巧用相似求線段

2025年福建省中考數(shù)學(xué)第25題

相似三角形在人教版九年級(jí)下冊(cè)的重要內(nèi)容，也是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的重要幾何變換，在2022版新課標(biāo)69頁，對(duì)這部分課程內(nèi)容提出了明確的教學(xué)要求：

了解

同類詞：知道，初步認(rèn)識(shí)

實(shí)例：知道軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸；結(jié)合具體情境，初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，感悟分?jǐn)?shù)單位.

掌握

同類詞：能

實(shí)例：證明三角形的內(nèi)角和定理；在實(shí)際情境中，綜合應(yīng)用比例尺、方向、位置、測(cè)量等知識(shí)，繪制校園平面簡(jiǎn)圖，標(biāo)明重要場(chǎng)所.

在2025年全國(guó)各省市數(shù)學(xué)卷中，涉及相似三角形的幾何綜合題通常難度不低，多數(shù)作為壓軸題出現(xiàn)，要求學(xué)生能夠從圖形中找到符合推理思路的相似三角形，并能利用其性質(zhì)完成推理演算，因此，這一類壓軸題中，尋找相似三角形的必要性，是要突破的最大難點(diǎn).

題目

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，AC，BD相交于點(diǎn)F，G是AB上一點(diǎn)，GD交AC于點(diǎn)H，且AB=AC，BG=DG.

(1)求證：∠ABC=∠DBE+∠E；

(2)求證：AH2=HF·HC；

(3)若tan∠ABC=√5，AD=2DE，CD=√6，求△AGH的周長(zhǎng).

解析：

01

(1)由條件AB=AC得∠ABC=∠ACB，其中∠ACB=∠CAE+∠E，而∠CAE作為圓周角，等于同弧所對(duì)的另一個(gè)圓周角，即∠CAE=∠DBE，所以∠ABC=∠DBE+∠E；

02

(2)由條件BG=DG得∠GBD=∠GDB，如下圖：

∠GBD與∠HCD均為弧AD所對(duì)圓周角，所以∠GBD=∠HCD=∠GDB，再加上公共角∠DHF=∠CHD，可得△HDF∽△HCD，因此DH2=HF·HC，離我們的目標(biāo)只差一步，即證明AH=DH；

仍然從∠ABC=∠ACB出發(fā)，∠ABC=∠GBD+∠DBC，∠ACB=ADB=∠ADH+∠GDB，可得∠GBD+∠DBC=∠ADH+∠GDB，于是∠DBC=∠ADH，而∠DBC與∠CAD均為弧CD所對(duì)圓周角，所以∠CAD=∠ADH，故AH=DH，完成最后一步推導(dǎo)，得到結(jié)論AH2=HF·HC；

03

(3)作為本題難點(diǎn)，△AGH的周長(zhǎng)由三條線段AG，GH，AH構(gòu)成，其中前一小題我們已經(jīng)證明了AH=DH，所以AH+GH=DH+GH=DG，再加上BG=DG，因此△AGH的周長(zhǎng)實(shí)際上是AG+BG=AB=AC，這樣我們完成了將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求一條線段長(zhǎng)的問題；

再由條件中的AD=2DE觀察，它們都處于△ACD和△AEC中，猜測(cè)這兩個(gè)三角形存在相似關(guān)系，并且也屬于共邊共角相似，下面我們來驗(yàn)證這個(gè)猜想：

∠ACB是△ACE外角，則∠AEC=∠ACB-∠CAE=∠ABC-∠CBD=∠GBD=∠ACD，再加上公共角∠DAC=∠CAE，可得△ACD∽△AEC，則AC2=AD·AE，不妨設(shè)DE=x，則AD=2x，AE=3x，于是AC=√6x；

由條件tan∠ABC=√5可知，我們需要構(gòu)造直角三角形來“容納”三角函數(shù)條件，而目前唯一可知長(zhǎng)度的線段是CD=√6，因此我們過點(diǎn)C作AE的垂線，如下圖：

根據(jù)圓外接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，可得∠ABC=∠CDM，因此在Rt△CDM中，tan∠CDM=√5，且CD=√6，可求出DM=1，CM=√5；

現(xiàn)在來到Rt△ACM中，AC=√6x，CM=√5，AM=2x+1，根據(jù)勾股定理列方程得6x2=5+(2x+1)2，解得x=3，所以AC=3√6，即△AGH周長(zhǎng)為3√6.

解題思考

在解這道題的過程中，也曾誤入歧途，當(dāng)完成△AGH的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成線段AB之后，結(jié)合CD=1，猜CD與AB之間存在數(shù)量關(guān)系，再加上AD=2DE“旁敲側(cè)擊”，因此走上另外一道路，試圖證明CD∥AB，也就是證明△CDE∽△BAE，但推導(dǎo)失敗，結(jié)論不足.

雖然在完成解答之后，順便也證實(shí)了CD∥AB確實(shí)成立，但前面的推導(dǎo)過程中，沒有有效利用CD=√6才是關(guān)鍵，換句話講，CD=√6這個(gè)條件，保證了CD∥AB，只是后來的推導(dǎo)已經(jīng)通過求出AC長(zhǎng)完成了解答，實(shí)在沒必要再去證明CD∥AB；

我用GGB重新作圖來驗(yàn)證這個(gè)條件，首先作等腰△ABC，使tan∠ABC=√5，AB=3√6，然后作出它的外接圓O，再以點(diǎn)C為圓心，√6為半徑作弧，交圓O于點(diǎn)D，再延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)AD=2DE；

對(duì)于學(xué)生而言，尋找需要的相似三角形是解題關(guān)鍵，常見的A型、X型相似是基礎(chǔ)，在這些基本結(jié)構(gòu)上進(jìn)行適當(dāng)變化，即可得到更豐富的相似模型，例如本題中的共邊共角型(子母型)相似，我們?cè)谡鹿?jié)復(fù)習(xí)過程中，通常會(huì)有這樣一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，即將所有相似模型羅列出來，如下圖：

作為教師，當(dāng)然想通過這個(gè)設(shè)計(jì)幫助學(xué)生梳理各類相似模型，但實(shí)際上學(xué)生若僅僅只是看一眼，這個(gè)環(huán)節(jié)基本上會(huì)流于形式，我自已的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，觀察到效果并不理想，所以基于這個(gè)設(shè)想，改進(jìn)了這個(gè)環(huán)節(jié)，這些圖形由教師在黑板上畫出來，不如讓學(xué)生自已畫，盡管學(xué)生不能畫全，或者順序錯(cuò)亂，但也充分暴露出學(xué)生對(duì)于相似模型的認(rèn)知缺陷，而這，恰恰是復(fù)習(xí)課需要解決的問題.

學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)來自于解題后的思考，當(dāng)我們從例題教學(xué)過渡到習(xí)題教學(xué)時(shí)，能否吃透例題，既是對(duì)學(xué)生的要求，也是對(duì)教師的要求，教材上的每一道例題，都是非常好的母題，它們的標(biāo)高，也是中考的標(biāo)高.