|作者：孫昌璞

(中國(guó)工程物理研究院研究生院）

本文選自《物理》2026年第1期

摘要20世紀(jì)理論物理學(xué)的發(fā)展主題為量子化，它是物理學(xué)“縱向?qū)哟慰缭健迸c“橫向范式演進(jìn)”交匯的樞紐：在縱向維度上，量子化是跨越物質(zhì)層次組元、解構(gòu)物理規(guī)律的基本工具；多體系統(tǒng)量子化打破還原論單一模式，關(guān)注量子效應(yīng)累計(jì)的宏觀行為；在橫向維度上，它推動(dòng)了物理學(xué)從(經(jīng)典)決定論到(量子)概率論的范式革命，確立了自然界隨機(jī)性的微觀量子本源。從科學(xué)發(fā)展邏輯的角度講，量子力學(xué)誕生百年間歷經(jīng)三次量子化階段：第一次(1925—1920年代末)將單粒子自由度量子化為不可對(duì)易算符，建立量子力學(xué)理論的基礎(chǔ)框架；第二次(1930—1970年代末)將量子化拓展至多體系統(tǒng)與場(chǎng)，結(jié)合相對(duì)論建立量子場(chǎng)論。它解釋了超導(dǎo)、超流等宏觀量子現(xiàn)象，并引入序參量與自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺的概念；第三次(1980年代后)對(duì)宏觀序參量再次量子化，展示了宏觀尺度上的量子相干效應(yīng)，催生了超導(dǎo)量子計(jì)算等新領(lǐng)域。可以說(shuō)，量子化不僅拓展了人類(lèi)對(duì)世界的認(rèn)知，而且重塑了現(xiàn)代技術(shù)文明根基，目前正在支撐眾多高新技術(shù)體系加速演進(jìn)。

關(guān)鍵詞量子化，微觀量子結(jié)構(gòu)，宏觀量子現(xiàn)象，宏觀量子效應(yīng)(隧穿)，三次(序參量)量子化，自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺

01

引言：20世紀(jì)理論物理發(fā)展的核心主題——量子化

楊振寧先生在2002年巴黎國(guó)際理論物理大會(huì)上提出，20世紀(jì)理論物理的三大主旋律為量子化、對(duì)稱(chēng)性和相位因子[1，2]，并將量子化列為首要主題。此舉的核心邏輯在于：量子化之所以成為20世紀(jì)理論物理的首要主旋律，是因其在物理學(xué)“縱向?qū)哟慰缭健迸c“橫向范式演進(jìn)”交織的壯麗科學(xué)圖景中扮演著不可替代的樞紐角色(圖1)。物理學(xué)發(fā)展的縱向維度是指還原論(reductionism)與演生論(emergentism)的思想互動(dòng)，而其發(fā)展橫向維度是從決定論(determinism)到概率論(probabilistic)的演進(jìn)[3]。

圖1　量子化是物理學(xué)縱橫維度發(fā)展的關(guān)鍵樞紐

在縱向維度上，一方面物理學(xué)從還原論出發(fā)，將物質(zhì)世界逐層解構(gòu)為分子、原子、原子核、電子直至夸克等基本組元，并通過(guò)研究底層粒子的相互作用解釋更高層次的現(xiàn)象和規(guī)律。而量子化正是縱向?qū)哟谓鈽?gòu)的工具，如量子場(chǎng)論可描述基本粒子的相互作用[4—6]。另一方面，蘊(yùn)含著P. W. Anderson“多者異也”的思想[7]，物理學(xué)也揭示了層次間物理規(guī)律的不可還原性——了解個(gè)別電子的行為，無(wú)法解釋高溫超導(dǎo)的零電阻現(xiàn)象；雪花的千姿百態(tài)無(wú)法僅由其底層組元水分子的性質(zhì)直接推導(dǎo)出來(lái)。當(dāng)量子化應(yīng)用于多體系統(tǒng)，就能夠揭示對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺機(jī)制如何產(chǎn)生宏觀序參量的涌現(xiàn)行為。

在橫向維度上，物理學(xué)則經(jīng)歷了從經(jīng)典決定論到量子概率論的范式革命：牛頓力學(xué)的嚴(yán)格確定性，被量子化導(dǎo)致的不確定性原理與波函數(shù)幾率詮釋顛覆：玻恩幾率詮釋揭示了內(nèi)稟的微觀隨機(jī)性。量子化使得熱力學(xué)系統(tǒng)中大量微觀粒子的隨機(jī)性找到了不可消除的量子根源。量子化將底層量子漲落與宏觀集體行為統(tǒng)一起來(lái)，更打破了還原論“自下而上”的單向思維?？梢哉f(shuō)，20世紀(jì)物理學(xué)的發(fā)展，本質(zhì)上是量子化規(guī)則在物理學(xué)不同層次與兩個(gè)發(fā)展維度上逐步展開(kāi)。

自1925年誕生以來(lái)，量子力學(xué)在物理學(xué)發(fā)展的兩個(gè)維度上已縱橫馳騁百年。然而，這段歷史并未走向終結(jié)，而向更廣泛的應(yīng)用與新的理論正加速邁進(jìn)。量子力學(xué)不僅拓展了人類(lèi)對(duì)世界認(rèn)知的時(shí)空邊界，更直接重塑了現(xiàn)代技術(shù)文明的科學(xué)根基；它并非是僅關(guān)于“微觀世界”的抽象理論，而是支撐幾乎所有現(xiàn)代高技術(shù)體系的物理原理，包括核能利用、半導(dǎo)體器件、激光技術(shù)、核磁共振成像(MRI)、原子鐘、光纖通信、掃描隧道顯微鏡、精密計(jì)時(shí)系統(tǒng)，以及當(dāng)前快速發(fā)展的量子計(jì)算、量子通信與量子傳感。

然而，與經(jīng)典力學(xué)、熱力學(xué)和電磁學(xué)不同，量子力學(xué)并非在某個(gè)單一歷史時(shí)刻以完整和完美的終結(jié)形態(tài)出現(xiàn)?；仡櫰浣⒑蟮陌倌臧l(fā)展邏輯，可清晰分為三個(gè)階段，每個(gè)階段均顯著拓展了量子力學(xué)的研究對(duì)象、完善了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、深化了科學(xué)內(nèi)涵。為突顯這三個(gè)階段的科學(xué)內(nèi)涵特征，可將其概括為“三次量子化”(表1)，它們不僅以各自的科學(xué)突破為標(biāo)志，而且催生了量子技術(shù)從1.0到3.0的飛躍。

表1 量子力學(xué)的百年發(fā)展：從微觀量子結(jié)構(gòu)到宏觀量子相干效應(yīng)

第一次量子化階段(約1925—1920年代末)，核心是將經(jīng)典力學(xué)中單粒子的自由度(如位置、動(dòng)量、角動(dòng)量、能量等)轉(zhuǎn)化為不可對(duì)易算符，建立起波函數(shù)、算子代數(shù)、不確定性原理、能級(jí)量子化及幾率詮釋等核心框架，回答了一系列基礎(chǔ)物理問(wèn)題：原子為何穩(wěn)定？能譜有時(shí)為何離散？電子為何無(wú)法用經(jīng)典軌道描述？測(cè)量結(jié)果為何呈現(xiàn)內(nèi)稟幾率特征？

隨著研究范圍從“單粒子或少體系統(tǒng)”向多體系統(tǒng)與光場(chǎng)延伸，量子力學(xué)進(jìn)入第二次量子化階段(約1930年代—1970年代末)。它與狹義相對(duì)論有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，通過(guò)產(chǎn)生/湮滅算符的描述框架，展示場(chǎng)的量子化及其與多粒子的二次量子化形式等價(jià)性，從而建立了量子場(chǎng)論，形成了面向凝聚態(tài)應(yīng)用的多體理論體系：多體系統(tǒng)的平均場(chǎng)近似成功描述了固體能帶結(jié)構(gòu)和化學(xué)鍵等；場(chǎng)的量子化導(dǎo)致了激光物理和量子光學(xué)的誕生。

第二次量子化的重要研究結(jié)果是揭示了超導(dǎo)、超流和玻色—愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)等宏觀量子現(xiàn)象，使得對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺與序參量的概念得以確立：宏觀的序由大量的量子自由度自發(fā)形成。在基本物理(如楊—米爾斯規(guī)范場(chǎng)論、希格斯機(jī)制、基本粒子標(biāo)準(zhǔn)模型)的應(yīng)用中，對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺解決了楊—米爾斯場(chǎng)零質(zhì)量的困境，凸顯了“演生”(emergence)在物理學(xué)中的基礎(chǔ)性地位。

基于對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺的思想，量子力學(xué)的發(fā)展于1980年代前后邁入第三次量子化階段。這一階段不再滿足于對(duì)宏觀量子穩(wěn)態(tài)的“觀察與解釋”，而是將宏觀序參量(如超導(dǎo)相位差、超導(dǎo)回路中的磁通量、BEC雙阱體系中的相位差與原子數(shù)差)視為新的量子自由度，對(duì)其進(jìn)行再次量子化，使其重現(xiàn)量子相干疊加、能級(jí)量子化、相干量子隧穿等基本量子效應(yīng)。從量子場(chǎng)論的角度講，這相當(dāng)于對(duì)戈德斯通模的量子化。人們成功保持并操控了這種可區(qū)分的宏觀量子疊加態(tài)，并將其作為信息處理的核心單元——即量子比特(qubit)的物理載體，由此催生了超導(dǎo)量子計(jì)算、量子測(cè)量等量子力學(xué)應(yīng)用的新領(lǐng)域。值得強(qiáng)調(diào)的是，2025年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予了在超導(dǎo)電路中操控宏觀量子隧穿和觀測(cè)宏觀離散能級(jí)的實(shí)驗(yàn)工作。因此，三次量子化已不再是概念性拓展，而是可在實(shí)驗(yàn)室驗(yàn)證、并能轉(zhuǎn)化為未來(lái)量子科技基礎(chǔ)的成熟科學(xué)成果。

在量子力學(xué)誕生100周年之際，《物理》雜志組織了系列紀(jì)念文章，其中曹則賢對(duì)量子力學(xué)原始文獻(xiàn)的翻譯與解讀尤為亮眼[8]，讓我們得以從更貼近歷史語(yǔ)境的角度，觸摸到這門(mén)學(xué)科早期發(fā)展(第一次量子化)的真實(shí)脈絡(luò)。他的評(píng)述視角獨(dú)特，偶有出人意料之處(如關(guān)于海森伯和玻恩科學(xué)貢獻(xiàn)的評(píng)價(jià))，也是以生動(dòng)鮮活的方式，為這段科學(xué)史提供了別樣的理解維度。

本文不只是依據(jù)這些歷史文獻(xiàn)對(duì)量子力學(xué)發(fā)展歷程的簡(jiǎn)要梳理，也不是對(duì)理論原理的概述，而是試圖循著量子力學(xué)發(fā)展的歷程，以邏輯重現(xiàn)歷史的方法展開(kāi)敘事，對(duì)于量子力學(xué)歷史發(fā)展的重要問(wèn)題(正則量子化和薛定諤方程的由來(lái)、矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)的等價(jià)性等)[9]，力爭(zhēng)給出忠實(shí)原著的現(xiàn)代解讀。文章也著力于一次量子化和三次量子化的討論，對(duì)于以量子場(chǎng)論為核心的二次量子化的討論只強(qiáng)調(diào)幾個(gè)相關(guān)的關(guān)鍵問(wèn)題。對(duì)理論物理思想發(fā)展的闡述，要講清楚問(wèn)題，不可能沒(méi)有數(shù)學(xué)公式，因此，我們把當(dāng)前教科書(shū)忽視的、但對(duì)于理解量子力學(xué)不可或缺的內(nèi)容放在Box里面進(jìn)行邏輯自洽的簡(jiǎn)述(部分是文獻(xiàn)[9]中論述的概括)，讓量子力學(xué)科學(xué)演進(jìn)的歷程更清晰準(zhǔn)確地呈現(xiàn)在讀者面前。

02

第一次量子化：微觀結(jié)構(gòu)的量子描述

19世紀(jì)末，經(jīng)典物理學(xué)已構(gòu)建起看似完備的理論體系：牛頓力學(xué)精準(zhǔn)刻畫(huà)宏觀運(yùn)動(dòng)與天體演化，麥克斯韋電磁理論統(tǒng)一電、磁、光現(xiàn)象，熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理則成功解釋溫度、壓強(qiáng)及熱輻射等宏觀熱效應(yīng)。當(dāng)時(shí)主流觀點(diǎn)甚至認(rèn)為“物理學(xué)基本框架已完成”，剩余工作僅是“填補(bǔ)細(xì)節(jié)”。然而，物理學(xué)天空還存在兩朵烏云，正是這“兩朵烏云”對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)矛盾，從根基上動(dòng)搖了經(jīng)典物理的統(tǒng)治地位。其中與量子力學(xué)建立相關(guān)的有黑體輻射的“紫外災(zāi)難”(經(jīng)典理論預(yù)言高頻段射能量趨于無(wú)窮，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全相悖)、低溫固體比熱異常(經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理無(wú)法解釋低溫下比熱隨溫度下降的現(xiàn)象)，以及原子穩(wěn)定性問(wèn)題(按經(jīng)典電磁理論，繞核運(yùn)動(dòng)的電子會(huì)因輻射能量而坍縮，與原子長(zhǎng)期穩(wěn)定的事實(shí)矛盾)。這些問(wèn)題并非“技術(shù)細(xì)節(jié)缺陷”，而是直接沖擊經(jīng)典物理的核心假設(shè)——物理量的連續(xù)性、運(yùn)動(dòng)的確定性、粒子軌道的可跟蹤性，它們共同預(yù)示著：經(jīng)典的連續(xù)描述在微觀尺度下有可能完全失效。

為應(yīng)對(duì)實(shí)驗(yàn)與理論的沖突，“舊量子論”應(yīng)運(yùn)而生。1900年，“量子之父”馬克斯·普朗克首次提出量子假說(shuō)：物體吸收或發(fā)射電磁輻射時(shí)，能量并非連續(xù)傳遞，而是以“量子”為基本單位，即能量只能是基本量子能量的整數(shù)倍，數(shù)學(xué)表達(dá)為

E

n

(其中?≡

h

/2π，

h

為普朗克常數(shù)，

n

=1, 2, 3, …為正整數(shù))。1905年，阿爾伯特·愛(ài)因斯坦進(jìn)一步將量子從“能量傳遞單元”升華為“實(shí)體粒子”，提出光量子假說(shuō)——輻射場(chǎng)本質(zhì)是光量子(后稱(chēng)光子)的集合，單個(gè)光子的能量滿足

E

=?

，動(dòng)量則與波矢

k

(定義為

k

=2π/

為波長(zhǎng))關(guān)聯(lián)，即

p

=?

k

1913年，尼爾斯·玻爾在光量子假設(shè)的基礎(chǔ)上，結(jié)合歐內(nèi)斯特·盧瑟福的原子有核模型，提出“玻爾原子模型”，標(biāo)志著舊量子論體系的最后成型。玻爾的核心貢獻(xiàn)是引入兩條量子化原則：一是“定態(tài)假設(shè)”——?dú)湓雍送怆娮拥能壍啦⒎沁B續(xù)分布，而是分立的“定態(tài)軌道”，電子在定態(tài)中運(yùn)動(dòng)時(shí)不輻射能量，且軌道角動(dòng)量滿足量子化條件

L

nh

/(2π)=

n

? (

n

為主量子數(shù))；二是“躍遷假設(shè)”——僅當(dāng)電子從能量較高的定態(tài)

E

m

躍遷到能量較低的定態(tài)

E

n

時(shí)，才會(huì)發(fā)射單色光，光的頻率由能級(jí)差決定，即

mn

E

m

-E

n

)/?。這一模型成功解釋了氫原子光譜的分立特征，但局限性同樣顯著：很難推廣到多電子原子(如氦原子)，無(wú)法嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算譜線強(qiáng)度，且仍保留“電子沿經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)”的核心圖像，本質(zhì)是“經(jīng)典框架+量子條件”的過(guò)渡性“二元理論”。

正是舊量子論的這些局限性，推動(dòng)了現(xiàn)代量子力學(xué)的誕生[10]。1925年，維爾納·海森伯在尚未了解“矩陣”這一數(shù)學(xué)工具的情況下，首先提出了矩陣力學(xué)的核心思想——這一理論后來(lái)被公認(rèn)為現(xiàn)代量子力學(xué)的起點(diǎn)[11]。海森伯繼承和發(fā)揚(yáng)了愛(ài)因斯坦的思想：物理理論應(yīng)僅描述可直接觀測(cè)的物理量。因此，描述原子不能依賴(lài)無(wú)法測(cè)量的“經(jīng)典軌道”。在原子系統(tǒng)中，“電子軌道”無(wú)法直接觀測(cè)，可以測(cè)量的是能級(jí)躍遷產(chǎn)生的譜線頻率與強(qiáng)度；傳統(tǒng)電磁理論認(rèn)為輻射頻率與電子振動(dòng)頻率相關(guān)，而玻爾模型則指出譜線頻率與能級(jí)差相關(guān)——為調(diào)合這一矛盾，海森伯提出：描述系統(tǒng)狀態(tài)的“坐標(biāo)”不再是經(jīng)典的關(guān)于時(shí)間的函數(shù)

t

)，而是一組矩陣元

X

nm

，代表系統(tǒng)在能級(jí)

m

n

之間的躍遷幅度。

隨后，馬克斯·玻恩與帕斯庫(kù)爾·約當(dāng)將這一思想數(shù)學(xué)化[12]，給出了基本力學(xué)量的矩陣對(duì)易關(guān)系；幾乎同時(shí)，保羅·狄拉克根據(jù)海森伯的論文，認(rèn)識(shí)到不可對(duì)易量的運(yùn)算規(guī)則與經(jīng)典力學(xué)的泊松括號(hào)的相似性，獨(dú)立得到了正則量子化[13]；而后，海森伯、約當(dāng)和玻恩的“三個(gè)人文章”將理論進(jìn)行系統(tǒng)性綜合和應(yīng)用推廣，矩陣力學(xué)正式建立[14]：所有物理可觀測(cè)量(位置、動(dòng)量、能量等)均用“矩陣”表示(后來(lái)保羅·狄拉克稱(chēng)之為“

q

數(shù)” [15] ，約翰·馮·諾依曼進(jìn)一步明確為希爾伯特空間中的“算符” [16] )，其運(yùn)算規(guī)則與經(jīng)典物理量截然不同——最核心的差異是“非交換性”，即兩個(gè)算符的乘積不滿足交換律()。若要求算符的運(yùn)動(dòng)方程形式與經(jīng)典力學(xué)一致，則需滿足“海森伯—玻恩—約當(dāng)對(duì)易關(guān)系”，即位置算符 與動(dòng)量算符有對(duì)易關(guān)于(見(jiàn)Box 1)。矩陣力學(xué)的革命性意義在于：徹底摒棄“電子軌道”的圖像化假設(shè)，以算符代數(shù)及其本征值(對(duì)應(yīng)可觀測(cè)的物理量取值)作為理論核心，使系統(tǒng)描述聚焦于離散能級(jí)與躍遷規(guī)則，而非時(shí)空軌道。很快，沃爾夫?qū)づ堇眠@一理論，以高度的代數(shù)技巧精準(zhǔn)推導(dǎo)出氫原子能譜的細(xì)節(jié) [17] ，進(jìn)一步展示了矩陣力學(xué)的預(yù)測(cè)能力和計(jì)算有效性。

Box 1

海森伯—玻恩—約當(dāng)對(duì)易關(guān)系與正則量子化[9,12]

遵循海森伯的精神，按玻恩和約當(dāng)?shù)脑嘉恼峦茖?dǎo)和滿足基本的對(duì)易關(guān)系?？紤]一個(gè)動(dòng)量為，坐標(biāo)為，質(zhì)量為

M

的質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)。假設(shè) 和 是矩陣或算子，現(xiàn)在分析。為了能夠形式上回到經(jīng)典力學(xué)， 和 隨時(shí)間的變化仍然滿足與經(jīng)典情況形式一樣的運(yùn)動(dòng)方程：

其中是粒子所受外勢(shì)。由此，滿足如下的時(shí)間演化方程：

帶入運(yùn)動(dòng)方程(1.1)，可證明對(duì)易關(guān)系不隨時(shí)間改變，等于某個(gè)常數(shù)

C

。又因?yàn)?blockquote id="48P1MBA2">C? =-

C

C

應(yīng)當(dāng)是一個(gè)純虛數(shù)，即

C

=i?。由此證明了 和 滿足基本對(duì)易關(guān)系：

利用上述基本對(duì)易關(guān)系，計(jì)算能量可以得到振子能量量子化：

與普朗克假定的諧振子能量表達(dá)式相比較，證明?就是普朗克常數(shù)。

幾乎與矩陣力學(xué)同時(shí)，埃爾溫·薛定諤于1926年從另一角度構(gòu)建了量子力學(xué)的等價(jià)形式——波動(dòng)力學(xué)[18]。其靈感源自路易·德布羅意1924年的“物質(zhì)波假說(shuō)”：微觀粒子(如電子)兼具粒子性與波動(dòng)性，即“物質(zhì)波”，其波長(zhǎng)

與動(dòng)量

p

滿足

h

p

，其中

h

=2π ?。1927年的電子衍射實(shí)驗(yàn)(戴維孫—革末實(shí)驗(yàn))直接證實(shí)了這一假說(shuō)——電子穿過(guò)晶體時(shí)呈現(xiàn)出與光波類(lèi)似的干涉、衍射圖案。

基于物質(zhì)波思想，薛定諤寫(xiě)下描述非相對(duì)論微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基本方程——薛定諤方程，其時(shí)間演化形式為：

其中為哈密頓算符(代表系統(tǒng)總能量)，

r

t

)為“波函數(shù)”，描述量子系統(tǒng)的狀態(tài)。對(duì)于不隨時(shí)間變化的“定態(tài)”問(wèn)題，方程可簡(jiǎn)化為本征值方程，此時(shí)

E

為系統(tǒng)的定態(tài)能量(即能級(jí))。波動(dòng)力學(xué)的關(guān)鍵突破在于：離散能級(jí)不再是“人為施加的量子條件”，而是求解方程時(shí)(結(jié)合原子邊界條件，如電子被束縛在原子核周?chē)?自然的數(shù)學(xué)結(jié)果。氫原子能譜、諧振子能級(jí)、分子束縛態(tài)乃至固體能帶結(jié)構(gòu)，均可通過(guò)求解薛定諤方程統(tǒng)一得到。

Box 2

薛定諤方程的“推導(dǎo)”[9,18]

薛定諤得到微觀粒子的波動(dòng)方程的物理圖像十分清晰：找到物質(zhì)波的一個(gè)波動(dòng)方程，它的波陣面的法線移動(dòng)方程就是質(zhì)點(diǎn)的牛頓方程或保守位勢(shì)

V

r)中質(zhì)量為m的粒子的哈密頓—雅可比方程：

其中作用量

S

確定了波陣面 ，“波函數(shù)” 滿足非線性方程：

薛定諤當(dāng)年的原始論文是對(duì)方程(2.2)左邊積分再變分，
。由此得到薛定諤方程。但這一闡述方式物理圖像并不清晰。其實(shí)，我們需要考慮短波近似。以一維情況為例，對(duì)計(jì)算：

考慮?很小、物質(zhì)波波長(zhǎng)很短，

從而把一維非線性方程線性化為定態(tài)薛定諤方程：

薛定諤構(gòu)建波動(dòng)力學(xué)時(shí)，巧妙運(yùn)用了“力學(xué)—光學(xué)類(lèi)比”：經(jīng)典力學(xué)中的“最小作用量原理”(粒子沿作用量最小的路徑運(yùn)動(dòng))，與光學(xué)中的“費(fèi)馬原理”(光線沿光程最短的路徑傳播)具有數(shù)學(xué)同構(gòu)性。既然幾何光學(xué)(對(duì)應(yīng)粒子性)是波動(dòng)光學(xué)(對(duì)應(yīng)波動(dòng)性)的短波近似，也應(yīng)當(dāng)有一套物質(zhì)波的“波動(dòng)力學(xué)”，其短波近似對(duì)應(yīng)“粒子的力學(xué)”——經(jīng)典力學(xué)(見(jiàn)Box 2)。1926年底，薛定諤通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明：如此得到的波動(dòng)力學(xué)與矩陣力學(xué)在物理本質(zhì)上完全等價(jià)[19]——二者僅是描述量子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言不同(波動(dòng)力學(xué)用偏微分方程，矩陣力學(xué)用線性代數(shù))(見(jiàn)Box 3)。同年，狄拉克提出“符號(hào)運(yùn)算體系”(把經(jīng)典變量抽象為非對(duì)易的

q

數(shù))，建立了變換理論，進(jìn)一步將兩種理論統(tǒng)一為一套完整的量子力學(xué)框架 [15] 。

Box 3

波動(dòng)力學(xué)與矩陣力學(xué)等價(jià)的一般證明(不依賴(lài)玻恩詮釋)[19]

盡管與玻恩提出幾率解釋幾乎同時(shí)，但薛定諤卻沒(méi)有利用這個(gè)詮釋?zhuān)C明了量子力學(xué)兩種表述是等價(jià)的。因此，玻爾基于后來(lái)的事實(shí)——利用幾率詮釋可以證明兩種形式等價(jià)，斷言這種證明意味著玻恩幾率詮釋?zhuān)覀冋J(rèn)為由此評(píng)價(jià)玻恩的工作是不合適的 [20] ?；诓６鲙茁试忈?zhuān)ㄟ^(guò)計(jì)算兩種表象中力學(xué)量的期望值相等來(lái)證明等價(jià)性，只是后來(lái)文獻(xiàn)中才出現(xiàn)的。

初始時(shí)刻

t

0 的態(tài)矢|

t

0 )>與

t

時(shí)刻的波函數(shù)，相差一個(gè)時(shí)間相關(guān)的幺正變換——演化算子。它使得|

t

)>滿足形式化的薛定諤方程，其形式化的哈密頓量是：

海森伯表象的力學(xué)量的形式定義為
，滿足海森伯方程：

其中
形式地包含未知的。

若要求海森伯方程給出的運(yùn)動(dòng)方程(3.2)形式上給出正則方程：

則必須是經(jīng)典哈密頓量
的量子化：()，從而說(shuō)明薛定諤方程和海森伯方程是等價(jià)的。以上關(guān)于薛定諤方程和海森伯方程等價(jià)的證明并沒(méi)有應(yīng)用玻恩對(duì)波函數(shù)的幾率解釋。

薛定諤在提出波動(dòng)力學(xué)的時(shí)候，并不清楚波動(dòng)方程中出現(xiàn)的波函數(shù)

的含義是什么，1926年馬克斯·玻恩應(yīng)用波動(dòng)力學(xué)討論微觀粒子散射問(wèn)題 [21] ，才明確了波函數(shù)

的物理含義：波函數(shù)的模平方|

| 2 代表“概率密度”——即在空間某點(diǎn)r處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，而非“電子在空間中被攤開(kāi)的實(shí)在電荷云”(后者會(huì)導(dǎo)致電子電荷分散，與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的粒子性矛盾)。玻恩“概率詮釋”具有革命性意義：量子力學(xué)的隨機(jī)性并非“測(cè)量技術(shù)不完善”的結(jié)果，而是理論內(nèi)稟的屬性；測(cè)量會(huì)對(duì)量子態(tài)產(chǎn)生不可避免的影響——測(cè)量前系統(tǒng)處于多個(gè)本征態(tài)的疊加態(tài)，測(cè)量后會(huì)“隨機(jī)投影”(即“波包塌縮”)到某一個(gè)本征態(tài)，且這一過(guò)程不可逆。由此，“粒子同時(shí)具有確定位置與動(dòng)量”的經(jīng)典觀念在原理上不再成立，因?yàn)榛诓ê瘮?shù)的概率詮釋可以推導(dǎo)出“不確定性關(guān)系”：

?Δ

p

≥?/2

其中Δ

為位置不確定度，Δ

p

為動(dòng)量不確定度——這一關(guān)系明確了微觀世界“確定性描述”是有限制的。

到1927年的索爾維會(huì)議為止，量子力學(xué)的基礎(chǔ)框架已經(jīng)建立，其要素有三：(1)量子系統(tǒng)的狀態(tài)由波函數(shù)(或態(tài)矢)完全描述，其時(shí)間演化服從薛定諤方程；(2)基本力學(xué)量由算符或矩陣描述，它們滿足基本對(duì)易關(guān)系和海森伯方程；(3)可觀測(cè)量的測(cè)量取值只能是對(duì)應(yīng)算符的本征值，取值概率由其在波函數(shù)中分量系數(shù)的模平方?jīng)Q定。原則上，這些量子力學(xué)公理可以解釋此前直至今天的所有實(shí)驗(yàn)，不過(guò)到1956年形成的“哥本哈根詮釋”賦予量子力學(xué)備受爭(zhēng)議的二元論問(wèn)題[22，23]，波函數(shù)的演化分為兩類(lèi)：一是“幺正演化”(U過(guò)程)，遵循薛定諤方程，可逆且確定性；二是外部經(jīng)典儀器引起“測(cè)量投影”或波包塌縮(R過(guò)程)，具有不可逆且概率性。為解決這一哲學(xué)困境，后續(xù)出現(xiàn)了多種量子力學(xué)詮釋?zhuān)ǘ嗍澜缭忈?認(rèn)為測(cè)量未導(dǎo)致塌縮，而是宇宙分裂為多個(gè)平行世界)、自洽歷史詮釋(通過(guò)“歷史集合”的自洽性定義可觀測(cè)量)、量子退相干詮釋(認(rèn)為波包塌縮是系統(tǒng)與環(huán)境相互作用導(dǎo)致的“表觀現(xiàn)象”)，以及量子達(dá)爾文主義(強(qiáng)調(diào)環(huán)境對(duì)量子態(tài)的“選擇”作用)等。事實(shí)上，投影測(cè)量假設(shè)是為了保證緊接著的重復(fù)測(cè)量給出相同的結(jié)果，而量子退相干理論通過(guò)計(jì)算表明：系統(tǒng)與環(huán)境的相互作用會(huì)使波函數(shù)的“非對(duì)角項(xiàng)”(代表疊加態(tài)的干涉效應(yīng))快速消逝，量子概率逐漸轉(zhuǎn)化為經(jīng)典概率，從而無(wú)需“波包塌縮假設(shè)”即可解釋重復(fù)測(cè)量結(jié)果的確定性。

總而言之，第一次量子化的理論框架，是以單個(gè)粒子的波函數(shù)為基本對(duì)象：我們寫(xiě)下一個(gè)波函數(shù)，求它在外勢(shì)或相互作用勢(shì)中的能量本征值和時(shí)間演化，并據(jù)此解釋氫原子光譜、原子中電子層結(jié)構(gòu)、核素衰變機(jī)制等。這一框架在20世紀(jì)初期取得了巨大成功。例如，矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)都給出了氫原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)，伽莫夫用量子隧穿解釋了原子核的

衰變，布洛赫對(duì)周期性勢(shì)場(chǎng)中電子行為的量子力學(xué)描述，為能帶理論的建立奠定了基礎(chǔ)，從而區(qū)分金屬、半導(dǎo)體和絕緣體。這些都是一次量子化從理論到實(shí)驗(yàn)的勝利。

03

第二次量子化：多體系統(tǒng)與場(chǎng)的量子化

3.1　量子糾纏：量子化從“1”到“2”

量子力學(xué)描述多粒子時(shí)，會(huì)出現(xiàn)許多新奇的量子現(xiàn)象。當(dāng)體系中由兩個(gè)粒子組成，在一般情況下這樣的復(fù)合系統(tǒng)狀態(tài)是不可分離的，其量子態(tài)不能寫(xiě)成因子化形式
，這時(shí)我們稱(chēng)量子態(tài)|

>是糾纏(entanglement)的。典型的量子糾纏態(tài)是自旋系統(tǒng)的Bell態(tài)：

其中|↑(←)>和|↓(→)>分別代表粒子自旋向上(左)和自旋向下(右)態(tài)。在這樣的量子糾纏態(tài)上，一旦知道自旋1處于向上的態(tài)|↑>上，就可以推斷自旋2處在|↓>態(tài)上，而不管這兩個(gè)粒子分開(kāi)有多遠(yuǎn)。然而，這并不意味著信號(hào)傳送可以超光速，正是因?yàn)楸仨毷紫燃s定測(cè)量的指向，向上還是向下，或向左還是向右，約定指向的操作不能超光速。

在判斷遠(yuǎn)隔距離的兩個(gè)粒子的自旋狀態(tài)時(shí)，若因一個(gè)粒子自旋向上而推斷另一個(gè)粒子自旋向下，這種關(guān)聯(lián)與經(jīng)典場(chǎng)景中“盒子里有黑球和白球，拿出一個(gè)黑球便知留下的是白球”的約定型關(guān)聯(lián)類(lèi)似，并無(wú)新奇之處。而量子糾纏的獨(dú)特性在于，其關(guān)聯(lián)內(nèi)涵遠(yuǎn)超這種約定式關(guān)聯(lián)，貝爾不等式正是用以描述這“多出的部分”的關(guān)鍵工具。貝爾不等式是基于局域隱變量假設(shè)，用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)計(jì)算三個(gè)事件的關(guān)聯(lián)。這些關(guān)聯(lián)會(huì)滿足特定的不等式，即貝爾不等式；但量子力學(xué)通過(guò)期望值平均描述的關(guān)聯(lián)卻會(huì)違背這一不等式。一旦不等式被違背，便表明系統(tǒng)存在量子糾纏，其屬性是真正量子的。這一思想后來(lái)被推廣到不同時(shí)刻的關(guān)聯(lián)，用于區(qū)分“量子(效應(yīng)的)宏觀(累積)”與“宏觀(體系的)量子(效應(yīng))”，為理解宏觀量子相干效應(yīng)提供了重要依據(jù)。

當(dāng)體系不再是由一個(gè)、兩個(gè)粒子組成，而是包含數(shù)量高達(dá)阿伏加德羅數(shù)量級(jí)(1023量級(jí))并彼此存在量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)的糾纏粒子時(shí)，單粒子波函數(shù)的描述幾乎無(wú)效。原因并不只是計(jì)算復(fù)雜度，而是邏輯層面的引入新的原理——全同性原理：在量子力學(xué)中，許多粒子(例如許多電子，或許多玻色原子)是“全同”的，完全沒(méi)有可區(qū)分的標(biāo)簽。你無(wú)法說(shuō)“這是第一號(hào)電子，那是第二號(hào)電子”，因?yàn)檫@種區(qū)分物理上是沒(méi)有的意義的。

3.2　多粒子系統(tǒng)的量子化——第二次量子化

多體系統(tǒng)第二次量子化的核心是拋棄對(duì)“每個(gè)粒子”的執(zhí)念，轉(zhuǎn)而描述“每一個(gè)可占據(jù)的量子態(tài)中，有多少粒子在里面”。換句話說(shuō)，基本對(duì)象不再是“粒子”，而是“量子態(tài)及其占據(jù)數(shù)”。對(duì)玻色子來(lái)說(shuō)，占據(jù)數(shù)可以累積到極大甚至無(wú)窮；對(duì)費(fèi)米子，由于泡利不相容原理，每個(gè)單量子態(tài)只能被占據(jù)0或1個(gè)電子，其結(jié)果會(huì)形成所謂的費(fèi)米面。采用這種方式描述多粒子系統(tǒng)時(shí)，物理問(wèn)題會(huì)立即簡(jiǎn)化：不必再為波函數(shù)強(qiáng)行“對(duì)稱(chēng)化”或“反對(duì)稱(chēng)化”，因?yàn)椴Ｉ雍唾M(fèi)米子的統(tǒng)計(jì)本性(對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng))已經(jīng)被內(nèi)建在“將粒子放入態(tài)”這一過(guò)程的規(guī)則之中。我們可以用產(chǎn)生/湮滅算符自然描述粒子的加入、移除甚至成對(duì)出現(xiàn)或成對(duì)消失。由此構(gòu)建了所謂的“?？?Fock)空間”，即所有可能占據(jù)方式的總體空間(見(jiàn)Box 4)。這種第二次量子化不是“再量子化一次”，而是把量子理論的基本語(yǔ)言從單體轉(zhuǎn)向集體，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為從多粒子階化空間到對(duì)稱(chēng)化(反對(duì)稱(chēng)化)空間(粒子數(shù)表象)的表象變換。

Box 4

玻色子系統(tǒng)的二次量子化[9,24]

玻色子系統(tǒng)的Fock態(tài)|

n

1 ,

n

2 , …>是對(duì)稱(chēng)化的。玻色子整體的態(tài)空間是階化空間(graded space)——粒子數(shù)不固定時(shí)的巨希爾伯特空間其中 代表有

n

個(gè)粒子的希爾伯特空間。只有在

V

上才可以定義產(chǎn)生算子和湮滅算子

其中|

u

j

l

)>是第

l

個(gè)粒子的單粒子態(tài)，

p

N

+1,

l

是交換算子。在巨希爾伯特空間上的矢量|

u

>也可以當(dāng)成一個(gè)算子，。于是有基本對(duì)易關(guān)系：和基本求和公式：

對(duì)于費(fèi)米子體系也有類(lèi)似的結(jié)論。

從基本求和公式(4.2)出發(fā)，可以直接得到單體和多體算符的二次量子化表示。例如，單體算符(singlebody operator)
可以表達(dá)為

上述第二次量子化表述變換到坐標(biāo)表象，產(chǎn)生湮滅算子就是場(chǎng)算子，其基本對(duì)易關(guān)系是：

其相互作用多體哈密頓量：

對(duì)于沒(méi)有相互作用的情況(

W

=0)，利用場(chǎng)的基本對(duì)易關(guān)系，可以給出形式與薛定諤方程一樣的海森伯運(yùn)動(dòng)方程：

把二次量子化描述應(yīng)用到無(wú)相互作用的多粒子系統(tǒng)的坐標(biāo)表象，產(chǎn)生/湮滅算符動(dòng)力學(xué)行為就像單粒子的波函數(shù)一樣，形象地說(shuō)，波函數(shù)變成了量子化的場(chǎng)，這就是“二次量子化”名詞的由來(lái)。通過(guò)二次量子化，相互作用玻色子多粒子系統(tǒng)的準(zhǔn)激發(fā)的表達(dá)形式與電磁場(chǎng)一次正則量子化的形式一樣。因此，當(dāng)系統(tǒng)粒子數(shù)達(dá)到熱力學(xué)極限，量子理論不再區(qū)分粒子與場(chǎng)，二次量子化語(yǔ)言不僅在技術(shù)上自動(dòng)給出多體系統(tǒng)態(tài)的對(duì)稱(chēng)化，而且在觀念上實(shí)現(xiàn)了一次躍變：承認(rèn)不在直覺(jué)里的自然出現(xiàn)的、新的有效自由度(模式狀態(tài)的占據(jù)數(shù))。

3.3　狄拉克方程與場(chǎng)的量子化

到目前為止，我們?nèi)灾饕诜窍鄬?duì)論框架下講話，即默認(rèn)粒子速度遠(yuǎn)小于光速。然而，電子這樣的基本粒子有時(shí)會(huì)以接近光速的速度運(yùn)動(dòng)(例如在高能碰撞或強(qiáng)電磁場(chǎng)中)。為了同時(shí)滿足量子原理和狹義相對(duì)論，保羅·狄拉克在1928年寫(xiě)下了后來(lái)被稱(chēng)為“狄拉克方程”的電子運(yùn)動(dòng)方程[25]。這一步的意義巨大。首先，狄拉克方程正確描述了電子的自旋和氫原子能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)。這些現(xiàn)象此前雖然被實(shí)驗(yàn)觀察到，但在早期量子理論中缺乏系統(tǒng)解釋。其次，狄拉克方程不僅解釋了自旋和自旋軌道耦合，而且預(yù)言了“反物質(zhì)”的存在[26]：方程的解不僅包含正能量態(tài)，也包含負(fù)能量態(tài)，對(duì)應(yīng)著反物質(zhì)。這個(gè)解讀最終導(dǎo)致對(duì)正電子(即電子的反粒子)的預(yù)測(cè)與發(fā)現(xiàn)。換句話說(shuō)，反物質(zhì)并非幻想或附加設(shè)定，而是從方程的內(nèi)部邏輯自然導(dǎo)出的。這一點(diǎn)標(biāo)志著量子理論正在擺脫“依經(jīng)驗(yàn)拼裝”的被動(dòng)階段，轉(zhuǎn)向自洽預(yù)言新物質(zhì)、新效應(yīng)的理論結(jié)構(gòu)：大道至簡(jiǎn)、從唯美的數(shù)學(xué)形式推導(dǎo)出真實(shí)存在的新的物理實(shí)體。

更具深遠(yuǎn)意義的是，狄拉克關(guān)于“狄拉克方程”反物質(zhì)的詮釋推動(dòng)了“把粒子視為場(chǎng)的激發(fā)”這一思想：電子不再只是一個(gè)孤立的小球，而被理解為電子場(chǎng)的一種局域化激發(fā)。要處理這種場(chǎng)，物理學(xué)家發(fā)展了所謂“場(chǎng)的正則量子化”方法，也就是先把經(jīng)典場(chǎng)本身當(dāng)作一個(gè)可以被量子化的系統(tǒng)：場(chǎng)的每一個(gè)自由度都變成量子對(duì)象，不同空間點(diǎn)的場(chǎng)值就像無(wú)數(shù)相互耦合的量子坐標(biāo)。這樣一來(lái)，“產(chǎn)生一個(gè)粒子”就意味著在這個(gè)場(chǎng)中激發(fā)出一個(gè)量子；“湮滅一個(gè)粒子”就意味著把這個(gè)量子從場(chǎng)的激發(fā)譜中移除。在這種框架下，粒子數(shù)不再是一個(gè)永恒不變的輸入，而是由相互作用來(lái)決定的產(chǎn)出。電子與正電子可以在強(qiáng)場(chǎng)中成對(duì)出現(xiàn)或成對(duì)湮滅，光子可以被發(fā)射、吸收。也就是說(shuō)，量子論不再只描述“給定

N

個(gè)粒子，問(wèn)它們?cè)趺催\(yùn)動(dòng)”，而是描述本來(lái)就存在著可以被激發(fā)的各種場(chǎng)，“粒子”是這些場(chǎng)在特定條件下呈現(xiàn)出來(lái)的局部量子激發(fā)。

20世紀(jì)30年代由狄拉克等人推動(dòng)了關(guān)于電磁場(chǎng)量子化的量子電動(dòng)力學(xué)(QED)的建立。在1940年代由費(fèi)曼、施溫格和朝永振一郎等人提出重正化方案，減掉了微擾等方法帶來(lái)的無(wú)窮大發(fā)散[24，27]，最后加以完善，成為系統(tǒng)自洽的量子場(chǎng)論。它是人類(lèi)迄今最精確的物理理論之一，對(duì)氫原子能級(jí)極細(xì)微的偏移(著名的“蘭姆移位”)給出了數(shù)值預(yù)測(cè)，而實(shí)驗(yàn)測(cè)量幾乎與其完全一致。這種“理論先于實(shí)驗(yàn)到達(dá)小數(shù)點(diǎn)后多位”的精度，是量子場(chǎng)論被譽(yù)為“物理學(xué)最成功理論”的原因之一。以后，量子場(chǎng)論一路高歌猛進(jìn)、通過(guò)楊—米爾斯局域規(guī)范理論[28]，應(yīng)用到電磁和強(qiáng)弱相互作用系統(tǒng)，成就了基本粒子的標(biāo)準(zhǔn)模型。

從量子力學(xué)思想發(fā)展的角度看，這里發(fā)生了兩層思想轉(zhuǎn)換。第一層是從“一次量子化”到“二次量子化”的轉(zhuǎn)寫(xiě)。第二層轉(zhuǎn)寫(xiě)是從“電子是基本小球”到“電子是一個(gè)場(chǎng)模式的激發(fā)”的轉(zhuǎn)寫(xiě)。正則量子化的形式把這兩層思想轉(zhuǎn)換合并到了一起，就形成了今天的量子場(chǎng)論。這種對(duì)多體系統(tǒng)的量子化處理，也直接挑戰(zhàn)了“實(shí)在是什么”的樸素直覺(jué)。經(jīng)典物理中的基本對(duì)象是粒子和力；一次量子化中的基本對(duì)象是力學(xué)量，形成了波函數(shù)描述；第二次量子化和量子場(chǎng)論中的基本對(duì)象則是場(chǎng)以及場(chǎng)的激發(fā)譜，通常由波函數(shù)的量子化來(lái)表達(dá)。因此，多體系統(tǒng)和場(chǎng)的量子化——二次量子化不只是改寫(xiě)方程，而是在改寫(xiě)我們認(rèn)為哪一類(lèi)存在物才算“基本存在”。這一點(diǎn)也正是量子場(chǎng)論在20世紀(jì)科學(xué)思想史上被視為巨大的認(rèn)識(shí)飛躍的原因。

3.4　電磁場(chǎng)量子化、量子光學(xué)與激光[29]

光是物理學(xué)史上最重要的研究對(duì)象之一。它幾乎伴隨了所有重大觀念的誕生：從費(fèi)馬最小時(shí)間原理到最小作用量思想，從麥克斯韋方程到狹義相對(duì)論，從普朗克的黑體輻射到愛(ài)因斯坦的光電效應(yīng)，光始終是物理學(xué)理論革新的實(shí)驗(yàn)測(cè)試臺(tái)。關(guān)于光場(chǎng)的研究，真正的突破發(fā)生在我們把電磁場(chǎng)本身量子化之后，每一個(gè)模式的激發(fā)就對(duì)應(yīng)一個(gè)光子。這樣一來(lái)，就建成量子電動(dòng)力學(xué)，使得光的波動(dòng)性(場(chǎng)的空間分布、相干性、干涉圖樣)和光的粒子性(離散能量子、單光子計(jì)數(shù))就不再是互相排斥的，而是同一量子場(chǎng)的兩個(gè)側(cè)面。

但是，早期的光量子論主要處理單個(gè)電子和單個(gè)光子的相互作用。到了20世紀(jì)中期，人們才開(kāi)始研究“多光子”體系的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。漢布里—布朗和特威斯在1950年代的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，光的強(qiáng)度起伏相關(guān)性呈現(xiàn)出特定的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。這是一個(gè)純粹的集體量子效應(yīng)，不能用經(jīng)典隨機(jī)波動(dòng)來(lái)解釋。為此格勞伯(Glauber R J.)在1960年代提出了光學(xué)相干的量子理論[30，31]，把光的強(qiáng)度關(guān)聯(lián)、探測(cè)統(tǒng)計(jì)、相干態(tài)等都統(tǒng)一在量子場(chǎng)框架中，奠定了現(xiàn)代量子光學(xué)的基礎(chǔ)。

量子光學(xué)認(rèn)為所謂“真空”本身并非一無(wú)所有，而是某種量子場(chǎng)的基態(tài)，但仍有漲落。即使在名義上的“真空腔”中，原子也能與這些真空漲落的電磁場(chǎng)相互作用，產(chǎn)生諸如自發(fā)輻射抑制和增強(qiáng)、真空拉比振蕩等效應(yīng)。這些現(xiàn)象告訴我們，“場(chǎng)”并不是抽象數(shù)學(xué)，而是可以被實(shí)驗(yàn)室直接建構(gòu)、操控、測(cè)量、甚至實(shí)用化的實(shí)體。這一事實(shí)也推動(dòng)了后來(lái)的腔量子電動(dòng)力學(xué)、超導(dǎo)量子比特、量子計(jì)算硬件等方向的發(fā)展。

作為最重要的應(yīng)用，激光的出現(xiàn)把光場(chǎng)的研究推到了當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的最前沿。愛(ài)因斯坦早在1917年就區(qū)分了自發(fā)輻射、受激輻射和受激吸收三種輻射過(guò)程，并指出只要能在原子或分子中建立“布居反轉(zhuǎn)”(高能級(jí)上反而堆著更多粒子)，就可能出現(xiàn)受激輻射的連鎖放大，也就是光放大器的原理。二戰(zhàn)后出現(xiàn)的微波激射器和1960年代發(fā)明的可見(jiàn)光激光器將這一設(shè)想徹底變成現(xiàn)實(shí)：產(chǎn)生了強(qiáng)相干、窄線寬、方向性極高的光束。這種光束并非普通熱輻射，而是量子統(tǒng)計(jì)高度受控的場(chǎng)態(tài)。因此，描述激光，必須用“電磁場(chǎng)是量子場(chǎng)”這套語(yǔ)言，而不能只用經(jīng)典電磁波或半經(jīng)典輻射模。其實(shí)，量子場(chǎng)的研究起因就是對(duì)光本體論(波還是粒子？)的根本追問(wèn)，但最后演化成對(duì)真空漲落、單光子態(tài)、相干態(tài)、壓縮態(tài)等高度工程化的量子態(tài)控制。

3.5　平均場(chǎng)與能帶、拓?fù)淞孔恿W(xué)(任意子)和量子霍爾效應(yīng)

量子多體物理并沒(méi)有在“我們可以處理很多粒子”這一步停下。相反，它繼續(xù)推進(jìn)到兩個(gè)方向：一是用“平均場(chǎng)”思想理解復(fù)雜凝聚態(tài)體系的平衡性質(zhì)和低能行為；二是發(fā)現(xiàn)全新的量子態(tài)類(lèi)別，這些態(tài)具有拓?fù)湫再|(zhì)，無(wú)法用傳統(tǒng)的局域序參量來(lái)描述。這方面典型代表就是量子霍爾效應(yīng)以及與之相關(guān)的任意子統(tǒng)計(jì)。所謂“平均場(chǎng)”，是試圖把極其復(fù)雜的多體相互作用，替換為一個(gè)自洽的有效勢(shì)場(chǎng)。具體而言，我們不再精確地跟蹤每一個(gè)電子如何與所有其他電子互相影響(那會(huì)是天文級(jí)別的方程組)，而是假設(shè)“其余所有電子的行為造成的平均影響”可以用一個(gè)有效的場(chǎng)中單粒子來(lái)表示。然后，我們只需自洽地求解單個(gè)電子在這個(gè)有效勢(shì)中的行為，并要求這個(gè)有效勢(shì)和所有電子的分布在邏輯上是自洽的。

這種想法從原子、分子和原子核到固體電子氣都被廣泛使用，包括密度泛函理論、哈特里—福克方法等現(xiàn)代多體近似方法：它承認(rèn)個(gè)體間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)，但通過(guò)一個(gè)“整體自洽環(huán)境”把問(wèn)題重新表達(dá)為“單體在集體背景中運(yùn)動(dòng)”。這是二次量子化語(yǔ)言天然支持的做法。能帶理論就是平均場(chǎng)思想在固體中的一個(gè)重要應(yīng)用。電子在具有周期性晶格的固體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，在有效的周期平均場(chǎng)中形成一系列允許能量帶和禁帶。這導(dǎo)致了金屬、半導(dǎo)體與絕緣體的區(qū)分，決定了材料的電學(xué)、熱學(xué)和光學(xué)等性質(zhì)。能帶理論讓我們明白：導(dǎo)電并不是“有無(wú)電子”這么簡(jiǎn)單，而是要看費(fèi)米能級(jí)(也就是電子填充到何處)與能帶結(jié)構(gòu)的相對(duì)位置。這個(gè)觀念直接支撐了整個(gè)半導(dǎo)體工業(yè)、晶體管技術(shù)和現(xiàn)代電子設(shè)備。

然而，從20世紀(jì)末開(kāi)始，人們逐漸意識(shí)到，固體的量子態(tài)并不僅僅由能帶“是否填滿”來(lái)決定，還可能攜帶某種“拓?fù)淞俊薄簿褪且环N不會(huì)因局部形變而消失的全局量子特征。這種拓?fù)涮卣髯罱?jīng)典的體現(xiàn)就是整數(shù)和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)上，如果把一個(gè)高遷移率的二維電子氣放在極低溫和強(qiáng)磁場(chǎng)中，測(cè)量橫向電導(dǎo)(霍爾電導(dǎo))，會(huì)發(fā)現(xiàn)它并不是平滑變化的，而是呈現(xiàn)非常精確的分段常值臺(tái)階。這些臺(tái)階的高度是普適常數(shù)的整倍數(shù)或分?jǐn)?shù)倍，幾乎與樣品的微觀雜質(zhì)無(wú)關(guān)。這意味著電子體系進(jìn)入了一種由拓?fù)洳蛔兞靠坍?huà)的量子態(tài)，而不是由傳統(tǒng)的“自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺”(金茲伯格—朗道方案)刻畫(huà)的量子態(tài)。

圖2　任意子的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)：二維不可入點(diǎn)造成的拓?fù)?，使得二維電子附加上有效磁通，形成帶電的“天線寶寶”互相繞行，相對(duì)運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于電子繞過(guò)螺旋管磁通，發(fā)生AB效應(yīng)，即交換位置可獲得分?jǐn)?shù)相位，出現(xiàn)分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)

量子霍爾效應(yīng)還帶來(lái)了另一個(gè)令人震驚的結(jié)論：在這些拓?fù)溆行虻牧孔討B(tài)中，激發(fā)出來(lái)的準(zhǔn)粒子可以表現(xiàn)出“任意子”統(tǒng)計(jì)[32—34]，而不再只是玻色子或費(fèi)米子。尤其在分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)中，交換兩個(gè)準(zhǔn)粒子，系統(tǒng)的量子態(tài)會(huì)獲得一個(gè)既非0°也非180°的相位——換句話說(shuō)，二維世界里的準(zhǔn)粒子就像一個(gè)“天線寶寶”：一個(gè)帶著磁通的“電子”(圖2)，由于Aharonov—Bohm(AB)效應(yīng)，可以“記住”它們?nèi)绾卫@行彼此。這類(lèi)準(zhǔn)粒子被稱(chēng)為“任意子”。在某些更為復(fù)雜的量子霍爾態(tài)甚至可能出現(xiàn)“非阿貝爾任意子”：交換兩次的結(jié)果不等于原樣返回，而是對(duì)系統(tǒng)整體態(tài)進(jìn)行更深層次的重排。這樣的激發(fā)為拓?fù)淞孔佑?jì)算提供了可能路徑，因?yàn)樗鼈儼蚜孔有畔ⅰ按鎯?chǔ)”在拓?fù)潢P(guān)聯(lián)之中，而非存儲(chǔ)在局域自由度上，從而對(duì)局部擾動(dòng)高度穩(wěn)定。

中國(guó)學(xué)者對(duì)拓?fù)淞孔討B(tài)的研究有重要的貢獻(xiàn)。2008年，清華大學(xué)高等研究院、中國(guó)科學(xué)院物理研究所的理論學(xué)家與張首晟合作提出磁性摻雜的HgTe作為實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)(拓?fù)淞孔討B(tài)的典型效應(yīng))的候選平臺(tái)[35]。然而，由于這種方案中磁性元素未能形成自發(fā)磁序，外加磁場(chǎng)的輔助仍然是必須的。2010年，中國(guó)科學(xué)院的理論學(xué)家方忠、戴希等提出，在Bi2Te3家族拓?fù)浣^緣體薄膜中摻入磁性元素可以形成鐵磁基態(tài)，從而能夠通過(guò)鐵磁交換場(chǎng)實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)[36]。這些工作將量子反?；魻栃?yīng)與真實(shí)材料體系——磁性拓?fù)浣^緣體聯(lián)系起來(lái)，為其實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)帶來(lái)曙光。在此基礎(chǔ)上，清華大學(xué)薛其坤、王亞愚等經(jīng)過(guò)多年的努力，逐步實(shí)現(xiàn)了對(duì)磁性拓?fù)浣^緣體的薄膜生長(zhǎng)、電子結(jié)構(gòu)、能帶拓?fù)湟约拌F磁序的精密調(diào)控；最終，他們于2013年在國(guó)際上首次通過(guò)磁性摻雜的(Bi,Sb)2Te3觀測(cè)到量子反?；魻栃?yīng)[37]，這一成就得到了學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)，楊振寧先生稱(chēng)贊其為“諾貝爾獎(jiǎng)級(jí)的工作”，彰顯了其重要的科學(xué)意義。

04

三次量子化：序參量的涌現(xiàn)及其量子化

4.1　超導(dǎo)、超流、玻色—愛(ài)因斯坦凝聚與序參量

當(dāng)大量的量子粒子(尤其是玻色子，或能成對(duì)行為的準(zhǔn)費(fèi)米子)被冷卻到極低溫度時(shí)，它們可能進(jìn)入一種“宏觀量子態(tài)”。所謂“宏觀量子態(tài)”是指：原本應(yīng)該只在原子或單電子尺度上出現(xiàn)的量子相干性，突然以肉眼可見(jiàn)的尺度呈現(xiàn)出來(lái)，甚至影響到電阻、黏滯系數(shù)、熱傳導(dǎo)等宏觀物性。玻色—愛(ài)因斯坦凝聚是最直接的例子。常溫時(shí)候，原子熱運(yùn)動(dòng)速度快，物質(zhì)波波長(zhǎng)(

D )較短不能和原子間距(

a

)相比，不能形成整體；當(dāng)溫度降到足夠低時(shí)(

T

T

c )，原子熱運(yùn)動(dòng)變慢，物質(zhì)波波長(zhǎng)變長(zhǎng)可與原子間距相比，形成相干的整體——“宏觀原子”或玻色—愛(ài)因斯坦凝聚(圖3)。此時(shí)，玻色子不再各自分散在許多不同的量子態(tài)里，而是“心有靈犀地”共同掉入同一個(gè)最低能量態(tài)。他們不再彼此獨(dú)立，而像一整團(tuán)以同一相位、同一波函數(shù)振蕩的“單一超粒子”(見(jiàn)Box 5)。此時(shí)，單個(gè)粒子的身份在物理上失效，系統(tǒng)只能被理解為一個(gè)統(tǒng)一的量子流體。冷原子氣體中的凝聚態(tài)、原子“激光”以及超冷原子干涉實(shí)驗(yàn)，都是這種現(xiàn)象的現(xiàn)代實(shí)現(xiàn)。它們具體地展示了：量子相干并非只能存在于“顯微鏡”下的孤立波包，而是可以在毫米乃至更大尺度上保持空間相干。

圖3　宏觀量子態(tài)——玻色—愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)的形成

Box 5

玻色—愛(ài)因斯坦凝聚和超導(dǎo)的序參量[9]

二次量子化展現(xiàn)了中性玻色子氣體可以發(fā)生的玻色—愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)現(xiàn)象：在極端條件下，大量粒子組成的宏觀系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出量子相干現(xiàn)象——宏觀量子效應(yīng)。相互作用玻色子的變分基態(tài)通常是因子化的：

其中每一項(xiàng)都是相干態(tài)。粒子的振幅形式

和位相

都相同，使得體系的能量極小化。這里

r)滿足Gross—Pitaevskii(GP)方程：

其解給出非零序參量|

r)|，意味著B(niǎo)EC凝聚發(fā)生。而對(duì)于不同的

值，對(duì)應(yīng)的基態(tài)|BEC(

)>是簡(jiǎn)并的。給定一個(gè)凝聚體，也就給定了一個(gè)

，體系不再具有

U

(1)對(duì)稱(chēng)性，因而發(fā)生了對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺(圖4) [28] 。

圖4 玻色—愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)和超導(dǎo)(BCS)態(tài)的對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺

同樣超導(dǎo)體也會(huì)發(fā)生對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺，涌現(xiàn)宏觀序參量。對(duì)于給定一塊超導(dǎo)體，其基態(tài)存在一個(gè)整體相位

，即每一個(gè)庫(kù)珀對(duì)的相位都是一樣的。這樣的變分基態(tài)是一個(gè)因子化的費(fèi)米子相干態(tài)：

其中作用在真空上產(chǎn)生一個(gè)庫(kù)珀對(duì)，不同的

值對(duì)應(yīng)的超導(dǎo)基態(tài)|BCS(

)>是簡(jiǎn)并的，因?yàn)槌瑢?dǎo)體的哈密頓量明顯具有

U

(1)對(duì)稱(chēng)性。一旦指定了一個(gè)

，體系不再具有

U

(1)對(duì)稱(chēng)性，

U

(1)對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺就發(fā)生了。

從物理上講，描述對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺形成的玻色—愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)是因子化的宏觀相干態(tài)：

對(duì)于超導(dǎo)而言，巴丁—庫(kù)珀—施里弗(BCS)態(tài)|BCS(

)>也存在這種因子化 的“直積態(tài)”結(jié)構(gòu)。從物理圖像上，大體是兩個(gè)電子形成庫(kù)珀對(duì)，相當(dāng)于一個(gè)“玻色子”，大量庫(kù)珀對(duì)通過(guò)類(lèi)似BEC的“凝聚”過(guò)程形成超導(dǎo)，每個(gè)庫(kù)珀對(duì)具有統(tǒng)一的位相

類(lèi)似的思想也出現(xiàn)在超流現(xiàn)象中。例如，超流氦或超冷玻色氣體的無(wú)黏性流動(dòng)。在這種狀態(tài)下，流體可以繞器壁流動(dòng)而幾乎不耗散能量，不表現(xiàn)出經(jīng)典流體的黏滯摩擦。它甚至可以在容器中持續(xù)流動(dòng)而不衰減。這類(lèi)行為之所以可能，是因?yàn)檎麄€(gè)流體在量子力學(xué)意義上處于同一個(gè)態(tài)。黏滯在經(jīng)典描述中意味著微觀顆粒亂撞、非彈性碰撞、能量耗散，而在這種宏觀相干狀態(tài)中，“亂撞”這一經(jīng)典圖像被壓制甚至被禁止。

超導(dǎo)現(xiàn)象則是“超流”的電子體系版本。普通金屬里的電子是費(fèi)米子，按常規(guī)不能全部掉進(jìn)同一個(gè)態(tài)里。然而，在某些材料的低溫條件下，電子會(huì)由于相互作用(例如通過(guò)晶格振動(dòng)導(dǎo)致的間接吸引)而形成所謂的“庫(kù)珀對(duì)”。每一對(duì)電子結(jié)合后，可以像玻色子那樣行動(dòng)，而這些電子對(duì)可以進(jìn)一步形成類(lèi)似凝聚的相干態(tài)(見(jiàn)Box 5)。結(jié)果就是：在材料中流動(dòng)的并不再是“各自獨(dú)立的電子”，而是一種統(tǒng)一的量子相干流。這就是為什么超導(dǎo)體在低溫下能顯示零電阻，也能排斥外磁場(chǎng)(邁斯納效應(yīng))。這種狀態(tài)本質(zhì)上是宏觀量子相位的凍結(jié)和鎖定。

二次量子化圖像在這里發(fā)揮著決定性的作用。它允許我們把“電子對(duì)”本身當(dāng)作一種新的、可以被統(tǒng)計(jì)算符操控的有效自由度，而不是勉強(qiáng)把體系當(dāng)成無(wú)數(shù)彼此獨(dú)立的單電子問(wèn)題來(lái)處理。也就是說(shuō)，超導(dǎo)并不是“很多電子各自跑得很順暢”，而是“某種新的集體實(shí)體”(電子對(duì)的相干態(tài))在體系中無(wú)阻流動(dòng)。這在一次量子化語(yǔ)言下幾乎無(wú)法自然表達(dá)。當(dāng)我們說(shuō)“基本對(duì)象是什么”的時(shí)候，這個(gè)答案依賴(lài)于物理環(huán)境和能量尺度：在高溫、低密度的情況下，單個(gè)電子當(dāng)然是“基本對(duì)象”；但在極低溫、強(qiáng)關(guān)聯(lián)的固體中，電子成對(duì)后才是“基本對(duì)象”。也因此，所謂“還原論式”的回答(所有現(xiàn)象都只是電子在動(dòng))在這里并不充分，因?yàn)檎嬲c實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的對(duì)象，已不是孤立電子，而是它們的集體有序結(jié)構(gòu)。

4.2　序參量的量子化——三次量子化

“第三次量子化”就是對(duì)宏觀序參量進(jìn)行量子化，形成所謂的宏觀量子力學(xué)：序參量具有量子力學(xué)的不確定性，可用表述為類(lèi)似位置與動(dòng)量的正則共軛變量的不可對(duì)易性。從二次量子化的微觀角度可以證明，它們?cè)跓崃W(xué)極限下的確滿足相應(yīng)的量子對(duì)易關(guān)系(見(jiàn)Box 6)?！暗谌瘟孔踊辈煌趶慕?jīng)典粒子位置與動(dòng)量描述到波函數(shù)的第一次量子化，也不同于從多粒子體系到場(chǎng)算符的第二次量子化，而是讓“涌現(xiàn)出的宏觀秩序”本身也服從量子力學(xué)。序參量的波動(dòng)、隧穿和相干疊加等行為，可以視為宏觀系統(tǒng)的新自由度具有量子化的基本特征。因此，第三次量子化首先觸及的是量子力學(xué)有效性的極限問(wèn)題。傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為，量子力學(xué)支配的是微觀世界，宏觀對(duì)象則服從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

Box 6

從二次量子化到三次量子化[9]

下面證明，在熱力學(xué)極限下，BEC(BCS)態(tài)相位

可以被量子化，其與粒子數(shù)算符 滿足的對(duì)易關(guān)系為

根據(jù)上面的討論，變分確定BEC系統(tǒng)的基態(tài)具有整體的相位

。在粒子數(shù)中：

其中|

>是相干態(tài)，

a

>。

BEC基態(tài)可展開(kāi)為含不同粒子態(tài)的線性組合：

其中含有

m

個(gè)玻色子的態(tài)為

M

→∞，則可以證明

考慮三次量子化，即相位和粒子數(shù)為算符，
。設(shè)為總粒子數(shù)為

m

的Fock態(tài)，即：

根據(jù)|{

m

i}>和|

>的定義，容易計(jì)算：

因此有
，它自然給出基本對(duì)易關(guān)系。

然而，超導(dǎo)、超流和玻色—愛(ài)因斯坦凝聚等卻成為人們?cè)缫延^察到的宏觀量子態(tài)(通常叫做宏觀量子現(xiàn)象)，但它們還沒(méi)有在宏觀尺度上產(chǎn)生集體的量子力學(xué)相干效應(yīng)。正如萊格特(Leggett)所強(qiáng)調(diào)，這些所謂“宏觀量子態(tài)”仍只是大量相干微觀粒子的直積態(tài)，其核心特征仍然是單粒子波函數(shù)的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，而非真正意義上的宏觀相干疊加[38，39]。換言之，超導(dǎo)體中庫(kù)珀對(duì)的凝聚、BEC中原子的相干態(tài)，都還只是每一個(gè)原子“單一參量”取定同一相位后的確定態(tài)；要檢驗(yàn)量子力學(xué)能否上升至宏觀層面，必須觀測(cè)到不同宏觀序參量對(duì)應(yīng)的宏觀量子態(tài)之間的量子疊加與相干隧穿，即所謂的“薛定諤貓態(tài)”——一個(gè)宏觀體系同時(shí)處于相互排斥的兩個(gè)宏觀量子態(tài)之中。萊格特和他的合作者提出了類(lèi)似于Bell不等式[40]的萊格特—加格不等式[41]，能夠通過(guò)任意三個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)宏觀物理量演化的兩兩關(guān)聯(lián)確定貓態(tài)是否形成。

4.3　約瑟夫森效應(yīng)及其宏觀序參量

以約瑟夫森結(jié)為例(圖5)，結(jié)兩側(cè)超導(dǎo)體的相位差

在傳統(tǒng)意義上是確定的經(jīng)典變量，當(dāng)系統(tǒng)溫度足夠低，能量耗散受控時(shí)，

不再固定，而是在兩個(gè)能量極小點(diǎn)之間形成隧穿疊加——這便是宏觀量子隧道效應(yīng)的起點(diǎn)。超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)的量子態(tài)是兩側(cè)超導(dǎo)體的BCS態(tài)的直積態(tài)：

兩側(cè)的位相差

L

-?

R

是確定的。這個(gè)因子化結(jié)構(gòu)的態(tài)|JE(

)>表明體系整體并未形成跨系統(tǒng)的量子糾纏，僅體現(xiàn)獨(dú)立區(qū)域內(nèi)的宏觀量子特性。在這個(gè)宏觀量子態(tài)上計(jì)算電流

J，我們可得到約瑟夫森方程：

其中

V

為偏置電壓。

圖5　超導(dǎo)約瑟夫森(Josephson)結(jié)的量子態(tài)是BCS態(tài)直積：|JE(

)>=|BCS(

L

)>?|BCS(

R

)>，相對(duì)相位

L -

R

而一個(gè)真實(shí)的約瑟夫森結(jié)有電阻

R

和電容

C

。電流偏置為

時(shí)，序參量位相差

滿足方程：

以上忽略了外部環(huán)境的噪聲與漲落，但有電阻電容引起的耗散

RC

，并且

C =?

C

/(2

e

)。

上述方程等效于在勢(shì)

中的阻尼運(yùn)動(dòng)。這是一個(gè)相對(duì)于

的“搓衣板勢(shì)”。當(dāng)

被量子化且隨時(shí)間改變，整個(gè)約瑟夫森結(jié)就從一個(gè)宏觀量子態(tài)|JE(

)>變?yōu)榱硪粋€(gè)|JE(-

)>。中間必定增加它們的相干疊加——貓態(tài)～|JE(

)>+|JE(-

)>(圖6)。

圖6　超導(dǎo)約瑟夫森效應(yīng)：是量子宏觀(累計(jì))(a)還是宏觀量子(效應(yīng))(b)——薛定諤貓態(tài)(c)？

約翰·克拉克(John Clarke)、米歇爾·德沃雷特(Michel H. Devoret)與約翰·馬蒂尼斯(John M. Martinis)三人的實(shí)驗(yàn)工作[42，43]，正是這一思想的首次確定性驗(yàn)證。他們?cè)谄秒娏鹘咏R界值的超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)中，觀測(cè)到了序參量相位差的能級(jí)量子化與宏觀量子隧穿。這意味著，一個(gè)宏觀電路變量(相位差或磁通量)確實(shí)表現(xiàn)出量子態(tài)的分立結(jié)構(gòu)，其能級(jí)間距可通過(guò)微波共振方式激發(fā)，從而直接顯示出“宏觀變量的量子化”。宏觀量子隧穿的觀測(cè)是“三次量子化”的實(shí)驗(yàn)基石。按照經(jīng)典圖像，約瑟夫森結(jié)中的相位差可視為在“搓衣板勢(shì)”

U

)中滾動(dòng)的粒子。當(dāng)系統(tǒng)處于局域勢(shì)阱的最低點(diǎn)時(shí)，其狀態(tài)穩(wěn)定在某一相位；若勢(shì)阱足夠深，粒子無(wú)法跨越勢(shì)壘。然而在量子描述中，這個(gè)“粒子”(即序參量

)能以有限概率穿越勢(shì)壘，從一個(gè)勢(shì)阱躍遷至另一勢(shì)阱，其對(duì)應(yīng)的宏觀態(tài)便從左態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橛覒B(tài)。若系統(tǒng)能量低于勢(shì)壘高度，這一過(guò)程只能通過(guò)量子隧穿實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)精密控制電流偏置與溫度，人們觀察到了逃逸率在低溫下的飽和現(xiàn)象，即熱激發(fā)機(jī)制無(wú)法解釋的“量子逃逸”。這正是宏觀隧穿的直接證據(jù) [42] 。更為重要的是，通過(guò)在微波共振下激發(fā)不同能級(jí)的隧穿，人們首次確認(rèn)了這些宏觀能級(jí)的量子化結(jié)構(gòu) [43] 。同年，盧肯斯團(tuán)隊(duì)利用射頻超導(dǎo)量子干涉裝置(rf SQUID)首次觀測(cè)到“磁通量”這一宏觀物理量的量子隧穿效應(yīng) [44] 。由此，“宏觀量子疊加”的存在不再是物理假設(shè)，而成為實(shí)驗(yàn)事實(shí)。

從上面的討論看到，第三次量子化——“序參量量子化”深深根植于量子場(chǎng)論與統(tǒng)計(jì)物理的統(tǒng)一框架之中。序參量在微觀上源于多體關(guān)聯(lián)，而在宏觀上表現(xiàn)為可觀測(cè)的相位或磁通。當(dāng)這種平均場(chǎng)被再度量子化時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部的量子關(guān)聯(lián)便重新進(jìn)入了宏觀舞臺(tái)。這種自下而上的層級(jí)結(jié)構(gòu)——從微觀粒子到集體序參量，再到宏觀序參量的再量子化——體現(xiàn)了量子理論的“自生性”：量子化不再只是對(duì)外在對(duì)象的數(shù)學(xué)操作，而是物理世界結(jié)構(gòu)自身在不同層次上不斷重復(fù)涌現(xiàn)的規(guī)律。在這一意義上，“三次量子化”的科學(xué)意義可視為量子力學(xué)的自我擴(kuò)張：它不僅關(guān)乎量子理論在新系統(tǒng)中的適用性，更關(guān)乎量子論的本體論邊界。傳統(tǒng)的量子—經(jīng)典劃分，在這里被重新定義。序參量作為一種“介觀”變量，既具有宏觀的可測(cè)性，又具備微觀的相干性。它既不是經(jīng)典場(chǎng)，也不是微觀波函數(shù)，而是一種跨尺度的量子存在。宏觀電路的相位波動(dòng)，BEC凝聚體的相位差，甚至冷原子晶格中的自俘獲模式，都可在這一框架下得到統(tǒng)一?？梢哉f(shuō)，第三次量子化為量子力學(xué)的誕生百年提供了一個(gè)新的形而上轉(zhuǎn)折：量子化的對(duì)象不再是物質(zhì)，而是“序”本身。

4.4　第三次量子化催生超導(dǎo)量子計(jì)算

第二次量子化導(dǎo)致的“序”可以理解為物理系統(tǒng)中通過(guò)集體相干性涌現(xiàn)出的低能自由度。序參量進(jìn)一步量子化(第三次量子化)不僅意味著多體系統(tǒng)秩序的量子性，而且這種量子秩序的波動(dòng)，直接孕育了新一代信息處理方式——超導(dǎo)量子計(jì)算。超導(dǎo)量子計(jì)算可以被視為“三次量子化”在應(yīng)用領(lǐng)域的自然延伸。它以超導(dǎo)回路中相位或磁通量的量子疊加作為邏輯比特(qubit)，通過(guò)對(duì)這些宏觀序參量的量子操控實(shí)現(xiàn)信息的存儲(chǔ)與運(yùn)算。

與傳統(tǒng)電子計(jì)算機(jī)不同，超導(dǎo)量子比特的“0”和“1”可以并非二值邏輯的排他狀態(tài)，而是宏觀量子疊加的兩個(gè)分量。操作這些比特的過(guò)程，本質(zhì)上就是對(duì)宏觀量子態(tài)的相干控制。正如德沃雷特在早期實(shí)驗(yàn)中所指出的，約瑟夫森結(jié)的相位差可以被看作量子“坐標(biāo)”，而其共軛變量——結(jié)上的電荷——?jiǎng)t構(gòu)成“動(dòng)量”。二者的量子對(duì)易關(guān)系為構(gòu)建量子門(mén)操作提供了理論基礎(chǔ)。隨著相位量子比特、磁通量子比特、電荷量子比特等不同體系的出現(xiàn)，超導(dǎo)量子計(jì)算成為研究“宏觀量子疊加”應(yīng)用的最佳舞臺(tái)。每個(gè)超導(dǎo)量子比特，都對(duì)應(yīng)序參量的雙阱結(jié)構(gòu)，其基態(tài)與激發(fā)態(tài)分別代表“左阱”與“右阱”的宏觀態(tài)疊加。借助微波脈沖乃至電壓、電流調(diào)控隧穿速率與相干時(shí)間，人們實(shí)現(xiàn)了對(duì)宏觀量子態(tài)的精確操控。隨著多比特系統(tǒng)的集成與糾纏操作的突破，宏觀量子疊加的規(guī)模不斷擴(kuò)大，最終形成可編程量子處理器。這一過(guò)程從根本上印證，“三次量子化”催生的宏觀秩序本身，可成為量子信息的載體和處理單元。

圖7　超導(dǎo)量子比特的進(jìn)化：從相位量子比特(a)、磁通量子比特(b)、電荷量子比特(c)到電容并聯(lián)磁通量子比特(d)[46]和Transmon變形(e)[47，48]

然而，要使這些宏觀量子比特真正可用于計(jì)算，最關(guān)鍵的挑戰(zhàn)在于相干性的維持。宏觀量子態(tài)極易受到環(huán)境噪聲的擾動(dòng)，其退相干時(shí)間通常極短。如何延長(zhǎng)退相干時(shí)間，成為連接基礎(chǔ)物理與應(yīng)用技術(shù)的核心問(wèn)題。在21世紀(jì)初開(kāi)始的研究首次實(shí)現(xiàn)了相位量子比特的微秒級(jí)相干時(shí)間[45]，證明宏觀量子態(tài)可在可控時(shí)間內(nèi)保持穩(wěn)定，從而使“三次量子化”的物理圖像得以在實(shí)驗(yàn)上長(zhǎng)期維持。進(jìn)一步可以通過(guò)設(shè)計(jì)電容并聯(lián)磁通量子比特[46]或電荷量子比特，抑制電荷漲落，這催生了“Transmon”方案[47，48]，使超導(dǎo)比特的相干時(shí)間提升至毫秒量級(jí)。這一設(shè)計(jì)思想內(nèi)核，正是“三次量子化”的層級(jí)進(jìn)化：通過(guò)人為調(diào)節(jié)系統(tǒng)的量子漲落結(jié)構(gòu)，使宏觀變量重新展現(xiàn)量子性、重新服從量子規(guī)則(圖7)。

05

結(jié)束語(yǔ)：21世紀(jì)物理學(xué)未來(lái)發(fā)展的量子旋律

在量子力學(xué)誕生百年之際，回望這一科學(xué)史上最深刻的理論，不難發(fā)現(xiàn)其發(fā)展邏輯呈現(xiàn)清晰的層級(jí)遞進(jìn)：三次量子化構(gòu)成螺旋上升發(fā)展投影閉環(huán)，拓展了量子觀念的適用邊界，實(shí)現(xiàn)了對(duì)物理世界層級(jí)涌現(xiàn)結(jié)構(gòu)的重新認(rèn)知。第一次量子化聚焦單粒子正則量子化及其導(dǎo)致的波動(dòng)規(guī)律，揭示微觀世界狀態(tài)的離散性；第二次轉(zhuǎn)向相互作用多粒子系統(tǒng)和場(chǎng)，奠定量子場(chǎng)論的基礎(chǔ)；第三次則以第二次量子化涌現(xiàn)的序參量為量子化對(duì)象，突破宏觀與微觀的人為界限，探索“宏觀量能否成為量子化對(duì)象”的根本命題，把發(fā)端于單粒子量子化的思想提升至對(duì)涌現(xiàn)集體變量的正則量子描述(圖8)。

圖8　量子力學(xué)百年發(fā)展歷程的主旋律：從微觀到宏觀的三次量子化

這一由萊格特于20世紀(jì)80年代初發(fā)端的“第三次量子化”思想，在超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)體系得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，成為超導(dǎo)量子計(jì)算蓬勃發(fā)展的物理基礎(chǔ)與方法論起點(diǎn)，以2025年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的表彰為標(biāo)志，完成了從思想假說(shuō)向量子物理工程實(shí)踐的跨越。這些研究探索表明，量子理論具有跨層次的普適性，其有效性邊界不在于空間尺度，而在于各個(gè)層次涌現(xiàn)的集體屬性是否有量子特征可以被觀察到。對(duì)宏觀系統(tǒng)，只要能抑制環(huán)境噪聲、維持足夠長(zhǎng)的相干時(shí)間，宏觀系統(tǒng)便呈現(xiàn)量子疊加與糾纏。近二十年對(duì)超導(dǎo)量子電路、玻色—愛(ài)因斯坦凝聚和機(jī)械諧振器等宏觀體系的實(shí)驗(yàn)探索，以及超導(dǎo)量子計(jì)算的實(shí)用化實(shí)踐，均印證了這一點(diǎn)，讓量子相干疊加特性從微觀世界延伸至人類(lèi)可調(diào)控的宏觀世界并在工程技術(shù)發(fā)展中得到實(shí)際應(yīng)用。

量子力學(xué)經(jīng)歷三次量子化的演進(jìn)，每一步都具有顯著的革命性，它們使得量子力學(xué)從單純的微觀描述工具，升華為螺旋上升的涌現(xiàn)性理論的認(rèn)知范式：在物質(zhì)世界特定層次中通過(guò)相互作用涌現(xiàn)出來(lái)的序可被量子化，進(jìn)而產(chǎn)生宏觀量子現(xiàn)象；若此類(lèi)宏觀量子體系間再發(fā)生相互作用，將形成更大尺度的序并可進(jìn)一步量子化。這個(gè)循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過(guò)程既展現(xiàn)了理解自然界的內(nèi)在統(tǒng)一性，也構(gòu)筑了物質(zhì)科學(xué)研究的無(wú)盡前沿。這一進(jìn)程破解了量子力學(xué)詮釋的困境——量子與經(jīng)典的界限并非人為劃定的空間邊界，哥本哈根詮釋的核心假設(shè)——波函數(shù)坍縮可以被較深層次上退相干機(jī)制取代；量子力學(xué)在宏觀世界中并未失效，只是被基本層次上環(huán)境噪聲所掩蓋，實(shí)驗(yàn)手段已能重新揭示宏觀世界的量子本性。因此，量子力學(xué)中的三次量子化并非其理論形式的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，而是又一場(chǎng)深刻的認(rèn)知革命。作為量子理論自我進(jìn)化的三重回響，這一進(jìn)程正標(biāo)志著人類(lèi)即將從“量子(效應(yīng))宏觀(累計(jì))”的傳統(tǒng)認(rèn)知，邁入“宏觀(系統(tǒng))量子(效應(yīng))”的新時(shí)代。因此，量子力學(xué)的百年歷程，不僅是值得回望的科學(xué)慶典，更是量子力學(xué)面向物質(zhì)世界不同層次長(zhǎng)足發(fā)展的新生期待。

致 謝 感謝中國(guó)工程物理研究院研究生院?jiǎn)虈?guó)健、岳鑫以及易淼淼在本文撰寫(xiě)過(guò)程中提供的幫助。

參考文獻(xiàn)

[1] 楊振寧. International Conference on Theoretical Physics：TH- 2002，Paris，July 22-27，2002. Birkh?user 出版社，2003

[2] 楊振寧 . 20 世紀(jì)理論物理的三個(gè)主旋律：量子化、對(duì)稱(chēng)性和相位因子.見(jiàn)：曙光集，生活?讀書(shū)?新知三聯(lián)書(shū)店，2008

[3] 孫昌璞. 物理學(xué)報(bào)，2022，71(1)：010101

[4] 斯蒂芬·溫伯格 著，李泳 譯 . 終極理論之夢(mèng) . 長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2018

[5] 斯蒂芬·溫伯格 著，黃艷華，江向東 譯 . 仰望蒼穹：科學(xué)反擊文化敵手. 上海：上海科技教育出版社，2004

[6] Weisskopf V F. Phys. Today，1967，20：23

[7] Anderson P W. Science，1977，177：393

[8] 曹則賢 . 物理，2024，53(12)：828; 2024，53(11)：761; 2024，53(10)：701; 2024，53(9)：626；2024，53(8)：551; 2024，53(4)：259

[9] 孫昌璞. 量子力學(xué)現(xiàn)代教程. 北京：北京大學(xué)出版社，2024

[10] 彭桓武. 物理，2001，30(05)：267

[11] Heisenberg W. Z. Physik，1925，33：879

[12] Born W，Jordan P. Z. Physik，1925，34：858

[13] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. A，1925，109：642

[14] Born M. Heisenberg W，Jordan P. Z. Physik，1926，35：557

[15] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc，A，1927，113：621

[16] von Neumann J. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen，Math.-Phys. Kl. 1927：1

[17] Pauli W. Z. Physik，1926，36：336

[18] Schr?dinger E. Ann. Physik，1926，79：361，489，734; 80：437; 81：109

[19] Schr?dinger E. Ann. D. Physik，1926，387：734

[20] 孫昌璞. 科學(xué)文化評(píng)論，2013，10(1)：9

[21] Born M. Z. Physik，37，863; 1926b，38，803

[22] 孫昌璞 . 物理 ，2017，46(8)：481 2000，29(08)：457; 2001，30(05)：310

[23] 崔廉相，許康，張芃 等. 物理，2023，52(1)：1

[24] Weinberg S. The Quantum Theory of Fields，Volume II：Modern Applications. Cambridge University Press，2005

[25] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. A，1928，118：610

[26] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. A，1931，133：60

[27] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. A，1927，114：243

[28] 孫昌璞，葛墨林. 經(jīng)典楊—米爾斯場(chǎng)理論. 北京：高等教育出版社，2022

[29] 于敏. 量子光學(xué)講義. 北京：北京大學(xué)出版社，2025

[30] Glauber R J. Phys. Rev.，1963，130：2529

[31] Glauber R J. Phys. Rev.，1963，131：2766

[32] Leinaas J M，Myrheim J. Nucl. Phys. B，1977，37：1

[33] Wilczek F. Phys. Rev. Lett.，1982，48：1144

[34] Wu Y S. Phys. Rev. Lett.，1984，53：111

[35] Liu C X，Qi X L，Dai X et al. Phys. Rev. Lett.，2008，101：146802

[36] Yu R，Zhang W，Zhang H J et al. Science，2010，329：61

[37] Chang C Z，Zhang J，F(xiàn)eng X et al. Science，2013，340：167

[38] Leggett A J. Progr. Theor. Phys. (Suppl.)，1980，69：80

[39] Caldeira A O，Leggett A J. Phys. Rev. Lett.，1981，46：211

[40] Bell J S. Physics Physique Fizika，1964，1：195

[41] Leggett A J，Garg A. Phys. Rev. Lett.，1985，54：857

[42] Devoret M H，Martinis J M，Clarke J. Phys. Rev. Lett.，1985，55：1908

[43] Martinis J M，Devoret M H，Clarke J. Phys. Rev. Lett.，1985，55：1543

[44] Schwartz D B，Sen B，Archie C N et al. Phys. Rev. Lett.，1985，55：1547

[45] Yu Y，Han S，Chu X et al. Science，2002，296：889

[46] You J Q，Hu X，Ashhab S et al. Phys. Rev. B，2007，75：140515(R)

[47] Koch J，Yu T M，Gambetta J et al. Phys. Rev. A，2007，76：042319

[48] Barends R，Kelly J，Megrant A et al. Phys. Rev. Lett.，2013，111(8)：080502

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