導(dǎo)語

從量子力學(xué)課堂上耳熟能詳?shù)碾p縫實(shí)驗(yàn)出發(fā)，本文借一個(gè)廣為流傳的“費(fèi)曼式追問”層層推進(jìn)：從對兩條路徑振幅的相加，到多孔、多屏，再到把空間視為被無限細(xì)分的極限過程，最終引出“對所有路徑求和”的費(fèi)曼路徑積分表述。通過這種由離散走向連續(xù)的直覺圖景，路徑積分不再只是形式主義中的抽象公式，而是量子疊加原理在時(shí)空中的自然延伸，并與時(shí)間演化算符、傳播子以及統(tǒng)計(jì)物理中的配分函數(shù)建立起清晰聯(lián)系。

一個(gè)“物理學(xué)課堂傳說”

很久以前，一門量子力學(xué)課上，教授照例講雙縫實(shí)驗(yàn)：在時(shí)刻 t=0，粒子從源 S發(fā)射，穿過屏幕上兩個(gè)孔（ A1 或 A2）之一，在時(shí)刻 t=T 被位于O的探測器探測到。

在標(biāo)準(zhǔn)講法里，探測到的“概率”不是直接相加，而是先加“振幅”。根據(jù)量子力學(xué)的疊加原理，到達(dá) O 的總振幅等于兩條可能過程的振幅之和：

• 從 S經(jīng) A1 到的振幅

• 從 S 經(jīng) A2 到的振幅

這就是雙縫干涉的數(shù)學(xué)核心：不同路徑對應(yīng)的振幅會(huì)相加，從而產(chǎn)生干涉。

這一點(diǎn)講完后，故事的主角出現(xiàn)了——一個(gè)很聰明的學(xué)生（我們就叫他“費(fèi)曼”）。

從“雙縫”到“多縫”

費(fèi)曼問：“教授，如果我在屏幕上再鉆第三個(gè)孔呢？”

教授回答：“那就把三條過程的振幅相加。”

費(fèi)曼又問：“如果我再鉆第四個(gè)、第五個(gè)孔呢？”

教授終于有點(diǎn)不耐煩：“好吧，聰明人。全班都看得出來：我們就是把所有孔的振幅都加起來。”

為了把這句話說得更精確，我們記粒子從 S 出發(fā)，經(jīng)由第 i 個(gè)孔 Ai，再到達(dá) O 的振幅為A(S → Ai → O)。

那么探測器在O處測到粒子的總振幅就是A(detected at O) = Σi A(S → Ai → O)

這一步的意義很簡單：孔從 2 個(gè)變成很多個(gè)，只是把“相加的項(xiàng)”從兩項(xiàng)變成多項(xiàng)，本質(zhì)仍是疊加原理。

但費(fèi)曼還沒停。

求和從“單屏”到“多屏”

費(fèi)曼繼續(xù)追問：“如果我們再加一塊屏，上面也鉆一些孔呢？”

教授更煩了，說：“你看不出來嗎？你只需要把過程拆成三段：

從源 S 到第一塊屏的孔 Ai 再到第二塊屏的孔 Bi ，再到探測器 O，然后對所有 i 和 j 求和就行了?！?/p>

也就是說，“一塊屏多孔”對應(yīng)的是對 i 求和；“兩塊屏多孔”對應(yīng)對 i,j 做二重求和。疊加原理仍然沒有變，只是中間可選節(jié)點(diǎn)更多了。

到這里，費(fèi)曼的問題開始逼近關(guān)鍵點(diǎn)。

當(dāng)所有屏幕“鉆滿孔”會(huì)變成什么？

費(fèi)曼繼續(xù)糾纏：“那我再放第三塊屏、第四塊屏呢？如果我放一塊屏，然后在上面鉆無窮多個(gè)孔，使得這塊屏等于不存在，那會(huì)怎樣？”

教授不耐煩了：“我們往下講吧，這門課要講的內(nèi)容還很多……”

這個(gè)故事里教授選擇“跳過”，但聰明的讀者朋友，你一定已經(jīng)看出來費(fèi)曼想干什么了。尤其妙的是那句話：在一塊屏上鉆出無窮多個(gè)孔，屏就等于不存在。

這句話把問題從“離散的孔”推向“連續(xù)的空間”：即使 S 到 O 之間什么都沒有（只是空間），仍可以把傳播理解為一種極限過程——好像空間被無窮多塊屏“填滿”，每塊屏又被無窮多個(gè)孔“打穿”。于是粒子從 S 到 O 的振幅就變成：

不是挑一條路，而是把所有可能路徑的貢獻(xiàn)都加起來。

A(粒子在時(shí)間 T 內(nèi)從 S 到 O) = Σ_paths A(粒子沿某條特定路徑從 S 到 O)

這就是路徑積分的直覺起點(diǎn)：從“對孔求和”升級為“對路徑求和”。

“對所有路徑求和”怎么定義？

到這一步，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜藭?huì)自然緊張：你說“對所有路徑求和”，但“路徑”是無限多、連續(xù)變化的對象，這個(gè)“求和”到底怎么定義？

費(fèi)曼（以及更早的狄拉克思路）采取的策略很經(jīng)典：先離散化，再取極限。

做法是：

1. 取一條連續(xù)路徑，用很多段直線去逼近它。

2. 讓直線段越來越短、段數(shù)越來越多，使逼近趨于精確（段長趨于零）。

你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這和“放很多塊屏、屏間距無限?。幻繅K屏上孔無限多”是一回事。它把“對路徑的求和”變成了“對很多中間點(diǎn)的積分/求和”，最后再取極限。

一條路徑的振幅怎么計(jì)算：

用幺正性把小段乘起來

即使“路徑的集合”被離散化了，還有一個(gè)關(guān)鍵問題：

沿某條特定路徑傳播的振幅 A(…) 怎么構(gòu)造？

這里用到量子力學(xué)的一個(gè)結(jié)構(gòu)：時(shí)間演化是幺正的。直觀地說，如果你知道粒子在每個(gè)無窮小時(shí)間步（或無窮小空間段）上的傳播振幅，那么一整段路徑的振幅可以通過把這些“無窮小段的振幅”連續(xù)相乘得到。

也就是說：

• 把一條連續(xù)路徑切成無窮多小段

• 每小段有一個(gè)傳播振幅

• 整條路徑的振幅就是這些小段振幅的乘積

最后再對“所有可能路徑”求和（在極限意義下變成泛函積分），就得到路徑積分形式主義的核心表達(dá)。

Dirac 的表述：

從時(shí)間演化算符到“對路徑求和”

前面的故事給出了路徑積分的直覺：把所有可能路徑的振幅加起來。費(fèi)曼的路徑積分不僅重構(gòu)了量子力學(xué)，更成為了現(xiàn)代量子場論（QFT）的兩大基石之一。

要讓它成為可計(jì)算的理論，還需要一個(gè)更硬的起點(diǎn)。據(jù)說計(jì)算方法是Dirac先想出來的。他把“振幅”和“作用量”之間的關(guān)系提了出來，并且這關(guān)系可以從量子力學(xué)最標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間演化形式出發(fā)系統(tǒng)推導(dǎo)。

（1）傳播振幅的起點(diǎn)：時(shí)間演化算符

在量子力學(xué)里，粒子從初始位置 qI 在時(shí)間 T 后到達(dá)末位置 qF 的傳播振幅（傳播子）寫成

這里 H 是哈密頓量。這個(gè)式子幾乎可以視作“量子力學(xué)演化”的定義。

這一點(diǎn)很重要：路徑積分不是另外一套物理假設(shè)，它是同一個(gè)時(shí)間演化算符的另一種展開方式。

（2）時(shí)間切片：把 T切成很多個(gè)很小的步長

把總時(shí)間 T 切成 N 段，每段 ?=T/N

于是 ，接著在每兩個(gè)短時(shí)間演化之間插入一次“完備性關(guān)系”（單位算符），用位置本征態(tài)寫就是 。

這樣做的結(jié)果是：傳播子被寫成對所有中間位置的多重積分；每一小段只涉及一個(gè)“短時(shí)間傳播核”：

其中 q0=qI, qN=qF。這就是實(shí)現(xiàn)把一條路徑積分起來、把所有路徑加起來的過程：把一條連續(xù)路徑變成許多小線段的極限；而“對所有路徑求和”變成了“對所有中間點(diǎn)積分”。

（3）計(jì)算無窮小的時(shí)間核

接下來關(guān)鍵是計(jì)算短時(shí)間振幅 的形式。做法是：在坐標(biāo)表象里插入動(dòng)量完備性 , 并利用短時(shí)間近似（?很?。┌阎笖?shù)展開到合適階。對于一般的哈密頓量 , 振幅會(huì)變成這個(gè)樣子。在計(jì)算的過程中，哈密頓量會(huì)自然變形為拉格朗日量，最終指數(shù)里出現(xiàn)的是作用量 。

（4）與統(tǒng)計(jì)物理的關(guān)聯(lián)

在大多數(shù)情況下，我們關(guān)心的是把初態(tài) |I〉與末態(tài) |F〉 都取成基態(tài) |0〉。按慣例，我們把真空到真空的演化振幅記為 Z：。

實(shí)時(shí)間路徑積分之所以“可用”，主要依賴不同路徑帶來的快速振蕩相位在求和時(shí)相互抵消，從而在物理意義上起到“收斂”的作用；更為嚴(yán)格的處理是進(jìn)行所謂的 Wick 旋轉(zhuǎn)，把時(shí)間變換到 Euclidean（虛）時(shí)間 Τ。這相當(dāng)于作代換 t=-iΤ（并在復(fù) t 平面上旋轉(zhuǎn)積分路徑），使權(quán)重從振蕩的 exp(iS/?) 變?yōu)橹笖?shù)衰減的 exp(-SE/?)，從而得到 Euclidean 路徑積分，這種形式與統(tǒng)計(jì)物理的玻爾茲曼權(quán)重 exp(-βE) 在結(jié)構(gòu)上完全一致：Euclidean 作用量SE扮演“能量泛函”的角色，因此路徑積分變成對所有配置的加權(quán)求和。

更進(jìn)一步，在有限溫度量子統(tǒng)計(jì)中，配分函數(shù) Z(β)=Tre-βH也可寫成 Euclidean 路徑積分，其關(guān)鍵在于“取跡”對應(yīng) Euclidean 時(shí)間方向的周期化：對玻色自由度滿足 q(β)=q(0) （費(fèi)米自由度滿足反周期邊界條 ψ(β)=-ψ(0)），于是 β 直接等同于 Euclidean 時(shí)間圓周的長度。這樣一來，量子場論在虛時(shí)間下的計(jì)算形式，會(huì)變得非常像統(tǒng)計(jì)物理里計(jì)算配分函數(shù)的方式。

到這里，我們其實(shí)完成了一次很樸素的“極限過渡”：從雙縫的兩條可能過程出發(fā)，逐步把“對離散選項(xiàng)求和”推到“對連續(xù)路徑求和”。技術(shù)上，它并沒有另起爐灶，仍從最標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間演化算符出發(fā)；直覺上，它只是把空間想象成被越來越密的“中間位置”填滿，再把這些中間位置的貢獻(xiàn)在極限意義下疊加起來。這樣，路徑積分既保留了量子疊加的核心，也提供了一種把量子動(dòng)力學(xué)寫成“權(quán)重求和”的表達(dá)方式。

同時(shí)也應(yīng)當(dāng)看到，“對所有路徑求和”這句話之所以能落地，依賴一套明確的規(guī)則：離散化、短時(shí)傳播子的近似計(jì)算，以及在需要時(shí)通過 Wick 旋轉(zhuǎn)把振蕩權(quán)重變成更穩(wěn)定的 Euclidean 權(quán)重。正因?yàn)檫@些步驟把形式主義變成了可操作的計(jì)算框架，路徑積分才能自然連接到傳播子、真空振幅 Z，并進(jìn)一步與統(tǒng)計(jì)物理的配分函數(shù)結(jié)構(gòu)對應(yīng)起來。接下來若要繼續(xù)深入，關(guān)鍵問題就會(huì)從“它是什么”轉(zhuǎn)向“怎么用”：在具體體系里如何選取合適的近似、如何處理相互作用項(xiàng)，以及在場論中如何理解測度、算符排序與重整化等更細(xì)的技術(shù)環(huán)節(jié)。

參考文獻(xiàn)：

Zee, A. (2010). Quantum field theory in a nutshell (2nd ed.). Princeton University Press.

來源：集智俱樂部

編輯：77

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