北大謝俊逸、袁新意合作論文，被數(shù)學(xué)四大頂刊接收！

還是四大頂刊中年發(fā)文量最少的《Acta Mathematica》。

這篇論文題為”Partial Heights, Entire Curves, and the Geometric Bombieri–Lang Conjecture”（部分高度、整曲線與幾何Bombieri–Lang猜想），核心成果是：

在特征0的函數(shù)域上，證明了具有到阿貝爾簇有限態(tài)射的代數(shù)雙曲射影簇的幾何Bombieri–Lang猜想。

論文同時引入了“部分高度”這一全新的解析工具，并提出了“非退化猜想”，為后續(xù)研究提供了系統(tǒng)性的框架。

論文早在2023年5月便上傳至預(yù)印本平臺arXiv，歷經(jīng)近3年的審稿后終獲正式接收。這也是袁新意第5篇被數(shù)學(xué)四大刊接收的文章、回國后的第3篇，同時也是謝俊逸回國后被四大刊接收的第3篇。

兩位作者目前均任職于北京大學(xué)北京國際數(shù)學(xué)研究中心。

從Mordell猜想到Bombieri–Lang猜想：半個多世紀(jì)的推進(jìn)

理解這篇論文的研究背景，還要回溯丟番圖幾何領(lǐng)域半個多世紀(jì)的發(fā)展脈絡(luò)。

1983年，F(xiàn)altings證明了Mordell猜想，虧格大于1的代數(shù)曲線上只有有限多個有理點(diǎn)。

Bombieri–Lang猜想則是Mordell猜想向高維的推廣：它斷言滿足特定雙曲性條件的高維射影簇上，有理點(diǎn)仍然只有有限多個；如果將雙曲性條件放寬為“一般型”，則猜想斷言有理點(diǎn)的集合不會Zariski稠密。

在數(shù)域上，除了Faltings證明的Mordell猜想本身以及阿貝爾簇子簇的情形之外，Bombieri–Lang猜想目前大部分仍懸而未決。

在函數(shù)域上，Bombieri–Lang猜想有一個對應(yīng)的“幾何版本”。這一版本此前已在若干情形中被證明：

對于曲線在特征0下完成證明，Samuel（1966年）處理了正特征的情形；對于阿貝爾簇的子簇，由Raynaud（1983年）和Buium（1992年）在特征0下給出證明，Hrushovski（1996年）將結(jié)果推廣到所有特征；對于余切叢豐沛的光滑射影簇，由Noguchi（1981年）和Martin-Deschamps（1984年）先后完成。

那么，謝俊逸和袁新意的這篇論文做出了哪些新的突破？

他們?yōu)殡p曲簇情形的幾何Bombieri–Lang猜想引入了一套全新的方法，證明了對于特征0的函數(shù)域上具有到阿貝爾簇有限態(tài)射的代數(shù)雙曲射影簇，猜想成立。

這一結(jié)果涵蓋了此前Raynaud和Buium等人關(guān)于阿貝爾簇子簇的經(jīng)典結(jié)果，且證明方法與已有工作完全不同。

論文的核心在于引入了“部分高度”這一新的解析概念。

在經(jīng)典框架中，Weil高度函數(shù)通過在整條基曲線上積分來衡量代數(shù)點(diǎn)的”高度”；而部分高度則將積分區(qū)域縮小到曲線上的一個開圓盤，從而獲得對高度的一種局部度量。

論文提出的“非退化猜想”斷言：如果一個有理點(diǎn)序列的Weil高度趨于無窮，那么其部分高度也趨于無窮——兩種高度實(shí)際上可以相互控制。

證明的整體策略是反證法：

假設(shè)一個雙曲簇上存在高度無界的有理點(diǎn)序列，由非退化猜想可知部分高度也無界；

進(jìn)而利用復(fù)幾何中經(jīng)典的Brody引理，從這些截面的限制中構(gòu)造出纖維上的一條整曲線，即從復(fù)平面到簇的非常值全純映射；

然而雙曲性假設(shè)恰好排除了整曲線的存在，由此產(chǎn)生矛盾。

在本文基礎(chǔ)上，謝俊逸和袁新意還上傳了另一篇后續(xù)論文，將結(jié)果從雙曲簇推廣到更一般的分歧覆蓋情形。據(jù)了解，已有學(xué)者在兩人成果的基礎(chǔ)上證明了更廣泛情形的幾何Bombieri–Lang猜想。

兩位作者的學(xué)術(shù)軌跡

袁新意，祖籍湖北麻城，2000年參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽獲得金牌，之后進(jìn)入北大數(shù)學(xué)系。

他與劉若川、惲之瑋、宋詩暢、肖梁、許晨陽等人同為北大數(shù)學(xué)”黃金一代”，又與張偉、惲之瑋、朱歆文并稱”數(shù)學(xué)界四小天鵝”。

2004年袁新意赴哥倫比亞大學(xué)深造，師從華人數(shù)學(xué)家張壽武，2008年獲博士學(xué)位。同年他成為首位獲得美國克雷研究所研究獎的華人。

此后他先后在克雷數(shù)學(xué)研究所做博士后，擔(dān)任哥倫比亞大學(xué)Ritt助理教授、普林斯頓大學(xué)助理教授和加州大學(xué)伯克利分校助理教授。2020年，袁新意回到母校北京大學(xué)，任北京國際數(shù)學(xué)研究中心教授至今。

袁新意的研究集中在Arakelov幾何、代數(shù)動力學(xué)、丟番圖幾何、志村簇以及L函數(shù)的特殊值等領(lǐng)域。他的獨(dú)作成果正式發(fā)表在另一數(shù)學(xué)四大頂刊《Annals of Mathematics》上；隨后他在第十屆世界華人數(shù)學(xué)家大會上獲頒ICCM數(shù)學(xué)獎金獎。算上本篇論文，袁新意已有5篇文章被數(shù)學(xué)四大刊接收，其中3篇是回國之后的工作。

謝俊逸來自廣西，從廣西師大附屬外語學(xué)?？既胫袊茖W(xué)技術(shù)大學(xué)，后通過巴黎高等師范學(xué)院國際招生項(xiàng)目赴法深造。

他先后在巴黎高等師范學(xué)院、巴黎第七大學(xué)和巴黎綜合理工大學(xué)學(xué)習(xí)，2014年獲博士學(xué)位，博士論文獲新世界數(shù)學(xué)獎博士論文金獎。2016年他在法國國家科研中心（CNRS，雷恩第一大學(xué)）取得終身職位。2021年，謝俊逸辭去法國終身教職，加入北京大學(xué)，任北京國際數(shù)學(xué)研究中心教授至今。

謝俊逸的研究興趣是算術(shù)動力系統(tǒng)及相關(guān)的丟番圖幾何、代數(shù)幾何和復(fù)動力系統(tǒng)。謝俊逸與袁新意的合作由來已久：回國第二年，兩人合作證明幾何Bogomolov猜想的論文便發(fā)表在四大頂刊之一的《Inventiones Mathematicae》上；

兩人都將在今年的國際數(shù)學(xué)家大會（ICM）上分別作45分鐘報告。Bombieri–Lang猜想作為算術(shù)幾何領(lǐng)域的核心猜想之一，仍有大量開放情形等待解決，數(shù)域上的Bombieri–Lang猜想至今幾乎沒有一般性的結(jié)果。

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2305.14789

參考鏈接：
[1]https://intlpress.com/journals/journalList?p=4&id=1804409921462136833
[2]https://mordell.org

文章來源:量子位。