導語

在完成了對“洞的結構化刻畫”之后，拓撲學進一步提出了一個更深的問題：局部的信息，究竟如何在整體尺度上積累、轉化并顯現(xiàn)其宏觀效應？拓撲學與同調群又如何與分析學和幾何學更緊密地結合起來，并更好地定量計算？這一追問，正是上同調理論的出發(fā)點。回顧微積分的發(fā)展歷史，當人們開始思考“一個空間中的量如何沿著路徑、曲面乃至高維區(qū)域整體地流動與守恒”時，便已經(jīng)踏入了上同調的思想世界。此外，如果時間允許，本講還將介紹曲率的一些基本概念和應用。

注：本節(jié)標題語出《黃帝內經(jīng)素問·陰陽應象大論篇第五》，原文為：“……審其陰陽，以別柔剛，陽病治陰，陰病治陽；定其血氣，各守其鄉(xiāng)……”

主題：同調與上同調、曲率與整體性）

課程簡介

目標：理解上同調與龐加萊對偶的意義，掌握曲率與拓撲的聯(lián)系。

上同調不僅是同調的對偶，更與幾何/拓撲對象的整體結構關系密切。它或直接定義，或以微分形式為語言，將局部可測的微分幾何量與整體不變量聯(lián)系起來，這使拓撲結構能夠與積分、物理中的可積性/守恒律及場論等深刻理論自然銜接。本講將多角度介紹上同調的基本思想，并通過龐加萊對偶等定理等揭示同調與上同調之間深刻而優(yōu)美的對稱結構——恰如“陰陽互補”的整體觀。

課程將從大學微積分中的幾個基本定理——微積分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式談起，引入外微分形式、De Rham上同調，再從對偶的角度定義上同調群。之后通過De Rham 定理與Stokes 定理，展示同調與上同調、連續(xù)分析如何與離散拓撲精確對應。最后將引入上同調中的乘積概念，從而將上同調群升級為上同調環(huán)。而“曲率”則是微分幾何中用外微分形式刻畫的一個重要概念，它首先標定了幾何上的彎曲程度；。而通過高斯–博內–陳省身定理，曲率則成為連接局部微分信息與全局拓撲不變量的關鍵橋梁。我們將看到：空間的整體“柔性”拓撲性質，竟由“剛性”的幾何給出的曲率積分所編碼。

最后，本講將講解微分形式、上同調、微分形式和曲率的一些應用，從而將其放入更廣闊的科學圖景中理解。微分形式不僅可用于積分，還在各基礎數(shù)學分支和工程中有根本性地位；，而上同調則可分類用于拓撲對象數(shù)學中的分類問題，并且在數(shù)學和物理的諸多領域中應用廣泛。而刻畫“彎曲”的曲率在各尺度中也廣泛存在：在宇觀層次，曲率刻畫時空的彎曲，構成廣義相對論的核心要素；在微觀尺度上，粒子物理的規(guī)范場與相互作用由纖維叢的曲率來刻畫；而在宏觀世界的工程與力學系統(tǒng)中，曲率與上同調思想揭示約束、守恒與整體行為之間的內在聯(lián)系。由此，拓撲、幾何與物理在“整體性”“局部-整體關系”和“對偶性”等核心概念下深刻地統(tǒng)一起來。

課程大綱

• 梯度、散度、旋度；

• 從微積分到微分形式：微積分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式；梯度、散度、旋度；麥克斯韋方程

• De Rham上同調與Stokes定理

• 上同調群的定義與De Rham 定理，

• 上同調中的乘法

• 龐加萊對偶

• 外微分的應用：積分、幾何、工程、生物

• 和上同調理論的應用：數(shù)學中的拓撲分類問題（流形與纖維叢）、其他領域中的應用（數(shù)論與代數(shù)幾何、表示論、動力系統(tǒng)）、物理中的應用（場論、弦論、凝聚態(tài)中的拓撲序）、其他潛在應用（生物、化學、拓撲數(shù)據(jù)分析）

• 曲率的概念與高斯–博內–陳省身定理

• 曲率的應用（選講）：宇觀：時空曲率（廣義相對論）、微觀：纖維叢曲率（規(guī)范場理論）、宏觀：力學系統(tǒng)

關鍵詞

上同調、麥克斯韋方程、微積分基本定理、格林公式、高斯-奧斯特羅格拉德斯基公式、斯托克斯公式、de Rham上同調、龐加萊引理、Stokes定理、de Rham定理、上同調環(huán)、上積、龐加萊對偶、辛幾何、哈密頓力學、有限元、示性類、拓撲序、霍奇猜想、計算機圖形學、拓撲數(shù)據(jù)分析、曲率、高斯絕妙定理、高斯–博內–陳定理、廣義相對論、規(guī)范場、復雜網(wǎng)絡。

課程信息

課程主題：審其陰陽、以別柔剛——同調與上同調、曲率與整體性

課程時間：1月11日（周日）晚19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智學園網(wǎng)站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

金威，北京大學基礎數(shù)學博士，博士后。主要研究方向為拓撲學和數(shù)學物理�，F(xiàn)從事人工智能的基礎理論和算法研發(fā)，并致力于數(shù)學和系統(tǒng)科學方面的教育/科研和科普活動�！痘玖Ｗ樱簲�(shù)學、物理學和哲學》一書中文版譯者，《返樸》公眾號作者。研究興趣：屬性論和屬性數(shù)學、拓撲學和數(shù)學物理、系統(tǒng)科學和復雜網(wǎng)絡、中醫(yī)等。

課程適用對象

1. 理工科領域研究者及高年級學生：適合具備基礎數(shù)學背景（微積分、線性代數(shù)、復變函數(shù)、常微分方程）的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關注復雜系統(tǒng)、非線性動力學、統(tǒng)計物理、信息科學等方向，或希望將數(shù)學思想應用于物理、工程、生命與智能/認知系統(tǒng)的學習者。

2. 喜愛探索和創(chuàng)新學習者：面向對抽象思維、系統(tǒng)建模與跨學科分析有興趣的學生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學習者，通過拓撲學培養(yǎng)結構化與整體化的科學思維。

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學園網(wǎng)站錄播，部分課程設置線下課。

2. 課程周期：2025年11月23日-2026年1月，線上課程每周日19：00-21：00進行。

3. 課程定價：前兩節(jié)課程免費，全部課程原價599

付費流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發(fā)票

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程群內討論交流

拓撲學課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡、量子物理甚至心理結構，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數(shù)學的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結構不變性乃至復雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學園聯(lián)合北京大學博士金威老師開設，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：