量子態(tài)認(rèn)證的任務(wù)——驗(yàn)證在實(shí)驗(yàn)室中制備的量子態(tài)與特定的理論目標(biāo)態(tài)是否高度吻合——是量子信息科學(xué)這一新興領(lǐng)域中的一個(gè)基石挑戰(zhàn)。隨著量子設(shè)備的規(guī)模和復(fù)雜性不斷增長，基準(zhǔn)測試其性能和驗(yàn)證其輸出保真度的能力變得至關(guān)重要。從歷史上看，嚴(yán)格的認(rèn)證協(xié)議一直受到資源限制的阻礙，通常要求要么使用深層量子電路，要么進(jìn)行數(shù)量隨量子比特?cái)?shù)n呈指數(shù)級增長 (O(2^n)) 的測量。這種指數(shù)級擴(kuò)展使得驗(yàn)證大規(guī)模、高度糾纏的量子態(tài)——恰恰是實(shí)際應(yīng)用中最引人注目的那些態(tài)——似乎成了一個(gè)不可能完成的任務(wù)。

由 Hsin-Yuan Huang、John Preskill 和 Mehdi Soleimanifar 發(fā)表在《自然物理學(xué)》的論文 “用很少的單量子比特測量來證明幾乎所有的量子態(tài)” 代表了一項(xiàng)深刻的突破，它有效地為絕大多數(shù)量子態(tài)消除了這個(gè)指數(shù)級的障礙。它引入了一種強(qiáng)大且資源高效的方法，證明幾乎所有n量子比特目標(biāo)態(tài)都可以僅使用多項(xiàng)式數(shù)量O(n2)的單量子比特測量進(jìn)行認(rèn)證。這一非凡的成就將量子驗(yàn)證的范式從一個(gè)難以處理的指數(shù)級問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)高效的多項(xiàng)式問題。

傳統(tǒng)認(rèn)證的難點(diǎn)

要理解這項(xiàng)工作的意義，首先必須了解先前方法的局限性。驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)態(tài)ρ與目標(biāo)態(tài) |ψ> 的金標(biāo)準(zhǔn)是計(jì)算保真度，F(xiàn) = <ψ|ρ|ψ>。如果保真度接近 1，則該態(tài)被成功認(rèn)證。

估計(jì)保真度的最通用方法是量子態(tài)層析成像 (QST)。QST 旨在通過在全套基組中進(jìn)行測量來完全重構(gòu)未知態(tài)ρ。對于一個(gè)n量子比特系統(tǒng)，態(tài)ρ由一個(gè)2^n ?2^n的密度矩陣表示。完全表征這個(gè)矩陣需要 O(4^n) 個(gè)參數(shù)，因此需要相應(yīng)指數(shù)級數(shù)量的測量。雖然 QST 提供了最全面的信息，但其資源需求使得它在少量量子比特以上的系統(tǒng)上完全不切實(shí)際。

避免完全層析成像的嘗試通常涉及隨機(jī)測量協(xié)議或針對低糾纏態(tài)家族的特定協(xié)議。然而，對于一般的、高度糾纏的態(tài)——尤其是那些具有指數(shù)級電路復(fù)雜度、無法通過淺層量子電路制備的態(tài)——一個(gè)可證明高效、通用的認(rèn)證協(xié)議仍然難以捉摸。許多研究人員推測，鑒于局域不可區(qū)分性現(xiàn)象（即全局量子屬性可能完全隱藏于局域測量之外），對于高度糾纏的態(tài)來說，指數(shù)級開銷可能是根本上不可避免的。

量子飛躍：陰影重疊與隨機(jī)游走

該論文的核心創(chuàng)新在于引入了陰影重疊 (shadow overlap) 作為保真度的有效估計(jì)量，并建立了該估計(jì)量與隨機(jī)游走混合時(shí)間之間的理論聯(lián)系。

• 陰影重疊協(xié)議

作者們沒有嘗試完全重構(gòu)或依賴復(fù)雜的全局測量，而是提出了一種巧妙的、高度局域的測量協(xié)議：

1. 隨機(jī)選擇：從n量子比特系統(tǒng)中隨機(jī)選擇一個(gè)量子比特 (k)。
2. 局域投影：在Z（計(jì)算）基中測量所有其他n-1個(gè)量子比特，并記錄二元結(jié)果串z。
3. 單量子比特測量：在隨機(jī)選擇的基（X、Y或Z）中測量被選中的量子比特k。

這個(gè)過程在ρ態(tài)的副本上重復(fù)多次，生成測量數(shù)據(jù)。然后，作者構(gòu)建了一個(gè)經(jīng)典估計(jì)量——陰影重疊，它將這種高度受限的測量數(shù)據(jù)與所需的保真度F聯(lián)系起來。至關(guān)重要的是，估計(jì)陰影重疊在每個(gè)測量回合只需要對目標(biāo)態(tài)的經(jīng)典描述的振幅進(jìn)行兩次查詢，從而保持了經(jīng)典處理的高效性（總計(jì)算量為O(n^3)）。

• 將認(rèn)證與隨機(jī)游走聯(lián)系起來

效率證明是該論文最重要的理論貢獻(xiàn)。協(xié)議所需的樣本（測量）數(shù)量 T 被證明與構(gòu)建在一組n量子比特基態(tài)上的特定馬爾可夫鏈（隨機(jī)游走）的弛豫時(shí)間 (τ) 成比例。具體來說，T = O(τ2/ε2)，其中ε是所需的認(rèn)證精度。

作者隨后證明了一個(gè)關(guān)鍵定理：對于幾乎所有n量子比特純態(tài)（即除了指數(shù)級小的分?jǐn)?shù)態(tài)之外的所有態(tài)），這個(gè)弛豫時(shí)間塌τ的上界為O(n2)。通過將τ的這個(gè)多項(xiàng)式上界代入樣本復(fù)雜度公式，他們得出了具有突破性的結(jié)果：幾乎所有態(tài)都可以通過T = O(n?/ε2)次測量進(jìn)行認(rèn)證，并且通過進(jìn)一步改進(jìn)，對于固定的ε可以達(dá)到O(n2)的測量復(fù)雜度。這一結(jié)果通過證明對于一般態(tài)，局域測量足以收集到關(guān)于全局結(jié)構(gòu)的足夠信息，從而巧妙地避開了對指數(shù)級資源的需求。

廣泛影響和未來方向

這項(xiàng)工作對整個(gè)量子計(jì)算生態(tài)系統(tǒng)具有變革性的影響。

• 基準(zhǔn)測試和驗(yàn)證： 它為大規(guī)模量子處理器提供了一種可證明高效的方法，使操作員能夠確認(rèn)所需的態(tài)已被正確制備，而無需為了詳盡的指數(shù)級測量而停止機(jī)器。這對于量子算法的可靠運(yùn)行至關(guān)重要。
• 量子電路優(yōu)化： 該協(xié)議可用作高效的目標(biāo)函數(shù)來指導(dǎo)量子電路的變分優(yōu)化，確保電路被精確調(diào)整以產(chǎn)生具有最大保真度的目標(biāo)態(tài)。
• 量子態(tài)的機(jī)器學(xué)習(xí)： 也許最令人興奮的應(yīng)用在于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài) (NQS) 和其他經(jīng)典表示領(lǐng)域。這些經(jīng)典模型（如張量網(wǎng)絡(luò)）用于模擬或表示復(fù)雜的量子態(tài)。陰影重疊協(xié)議允許研究人員僅使用來自真實(shí)量子設(shè)備的簡單單量子比特測量數(shù)據(jù)，來高效地訓(xùn)練和認(rèn)證這些模型的參數(shù)。一旦經(jīng)過認(rèn)證，這些經(jīng)過驗(yàn)證的經(jīng)典表示就可以用來預(yù)測量子態(tài)的高度非局域性質(zhì)——例如糾纏或關(guān)聯(lián)函數(shù)——而這些性質(zhì)原本需要指數(shù)級昂貴的直接測量。

這篇論文是一個(gè)具有里程碑意義的進(jìn)步，它提供了一個(gè)實(shí)用的協(xié)議以及一個(gè)植根于經(jīng)典復(fù)雜性理論（隨機(jī)游走）的深刻理論理解。雖然它成功地認(rèn)證了“幾乎所有”的態(tài)，但一個(gè)微妙而重要的問題仍然存在：剩下的指數(shù)級小的分?jǐn)?shù)態(tài)是否也能用單量子比特測量進(jìn)行高效認(rèn)證？后續(xù)的工作表明，通過自適應(yīng)測量（其中下一次測量的基組取決于先前的結(jié)果），對于所有純態(tài)來說，答案確實(shí)是肯定的。

總而言之，Huang、Preskill 和 Soleimanifar 的工作是一個(gè)基礎(chǔ)性的里程碑，為以前難以解決的指數(shù)級問題提供了多項(xiàng)式時(shí)間的解決方案。通過證明認(rèn)證通用量子態(tài)的內(nèi)在復(fù)雜性遠(yuǎn)低于先前的認(rèn)知，他們提供了一個(gè)強(qiáng)大、可擴(kuò)展的工具，這對于驗(yàn)證當(dāng)今的噪聲中級量子 (NISQ) 設(shè)備和未來的容錯(cuò)量子計(jì)算機(jī)的輸出至關(guān)重要。