新定義“等邊旋轉(zhuǎn)點”

海淀區(qū)九上數(shù)學第28題

旋轉(zhuǎn)變換三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角，若點A繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α得到點B，則相應的，點B繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α得到點A，當這個α為特殊角例如60°時，旋轉(zhuǎn)前后的點A，點B，以及旋轉(zhuǎn)中心O，還有更多相互得到的方式，當然無論哪一種，始終需明確三要素是什么。

題目

在平面直角坐標系xOy中，圓O的半徑為2，對于點P，Q和圓O的弦AB，給出如下定義：

若弦AB上存在點C，使得點P繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與點Q重合，則稱點Q是點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”.

(1)如圖，點P（-2，0），直線x=1與圓O交于點A，B.

①點B的坐標為__________，點B________（填“是”或“不是”）點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”；

②若點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”為點Q，則PQ的最小值為_________，當PQ與圓O相切時，點Q的坐標為___________；

(2)已知點D（t，0），E（-1，0），若對于線段OE上的每一點M，都存在圓O的長為2√3的弦GH，使得點M是點D關于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，直接寫出t的取值范圍.

解析：

01

(1)①連接OB，構(gòu)造特殊Rt△BOD，如下圖：

容易得到B(1,-√3)；為驗證點B是否點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，我們需要在弦AB上找一個點，將點P繞這個點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，與點B重合，這個點恰好是點A，如下圖：

所以點B是點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”；

②我們在弦AB上任意取點C，并以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將點P繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q，如下圖：

顯然△PCQ是等邊三角形，當我們連接PA和PB時，我們又得到一個等邊三角形，連接BQ，得到一對全等三角形，如下圖：

易證△APC≌△BPQ，可得∠PAC=∠PBQ=60°，由于BP為定弦，則BQ與BP夾角始終為60°，于是點Q一定在BQ所在直線上，根據(jù)垂線段最短，當PQ⊥BQ時，PQ最小，如下圖：

當PQ最小時，PC也最小，且點C恰好在x軸上，因此PC=3，即PQ最小值為3；

當PQ與圓O相切時，如下圖：

此時點C與點B重合，PQ=PC=AB=2√3，因此可求得Q(-2,-2√3)；

02

(2)由題目條件可知點D在x軸上，點E為定點，OE長為1，弦GH長為2√3，恰好與上一小題中的弦AB相等，這樣的弦在圓O中位于什么地方？

定弦在圓中的位置，我們在課堂上曾經(jīng)研究過，也舉過相應的實例，當我們將一根筷子平放在圓盤中，保持筷子兩端在圓盤邊上，它在圓中掃過的區(qū)域是一個圓環(huán)，如下圖：

我們再來理解這句話“點M是點D關于弦GH的‘等邊旋轉(zhuǎn)點’”，點M在線段OE上，點D在x軸上，旋轉(zhuǎn)中心在圓環(huán)內(nèi)某點，旋轉(zhuǎn)方向是逆時針，旋轉(zhuǎn)角是60°；

以上關鍵信息，點D，線段OE，圓環(huán)。

點D繞圓環(huán)中某點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段OE，如下圖：

但我們并不清楚旋轉(zhuǎn)中心在圓環(huán)哪個位置，因此這種理解并不方便作圖研究，我們需要它的等價命題；

等價命題一（方法一）：

線段OE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，全部落在圓環(huán)內(nèi)，如下圖：

等價命題二（方法二）：

圓環(huán)繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，覆蓋線段OE，如下圖：

0 1

方法一：

隨著點D位置不同，線段OE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，軌跡如圖所示，而要滿足線段O'E'完全在圓環(huán)內(nèi)，我們需要找?guī)滋庩P鍵位置，第一處，當點O'在外圓上，如下圖：

此時△ODO'是等邊三角形，OD=OO'=2，即t=-2；

第二處，當線段O‘E’與內(nèi)圓相切，如下圖：

此時△ODO'仍然是等邊三角形，可知ON=1，則OD=2√3/3，即t=-2√3/3；

第三處，當線段O'E'的端點O'在內(nèi)圓上，如下圖：

此時OD=1，即t=1；

第四處，當線段O'E'的端點E'在外圓上，如下圖：

此時DE=t+1，DN=EN=1/2(t+1)，E‘N=√3/2(t+1)，OE'=2，于是ON=1/2(t+1)-1=1/2(t-1)，在Rt△OE'N中由勾股定理列方程得1/4(t-1)2+3/4(t+1)2=4，解得t=-1/2+√13/2；

所以滿足條件的t的取值范圍是-2≤t≤-2√3/3，1≤t≤-1/2+√13/2.

0 2

方法二：

將圓環(huán)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°，我們同樣可以找到圓環(huán)完全覆蓋線段OE的四處特殊位置，分別如下圖：

計算方法與方法一相同，不再重復，結(jié)果仍然是-2≤t≤-2√3/3，1≤t≤-1/2+√13/2.

解題思考：

學生解題感到困難的地方在于，旋轉(zhuǎn)三要素若是確定的，則非常輕松，一旦旋轉(zhuǎn)中心不確定，則學生不知道如何作圖，更無從建立動態(tài)模型，這十分考驗學生構(gòu)圖能力，事實上本題的旋轉(zhuǎn)，并非簡單的點、線繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，而是一個區(qū)域，即某個圖形繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，所以在學習旋轉(zhuǎn)變換的時候，課堂上應給予學生作圖操作的機會，去體驗旋轉(zhuǎn)前后圖形的位置關系，這比起簡單看演示效果要好得多。

另外在解題過程中，我們還需要逆向思維，旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)前后的圖形間，若存在等價變換，那么利用新的變換來代替原有變換，不失為一種新的解題思路。