開工大吉

王蒙說過，寫作是對時光的一種挽留。

王蒙的原話是 ：文學(xué)是對時光的一種挽留。但文學(xué)是一個學(xué)科名詞，挽留是一個動作名詞或動名詞，兩者不能等同。因此我們理解他的原意應(yīng)該是“寫作是對時光的一種挽留”。

我們寫作這本《概率論教程》（任佳剛，劉繼成著. 北京：科學(xué)出版社, 2026. 1）時，常常會回到我們自己初學(xué)概率論的時光。當(dāng)時我們這門課是和實變函數(shù)同時開設(shè)的，記得老師為了等待實變函數(shù)的一些內(nèi)容先講，還特意停了兩周的課。但即便是這樣，概率論里頭仍然有一些無法講清的東西。比如說，在證明Kolmogorov 不等式的時候，設(shè)

那么需要用到S

k

k

k

k

k

k

k

而當(dāng)我們自己做了教師之后，長期的教學(xué)實踐又使我們深刻地認(rèn)識到，如果沒有測度論的基礎(chǔ)，很多概率論的東西實際上是無法完全講清的。那么，有些地方只能先混著嗎? 一代代地混下去嗎? 不是已經(jīng)混了很多代了嗎，再混一混又何嘗不可呢?

我們的理想是做到完全嚴(yán)格，但這門課程的性質(zhì)又決定了它不可能完全嚴(yán)格。怎樣在理想和現(xiàn)實之間找到平衡? 這是我們作為教師的一種困惑。

無須諱言，作為學(xué)生，概率論中最先吸引我們的，是組合概率。諸如一堆人的帽子混在一起，每人隨意拿一頂，都拿到自己帽子的概率是多少?

n

n

n

以下是我們的一些思考和實踐:

1. 能嚴(yán)格講述的部分，盡量嚴(yán)格講述；不能嚴(yán)格講述的部分，就明確地承認(rèn)現(xiàn)在這種做法不嚴(yán)格，但是是可以嚴(yán)格化的。總之不能給學(xué)生的腦海里添一個大問號：竟然可以這樣干，這還是數(shù)學(xué)嗎?

2.概率論自身難以完全嚴(yán)格講述的部分，實際上就是測度的擴(kuò)張，包括以此為基礎(chǔ)的乘積概率空間，因為它一方面比較冗長，另一方面是其他課程如實變函數(shù)和測度論的主要內(nèi)容，如果在此花費較長時間，無疑是有點喧賓奪主了。除此之外，其他的似乎要嚴(yán)格也不是想象的那么難。比如單調(diào)類定理，我們覺得還是可以從容地講清楚的，同時它基本上也不是實變函數(shù)課程的內(nèi)容。而有了單調(diào)類定理，很多曾經(jīng)令我們困惑的東西，比如說上面講的獨立性，都可以比較容易地、嚴(yán)格地講清楚。因此，測度的擴(kuò)張和一切依賴于此的東西，我們都直接承認(rèn)，但詳細(xì)講述并大量使用了單調(diào)類定理。

3. 我們大量減少了古典概型的具體計算的問題，尤其是高度技巧性的問題，但保留了一些理論上、原則上或歷史上重要的問題。

4. 雖然這是一門本科生的基礎(chǔ)教材，但也有一個它從哪里來，又往哪里去的問題。我們在這方面花了一些筆墨。例如我們談了概率和條件概率相輔相成的關(guān)系，而不是僅僅局限于說條件概率是通過概率而定義的。也就是說，實際上在建立實際問題的數(shù)學(xué)模型時，往往是先有條件概率，再通過全概率公式確定概率的，而確定概率之后，就可以計算更多的條件概率；從這個意義上講，所謂Bayes 公式無非就是給出了充分的數(shù)據(jù)來建立概率空間，哪里有什么主義? 談了在面臨實際問題時怎么判斷和利用獨立性的問題，而不是僅僅從概念出發(fā)得到理論上的結(jié)論；我們甚至還稍微談了談從特征函數(shù)出發(fā)引導(dǎo)出隨機(jī)變分學(xué)(Malliavin Calculus) 的問題，等等。

點擊翻頁

點擊翻頁

點擊翻頁

概率論教程

任佳剛，劉繼成著

北京：科學(xué)出版社, 2026. 1

(大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書)

ISBN 978-7-03-083210-8

《概率論教程》系統(tǒng)闡述現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)理論與核心內(nèi)容。從隨機(jī)試驗與隨機(jī)事件的基本概念出發(fā)，深入講述概率的定義與公理化體系，進(jìn)而介紹隨機(jī)變量及其分布、期望等重要概念；同時闡明隨機(jī)變量的獨立性、條件概率、條件期望等性質(zhì)，并揭示其內(nèi)在聯(lián)系；講述大數(shù)定律和中心極限定理這兩個極限定理，以及特征函數(shù)這一強(qiáng)大的理論工具及其應(yīng)用。特別地，本書強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格性與直觀性的統(tǒng)一，充分運用單調(diào)類定理等現(xiàn)代概率論工具，使諸多困難之處獲得嚴(yán)格論證。

寫作是對時光的一種挽留，同時也是對未來的一種留言。我們學(xué)過、想過、教過概率論多年，我們依然還在學(xué)、在想、在教，我們希望把我們在這些過程中的心得體會記錄下來，留給未來，留給未來的年輕人，希望能提高一點你們對概率論的興趣，希望能對你們學(xué)習(xí)、掌握、研究、應(yīng)用概率論提供哪怕一丁點幫助。我們希望這不是奢望。

本書的寫作與出版得到了國家自然科學(xué)基金項目12371152 及中山大學(xué)2025年教材建設(shè)項目的支持，在此深表謝意!

本文摘編自《概率論教程》（任佳剛，劉繼成著. 北京：科學(xué)出版社, 2026. 1）一書“前言”，有刪減修改，標(biāo)題為編者所加。

(大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書)

ISBN 978-7-03-083210-8

責(zé)任編輯：李 欣 李月婷 范培培

本書可作為數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等專業(yè)本科生的教材，不論學(xué)生是否具備實變函數(shù)基礎(chǔ)，均可選用。

（本文編輯：劉四旦）

專業(yè)品質(zhì) 學(xué)術(shù)價值

原創(chuàng)好讀 科學(xué)品位

一起閱讀科學(xué)