導(dǎo)語

在復(fù)雜系統(tǒng)研究中，我們?cè)缫蚜?xí)慣用“網(wǎng)絡(luò)”來理解世界：節(jié)點(diǎn)代表個(gè)體，邊代表相互作用，動(dòng)力學(xué)寫在節(jié)點(diǎn)上，同步、擴(kuò)散、滲流隨之發(fā)生。但如果你認(rèn)真思考神經(jīng)系統(tǒng)、氣候系統(tǒng)或社會(huì)協(xié)同行為，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)被長期忽略的事實(shí)——真正起關(guān)鍵作用的，往往不是節(jié)點(diǎn)，而是連接本身，甚至是多體關(guān)系形成的結(jié)構(gòu)形狀。

這篇2025年2月19發(fā)表于 Nature Physics 的 Perspective《Topology shapes dynamics of higher-order networks》提出了一種正在成形的新范式：高階拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)。在這里，系統(tǒng)的狀態(tài)不再只屬于節(jié)點(diǎn)，而是分布在邊、三角形乃至更高維單元上；拓?fù)洳辉僦皇恰懊枋鼋Y(jié)構(gòu)”，而是直接決定系統(tǒng)能否同步、如何形成圖案、以及滲流是否會(huì)走向混沌。這不是對(duì)傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)理論的修補(bǔ)，而是一種視角上的躍遷。

關(guān)鍵詞：高階網(wǎng)絡(luò)（Higher-order networks）、拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)（Topological dynamics）、同步（Synchronization)、滲流（Percolation）

鄭鴻盛丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Topology shapes dynamics of higher-order networks 論文鏈接：https://doi.org/10.1038/s41567-024-02757-w 發(fā)表時(shí)間：2025年2月19日 論文來源：nature physics

在過去二十多年里，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)為理解復(fù)雜系統(tǒng)提供了一種極其成功的范式：用節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的組成單元，用邊表示它們之間的相互作用，并把動(dòng)力學(xué)變量定義在節(jié)點(diǎn)上。從傳染病傳播到神經(jīng)同步，從電力網(wǎng)絡(luò)到社會(huì)輿論演化，這套“節(jié)點(diǎn)中心”的建模方式幾乎成了默認(rèn)選項(xiàng)。

但是，在 Nature Physics 的這篇 Perspective 《Topology shapes dynamics of higher-order networks》中強(qiáng)調(diào)，這種成功正在顯露出它的邊界。真實(shí)世界中的許多關(guān)鍵過程，并不發(fā)生在“個(gè)體”層面，而是發(fā)生在關(guān)系本身，甚至是多體關(guān)系之中。突觸信號(hào)并非單個(gè)神經(jīng)元的屬性，而是連接的屬性；氣候系統(tǒng)中的通量、環(huán)流與遙相關(guān)，本質(zhì)上是空間區(qū)域之間的協(xié)同結(jié)構(gòu)；社會(huì)與生態(tài)系統(tǒng)中的協(xié)作、抑制和調(diào)控，往往涉及三方甚至更多主體的共同作用。

正是在這一背景下，高階網(wǎng)絡(luò)（higher-order networks）逐漸從“技術(shù)細(xì)節(jié)”轉(zhuǎn)向“理論核心”。而這篇文章要傳達(dá)的核心思想更進(jìn)一步：復(fù)雜系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)行為，并不只是發(fā)生在既定結(jié)構(gòu)之上，而是由高階結(jié)構(gòu)所承載的離散拓?fù)渌茉?；?dāng)高階相互作用、拓?fù)渑c非線性動(dòng)力學(xué)耦合在一起時(shí)，拓?fù)鋵⒉辉僦皇敲枋鼋Y(jié)構(gòu)的工具，而是會(huì)參與決定系統(tǒng)能夠呈現(xiàn)出怎樣的動(dòng)力學(xué)行為。

從“成對(duì)關(guān)系”到“多體結(jié)構(gòu)”：為什么必須引入高階網(wǎng)絡(luò)

傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)根本假設(shè)是：所有相互作用都可以分解為成對(duì)關(guān)系。但在許多系統(tǒng)中，這種分解并不成立。神經(jīng)元的功能往往依賴于環(huán)路與回路結(jié)構(gòu)；社會(huì)傳染中的“從眾效應(yīng)”需要至少三人的共同暴露；生態(tài)系統(tǒng)中，第三方物種可能會(huì)調(diào)節(jié)另外兩種物種之間的競爭或共生關(guān)系。

高階網(wǎng)絡(luò)正是為刻畫這類現(xiàn)象而提出的。與只描述成對(duì)相互作用的傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)不同，高階網(wǎng)絡(luò)將三角形、四面體等多節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)納入基本表示單元，使一次相互作用可以同時(shí)涉及多個(gè)節(jié)點(diǎn)，從而更貼近復(fù)雜系統(tǒng)中真實(shí)存在的多體協(xié)作與調(diào)控關(guān)系。這樣的表示不僅顯著拓展了網(wǎng)絡(luò)能夠表達(dá)的結(jié)構(gòu)層次，更關(guān)鍵的是，它改變了動(dòng)力學(xué)過程所依托的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，進(jìn)而影響系統(tǒng)整體演化的方式與特征。

然而，僅僅在網(wǎng)絡(luò)中“允許三角形或多體相互作用的存在”仍然不足以解釋這些現(xiàn)象，真正的關(guān)鍵在于作者將代數(shù)拓?fù)渲械?strong>同調(diào)理論引入對(duì)動(dòng)力學(xué)的刻畫之中。與關(guān)注局部連接細(xì)節(jié)不同，拓?fù)潢P(guān)心的是整體結(jié)構(gòu)中是否存在環(huán)、洞或空腔等全局特征。這些由同調(diào)理論刻畫的拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ?Betti 數(shù)），并非抽象的數(shù)學(xué)標(biāo)簽，而是直接決定了系統(tǒng)中哪些集體動(dòng)力學(xué)模式能夠出現(xiàn)、以及它們?nèi)绾卧诮Y(jié)構(gòu)中分布。

圖 1 | 復(fù)雜系統(tǒng)高階拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)的新興領(lǐng)域。該領(lǐng)域融合了高階相互作用、拓?fù)鋵W(xué)與非線性動(dòng)力學(xué)，催生了蘊(yùn)含特定信息的涌現(xiàn)現(xiàn)象 —— 這些信息既能極大地改變我們對(duì)大腦、氣候等復(fù)雜系統(tǒng)的認(rèn)知，也能助力研發(fā)受物理學(xué)啟發(fā)的高效新型人工智能算法。

拓?fù)湫浚合到y(tǒng)狀態(tài)不再只屬于節(jié)點(diǎn)

本篇文章提出的第一個(gè)關(guān)鍵概念，是拓?fù)湫?/strong>（topological spinor）。在傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)中，系統(tǒng)的狀態(tài)通常由一個(gè)節(jié)點(diǎn)變量向量來描述。但在高階網(wǎng)絡(luò)中，這種描述方式顯得過于狹窄。

在高階網(wǎng)絡(luò)中，一個(gè)完整動(dòng)力學(xué)狀態(tài)，應(yīng)該由定義在不同維度單元上的信號(hào)共同組成：節(jié)點(diǎn)上的信號(hào)、邊上的信號(hào)、三角形上的信號(hào)，乃至更高維單元上的信號(hào)。它們共同構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的狀態(tài)向量 Ψ。

為了刻畫這些信號(hào)如何相互作用，文章引入了邊界算子和 Hodge 拉普拉斯算子。它們不僅是數(shù)學(xué)工具，更是動(dòng)力學(xué)規(guī)則的編碼方式。Hodge 拉普拉斯描述了信號(hào)如何在同一維度的單元之間擴(kuò)散，而邊界算子則刻畫了不同維度之間的關(guān)系。

一個(gè)極其重要的結(jié)果是：第 n 維 Hodge 拉普拉斯算子（L?）的零模數(shù)量，等于第 n 個(gè) Betti 數(shù)（β?）。換言之，網(wǎng)絡(luò)中存在多少個(gè) n 維“洞”，就存在多少個(gè)對(duì)應(yīng)的“調(diào)和模態(tài)”。這些模態(tài)并非數(shù)學(xué)抽象，而是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中可以承載長期行為的自由方向。

圖 2 | 高階網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)。用時(shí)間序列的方式，展示了一個(gè)高階網(wǎng)絡(luò)中三種不同“位置”的動(dòng)力學(xué)變量：節(jié)點(diǎn)上的信號(hào)、邊上的信號(hào)、以及三角形上的信號(hào)。它們共同組成系統(tǒng)的狀態(tài)向量——拓?fù)湫?Ψ。

當(dāng)同步取決于“洞”：

高階 Kuramoto 模型的顛覆性結(jié)論

在這一理論框架下，作者重新審視了一個(gè)經(jīng)典的非線性動(dòng)力學(xué)問題：同步。同步現(xiàn)象是非線性動(dòng)力學(xué)中研究最為深入的現(xiàn)象之一，而Kuramoto 模型則是描述同步轉(zhuǎn)變的標(biāo)準(zhǔn)工具。

然而，情況在高階網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生了根本性變化。當(dāng)振子不再局限于節(jié)點(diǎn)，而是分布在邊或更高維單元上時(shí)，同步的發(fā)生與否不再僅依賴于耦合強(qiáng)度。高階拓?fù)?Kuramoto 模型揭示了一個(gè)出人意料的發(fā)現(xiàn)：n 維拓?fù)湫盘?hào)的同步，只有當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中存在至少一個(gè) n 維“洞”時(shí)才有可能發(fā)生。

如果相應(yīng)維度的洞不存在，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)將會(huì)凍結(jié)，即使耦合強(qiáng)度再大，也無法形成同步態(tài)。這意味著，同步不再是一個(gè)單純依賴“參數(shù)足夠大”的普遍現(xiàn)象，而是受到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)“許可”的結(jié)果。

更進(jìn)一步，即使同步發(fā)生，它也不會(huì)像傳統(tǒng)的 Kuramoto 模型那樣在整個(gè)系統(tǒng)中均勻展開。同步狀態(tài)通常局限在與洞對(duì)應(yīng)的調(diào)和模態(tài)上。如果系統(tǒng)中存在多個(gè)洞，同步態(tài)可能集中在某個(gè)洞的模態(tài)上，也可能是多個(gè)洞模態(tài)的線性組合。換句話說，同步模式本身是洞結(jié)構(gòu)的直接反映。

圖 3 | 拓?fù)?Kuramoto 模型與全局同步。拓?fù)湫盘?hào)的同步由高階網(wǎng)絡(luò)中 n 維洞的存在所驅(qū)動(dòng)。高階 Kuramoto 模型中一個(gè)極其反直覺的結(jié)果：同步是否發(fā)生，取決于網(wǎng)絡(luò)中是否存在對(duì)應(yīng)維度的“洞”。左圖對(duì)比了“空洞”和“被填充的洞”所導(dǎo)致的完全不同的動(dòng)力學(xué)；右圖則展示了在特殊拓?fù)洌ōh(huán)面）上實(shí)現(xiàn)的全局同步。

這一結(jié)果也帶來了一個(gè)極具啟發(fā)性的視角：動(dòng)力學(xué)不僅被拓?fù)渌茉?，?dòng)力學(xué)本身也可以用來“探測”拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。僅通過觀察同步模式，就有可能反推出網(wǎng)絡(luò)中哪些洞是空的，哪些已經(jīng)被填充。

Dirac 算子：讓不同維度的信號(hào)真正耦合

盡管 Hodge 拉普拉斯為理解高階擴(kuò)散和同步提供了強(qiáng)有力的工具，但它主要處理的是“同一維度內(nèi)部”的動(dòng)力學(xué)。而在真實(shí)系統(tǒng)中，節(jié)點(diǎn)、邊和面之間往往存在不可忽略的跨維耦合。

為此，文章引入了拓?fù)?Dirac 算子。Dirac 算子可以被理解為 Hodge 拉普拉斯的“平方根”，它允許拓?fù)湫盘?hào)在不同維度之間上下投影，從而實(shí)現(xiàn)真正的跨維度動(dòng)力學(xué)耦合。

基于 Dirac 算子，作者展示了一系列新的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。其中最引人注目的是Dirac 同步：一種節(jié)點(diǎn)與邊信號(hào)共同參與的同步形式。在這種模型中，同步轉(zhuǎn)變可能是爆炸式的，且序參量本身會(huì)隨時(shí)間產(chǎn)生自發(fā)振蕩。這為理解生物節(jié)律和氣候系統(tǒng)中的周期性行為提供了新的建模思路。

Dirac 算子還使得拓?fù)浒?Turing 圖案成為可能。與傳統(tǒng)圖案形成不同，這里的空間結(jié)構(gòu)不僅可以出現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)上，也可以出現(xiàn)在邊或更高維單元上，從而顯著拓展了圖案動(dòng)力學(xué)能夠呈現(xiàn)的形式。

圖 4 | 拓?fù)涞依怂阕优c拓?fù)涞依朔匠痰男再|(zhì)。拓?fù)?Dirac 算子在真實(shí)真菌網(wǎng)絡(luò)上的譜結(jié)構(gòu)與本征態(tài)分布。節(jié)點(diǎn)和邊被同時(shí)著色，展示了 Dirac 方程本征態(tài)如何分布在不同維度的網(wǎng)絡(luò)單元上。

當(dāng)拓?fù)湟查_始演化：

三體滲流與通向混沌的路徑

高階結(jié)構(gòu)和跨維耦合已經(jīng)足以顯著改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，但在許多真實(shí)系統(tǒng)中，變化的不只是狀態(tài)本身，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也會(huì)在相互作用的過程中不斷調(diào)整。拓?fù)洳⒎强偸庆o態(tài)的背景，而是可能隨時(shí)間一起演化。

三體相互作用提供了一種刻畫這種結(jié)構(gòu)演化的簡單機(jī)制。在這種相互作用中，一個(gè)節(jié)點(diǎn)可以增強(qiáng)或抑制另外兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的連接，從而直接參與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的更新?；谶@一機(jī)制，作者提出了三體滲流模型。在這一模型中，巨型連通分量不再是一個(gè)靜態(tài)結(jié)果，而是成為一個(gè)隨時(shí)間演化的動(dòng)力學(xué)對(duì)象。

令人驚訝的是，引入三體調(diào)控后，滲流行為呈現(xiàn)出與傳統(tǒng)情形截然不同的特征。序參量不再經(jīng)歷標(biāo)準(zhǔn)的二階相變，而是沿著類似 logistic 映射的分岔路徑演化，并在一定參數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)入混沌狀態(tài)。原本用于描述靜態(tài)相變的“相圖”，在這里被一個(gè)刻畫時(shí)間演化軌跡的“軌道圖”所取代。這說明，當(dāng)高階相互作用使拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)本身參與動(dòng)力學(xué)演化時(shí)，即便是看似成熟的經(jīng)典問題，也會(huì)展現(xiàn)出全新的非線性行為和動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性。

圖 5 | 帶符號(hào)三元相互作用與三元滲流的相圖。三體相互作用將傳統(tǒng)滲流過程轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)真正的動(dòng)力系統(tǒng)：從穩(wěn)定態(tài)到周期振蕩，再到混沌時(shí)間序列。原本的“相圖”，被一個(gè)類似 logistic 映射的軌道圖所取代。

拓?fù)?，正在成為?dòng)力學(xué)的因果結(jié)構(gòu)

這篇 Perspective 并未試圖用某一個(gè)模型去“解釋一切”，而是清晰地勾勒出一個(gè)正在成形的理論范式。在這一范式中，拓?fù)洳辉僦皇墙Y(jié)構(gòu)層面的修飾或事后分析的工具，而是直接限定并塑造系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)可能性的因果結(jié)構(gòu)。哪些集體行為能夠出現(xiàn)、哪些同步模式可以存在、哪些演化路徑會(huì)被禁止，已不再僅由參數(shù)大小或局部相互作用決定，而是由整體拓?fù)湫螒B(tài)所許可。

高階拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)為理解大腦、氣候系統(tǒng)以及復(fù)雜人工系統(tǒng)提供了一種全新的語言。在這種語言中，動(dòng)力學(xué)不只是“在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)生”，而是在洞、回路與高維結(jié)構(gòu)所張成的空間中展開。系統(tǒng)的演化軌跡，本質(zhì)上是在拓?fù)渌x的可能性空間中移動(dòng)。

這也提示我們，要真正理解復(fù)雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)行為，已經(jīng)不再足夠只問“誰與誰相連”。更關(guān)鍵的問題在于：這些連接共同形成了怎樣的整體形狀，而正是這些形狀，在更深層次上允許或禁止了某些動(dòng)力學(xué)過程的發(fā)生。

在高階拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)中，結(jié)構(gòu)不再只是舞臺(tái)，拓?fù)浔旧黹_始決定劇情能否發(fā)生、如何展開，以及是否走向混沌。

拓?fù)鋵W(xué)課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>

拓?fù)鋵W(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學(xué)與腦科學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認(rèn)知方式。

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