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海淀區(qū)九年級(jí)第27題

在人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第29頁(yè)，初次接觸全等三角形時(shí)，教材上已經(jīng)給出了未來(lái)可能遇到的各類(lèi)全等三角形，如下圖：

將其中的三角形換成特殊的直角三角形，我們還可以得到更多熟悉的圖形，例如第43頁(yè)的練習(xí)，如下圖：

我們將這兩題的圖稍微變換一下，就是基本模型“一線三直角”和“手拉手”，如下圖：

當(dāng)我們從例題和習(xí)題解題教學(xué)中，總結(jié)歸納出這一類(lèi)“相似”的圖形，并且解題思路相近，為方便記憶，給出這一類(lèi)的名稱，例如上圖中的一線三直角，意思就是三個(gè)直角的頂點(diǎn)在一條直線上，其中兩個(gè)直角分別是三角形的內(nèi)角，還有一個(gè)直角是對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角；

而“手拉手”模型則對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)通過(guò)旋轉(zhuǎn)重合的全等三角形，這一類(lèi)圖形的特點(diǎn)是兩個(gè)三角形存在一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且各對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)繞這個(gè)公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)重合，關(guān)鍵是找到這個(gè)公共頂點(diǎn)以及旋轉(zhuǎn)角；

模型不能脫離教材，由例題和習(xí)題歸納出來(lái)的模型，才有用。

題目

在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD+CD=1/2BC，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接DE.

(1)如圖1，當(dāng)AD=CD=1時(shí)，補(bǔ)全圖形，并求DE的長(zhǎng)；

(2)如圖2，取AE中點(diǎn)F，連接DF，用等式表示DF與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)方法一：

由旋轉(zhuǎn)想到，以A為公共頂點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，如下圖：

作AG⊥AC，交BC于點(diǎn)G，連接CE，由于△ACD是等腰直角三角形，因此△ACG也是等腰直角三角形，很容易證明△ABG≌△AEC，得BG=EC，∠AGB=∠ACE=135°，則∠DCE=90°；

由AD+CD=1/2BC求得BC=4，所以BG=EC=2，最后在Rt△DCE中由勾股定理求出DE=√5；

方法二：

由共線的兩個(gè)直角頂點(diǎn)想到，延長(zhǎng)AD，過(guò)點(diǎn)E作AD延長(zhǎng)線的垂線，垂足為H，如下圖：

證明其中的△ABD≌△EAH，得BD=AH，仍然先求出BC=4，則BD=AH=3，最后求出DH=2，在Rt△DEH中由勾股定理求出DE=√5；

02

(2)首先按要求作圖如下：

前面所用的兩種方法我們延續(xù)下來(lái)，每一種方法都可以找到突破；

方法一：

仍然過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC，交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，延長(zhǎng)DF交EH于點(diǎn)K，如下圖：

第一對(duì)全等三角形是△ABG≌△AEH，證明思路和前面一樣，所得結(jié)論也類(lèi)似，∠DHE=90°，DH=DG=AD，BG=EH；

第二對(duì)全等三角形是△ADF≌△EKF，這也比較容易證明，畢竟有AD∥EH這個(gè)結(jié)論，再加上點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，可得AD=EK；

第三對(duì)全等三角形是△ADC≌△DHK，已經(jīng)具備了AD=DH，∠ADC=∠DHK=90°；

由AD+CD=1/2BC可得BG=CG=DG+CD，且BG=EH，于是DG+CD=EH=HK+EK，兩邊都減掉相等的量DG和EK，剩下CD=HK，這樣第三對(duì)全等三角形的條件齊備了，可得△ADC≌△DHK，所以AC=DK，最后得到AC=2DF；

方法二：

仍然延長(zhǎng)AD，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EK∥AH，交DF延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作KI⊥AH于點(diǎn)I，如下圖：

先證明△ABD≌△EAH，得BD=AH，再證明△ADF≌△EKF，得AD=EK，其中BD=BC-CD=2(AD+CD)-CD=2AD+CD；

而AH=AD+DI+IH=AD+DI+EK=2AD+DI，因此可得CD=DI，于是我們可證明△ACD≌△KDI，所以AC=KD=2DF.

解題思考

本題所用到的基本模型包括“一線三直(等)角”、“手拉手”、中線倍長(zhǎng)等，這些基本模型均來(lái)源于教材例題和習(xí)題，它們就是所有解題模型的“母題”，代表一類(lèi)解題思路，模型的使用需要理解其推導(dǎo)原理，明白在什么樣的條件下，怎樣想到。

當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)生解題的時(shí)候，更多的是教會(huì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，在審題的時(shí)候，明確要解決什么問(wèn)題，已經(jīng)具備哪些條件，可以使用哪些方法。

幾個(gè)常見(jiàn)誤區(qū)：第一是對(duì)例題思路分析較少，直接給出輔助線作法，缺少讓學(xué)生探究的過(guò)程；第二是變式訓(xùn)練的變式過(guò)于直白，簡(jiǎn)單更換條件或圖形，我們既然教的是方法，那么變式變化的，應(yīng)該不僅僅是條件的互換，而應(yīng)該是方法的升級(jí)；第三是對(duì)解題的復(fù)盤(pán)流于形式，學(xué)生一時(shí)想不到，原因是什么，老師需要幫助他們分析，順著學(xué)生的思路一步步走下去，直到卡殼的地方，將癥結(jié)找準(zhǔn)，再引導(dǎo)學(xué)生用自已的方式解決。

模型不能機(jī)械照搬，刷模型更不可取，不理解，終究解決不了問(wèn)題。