導語

在復雜網(wǎng)絡研究中，單個節(jié)點或邊的局部性質(zhì)往往不足以解釋系統(tǒng)的整體行為，真正起作用的，是網(wǎng)絡結構中隱藏的整體模式與耦合關系。為此，我們需要一種能夠在“整體層面”刻畫結構、并自然連接動力學過程的數(shù)學工具。線性代數(shù)，尤其是圍繞矩陣、特征值與特征向量建立起來的分析框架，為理解復雜網(wǎng)絡提供了一種高度凝練、卻又極具解釋力的結構語言。本講圍繞復雜網(wǎng)絡、高階網(wǎng)絡，符號網(wǎng)絡等相關的多種矩陣特征值和特征向量，探討網(wǎng)絡節(jié)點和連邊的中心性，包括各種基于結構和動力學的中心性。

在本系列《》課程中，諸葛昌靖老師從基礎概念出發(fā)，系統(tǒng)梳理線性空間、矩陣運算、特征值與分解等核心理論，逐步建立起線性代數(shù)作為“通用建模語言”的整體圖景。而周進教授的加餐課程，則以復雜網(wǎng)絡為具體應用場景，橫向展開這些工具在真實系統(tǒng)分析中的使用方式，聚焦它們?nèi)绾沃苯臃沼诰W(wǎng)絡結構解析、動力學理解與關鍵節(jié)點（邊）的識別。通過這一加餐，我們希望幫助學習者將主課程中形成的理論認知，進一步連接到復雜系統(tǒng)研究的實際問題之中，體會線性代數(shù)在網(wǎng)絡科學中的具體“落點”。

集智學園聯(lián)合清華大學數(shù)學博士諸葛昌靖老師推出「」，并邀請武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院周進教授于1月20日、1月27日就特征值與特征向量在復雜網(wǎng)絡中的應用做特別加餐分享。課程已于12月20日開啟，歡迎加入課程群交流。在本系列課程中，諸葛昌靖老師從基礎概念出發(fā)，系統(tǒng)梳理線性空間、矩陣運算等核心理論，逐步建立起線性代數(shù)作為“通用建模語言”的整體圖景。而周進教授的加餐課程，則以復雜網(wǎng)絡為具體應用場景，橫向展開這些工具在真實系統(tǒng)分析中的使用方式，聚焦它們?nèi)绾沃苯臃沼诰W(wǎng)絡結構解析、動力學理解與關鍵節(jié)點（邊）的識別。

課程主講人

周進，武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院教授，博士生導師。二十年來，開展數(shù)學、復雜性科學、智能科學交叉研究，聚焦于復雜系統(tǒng)的集群控制和動力學分析。曾獲國家自然科學二等獎，教育部自然科學一等獎，湖北省自然科學一等獎，獲全國優(yōu)秀博士論文提名及湖北省優(yōu)秀博士論文。共發(fā)表學術論文71篇，其中第一作者/獨立通訊作者論文65篇，全部為SCI或EI收錄，包括物理學頂刊Physical Review Letters, 控制學三大頂刊IEEE Transactions on Automatic Control (長文和短文)、Automatica及SIAM Journal on Control and Optimization。所發(fā)表論文被國內(nèi)國際引用總計近四千次。主持國家自然科學基金項目5項；參與專項研究項目1項，面上項目多項。指導的博士生獲得國家自然科學基金青年學生基礎研究項目 (博士研究生) 1項。作為骨干成員參與科技部國家重點研發(fā)計劃1項。受邀在2024年第二十屆全國復雜網(wǎng)絡大會、2021年第十七屆中國網(wǎng)絡科學論壇及2016年第十二屆全國復雜網(wǎng)絡大會上做大會特邀報告；2021年在“集智俱樂部”組織的第二期和第三期復雜網(wǎng)絡課程中，分別作了題為“復雜網(wǎng)絡的同步”和“多層網(wǎng)絡及其動力學”的專題講座。

引入：從“網(wǎng)絡圖”到“結構語言”

在復雜網(wǎng)絡中，圖并不是終點，而是起點。通過鄰接矩陣、Laplacian 矩陣及其各種推廣形式，網(wǎng)絡結構被嵌入到一個代數(shù)空間中，節(jié)點與邊的關系被轉(zhuǎn)化為可計算、可比較、可推演的對象。不同類型的 Laplacian 矩陣，并非技術細節(jié)的堆砌，而是對網(wǎng)絡約束方式、邊權結構以及高階關聯(lián)的不同抽象方式。從經(jīng)典 Laplacian 到 Grounded Laplacian、廣義 Laplacian、超 Laplacian 與 Hodge Laplacian，矩陣逐步承載起網(wǎng)絡從“連接關系”到“結構功能”的全部信息。

當動力學過程被放置在網(wǎng)絡之上時，線性代數(shù)的意義進一步顯現(xiàn)。同步是否能夠發(fā)生？擾動會迅速衰減還是持續(xù)放大？擴散過程是否存在臨界閾值？這些問題表面上屬于動力系統(tǒng)，實則深深植根于矩陣的譜結構之中。Laplacian 的最小與次小特征值刻畫了網(wǎng)絡整體的連通性與協(xié)同能力，鄰接矩陣的最大特征值決定了動力學過程的穩(wěn)定邊界，而譜分布的形態(tài)，則為系統(tǒng)演化提供了整體視角。特征值不再只是“計算結果”，而是系統(tǒng)行為的壓縮表達。

與特征值相對應的特征向量，則為我們提供了一種理解系統(tǒng)“角色分工”的方式。在復雜網(wǎng)絡中，并非所有節(jié)點與連接都同等重要。某些節(jié)點在全局傳播中扮演關鍵角色，某些邊則可能成為限制系統(tǒng)協(xié)同行為的瓶頸。通過特征向量，我們可以在整體結構中識別這些關鍵成分，而這種“重要性”并非主觀賦予，而是由系統(tǒng)結構本身自然決定的。

復雜網(wǎng)絡中的線性代數(shù)

在復雜網(wǎng)絡的研究版圖中，線性代數(shù)不僅是工具，更承擔著三個核心的認知角色：

1. 結構表達的載體：網(wǎng)絡的連通性是緊密還是松散？層級是扁平還是垂直？冗余度是高還是低？這些定性的描述，被精確地封裝矩陣的稀疏與稠密、特征值譜的連續(xù)與跳躍中。

2. 結構與動力學之間的橋梁：網(wǎng)絡上的同步、擴散、傳播與控制等過程，其可行性與穩(wěn)定性往往由少數(shù)關鍵特征值所決定。靜態(tài)結構在這里直接塑造了動態(tài)行為的邊界。

3. 系統(tǒng)重要性的量化標尺：在大規(guī)模系統(tǒng)中，“誰更重要”不再依賴經(jīng)驗判斷，而體現(xiàn)在特征向量對結構與動力學貢獻的自然分配之中。

通過這次加餐，學習者將逐步理解：為什么特征值與特征向量幾乎不可避免地出現(xiàn)在復雜網(wǎng)絡分析中；為什么它們常常成為系統(tǒng)行為的“隱含參數(shù)”；以及為什么這些概念能夠在不同類型的網(wǎng)絡與動力學問題中反復出現(xiàn)。

特征值、特征向量在復雜系統(tǒng)中的關鍵思想

在復雜系統(tǒng)語境下，特征值與特征向量具有清晰而直觀的系統(tǒng)含義：

• 特征值：描述系統(tǒng)的整體性質(zhì)

• • 網(wǎng)絡的連通性與協(xié)同性

  • 動力學穩(wěn)定性與脆弱性

  • 擴散、同步等過程的臨界條件

• 特征向量：刻畫結構中的“角色分工”

• • 哪些節(jié)點在全局中更有影響力

  • 哪些連接主導信息與擾動的傳播

  • 哪些局部結構決定了系統(tǒng)的演化方向

課程目標

本次線性代數(shù)加餐，旨在打破學科壁壘。我們將以復雜網(wǎng)絡為經(jīng)，以線性代數(shù)為緯，編織一張知識的網(wǎng)。 這不再是枯燥的行列式計算，而是將抽象的數(shù)學工具重新放回鮮活的“問題現(xiàn)場”，讓你看到那些冰冷的公式如何在真實世界中熠熠生輝。

• 主課程（縱向）以線性代數(shù)自身的邏輯為主線，系統(tǒng)梳理概念、方法與理論結構，建立完整的知識框架。

• 本次加餐（橫向）以復雜網(wǎng)絡為主線，橫向貫通線性代數(shù)中的矩陣、特征值與特征向量，幫助學習者理解這些概念在復雜系統(tǒng)分析中的真實作用與思想內(nèi)涵。

通過加餐，學習者將能夠：

• 將線性代數(shù)概念自然映射到復雜系統(tǒng)問題中

• 理解特征值與特征向量在網(wǎng)絡分析中的系統(tǒng)含義

• 為進一步學習網(wǎng)絡科學、系統(tǒng)動力學、控制與 AI 奠定結構性認知基礎

當線性代數(shù)被放回復雜系統(tǒng)的語境中，你會發(fā)現(xiàn)： 它絕不僅是一門關于Ax=λx 的“計算工具課”， 而是一種理解結構、預測行為、識別關鍵的高維系統(tǒng)語言。這門加餐，不是終點，而是一個跳板。 它希望帶你完成一次關鍵的認知躍遷——從“學會線性代數(shù)”，走向“用線性代數(shù)思考系統(tǒng)”。

課程大綱

1、復雜網(wǎng)絡與矩陣特征

• 復雜網(wǎng)絡與矩陣特征

• • 鄰接矩陣

  • Laplacian 矩陣

  • Grounded Laplacian

  • 廣義 Laplacian

  • 超 Laplacian

  • Hodge Laplacian

• 各類矩陣的結構意義與基本性質(zhì)

• 復雜網(wǎng)絡動力學與矩陣特征

• • Laplacian 最小、次小、最大特征值、特征值譜

  • 鄰接矩陣最大特征值、特征值重數(shù)

  • Grounded Laplacian 最小特征值

  • 歸一化Laplacian次小特征值

• 特征值及其對應特征向量的系統(tǒng)含義

• 特征值譜與動力學行為的整體解釋

• 邊在結構與動力學中的角色

• 動力學相關邊中心性：

• • Fiedler 序中心性

  • 結構相關邊中心性

  • 邊介數(shù)中心性

  • 生成樹邊中心性

  • k-路徑邊中心性

  • 邊度中心性

• 點在結構與動力學中的角色

• 動力學相關點中心性：

• • 同步終態(tài)中心性

  • ControlRank

  • 點Fiedler序中心性

• 結構相關點中心性：

• • 點度中心性、點介數(shù)中心性、離心中心性、接近度中心性

  • k-殼中心性、Katz 中心性、特征向量中心性

  • PageRank、LeaderRank、H-指數(shù)中心性

課程信息

• 課程主題：透視復雜網(wǎng)絡的核心——特征值與特征向量初探（上）

• 課程時間：1月20日晚 19:30–21:30

• 課程形式：

• • 騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）

  • 集智俱樂部視頻號、B站直播

  • 集智學園網(wǎng)站錄播（3 個工作日內(nèi)上線）

課程適用對象

• 已學習或正在學習線性代數(shù)，希望理解其“真實用途”的同學

• 對復雜網(wǎng)絡、系統(tǒng)科學、數(shù)據(jù)分析、機器學習感興趣的學習者

• 希望從“結構和動力學多個層面”理解網(wǎng)絡與算法的研究者

報名須知

• 課程形式：騰訊會議，系列課程前兩節(jié)及課程加餐集智俱樂部視頻號、B站線上同步直播；集智學園網(wǎng)站錄播；

• 課程周期：2025年12月20日—2026年2月，每周六 19:30–21:30，加餐時間1月20日、1月27日19：30-21：30

• 課程定價：

• • 系列課程前兩節(jié)課程免費

  • 全部課程599 元

可開發(fā)票

https://campus.swarma.org/course/5657

付費流程

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網(wǎng)絡科學，還是物理與工程，幾乎所有復雜系統(tǒng)的建模與推理，最終都會指向同一種底層語言——線性代數(shù)。

它不僅是一組計算公式，更是一名科研人理解“結構”、刻畫“變換”、判斷“穩(wěn)定性”、提取“有效信息”的基本思維框架。本課程以系統(tǒng)科學的視角重新解構線性代數(shù)，帶你越過技巧，直達本質(zhì)，在跨學科的真實問題中建立起堅實而可遷移的數(shù)學基礎。

詳情請見：