與矩形邊界的交點(diǎn)大致是等距分布，但縱軸方向的間距是橫軸間距的三倍。

探究圖7與圖5相似性的關(guān)鍵在于 x 軸與 y 軸對(duì)應(yīng)數(shù)值是等距分布這一條件。我們稍后會(huì)解釋這一點(diǎn)，但很明顯的是，包絡(luò)線算法與之前一樣有效：盡 管我們當(dāng)前所參考的圖像略顯模糊，但經(jīng)估算，每一半矩形的寬度約為 16 個(gè) 單位，長(zhǎng)度約為 48 個(gè) 單位。

在算法中，我們放置原點(diǎn)使得矩形區(qū)域邊界點(diǎn)為（- 16 ，0），（1 6 ，0），（1 6 ，4 8 ），（- 16 ，4 8 ）。由于我們只是縮放 x 軸和 y 軸，所以我們猜測(cè)包絡(luò)線仍是一段拋物線弧，而事實(shí)正是如此！因此，盡管昆 茨 這兩幅作品視覺上存在差異，但No.009作品（圖7）其實(shí)包含了我們?cè)谒齆o.013作品中曾看到過(guò)的圓錐曲線的縮放與重復(fù)的版本。

假設(shè)這些垂直線之間的間距均勻，且每次間隔三個(gè)單位，那么其中 一 族直線（對(duì)應(yīng)于圖形右上角）可以由下列公式給出，

-t(y-48)=(48-3t)(x-16+t)

其中，參數(shù) t ∈[0,16] 。（譯者注：這里直線族構(gòu)造是類似的，考慮直線 y=48 與直線 x=16 上，并且 在繪圖寬度內(nèi)平均分布的離散點(diǎn)，坐標(biāo)為 ( 16-t,48 ) , (16,3t) ，便可求得直線族的參數(shù)化。）

在這種情況下，我們可以得到，

圖8 E I 和 E II

使用包絡(luò)線算法，我們得到了一部分拋物線 弧 E I ， 公式如下

-6912+228x+9 x 2 +96y-6xy+ y 2 =0

將該曲線與艾瑪·昆 茨 繪制的直線族對(duì)比，我們可以從圖8中觀察到，紅色拋物線 E I 在 第一象限確實(shí)形成了包絡(luò)線結(jié)構(gòu)。圖中藍(lán)色拋物線 E I I 亦可通過(guò)相同方法推導(dǎo)出，其對(duì)應(yīng)的直線族可以沿用之前的參數(shù)化方法。 特別之處在于，這一看似橢圓的形狀實(shí)際上并非真正的橢圓 ，這些閉合曲線由四條不同的 拋物線弧 段拼接而成。

作品No.130

分析圖9可以看出，其 x 軸均勻的間距與直線上 y = x 上均勻間距不同，但圖中依然包含拋物線弧。我們依據(jù)算法推導(dǎo)出直線方程，

以及第 一 象限中在 x >y 條件下拋物線的方程

圖9 昆茨的130號(hào)作品（圖片由艾瑪·昆茨基金會(huì)提供）

對(duì)于本文我們描述的圖像，其中的包絡(luò)線均為拋物線。 事實(shí)上，如果我們?cè)谝粭l直線上取等間距的點(diǎn)，并在另一條不平行（也不必垂直）的直線上取另一組等間距的點(diǎn)（兩組點(diǎn)間距可不同），那么連接這些點(diǎn)所形成的直線族，其包絡(luò)線是一條拋物線：

假設(shè)我們從任意兩條 不 平行的直線出發(fā)，并在兩條線上取若干等間距的點(diǎn)。不失一般性，我們假設(shè)其中一條直線位于 x 軸上。為了將另一條直線變換為與 x 軸垂直，同時(shí)保持等距分布，我們可以進(jìn)行一次水平剪切變換，即嚴(yán)格將點(diǎn)沿著水平方向移動(dòng)，并且移動(dòng)量與對(duì)應(yīng)的 y 坐標(biāo)成正比的線性變換。這種變換可以通過(guò)矩陣 實(shí)現(xiàn)。在這種線性變換下，直線仍為直線，水平線依舊保持水平，而直線上等間距的點(diǎn)會(huì)被映射到另一條線上均勻分布的點(diǎn)（但間距可能變化）。因?yàn)樗郊羟凶儞Q的逆變換仍為水平剪切變換，所以為了完成證明，我們只需展示，水平剪切變換下拋物線形態(tài)不變。系數(shù)為 k 的水平剪切變換會(huì)將點(diǎn) (x,y) 映射到 ( x ' ,y') ，其中 x ' = x+ky, y ' =y 。因?yàn)橐话愕膾佄锞€方程為 A x 2 +Bxy+C y 2 +Dx+Ey+F=0 ，其中判別式 B 2 -4AC=0 ，而變換后的拋物線方程為

A ( x+ky ) 2 +B(x+ky)y+C y 2 +D(x+ky)+Ey+F=0.

展開后可以驗(yàn)證其判別式仍為零。因此在變換后，拋物線仍為拋物線，所以變換前的包絡(luò)曲線確實(shí)是一條拋物線。這一推導(dǎo)具有普遍性，說(shuō)明按照昆 茨 在這些作品中所采用的線性構(gòu)造方法生成的包絡(luò)線一定是拋物線弧。

結(jié)語(yǔ)

在許多方面，艾瑪·昆 茨 無(wú)疑 超越了她 所處 的 時(shí)代 。她對(duì)于醫(yī)學(xué)療愈的見解，包括使用Aion A（一種礦物制劑）和植物性治療藥物，以及她的繪畫作品，在如今可以說(shuō)比她創(chuàng)作的時(shí)代更具現(xiàn)實(shí)意義：

盡管昆茨的工作方式可能顯得有些神秘，并且與她所希望的相反，她的方式也未得到廣泛實(shí)踐，但她關(guān)于如何棲居于環(huán)境的建議——包括對(duì)于本土的珍視，對(duì)農(nóng)業(yè)單一種植的質(zhì)疑，以及她整體性的醫(yī)療方法，與當(dāng)今醫(yī)學(xué)、建筑、生態(tài)與氣候科學(xué)的討論不謀而合。[10]

同樣，昆 茨 許多幾何畫作直到后來(lái)才被人重視，并最終贏得了廣泛的觀眾。

正如本文展示，艾瑪·昆 茨 的藝術(shù)作品也自然地引發(fā)了很多數(shù)學(xué)研究。盡管幾乎可以肯定她不了解所謂的包絡(luò)線算法，但她的眾多作品卻可通過(guò)這一算法進(jìn)行分析。當(dāng)我們通過(guò)數(shù)學(xué)視角觀察她的作品時(shí)，我們不僅可以更進(jìn)一步地理解昆 茨 的具有遠(yuǎn)見的創(chuàng)作，同時(shí)也可以更好理解包絡(luò)線算法。

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本文基于知識(shí)共享許可協(xié)議（ CC BY-NC ）譯自 Dhar, S., Gorkin, P. & Jeffrey, S. The Mathematics Behind a Visionary Artist: The Envelopes of Emma Kunz. Math Intelligencer (2025). https://doi.org/10.1007/s00283-024-10402-w