導(dǎo)語

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)，還是物理與工程，幾乎所有復(fù)雜系統(tǒng)的建模與推理都指向同一種底層語言——線性代數(shù)。它不僅是計(jì)算公式的集合，更是一名科研人理解“結(jié)構(gòu)”、刻畫“變換”、判斷“穩(wěn)定性”、提取“信息”的基本思維框架。本課程以系統(tǒng)科學(xué)的視角重新解構(gòu)線性代數(shù)，帶你越過技巧、直達(dá)本質(zhì)，在跨學(xué)科的真實(shí)問題中建立起科研必備的數(shù)學(xué)基石。

集智學(xué)園聯(lián)合清華大學(xué)數(shù)學(xué)博士諸葛昌靖老師開設(shè)「線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課」，課程將于12月20日開啟，現(xiàn)在加入可享早鳥價格。

集智主講的進(jìn)階之路

在集智社區(qū)，學(xué)習(xí)從來不是一條單向的軌道，而是一張由問題、對話與協(xié)作織就的知識網(wǎng)絡(luò)。本次課程主講老師諸葛昌靖，正是這張網(wǎng)絡(luò)中一個鮮活的節(jié)點(diǎn)。

諸葛昌靖，北京工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)與力學(xué)學(xué)院副研究員，清華大學(xué)數(shù)學(xué)博士，研究方向：計(jì)算系統(tǒng)生物學(xué)。致力于數(shù)學(xué)與生物醫(yī)學(xué)的交叉研究，聚焦癌癥的演化機(jī)制及放化療、血液病、網(wǎng)絡(luò)藥理學(xué)及傳染病等復(fù)雜生物醫(yī)學(xué)問題的多尺度動力學(xué)建模與量化分析。

去年，他最初是以一名普通參與者的身份加入集智的讀書會。在探討復(fù)雜系統(tǒng)、認(rèn)知科學(xué)和網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的過程中，他逐漸意識到：“只有在科研中真正感受到需要用系統(tǒng)思維去建模的時候，才知道自己缺什么數(shù)學(xué)工具�！倍乔『锰峁┝诉@樣一個環(huán)境——既有深入淺出的基礎(chǔ)講解，又有緊貼前沿的研究分享。更讓他感到珍貴的，是社區(qū)里活躍的討論氛圍：“大家不只是聽，而是真的在思考、提問、互相啟發(fā)。很多報(bào)告之后的群聊，常常能延續(xù)出新的思路�！�

這份“探險(xiǎn)”的熱情很快轉(zhuǎn)化為貢獻(xiàn)。憑借在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和系統(tǒng)思維上的深厚積累，他在讀書會中頻頻提出獨(dú)到見解，引發(fā)熱烈討論。漸漸地，學(xué)員們開始“催更”：“能不能開一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課？我們想跟著你學(xué)系統(tǒng)科學(xué)用線性代數(shù)！”——這種來自同行和學(xué)習(xí)者的自發(fā)認(rèn)可，成為他決定開設(shè)本課程的重要動力。

《》學(xué)員交流群總結(jié)

于是，諸葛老師完成了從“聽眾”到“講師”的轉(zhuǎn)變，正在精心籌備這門《線性代數(shù)》課程。而他的成長路徑，恰恰體現(xiàn)了集智社區(qū)的一種獨(dú)特學(xué)習(xí)模式：你可以在一場關(guān)于腦網(wǎng)絡(luò)的讀書會中遇到“Laplace矩陣”的概念，發(fā)現(xiàn)需要補(bǔ)足譜圖理論；于是回看相關(guān)課程或發(fā)起討論，在群友的幫助下厘清思路；掌握后，又帶著新工具回到另一個關(guān)于多智能體系統(tǒng)的研討中，提出自己的建模想法。

這種“問題驅(qū)動—互助澄清—實(shí)踐遷移”的循環(huán)，并不依賴于身份或權(quán)限，而是源于社區(qū)成員之間的真誠交流與知識共享。在集智課程交流群只要你愿意提問、參與、貢獻(xiàn)，就能在這個生態(tài)中找到自己的成長路徑。

什么是線性代數(shù)

線性代數(shù)研究向量空間及其上的線性映射，是現(xiàn)代科學(xué)最通用、最具結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)語言之一。它的核心對象——向量、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、內(nèi)積空間——不僅是抽象的代數(shù)元素，更是描述狀態(tài)、關(guān)系、變換、對稱性與降維結(jié)構(gòu)的基本工具。

在復(fù)雜系統(tǒng)、人工智能、神經(jīng)科學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科中，幾乎所有關(guān)鍵問題都可以在某種線性框架中被重新表達(dá)，線性代數(shù)不僅是一門基礎(chǔ)課程，更是理解現(xiàn)代科學(xué)方法論的入口。

線性代數(shù)中的關(guān)鍵思想

• 線性結(jié)構(gòu)：系統(tǒng)狀態(tài)可疊加、可縮放，行為具有可預(yù)測性。

• 基與坐標(biāo)：同一對象在不同視角下有不同表示，但本質(zhì)不變。

• 秩與零空間：刻畫信息的有效維度與冗余結(jié)構(gòu)。

• 特征方向：系統(tǒng)長期演化的主導(dǎo)模式由特征值決定。

• 內(nèi)積與正交性：賦予抽象空間幾何意義，實(shí)現(xiàn)信號分離與降噪。

• 矩陣分解：將復(fù)雜關(guān)系拆解為簡單成分，揭示潛在結(jié)構(gòu)。

這些思想共同構(gòu)成一種“系統(tǒng)觀”：從局部邏輯出發(fā)，理解整體行為；從數(shù)據(jù)表象之下，挖掘結(jié)構(gòu)本質(zhì)。

課程主旨

本課程旨在通過深入講解線性代數(shù)的核心概念與邏輯結(jié)構(gòu)，結(jié)合系統(tǒng)科學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生理解線性空間、矩陣運(yùn)算、特征分解等基礎(chǔ)知識的本質(zhì)，并將這些抽象概念與現(xiàn)代跨學(xué)科應(yīng)用（尤其是生物系統(tǒng)、數(shù)據(jù)分析、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)）緊密結(jié)合。

核心思想：邏輯深入、系統(tǒng)整體性、概念清晰、跨學(xué)科聯(lián)系緊密、注重思維方法而非單純計(jì)算。

課程目標(biāo)

1. 邏輯理解

• 掌握向量空間、線性映射、矩陣及特征值等核心概念的邏輯結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)科學(xué)思維

• 理解線性代數(shù)的概念和方法在系統(tǒng)建模等問題中的意義和作用

跨學(xué)科應(yīng)用能力

• 將線性代數(shù)應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、生物系統(tǒng)建模、網(wǎng)絡(luò)分析等實(shí)際問題

• 理解矩陣運(yùn)算、特征分解、PCA、Laplace 矩陣等方法在跨學(xué)科系統(tǒng)中的意義

抽象思維與建模能力

• 培養(yǎng)從局部概念到整體系統(tǒng)的抽象思維能力

• 學(xué)會用線性結(jié)構(gòu)分析復(fù)雜系統(tǒng)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

• 強(qiáng)化邏輯推理、證明思維及概念間的內(nèi)在聯(lián)系

• 通過案例和應(yīng)用體會數(shù)學(xué)概念和方法在分析實(shí)際問題中的遷移與普適性

課程大綱

第一講：游戲角色如何平滑變形？——線性映射與向量空間如何保持結(jié)構(gòu)不變性

（圖片來源：《極樂迪斯科》2019年TGA最佳獨(dú)立游戲）

現(xiàn)代游戲圖形并非逐像素“手繪”，而是通過線性代數(shù)描述物體的形狀、旋轉(zhuǎn)、縮放與空間關(guān)系。人物骨骼動畫（Skeletal Animation）中，角色的肢體是由一組“關(guān)節(jié)矩陣”控制的；每次移動或旋轉(zhuǎn)對應(yīng)一次線性變換，并通過矩陣乘法將角色所有頂點(diǎn)一起變形。這種“一致性變形”保證角色不會被拉裂或扭曲。本質(zhì)上，渲染管線中的 Model、View、Projection 三大變換，都遵循保持結(jié)構(gòu)的線性映射規(guī)則。

本講將帶你從直觀的3D圖形變換出發(fā)，走進(jìn)抽象的向量空間，理解“線性”為何意味著可疊加、可縮放、可預(yù)測。這不僅是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)，更是我們描述任何復(fù)雜系統(tǒng)狀態(tài)與演化的起點(diǎn)：因?yàn)橹挥邢壤斫狻安蛔兊慕Y(jié)構(gòu)”，才能真正駕馭“變化的世界”。

本講內(nèi)容：線性空間與線性映射（上）

• 應(yīng)用：從圖像壓縮到數(shù)據(jù)降維、游戲中的角色變換

• 向量概念(線性代數(shù)為什么叫“線性”)

• 線性變換、“線性”與結(jié)構(gòu)保持性的概念

• 線性相關(guān)性、向量組的秩、空間的基與維數(shù)的代數(shù)刻畫

• 自由度與約束關(guān)系Ⅰ

• 矩陣的概念初步

概念解析：向量不僅是箭頭，也可以是任意“可線性疊加”的對象：圖像、信號、參數(shù)、概率分布乃至文本嵌入。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，向量空間被用來表示特征，而線性結(jié)構(gòu)允許我們對特征做插值、疊加、投影等操作——這是所有特征工程方法得以成立的基礎(chǔ)。

第二講：人耳如何分離不同音調(diào)？——內(nèi)積與正交分解如何實(shí)現(xiàn)信號解耦

人耳能分辨千變?nèi)f化的聲音，不是因?yàn)樗涗浟怂胁ㄐ渭?xì)節(jié)，而是因?yàn)樗鼘?fù)雜聲波分解為不同頻率的“純凈音”。這種能力的背后，是一種賦予空間“長度”與“角度”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——內(nèi)積。本講將揭示內(nèi)積如何讓抽象向量擁有幾何意義，如何通過正交分解提取信號本質(zhì)，并引出無窮維函數(shù)空間這一強(qiáng)大框架。你會發(fā)現(xiàn)，從語音識別到量子力學(xué)，內(nèi)積空間正是系統(tǒng)“感知”與“區(qū)分”信息的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

內(nèi)積空間是為抽象向量賦予“幾何屬性”的數(shù)學(xué)框架。通過內(nèi)積運(yùn)算，我們可以定義向量的長度（模）、向量間的角度，進(jìn)而區(qū)分向量的“方向”差異。兩個向量正交（內(nèi)積為0），意味著它們在幾何上垂直，代數(shù)上互不干擾——這正是人耳分辨不同頻率聲音的數(shù)學(xué)本質(zhì)：不同頻率的聲波對應(yīng)函數(shù)空間中的正交向量，內(nèi)積為0保證了信號間的可區(qū)分性。而傅里葉變換，就是將復(fù)雜信號分解為正交正弦函數(shù)組的線性運(yùn)算。本節(jié)主要講內(nèi)積空間，并介紹公理化方法。通過線性空間例子，說明線性空間也可以是無窮維的。

本講內(nèi)容：線性空間與線性映射（下）

• 實(shí)際應(yīng)用：從耳朵識別頻率引出內(nèi)積(能量)的概念、Fourier 變換信號處理

• 內(nèi)積空間的定義、內(nèi)積的數(shù)學(xué)意義：長度、角度、正交性

• “代數(shù)”與“證明”：公理化方法的邏輯思維與數(shù)學(xué)的用處

• 內(nèi)積與線性相關(guān)性、正交化

• 線性無關(guān)的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)、標(biāo)架

• 數(shù)學(xué)應(yīng)用：微分方程的解（常微分方程、偏微分方程）、積分作為內(nèi)積

• 無窮維內(nèi)積空間(Hilbert空間)舉例：函數(shù)空間、泛函、對偶空間

• 無窮的維數(shù)以及無窮求和的性質(zhì)

概念解析：（引自grok） 耳朵聽到聲音的生理機(jī)制:人類耳朵感知聲音時，聲波首先通過外耳和中耳轉(zhuǎn)化為機(jī)械振動，然后傳入內(nèi)耳的耳蝸（cochlea）。耳蝸內(nèi)充滿液體，并含有基底膜（basilar membrane），其上分布著毛細(xì)胞（hair cells）�；啄さ牟煌课粚μ囟l率的振動敏感：高頻聲音刺激耳蝸基底部，低頻聲音刺激頂端。這種頻率選擇性類似于一個濾波器組，將復(fù)雜聲音信號分解為單一頻率成分，從而實(shí)現(xiàn)“聽覺頻譜分析”。這一過程被稱為“位置-頻率映射”（place-frequency mapping）。

第三講：Transformer如何計(jì)算注意力？——矩陣乘法如何編碼信息關(guān)聯(lián)與變換

當(dāng)今AI領(lǐng)域的Transformer模型（如GPT、BERT），能實(shí)現(xiàn)文本生成、圖像識別、多模態(tài)對齊等復(fù)雜任務(wù)，其核心并非復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，而是一連串矩陣乘法。以注意力機(jī)制為例，模型通過Query、Key矩陣計(jì)算不同單詞的關(guān)聯(lián)權(quán)重，再通過Value矩陣聚合信息——這一過程本質(zhì)是用矩陣表示“信息關(guān)聯(lián)”，用矩陣乘法實(shí)現(xiàn)“信息編織”。矩陣已成為AI系統(tǒng)處理關(guān)系、傳遞信息的通用工具。

矩陣的本質(zhì)是線性映射的具象化表示——當(dāng)兩個線性空間的基確定后，每個線性映射都唯一對應(yīng)一個矩陣，矩陣的運(yùn)算則對應(yīng)線性映射的復(fù)合。本講將從注意力機(jī)制出發(fā)，展示矩陣如何表示用戶偏好、多模態(tài)對齊乃至社交網(wǎng)絡(luò)，并深入探討坐標(biāo)變換背后的哲學(xué)——同一系統(tǒng)在不同視角下呈現(xiàn)不同面貌，而矩陣正是連接這些視角的橋梁。理解這一點(diǎn)，你就掌握了現(xiàn)代數(shù)據(jù)科學(xué)的通用語法。

本講內(nèi)容：

1、線性映射的表示：矩陣

• 實(shí)際應(yīng)用：網(wǎng)絡(luò)(圖)的表示、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的世界坐標(biāo)、局部坐標(biāo)和觀察者坐標(biāo)及其相互轉(zhuǎn)換。

• 數(shù)學(xué)應(yīng)用：線性方程組

• 矩陣的相等

• 向量組與矩陣的關(guān)系、用矩陣表示線性映射、坐標(biāo)變換

• 線性變換與坐標(biāo)變換：不同基下同一個線性映射的不同表示形式、物理中的坐標(biāo)系

• 單位矩陣

2、矩陣運(yùn)算

• 實(shí)際應(yīng)用：生物信息學(xué)中的解卷積、圖的連通性

• 矩陣乘法定義

• 矩陣乘法與線性映射的復(fù)合

3、方陣的特殊運(yùn)算

• 逆矩陣

• 行列式與積分換元公式

• 三維空間中的叉乘

概念解析：注意力機(jī)制的 Query–Key–Value 結(jié)構(gòu)本質(zhì)是一組線性映射：Query 表示“我在關(guān)注什么”Key 表示“每個信息點(diǎn)攜帶的標(biāo)簽”，Value 表示“信息本身”。通過矩陣乘法，模型計(jì)算Query與Key的相似度，得到注意力權(quán)重；再通過權(quán)重與 Value 線性組合達(dá)到“信息提取”的效果。這整個過程是嚴(yán)格的線性代數(shù)操作，不涉及復(fù)雜非線性。

第四講：大模型為何能壓縮參數(shù)？——信息重構(gòu)、信息冗余及其有效維度

LLaMA、Qwen等大語言模型的權(quán)重矩陣包含數(shù)十億參數(shù)，但其中大量參數(shù)對應(yīng)冗余信息——比如不同參數(shù)可能編碼相同的語義特征。保留所有參數(shù)，不僅會增加存儲和計(jì)算成本，還可能導(dǎo)致模型“記混”無關(guān)細(xì)節(jié)。同樣的問題也出現(xiàn)在自動駕駛車輛的傳感器上，令人意外的是，傳感器越多，環(huán)境感知越全面，實(shí)際中卻可能出現(xiàn)“信息冗余”，傳感器并未提升感知能力，反而可能導(dǎo)致系統(tǒng)因數(shù)據(jù)沖突而“產(chǎn)生幻覺”，發(fā)生諸如誤判障礙物位置等錯誤。

大模型的“低秩適應(yīng)”性以及傳感器所要求的數(shù)據(jù)的“有效性”，都是需要通過篩選核心特征、剔除冗余信息，唯有此才能實(shí)現(xiàn)高效部署，這種“選擇性遺忘”的能力，根源在于線性方程組解空間的結(jié)構(gòu)特性以及“秩”的概念。

線性方程組Ax=b的解空間由“特解”和“齊次解”構(gòu)成，齊次方程組Ax=0的解空間（零空間）與矩陣A的值域（所有Ax構(gòu)成的空間）共同揭示了信息的傳遞規(guī)律：值域是矩陣“能傳遞的有效信息范圍”，零空間是“無法傳遞的冗余信息范圍”。本講將揭示秩–零度定理如何精確刻畫信息的保留與丟棄：值域承載有效信號，零空間容納冗余噪聲。從大語言模型的低秩適應(yīng)，到基因表達(dá)中的功能模塊，這一原理告訴我們——真正的智能，不在于記住一切，而在于知道什么可以安全地忘記。PCA正是基于秩–零度定理，在保留主要方差的同時實(shí)現(xiàn)降維，本質(zhì)是尋找最優(yōu)低維子空間逼近。

本講內(nèi)容：

1、線性方程組的概念

• 實(shí)際應(yīng)用：有限元、SVD與信息壓縮

• 低階線性方程組的幾何意義

• 線性方程組的代數(shù)意義

• 線性方程“解”的邏輯

2、高斯消元法

• 高斯消元法及其意義

• 矩陣的秩

• 矩陣分解初步：LU分解、逆矩陣表示解方程的過程

3、解空間的結(jié)構(gòu)

• 解空間、零空間、值域空間

• 秩-零度定理及證明和解釋

• 自由度與約束關(guān)系Ⅱ

• 特殊情況：克萊姆法則

4、矩陣的初等變換總結(jié)

• 線性方程組、矩陣、向量的交織

• 線性無關(guān)性與秩的三種描述

概念解析：大語言模型的權(quán)重矩陣常呈現(xiàn)“低秩近似”：它們的奇異值呈指數(shù)衰減，說明有效信息集中在少數(shù)方向。LoRA（Low-Rank Adaptation）正是利用這一結(jié)構(gòu)，通過引入兩個小矩陣分解$$\Delta W = B$$來表達(dá)“新增知識”，無需修改完整權(quán)重。

第五講：系統(tǒng)長期行為由什么決定？——特征值如何刻畫穩(wěn)定性與主導(dǎo)模式

谷歌早期的PageRank算法通過網(wǎng)頁鏈接關(guān)系判斷重要性，網(wǎng)頁的排名不會因短期鏈接變化而劇烈波動，而是逐漸收斂到穩(wěn)定值；橋梁在特定風(fēng)速下會發(fā)生共振，最終可能坍塌；種群數(shù)量在自然環(huán)境中會維持在相對穩(wěn)定的范圍，這些系統(tǒng)的長期行為，都由一組固定的“特征值”決定。特征值就像系統(tǒng)的“基因”，標(biāo)識出內(nèi)在的穩(wěn)定方向與演化速率。

特征值與特征向量的定義Ax=λx，直觀反映了線性變換的“不變方向”——向量v經(jīng)變換后僅縮放λ倍，方向不變。這一性質(zhì)決定了系統(tǒng)的長期行為：若特征值λ的絕對值小于1（或?qū)嵅啃∮?），系統(tǒng)會收斂到穩(wěn)定狀態(tài)；若λ的絕對值大于1（或?qū)嵅看笥?），系統(tǒng)會發(fā)散（如失控的振動）；若λ的絕對值等于1，系統(tǒng)維持穩(wěn)態(tài)（如馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布）。本講將通過PageRank、生態(tài)模型和工程共振案例，展示特征值如何成為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的標(biāo)尺。你將看到：一個負(fù)實(shí)部的特征值，可能是生命穩(wěn)態(tài)的保障；而一個接近1的主特征值，則可能成就一個搜索引擎帝國。

本講內(nèi)容：

1、特征值與特征向量的概念

• 實(shí)際應(yīng)用：谷歌的PageRank搜索算法、馬爾可夫鏈長時間行為、Leslie 矩陣與種群建模

• 數(shù)學(xué)應(yīng)用：動力系統(tǒng)穩(wěn)定性、矩陣級數(shù)

• 特征值分解意義

• 特征值、特征向量的定義

2、特殊矩陣的特征值

• Perron–Frobenius 定理

• 對稱矩陣的定義與意義

• 對稱矩陣的特征值

3、廣義的內(nèi)積、特征值

• 矩陣定義的內(nèi)積

• 無窮維空間中算子的“特征值”

• 秩-零度定理

概念解析：線性動力系統(tǒng)xt+1 = Axt的解可寫為At x0。當(dāng)矩陣對角化后：，其中 Dt的演化完全由特征值λt決定。這意味著：∣λ∣<1 → 收斂，∣λ∣=1 → 持續(xù)震蕩，∣λ∣>1 → 發(fā)散。所有工程中的“穩(wěn)定性”判據(jù)，都來自這一機(jī)制。

第六講：AI繪畫如何表示“戴帽子的貓”？——奇異值分解（SVD）如何構(gòu)建語義潛在空間

Stable Diffusion等AI繪畫模型能根據(jù)“戴帽子的微笑貓”這一文字描述生成圖像，核心在于它能將“帽子”“微笑”等抽象語義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)向量。模型并非直接處理像素，而是先將圖像映射到一個低維“潛在空間”，其中每個維度對應(yīng)一種語義特征（如“表情”“服飾”）。這種將高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為低維語義表示的能力，依賴于奇異值分解（SVD）技術(shù)，它能從復(fù)雜數(shù)據(jù)中提取核心特征，構(gòu)建語義與圖像的關(guān)聯(lián)。

矩陣分解是將復(fù)雜矩陣拆分為簡單矩陣乘積的過程，其核心價值是“提取核心信息”。本講將揭示SVD如何實(shí)現(xiàn)信息壓縮、語義解耦與潛在表示，并探討當(dāng)系統(tǒng)不可對角化時，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型如何描述更復(fù)雜的動態(tài)行為。在這里，降維不僅是技術(shù)，更是對世界進(jìn)行抽象建模的藝術(shù)。

本講內(nèi)容：

1、子空間與矩陣特征分解

• 實(shí)際應(yīng)用：圖像處理與SVD、矩陣分解的威力

• 矩陣類型及性質(zhì)

• Hamilton-Cayley定理

2、矩陣分解

• 秩1矩陣、SVD分解與特征值

• QR 分解、Krylov 子空間方法

3、應(yīng)用

• 最小二乘法、矩陣可逆的“程度”的定量刻畫、條件數(shù)

• SVD做為一種粗�；椒�

• 濾波、圖像模糊

概念解析：任意矩陣A可寫為，其中奇異值從大到小排列。保留最大的幾個奇異值，就能獲得對矩陣最好的低秩逼近（Eckart–Young 定理）。AI 繪畫模型的“語義空間”就是高維向量的低秩主方向，語義特征如“貓”、“微笑”、“帽子”對應(yīng)奇異向量方向。

第七講：大模型能“推理”嗎？——形式邏輯如何界定數(shù)學(xué)證明與統(tǒng)計(jì)模仿的邊界

當(dāng)我們問ChatGPT“證明有無窮多個素?cái)?shù)”時，它能輸出一段結(jié)構(gòu)完整的證明文字；但當(dāng)我們提出“用2=1證明哥德巴赫猜想”時，它可能無法識別其中的邏輯矛盾，仍嘗試生成“證明”。這一現(xiàn)象揭示了AI推理的本質(zhì)：它基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的統(tǒng)計(jì)模式匹配生成文本，而非遵循嚴(yán)格的形式邏輯規(guī)則。要區(qū)分“真正的推理”與“模式模仿”，需回歸數(shù)學(xué)的邏輯根基——命題演算與一階邏輯。

形式邏輯通過“語法-語義-推理”三重結(jié)構(gòu)構(gòu)建嚴(yán)謹(jǐn)性：語法定義命題的符號規(guī)則與推理形式，不依賴具體內(nèi)容；語義通過“模型”定義命題的真假，同一命題在不同模型中可能有不同真值；推理則是從公理出發(fā)，通過有效規(guī)則推導(dǎo)定理的過程。本講將帶你回到數(shù)學(xué)的根基——命題邏輯與一階邏輯，探討什么是嚴(yán)格的證明、什么是模型的真值。我們將反思：為何向量空間能取代歐氏幾何成為現(xiàn)代科學(xué)的語言？又為何AI在反事實(shí)推理面前依然脆弱？通過這場邏輯之旅，你將明白：真正的系統(tǒng)思維，不僅需要計(jì)算能力，更需要對概念、定義與演繹鏈條的敬畏。

本講內(nèi)容：

1、命題演算(語法)

• 命題的結(jié)構(gòu)

• 推理、證明的本質(zhì)

2、一階邏輯(語義)與幾何基礎(chǔ)

• 量詞

• 命題“為真”的意義、命題邏輯

• 幾何基礎(chǔ)：解析幾何和向量空間如何取代物理直覺的幾何

• 數(shù)集構(gòu)造：自然數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)

3、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對應(yīng)用數(shù)學(xué)的啟發(fā)

• 數(shù)學(xué)模型的意義

• 數(shù)學(xué)模型的能力范圍

第八講：線性代數(shù)如何成為通用建模語言？——跨學(xué)科應(yīng)用案例

腦機(jī)接口的“意念解碼”、社交網(wǎng)絡(luò)的“社群發(fā)現(xiàn)”、單細(xì)胞生物學(xué)的“命運(yùn)軌跡繪制”，這些看似無關(guān)的前沿領(lǐng)域，實(shí)則共享同一套線性代數(shù)語言：它們都需處理高維數(shù)據(jù)、提取核心特征、分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，而子空間、線性映射、特征值、矩陣分解等概念，正是解決這些問題的通用工具。本講通過三大應(yīng)用場景，整合課程核心知識，展現(xiàn)線性代數(shù)的系統(tǒng)思維價值。

應(yīng)用一：腦機(jī)接口如何“讀心”？——信號的解碼

Neuralink等腦機(jī)接口設(shè)備采集的腦電信號是高維時間序列。通過Fourier變換將其映射到頻域（無窮維內(nèi)積空間），再用PCA提取關(guān)鍵成分，最終用SVM分類用戶意圖。整個流程是線性代數(shù)在生物信號處理中的完美體現(xiàn)。

• PCA：回顧概念、舉例、可視化

• SVM：算法概覽及應(yīng)用示例

• Fourier變換：無窮維線性空間中的應(yīng)用，卷積、濾波、信號降噪、圖像壓縮

應(yīng)用二：社交平臺如何發(fā)現(xiàn)“隱形社群”？——網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的譜分析

微信、微博通過構(gòu)建用戶互動圖，計(jì)算其Laplace矩陣的特征值與特征向量（圖傅里葉基），實(shí)現(xiàn)社區(qū)自動劃分。最小非零特征值（代數(shù)連通度）反映網(wǎng)絡(luò)魯棒性，而特征向量符號變化揭示群體邊界。

• Laplace 矩陣定義與譜性質(zhì)

• 圖傅里葉變換

• 應(yīng)用示例：聚類、社區(qū)檢測、信號傳播

• 矩陣擾動與靈敏度分析簡介（Weyl 不等式、Davis–Kahan 定理）

應(yīng)用三：單細(xì)胞測序如何繪制生命圖譜？——細(xì)胞命運(yùn)的動力系統(tǒng)建模

單細(xì)胞RNA-seq產(chǎn)生百萬級基因表達(dá)向量。通過PCA降維、Laplace eigenmap構(gòu)建細(xì)胞狀態(tài)流形，再用線性動力系統(tǒng)建模分化路徑�；蛘{(diào)控網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析則依賴特征值實(shí)部符號——線性代數(shù)成為解讀生命程序的語言。

• 反饋系統(tǒng)與控制：穩(wěn)定性、可控性、可觀測性、Kalman 濾波

• 單細(xì)胞數(shù)據(jù)分析：降維、可視化及軌跡推斷中的線性代數(shù)

• 網(wǎng)絡(luò)生物學(xué)與分子互作網(wǎng)絡(luò)：功能模塊發(fā)現(xiàn)、網(wǎng)絡(luò)的粗�；�

課程信息

課程適用對象

• 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，希望理解線性代數(shù)本質(zhì)及系統(tǒng)應(yīng)用的學(xué)生

• 對生物信息學(xué)、系統(tǒng)生物學(xué)及復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)感興趣的跨學(xué)科學(xué)習(xí)者

• 希望在數(shù)據(jù)科學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)、網(wǎng)絡(luò)分析、系統(tǒng)建模領(lǐng)域應(yīng)用線性代數(shù)知識的人

• 對邏輯、抽象思維和系統(tǒng)思維有興趣的公眾學(xué)習(xí)者

學(xué)完將收獲

• 系統(tǒng)建模的底層思維

• 核心概念的深層把握

• 從線性視角看復(fù)雜系統(tǒng)

• 跨學(xué)科遷移能力

• 抽象與幾何的統(tǒng)一思維

• 問題驅(qū)動的學(xué)習(xí)習(xí)慣

共創(chuàng)任務(wù)

為了鼓勵學(xué)員深度參與、積極探索，形成系列化知識傳播成果，構(gòu)建課程知識共建社群。我們設(shè)立了激勵機(jī)制，讓您的學(xué)習(xí)之旅充滿收獲與成就感。課程以老師講授內(nèi)容為主，在每期課程結(jié)束后，我們會發(fā)布課程共創(chuàng)任務(wù)，學(xué)員通過完成共創(chuàng)任務(wù)可以加深對課程內(nèi)容的理解，在完成共創(chuàng)任務(wù)后，學(xué)員也可以獲得積分獎勵，積分可用于兌換其他讀書會課程、實(shí)物獎品。

本期課程的共創(chuàng)任務(wù)為字幕任務(wù)，具體內(nèi)容為在每期課程錄播上線集智學(xué)園后，人工校對AI識別的課程視頻字幕，字幕任務(wù)的流程和要求參見檔案《字幕工作流程》

招募課程助理

• 付費(fèi)報(bào)名課程后聯(lián)系助教申請課程助理（《系統(tǒng)科學(xué)前沿》第一期學(xué)員優(yōu)先）。

• 成為正式課程助理并完成任務(wù)后，在課程結(jié)束時退還全額學(xué)費(fèi)。

報(bào)名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播，部分課程設(shè)置線下課。

2. 課程周期：2025年12月20日-2026年2月14日，每周六晚19：30-21：30進(jìn)行。

3. 課程定價：前兩節(jié)課程免費(fèi)，全部課程原價599，早鳥價479（8折特惠）

付費(fèi)流程

課程鏈接：https://campus.swarma.org/course/5657

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

   「系統(tǒng)科學(xué)前沿」系列課程
   

集智學(xué)園聯(lián)合北師大系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院開設(shè)，以方�？迪壬到y(tǒng)科學(xué)文集為思想基石，匯聚北師大系統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域十位教授，系統(tǒng)整合統(tǒng)計(jì)物理、生命系統(tǒng)中的智能行為、社會復(fù)雜系統(tǒng)建模、人工智能與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等多個交叉方向，構(gòu)建一條從微觀機(jī)制到宏觀結(jié)構(gòu)、從理論分析到實(shí)際應(yīng)用的知識脈絡(luò)。

詳情請見：

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