在數(shù)學(xué)愈發(fā)走向抽象與符號(hào)化的20世紀(jì)，一位特立獨(dú)行的數(shù)學(xué)家用幾何視角，從一條看似簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)規(guī)律出發(fā)，找到了現(xiàn)實(shí)事物中隱藏的深刻關(guān)聯(lián)。他將這種結(jié)構(gòu)稱為——分形，并由此改變了科學(xué)家理解和描述復(fù)雜世界的方式。這位數(shù)學(xué)家，就是芒德布羅。

撰文 | 伊恩·斯圖爾特（lan Stewart）

翻譯 | 張憬

貝努瓦· B. 芒德布羅（Benoit B. Mandelbrot），1924 年 11 月 20 日生于波蘭華沙，2010 年 10 月 14 日卒于美國(guó)馬薩諸塞州劍橋。丨圖源：wiki

1944 年，由于第二次世界大戰(zhàn)的影響，巴黎高等師范學(xué)院和巴黎綜合理工學(xué)院將入學(xué)考試的時(shí)間推遲了六個(gè)月。考試持續(xù)了一個(gè)月，難度極大，但年輕的芒德布羅經(jīng)受住了兩所名校的考驗(yàn)。他的一位老師發(fā)現(xiàn)，在所有考生中只有一人答上了那道特別難的數(shù)學(xué)題。他猜這家伙一定是芒德布羅，一問果然沒錯(cuò)。這位老師坦言，他自己也做不出這道題，因?yàn)橄嚓P(guān)計(jì)算的核心是一個(gè)“非?？膳碌娜胤e分”。

芒德布羅卻笑了?！斑@題挺簡(jiǎn)單的。”他解釋說，那個(gè)積分可以看作經(jīng)過偽裝的球體體積。在合適的坐標(biāo)系下，這一點(diǎn)是顯而易見的。每個(gè)人都知道球體體積的公式。就是這么一回事，只要找到竅門就好辦了。芒德布羅顯然是對(duì)的。震驚之下，這位老師思緒連篇，喃喃道：“當(dāng)然，當(dāng)然?！彼约涸趺淳蜎]有發(fā)現(xiàn)呢？

這是因?yàn)樗恢痹谟梅?hào)思考，而沒有動(dòng)用幾何思維。

芒德布羅是一個(gè)天生的幾何學(xué)家，有著強(qiáng)烈的視覺直覺。因?yàn)槭仟q太裔，他在被占領(lǐng)的法國(guó)度過了艱難的童年，隨時(shí)都有被納粹逮捕的危險(xiǎn)，好不容易才擺脫死在集中營(yíng)里的命運(yùn)。他為自己爭(zhēng)取到了不同于正統(tǒng)但十分看重創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)崗位，在美國(guó)紐約州約克敦海茨（Yorktown Heights）的 IBM 托馬斯·J. 沃森實(shí)驗(yàn)室擔(dān)任研究員。在那里，他寫出了一系列文章，從語(yǔ)言中的單詞頻率到河流的洪水位，主題相當(dāng)豐富。后來(lái)，他靈感迸發(fā)，將這些豐富多彩的研究綜合成一個(gè)幾何概念——分形。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)圖形，比如球、圓錐或圓柱，具有非常簡(jiǎn)單的形狀。離得越近，它們看起來(lái)就越為光滑、扁平，整體的特點(diǎn)消失了，局部看起來(lái)就像沒有特征的平面。分形則不同，它在任何放大比例下都有細(xì)致的結(jié)構(gòu)，永遠(yuǎn)存在起伏。芒德布羅寫道：“云不是球體，山不是錐體，海岸線不是圓形的，樹皮不是光滑的，閃電也不是沿直線傳播的?！狈中尾蹲降搅藬?shù)學(xué)物理學(xué)中傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)捕捉不到的自然特征。它從根本上改變了科學(xué)家對(duì)現(xiàn)實(shí)世界建模的方式，被應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、全球金融和其他許多領(lǐng)域。它還具有深刻的純數(shù)學(xué)特征，并與混沌動(dòng)力學(xué)有著密切的聯(lián)系。

有些數(shù)學(xué)領(lǐng)域雖然不是全新的產(chǎn)物，但它們?cè)?20 世紀(jì)下半葉開始興起，并通過提供新的方法和視角改變了數(shù)學(xué)及其應(yīng)用之間的關(guān)系，分形就是其中之一。分形幾何可以追溯到人們對(duì)分析邏輯嚴(yán)密性的追求，1900 年前后出現(xiàn)的多種“病態(tài)曲線”（pathological curve）由此而來(lái)，主要作用是表明天真的直觀論證可能會(huì)出錯(cuò)。例如，希爾伯特就曾畫出這樣一條曲線，它會(huì)經(jīng)過一個(gè)正方形內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)——不是掠過，而是精確地經(jīng)過。出于顯而易見的原因，這條曲線被稱為空間填充曲線，它告誡我們?cè)谒伎季S度概念時(shí)要小心謹(jǐn)慎。連續(xù)變換可以增加空間的維數(shù)，這里是從一維變?yōu)槎S。其他例子還有黑爾格·馮·科赫（Helge von Koch）的雪花曲線（長(zhǎng)度無(wú)限，但包圍的面積有限）和瓦茨瓦夫·謝爾平斯基（Wac ? aw Sierpiński）的墊片（在每一點(diǎn)都與自己相交）。

然而，這些早期成果在專業(yè)方向之外意義不大，主要被視為孤立的奇異之物。一個(gè)學(xué)科領(lǐng)域要想“崛起”，就必須有人將碎片拼接在一起，理解其潛在的統(tǒng)一性，以足夠的概括程度提出所需的概念，然后走出去，向世界推廣這些思想。芒德布羅絕不是正統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)家，但他既有眼界也有毅力，能夠承擔(dān)這樣的重任。

早年經(jīng)歷

芒德布羅在兩次世界大戰(zhàn)的戰(zhàn)爭(zhēng)間隙出生于華沙，這是一個(gè)猶太裔的立陶宛家庭，知識(shí)氛圍濃厚。他的母親貝拉·呂里（Bella Lurie）是一名牙醫(yī)。他的父親卡爾·芒德布羅（Karl Mandelbrojt）沒有受過正規(guī)教育，以制衣售衣為業(yè)，但他的家族是學(xué)者世家，因此芒德布羅是在學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的熏陶下長(zhǎng)大的。父親有一個(gè)弟弟叫紹萊姆·芒德布羅（Szolem Mandelbrojt），后來(lái)成了杰出的數(shù)學(xué)家。母親貝拉曾經(jīng)因?yàn)閭魅静∈ミ^一個(gè)孩子，所以為了避免悲劇重演，她將芒德布羅留在家中，有幾年沒讓他出去上學(xué)。另一位叔叔洛特曼·芒德布羅（Loterman Mandelbrojt）負(fù)責(zé)教導(dǎo)他，但這個(gè)老師不是很靠譜。芒德布羅學(xué)會(huì)了下棋、聽古典神話和故事，但基本上也僅限于此了。他甚至不了解字母表和乘法口訣。不過，他的圖像思維能力確實(shí)得到了開發(fā)。他思考棋子的走法時(shí)，很大程度上要看棋局的形狀，也就是棋盤上棋子構(gòu)成的圖案。他非常喜歡地圖，這一點(diǎn)可能源自父親。他的父親是個(gè)地圖收藏發(fā)燒友，家里所有墻上都掛著地圖。他還會(huì)閱讀一切能接觸到的文字。

1936 年，他們一家成了逃離波蘭的經(jīng)濟(jì)政治難民。他的母親無(wú)法繼續(xù)行醫(yī)，父親的生意也倒閉了。一位在巴黎的姑媽成了他們投靠的對(duì)象。后來(lái)，芒德布羅提到，多虧有這位姑媽的幫助，他們保住了性命，也沒有被抑郁壓垮。

紹萊姆的數(shù)學(xué)事業(yè)倒是蒸蒸日上，在芒德布羅 5 歲時(shí)，他的這位叔叔成了克萊蒙 - 費(fèi)朗（Clermont-Ferrand）大學(xué)的教授，八年后，又當(dāng)上了巴黎法蘭西公學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。芒德布羅深受觸動(dòng)，也開始考慮從事數(shù)學(xué)研究，不過他的父親不贊成他去干這種不接地氣的職業(yè)。

芒德布羅 10 多歲時(shí)，他的教育是由紹萊姆叔叔負(fù)責(zé)的。他也曾進(jìn)入巴黎羅蘭（Rolin）中學(xué)學(xué)習(xí)。但納粹占領(lǐng)時(shí)期的法國(guó)對(duì)猶太人來(lái)說太過糟糕，他的童年十分窮困，而且時(shí)常處在暴力和死亡的威脅之下。1940 年，一家人再次逃亡，這次他們?nèi)チ朔▏?guó)南部的小鎮(zhèn)蒂勒（Tulle），芒德布羅的叔叔在那里有一處鄉(xiāng)間房產(chǎn)。隨后，法國(guó)南部也被納粹占領(lǐng)，芒德布羅在接下來(lái)的 18 個(gè)月里一直在躲避追捕。他言辭凄涼地描述了這段生活：

有幾個(gè)月我在佩里格（Périgueux）做鐵路上的工匠學(xué)徒。等仗打完了，這份手藝還是有用的，這樣看來(lái)這段經(jīng)歷比我在戰(zhàn)時(shí)當(dāng)馬夫的另一段經(jīng)歷更值。但無(wú)論外表還是言談，我都不像個(gè)學(xué)徒或是馬夫，有一次還險(xiǎn)些被處決或驅(qū)逐。最終，在一些好朋友的安排下，我得以進(jìn)入里昂的公園中學(xué)。當(dāng)世界上大部分地區(qū)處于動(dòng)蕩之中時(shí)，備考班卻幾乎一切如常，正忙著應(yīng)對(duì)可怕的法國(guó)精英大學(xué)（被稱為 Grandes écoles）的考試。在里昂，接下來(lái)的幾個(gè)月是我一生中最重要的時(shí)光之一。大部分時(shí)間，赤貧的生活和對(duì)城中德國(guó)老大——我們后來(lái)才知道他就是克勞斯·巴比（Klaus Barbie）——深深的恐懼將我束縛在書桌前。

巴比是個(gè)納粹頭子，供職于令人膽寒的黨衛(wèi)軍，他也是蓋世太保的成員。親自下手折磨法國(guó)戰(zhàn)俘的行為讓他得了個(gè)“里昂屠夫”的稱號(hào)。戰(zhàn)后，他逃往玻利維亞，但于 1983 年被引渡回法國(guó)，并因反人類罪入獄。

1944 年在里昂，芒德布羅在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)自己視覺直覺極佳。面對(duì)老師以符號(hào)形式（比如方程）提出的難題，他可以立即轉(zhuǎn)換至幾何視角，而這些問題的幾何版本通常更容易解決。他去了巴黎高等師范學(xué)院的數(shù)學(xué)系。然而，那里的數(shù)學(xué)風(fēng)氣非常像布爾巴基派——抽象、概括，側(cè)重于純數(shù)學(xué)。他的叔叔也有類似的數(shù)學(xué)思想，在布爾巴基派開始按照嚴(yán)格的抽象路線系統(tǒng)地修正數(shù)學(xué)之前，這位叔叔就是這個(gè)團(tuán)體的早期成員。這種沒有圖形或具體應(yīng)用的形式化數(shù)學(xué)思維風(fēng)格對(duì)芒德布羅并不具有吸引力。在巴黎高等師范學(xué)院待了幾天后，他認(rèn)定自己來(lái)錯(cuò)了地方，于是退學(xué)。后來(lái)，他進(jìn)入了更注重實(shí)踐的巴黎綜合理工學(xué)院（兩所學(xué)校的入學(xué)考試他都通過了）。在這里，他有更多的自由去學(xué)習(xí)不同的學(xué)科。

他的叔叔繼續(xù)把他推向更抽象的數(shù)學(xué)，并建議他在選擇博士論文題目的時(shí)候參考加斯東·茹利亞（Gaston Julia）1917 年發(fā)表的復(fù)變函數(shù)相關(guān)研究。但做侄子的并不喜歡這個(gè)建議。芒德布羅后來(lái)在接受沃爾夫獎(jiǎng)時(shí)寫了下面這段話：

我叔叔所鐘愛的泰勒級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)在幾個(gè)世紀(jì)前誕生于物理學(xué)情境，但在 20 世紀(jì)發(fā)展成一種自詡“精細(xì)”“艱深”的數(shù)學(xué)分析。在我叔叔的定理中，假設(shè)可能需要好幾頁(yè)紙才能寫完。讓他沉醉其中的差異是如此難以捉摸，以至于沒有任何條件是必要且充分的。對(duì)他來(lái)說，這些問題的悠久歷史是驕傲之源；而對(duì)年輕的我來(lái)說，這是厭煩之源。

芒德布羅仍在尋找論文題目。某天，他問紹萊姆有沒有能在地鐵上打發(fā)時(shí)間的讀物。他的叔叔想起了被自己扔進(jìn)廢紙簍的一篇文章，于是把東西撿了回來(lái)，直言這“很瘋狂，但你就喜歡瘋狂的東西”。那是一篇針對(duì)語(yǔ)言學(xué)家喬治·齊普夫（George Zipf）著作的評(píng)論，內(nèi)容關(guān)乎所有語(yǔ)言共有的一種統(tǒng)計(jì)特性。似乎沒有人明白這到底是怎么回事，但芒德布羅當(dāng)場(chǎng)決定為這種特性尋找解釋，這就是我們現(xiàn)在所說的齊普夫定律。我們很快就會(huì)看到芒德布羅的進(jìn)展。

1945—1947 年，芒德布羅在巴黎綜合理工學(xué)院師從保羅·萊維（Paul Lévy）和茹利亞，隨后進(jìn)入美國(guó)加利福尼亞理工學(xué)院學(xué)習(xí)，獲得航空學(xué)碩士學(xué)位。之后他回到法國(guó)，于 1952 年獲得博士學(xué)位。他還曾受雇于法國(guó)國(guó)家科學(xué)研究中心。接受馮·諾依曼的資助后，他在美國(guó)新澤西州普林斯頓高等研究院待了一年。1955 年，他與阿利耶特·卡甘（Aliette Kagan）結(jié)婚并搬到日內(nèi)瓦。去過美國(guó)幾次之后，夫婦倆于 1958 年在此定居，芒德布羅成了約克敦海茨的 IBM 研究人員。他在 IBM 工作了 35 年，先后擔(dān)任研究員和榮休研究員。他得到過很多嘉獎(jiǎng)，包括法國(guó)榮譽(yù)軍團(tuán)勛章（1989 年）、沃爾夫獎(jiǎng)（1993 年）和日本獎(jiǎng)（2003 年）。他的著作包括《分形對(duì)象：形、機(jī)遇和維數(shù)》（Fractals: Form, Chance, and Dimension，1977 年）和《大自然的分形幾何學(xué)》（The Fractal Geometry of Nature，1982 年）。他于 2010 年因癌癥去世。

始于齊普夫定律

關(guān)于 齊普夫定律 的研究為芒德布羅未來(lái)的職業(yè)生涯定下了基調(diào)。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，他的工作似乎只是對(duì)奇特的統(tǒng)計(jì)模式進(jìn)行一系列看上去毫無(wú)關(guān)聯(lián)的研究，就像蝴蝶一樣從一朵奇怪的花飛到另一朵奇怪的花上。直到他進(jìn)入 IBM，這一切才開始顯露關(guān)聯(lián)。齊普夫定律讓他了解了統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)簡(jiǎn)單而有用（卻被低估）的概念，也就是冪律關(guān)系。在一份編寫標(biāo)準(zhǔn)的美式英語(yǔ)讀物中，最常見的三個(gè)單詞是：

the，出現(xiàn)頻率為 7% ；

of，出現(xiàn)頻率為 3.5% ；

and，出現(xiàn)頻率為 2.8%。

齊普夫定律指出，按照出現(xiàn)頻率排序，第 n 個(gè)單詞的頻率是第一個(gè)單詞的頻率除以 n ，第二和第三也就是 7%÷2=3.5% 和 7%÷3≈2.3%。后一個(gè)數(shù)比實(shí)際觀察到的數(shù)要小，但這并不是一個(gè)百分百準(zhǔn)確的定律，它只是量化了一種大趨勢(shì)。在這里，排第 n 的單詞頻率與 1/n 成正比，我們可以把它寫成 n -1 。還有別的例子能夠展現(xiàn)類似的規(guī)律，但相 關(guān)冪的次數(shù)不是 ? 1 。例如，費(fèi)利克斯·奧爾巴赫（Felix Auerbach）在1913 年注意到，城市規(guī)模的分布也遵循這種規(guī)律，但冪為 n - 1.07 。一般 來(lái)說，如果排在第 n 項(xiàng)的對(duì)象的頻率與 n c 成正比，而且 c 是一個(gè)常數(shù)，我們可以稱之為 c-冪律。

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)很少關(guān)注冪律分布，而是把重點(diǎn)放在正態(tài)分布（鐘形曲線）上，這背后有很多原因，有一些是合理的。但現(xiàn)實(shí)世界似乎經(jīng)常出現(xiàn)冪律分布。城市的人口、電視節(jié)目的觀看人數(shù)，以及人們的收入水平，都有齊普夫定律的影子。直到今天，我們也沒有完全了解這是為什么，但芒德布羅的論文為這番探索開了個(gè)好頭，而李文天（音譯）則給出了統(tǒng)計(jì)學(xué)上的解釋：如果一種語(yǔ)言中，字母表中的每個(gè)字母（外加分隔單詞的空格）出現(xiàn)的頻率相同，那么單詞的分布會(huì)傾向于符合齊普夫定律。維托爾德·貝列維奇（Vitold Belevitch）證明，多種統(tǒng)計(jì)分布都是這樣。齊普夫自己的解釋是，隨著時(shí)間的推移，語(yǔ)言會(huì)不斷演變，讓人們（在說或聽上）以最小的努力獲得最佳理解，而 ? 1 次冪就是從這一原則中產(chǎn)生的。

后續(xù)，芒德布羅發(fā)表了關(guān)于財(cái)富分配、股票市場(chǎng)、熱力學(xué)、心理語(yǔ)言學(xué)、海岸線長(zhǎng)度、湍流、人口統(tǒng)計(jì)、宇宙結(jié)構(gòu)、島嶼面積、河網(wǎng)統(tǒng)計(jì)、滲流、聚合物、布朗運(yùn)動(dòng)、地球物理學(xué)、隨機(jī)噪聲，以及其他不同主題的論文，看上去雜亂無(wú)章。然而，1975 年，他靈光一閃，找到了一切的關(guān)聯(lián)：他的絕大部分工作都有一個(gè)共同的基本主題，就是幾何。

自然過程中的幾何極少遵循球體、錐體、圓柱體和其他擁有光滑表面的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型。山是參差不齊的，蓬松的云朵有不平整的絲絲縷縷，樹木從樹干到枝丫再到細(xì)枝不斷分杈，蕨類植物的葉子看起來(lái)像是由許多成對(duì)的小葉子組成的。在顯微鏡下，煙塵是諸多聚集在一起的小顆粒，彼此之間有縫隙，也不像球體那樣光滑圓潤(rùn)。大自然厭惡直線，不在意歐幾里得和數(shù)學(xué)課本中的其他內(nèi)容。芒德布羅為這種結(jié)構(gòu)取了個(gè)名字：分形。他積極而熱情地推動(dòng)分形在科學(xué)中的應(yīng)用，為自然界的許多不規(guī)則結(jié)構(gòu)建模。

“模型”是這里的一個(gè)關(guān)鍵。地球看上去大致是個(gè)球體，再準(zhǔn)確一點(diǎn)，我們也可以把它當(dāng)作橢球體。這些形狀能夠幫助物理學(xué)家和天文學(xué)家理解潮汐和地軸傾斜等問題，但數(shù)學(xué)對(duì)象只是模型，不會(huì)完全符合現(xiàn)實(shí)。模型以理想化的形式捕捉自然界的某些特征，足夠簡(jiǎn)潔，便于人們分析思考。但是，地球表面是粗糙的、不規(guī)則的。一個(gè)地方不能等同于它的地圖，事情理應(yīng)如此。澳大利亞的地圖可以折疊起來(lái)放進(jìn)口袋里，需要的時(shí)候隨時(shí)拿出使用，同一套動(dòng)作顯然不能用在真正的澳大利亞上。地圖應(yīng)該比對(duì)應(yīng)的地區(qū)簡(jiǎn)單，但能提供有用的信息。數(shù)學(xué)中的球體無(wú)論怎么放大都是完美光滑的，但現(xiàn)實(shí)是物體在原子層面會(huì)顯現(xiàn)出微粒的模樣。不過，這對(duì)行星的引力場(chǎng)研究并不重要，所以在特定情況下可以也應(yīng)該忽略。同理，水適合被當(dāng)作無(wú)限可分的連續(xù)體來(lái)建模，盡管在分子層面上，真正的水也是離散的。

分形同樣如此。數(shù)學(xué)中的分形不是某種隨機(jī)的形狀，而是在所有放大比例上都有具體結(jié)構(gòu)。通常而言，分形在所有尺度上都有相同的結(jié)構(gòu)，這樣的形狀被稱為自相似的。在蕨類植物的分形模型中，每片葉子都由小葉子組成，而小葉子又由更小的葉子組成，這個(gè)過程永不停止。同樣的過程在真實(shí)的蕨類植物上只有四五個(gè)階段。盡管如此，分形作為模型還是比三角形之類的更好，就像橢球體比球體更適合作為地球的模型一樣。

芒德布羅很清楚波蘭數(shù)學(xué)家在分形萌芽期的重要角色。這原本是針對(duì)分析、幾何和拓?fù)涮岢龅母叨瘸橄蟮姆椒ǎ瑏?lái)自數(shù)學(xué)家的一個(gè)小圈子，其中許多人定期在波蘭利沃夫（今屬烏克蘭）的蘇格蘭咖啡館見面。他們中有創(chuàng)立了泛函分析的斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach），以及深度參與制造原子彈的曼哈頓計(jì)劃并提出氫彈主要構(gòu)想的斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆（Stanis ? aw Ulam）。波蘭華沙大學(xué)的謝爾平斯基也是同道中人，他提出了一種圖形，“同時(shí)符合康托爾集和若爾當(dāng)曲線的特征，其中的每一點(diǎn)都是分叉點(diǎn)”，也就是說，一種連續(xù)的曲線，在每一點(diǎn)上都與自己相交。

后來(lái)，芒德布羅將這種圖形戲稱為“謝爾平斯基墊片”，因?yàn)樗芟襁B接汽車氣缸蓋和發(fā)動(dòng)機(jī)的多孔密封片。回想起來(lái)，謝爾平斯基墊片是 20 世紀(jì)初出現(xiàn)的少數(shù)分形例子中的一個(gè)，它們被統(tǒng)稱為病態(tài)曲線，盡管這些圖形對(duì)自然界甚至對(duì)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)來(lái)說都談不上怪異——“病態(tài)”只是以前那些數(shù)學(xué)家的看法。貝殼上也有類似墊片的圖案。不管怎么說，謝爾平斯基墊片可以通過對(duì)一個(gè)等邊三角形做迭代來(lái)構(gòu)造。先把它分成四個(gè)全等的等邊三角形，每個(gè)小三角形的邊長(zhǎng)是大三角形的一半。刪掉倒置的中心三角形，對(duì)其余的三個(gè) 小三角形進(jìn)行剛才的處理，這樣無(wú)限重復(fù)下去。所有倒置的三角形 （不包括它們的邊）都被刪除后，剩下的就是謝爾平斯基墊片。

構(gòu)建謝爾平斯基墊片的最初幾個(gè)階段丨圖源：wiki

現(xiàn)在，我們認(rèn)為這是早期的分形，芒德布羅從中獲得了靈感。后來(lái)，他發(fā)現(xiàn)了其中的有趣之處：

我的叔叔在 20 歲左右的時(shí)候去了法國(guó)，他是一個(gè)受意識(shí)形態(tài)驅(qū)使的難民，這種意識(shí)形態(tài)既無(wú)關(guān)政治，也無(wú)關(guān)經(jīng)濟(jì)，純粹是學(xué)識(shí)上的。他同“波蘭數(shù)學(xué)”水火不容，當(dāng)時(shí)那個(gè)圈子正被瓦茨瓦夫·謝爾平斯基（1882—1969）建立成一個(gè)激進(jìn)的抽象領(lǐng)域。極具諷刺意味的是，很久以后，我開始尋找建構(gòu)分形幾何的工具，猜猜看，是誰(shuí)的研究讓我收獲頗豐？正是謝爾平斯基！我的叔叔逃離（謝爾平斯基的）意識(shí)形態(tài)，加入了 20 世紀(jì) 20 年代統(tǒng)治巴黎的龐加萊繼承者行列。我的父母與他情況不同，他們就是經(jīng)濟(jì)政治難民。他們后來(lái)在法國(guó)和我叔叔相聚，我們一家逃過了劫難。我從未見過謝爾平斯基，但他（在不知情中）對(duì)我們一家產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

在跟進(jìn)這些概念時(shí)，一些純數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，分形的粗糙程度可以表示為一個(gè)數(shù)，他們稱之為“維數(shù)”，因?yàn)樗c研究線段、包含內(nèi)部的正方形或?qū)嵭牧⒎襟w等標(biāo)準(zhǔn)圖形時(shí)提到的維數(shù)一致。這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖形的維數(shù)分別是 1、2、3。然而，分形的維數(shù)不一定是整數(shù)，因此“有多少個(gè)獨(dú)立方向”的解釋不再適用，關(guān)鍵在于圖形放大后的表現(xiàn)。

如果將一條線段放大一倍，它的長(zhǎng)度就會(huì)乘以 2；將一個(gè)正方形放大一倍，它的面積就會(huì)乘以 4；將一個(gè)立方體放大一倍，它的體積就會(huì)乘以 8。這些數(shù)分別是 2 1 、2 2 、2 3 ，也就是 2 的維數(shù)次冪。如果將一個(gè)墊片放大一倍，它可以變出三份和原先一樣的圖形。所以在這里，2 的維數(shù)次冪應(yīng)該等于 3，維數(shù)就是 ln 3 / ln 2 ，約為1.585。有一個(gè)定義更為一般化，不局限于自相似分形，叫作豪斯多夫-貝西科維奇維數(shù)，還有一個(gè)更實(shí)用的版本叫盒維數(shù)，在應(yīng)用之中表現(xiàn)不錯(cuò)，也是實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)分形模型的一種方法。例如，有研究表明，分形可以很好地為云建模，攝影圖像（投影到平面上，更容易操作和測(cè)量）的維數(shù)大致為 1.35。

芒德布羅集

最后要講的這件事有幾分諷刺意味，從中可以看出在數(shù)學(xué)領(lǐng)域匆忙做出價(jià)值判斷是多么危險(xiǎn)。1980 年，為了尋找分形幾何的新應(yīng)用，芒德布羅回過頭來(lái)閱讀茹利亞 1917 年的論文——正是他叔叔推薦的那篇，但年輕時(shí)他覺得相關(guān)研究太過抽象，所以很排斥。茹利亞和另一位數(shù)學(xué)家皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）分析了復(fù)變函數(shù)在迭代下的奇怪行為。這里的迭代指的是從某個(gè)數(shù)開始，應(yīng)用這個(gè)函數(shù)得到第二個(gè)數(shù)，然后再次應(yīng)用這個(gè)函數(shù)得到第三個(gè)數(shù)，以此類推，不斷進(jìn)行下去。他們重點(diǎn)研究了最簡(jiǎn)單的重要示例：f (z) = z 2 +c 形式的二次函數(shù)，其中 c 是一個(gè)復(fù)常數(shù)，對(duì)這種映射的行為有重要影響，具體細(xì)節(jié)比較復(fù)雜。茹利亞和法圖已經(jīng)針對(duì)這個(gè)特定的迭代過程證明了幾個(gè)深?yuàn)W難懂的定理，但這些都是以符號(hào)為核心的研究。芒德布羅想知道相關(guān)圖像是什么樣子。

茹利亞和法圖沒有就此深挖幾何，原因可能是手工進(jìn)行相關(guān)計(jì)算耗時(shí)太長(zhǎng)。但幾十年過去，計(jì)算機(jī)的能力越發(fā)強(qiáng)大，而芒德布羅正好在 IBM 工作。于是，他利用計(jì)算機(jī)程序處理計(jì)算并繪圖。雖然畫得很亂（打印機(jī)的墨水快用光了），也很粗糙，結(jié)果依然令人驚喜。茹利亞和法圖的復(fù)雜動(dòng)態(tài)是由單一幾何對(duì)象組織起來(lái)的——它，或者更準(zhǔn)確地說，它的邊界，是一個(gè)分形。這是一個(gè)二維的邊界，因此它“幾乎將空間填充”。阿德里安·杜阿迪（Adrien Douady）稱之為芒德布羅集，這也是我們現(xiàn)在常用的名稱。與其他重要研究情況相似，關(guān)于芒德布羅集也有一些早期發(fā)現(xiàn)和與之密切相關(guān)的前期工作，尤其值得一提的是，羅伯特·布魯克斯（Robert Brooks）和彼得·馬特爾斯基（Peter Matelski）在 1978 年繪制了相同的集。芒德布羅集是復(fù)雜美麗的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)圖像之源，也是數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)，它至少催生過兩塊菲爾茲獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

芒德布羅集丨圖源：wiki

因此，在芒德布羅最初排斥的那篇抽象的純數(shù)學(xué)論文中，包含了后來(lái)成為分形理論核心的思想，而他之所以發(fā)展分形理論，正是因?yàn)樗鼪]那么抽象，而且與自然界有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。數(shù)學(xué)是一個(gè)高度關(guān)聯(lián)的整體，抽象與具體通過微妙的邏輯鏈條聯(lián)系在一起。不能說哪一種思想比另一種高明，重大突破往往是在兩者并用中出現(xiàn)的。

本文經(jīng)授權(quán)摘自《數(shù)學(xué)巨人傳 : 思考、創(chuàng)造的奇趣故事》（人民郵電出版社·圖靈新知，2025年12月版）第24章《芒德布羅：分形之父》，小標(biāo)題和圖片為編者所加。

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