Categorical probability spaces, ergodic decompositions, and

transitions to equilibrium

范疇概率空間、遍歷分解與趨向平衡

https://arxiv.org/pdf/2310.04267

摘要

我們研究了一個由概率空間和保測馬爾科夫核構成的范疇，其等價關系為幾乎必然相等。該范疇的同構其中包括了概率空間的模零同構。它還建立了隨機變量的值空間與其在結果空間上生成的σ-代數(shù)之間的同構，反映了標準的數(shù)學實踐，即互換使用兩者，例如在取條件期望時。

我們表明，來自經(jīng)典概率論的許多構造和結果，主要涉及平衡概念，可以用該范疇來表達和證明。特別是：

? 給定一個作用在標準博雷爾空間上的隨機動力系統(tǒng)，我們表明幾乎必然不變σ-代數(shù)可以作為極限和余極限得到；

? 在上述設定下，幾乎必然不變σ-代數(shù)模我們范疇的同構，導出了一個標準博雷爾空間；

? 作為推論，我們給出了隨機作用的遍歷分解定理的一個純范疇的、幾乎必然版本；

? 作為示例，我們展示了德菲內(nèi)蒂定理和休伊特 - 薩維奇零一律如何融入這一極限 - 余極限圖景。

本工作使用了范疇概率論的工具，特別是馬爾科夫范疇，以及 dagger 范疇理論。

1 引言

近年來，人們對概率論及相關領域的范疇論結構越來越感興趣。雖然這方面的第一步可以追溯到 Lawvere [Law] 和 ˇCencov [ ˇC65]，他們研究了可測空間和馬爾科夫核的范疇 Stoch，但直到最近十年，才出現(xiàn)了通過范疇方法陳述、證明和解釋概率論結果的系統(tǒng)性努力。

今天，范疇概率論主要有兩種形式體系，它們密切相關。一方面是有概率單體 1，例如 Giry 單體 [Gir82] 和 Radon 單體 [ ?Sw74]，參見 [Jac17] 概述和 [Per18, 第 1 章] 介紹。這些單體允許形成概率分布、聯(lián)合分布、邊緣分布的空間，并且通過 Kleisli 和 Eilenberg-Moore 構造，它們允許談論隨機映射和期望值。另一方面，我們有特別結構的幺半范疇，例如 copy-discard 范疇（[CJ19]，也稱為 garbage-share 幺半范疇 [Gad96]）和 Markov 范疇（[Fri20]，也稱為 affine copy-discard 范疇）。它們將確定性、隨機獨立性和條件化等概率概念作為額外結構納入其中。Markov 范疇已被用于以范疇方式陳述和證明經(jīng)典概率論的許多結果，例如 Hewitt-Savage 和 Kolmogorov 零一律（[FR20]）、de Finetti 定理（[FGP21]）、d-分離準則（[FK23]）以及確定性動力系統(tǒng)的遍歷分解定理（[MP22a]）。

正如 [FGPR] 和 [MP22b] 所示，Markov 范疇和概率單體以富有成效的方式相互作用。例如，笛卡爾幺半范疇上的 affine 幺半單體的 Kleisli 范疇是 Markov 的。這兩種形式體系也可以從計算機科學的視角來看，其中概率單體可以將概率計算添加到純程序中 [JP89]，而諸如 Markov 范疇之類的幺半范疇可以描述概率程序的范疇語義，特別是條件化過程 [Ste21, SS21]。

在這項工作中，我們推進了基于 dagger 范疇的范疇概率論第三種形式體系，研究了它與 Markov 范疇的一些聯(lián)系，并用它來表達一些經(jīng)典概率結果。dagger 范疇可以被視為一個范疇，其中態(tài)射可以“雙向行走”而不必是同構，類似于無向圖的邊（參見例如 [Kar18] 了解更多細節(jié)）。dagger 范疇在量子信息論的范疇方法中有著悠久的使用歷史，至少自 [AC04, CP07, Sel07] 以來（另見 [HV19] 了解更近期的敘述）。這里我們感興趣的卻是經(jīng)典概率。我們想要建模的情況是一個范疇，其對象是概率空間（即配備有概率測度的可測空間），其態(tài)射是隨機映射的一個版本，dagger 結構由貝葉斯逆給出。等價地，從傳輸理論 [Vil09] 的角度來看，我們可以將這樣的 dagger 范疇視為概率空間及其之間傳輸計劃的范疇（參見例如 [Per21]）。正如 Markov 范疇的原型例子是 BorelStoch，我們目的的主要 dagger 范疇例子是標準博雷爾概率空間和幾乎必然相等商化的馬爾科夫核構成的范疇 PS(BorelStoch)。據(jù)我們所知，這個范疇及其 dagger 結構首先在 [DDGS18] 中被研究。在 [Fri20, 第 13 節(jié)] 中展示了如何從 BorelStoch 范疇地獲得這個范疇，以便人們可以通過用任意具有條件化的 Markov 范疇替換 BorelStoch 來推廣這個構造。

我們在這里用 dagger 研究的主要概率現(xiàn)象是動力系統(tǒng)和馬爾科夫鏈的不變性和平衡概念。我們表明，在范疇 PS(BorelStoch) 中，不變σ-代數(shù)滿足一個 dagger-范疇泛性質，既是極限又是余極限。僅這一事實就允許人們陳述和證明一般遍歷分解定理的幾乎必然版本（類似于 [MP22a] 的版本，但在確定性情況之外有效）。我們還表明，所有冪等元在 PS(BorelStoch) 中分裂，使用在 [FGL+23] 中為 BorelStoch 證明的類似結果，并根據(jù)對動力學的“平均”給出 PS(BorelStoch) 中冪等元的解釋（見第 3.5 節(jié)）。2 為了說明我們的形式體系，我們表明它允許我們將 de Finetti 定理和 Hewitt-Savage 零一律結合成一個連貫、統(tǒng)一的圖景，與傳統(tǒng)概率論中這些陳述的使用兼容（見第 4 節(jié)）。

我們希望這項工作為 dagger-范疇方法在概率和動力系統(tǒng)上的進一步應用鋪平道路，并提供經(jīng)典概率和量子概率之間更深的聯(lián)系。

大綱 ? 在第 2 節(jié)中，我們回顧了 ProbStoch(C)（或 PS(C)）的構造，其中 C 是一個因果 Markov 范疇，并建立了關于它的一些新事實。首先，我們表明（幾乎必然）確定性，在 Markov-范疇意義上，可以用 PS(C) 中的 dagger 滿性來表示（命題 2.5）。然后我們轉而研究 PS(Stoch) 的具體情況下的同構：我們在命題 2.8 中表明，它們包括測度空間的模零同構，并且任何滿射隨機變量 f 誘導值空間與結果空間（具有由 f 生成的σ-代數(shù)）之間的同構。在 2.2 節(jié)中，我們定義了 PS(Stoch) 中的動力系統(tǒng)，解釋了它們作為平穩(wěn)馬爾科夫鏈的解釋，并查看了態(tài)射的不變性概念，推廣了不變測度和不變可觀測量。

? 在第 3 節(jié)中，我們陳述并證明了這項工作的主要結構結果。在 3.1 節(jié)中，我們表明對于 PS(Stoch) 中的每個（隨機、保測）動力系統(tǒng)，幾乎必然不變集的σ-代數(shù)是一個余極限，與 dagger 結構兼容。在 3.2 節(jié)中，我們表明所有冪等元在 PS(BorelStoch) 中分裂（定理 3.14），并且作為結果，標準博雷爾空間上幾乎必然不變集的σ-代數(shù)在 PS(Stoch) 的同構下再次是標準博雷爾空間（推論 3.17）。這特別意味著每個配備有任何子σ-代數(shù)的標準博雷爾空間在 PS(Stoch) 的同構下再次是標準博雷爾空間（推論 3.18）。在 3.3 節(jié)中，我們表明幾乎必然不變集的σ-代數(shù)在 PS(BorelStoch) 中也是一個極限，而不僅僅是一個余極限。在 3.4 節(jié)中，我們使用這一事實來陳述并證明遍歷分解定理的幾乎必然版本定理 3.29。然后在 3.5 節(jié)中，我們展示了 PS(BorelStoch) 中的冪等元如何用于表達動力系統(tǒng)和馬爾科夫鏈的“平衡”概念。

? 在第 4 節(jié)中，我們將第 3 節(jié)的結果應用于 C = BorelStoch 的具體情況，以范疇方式表達概率論的一些經(jīng)典構造和陳述。我們首先查看有限置換（4.1 節(jié)），然后轉向無限情況，在那里我們給出了 de Finetti 定理和 Hewitt-Savage 零一律的范疇幾乎必然版本，表明獨立同分布序列在置換下是遍歷的（4.2 節(jié)），以及伯努利移位（4.3 節(jié)）。

? 最后，在附錄 A 中，我們給出了一些關于 Markov 范疇的背景。我們也為感興趣的讀者提供了更深入材料的參考文獻。

2 PS構造

本工作中主要關注的范疇是范疇 PS(Borel)，它由概率空間和馬爾可夫核構成，并在幾乎必然相等的意義下取值。它首先在 [DDGS18] 中被定義（使用名稱 Krn）。

首先，讓我們?yōu)轳R爾可夫核定義幾乎必然相等，實例化一般馬爾可夫范疇的概念（見附錄 A.1，以及原始來源 [CJ19, 第 5 節(jié)] 和 [Fri20, 第 13 節(jié)]）?？紤]可測空間 X 和 Y，以及 X 上的概率測度 p。我們說兩個馬爾可夫核 f, g: X → Y 是 p-幾乎必然相等的，如果對于 X 的所有可測子集 A 和 Y 的所有可測子集 B，我們有

由于范疇 Stoch 和 BorelStoch 是因果的，我們可以形成范疇 PS(Stoch) 和 PS(BorelStoch)，且后者恰好恢復了定義 2.1。

每當我們有 C 的態(tài)射的一個平行對 f, g : X → Y，并且我們還有 X 上的一個狀態(tài) p 時，如果這兩個態(tài)射是 p-幾乎必然相等的（即如果 PS(C) 中得到的態(tài)射是相等的），我們記作 f ? g；而如果 C 的態(tài)射是相等的，我們記作 f = g，這是一個更強的條件。對于 C = BorelStoch，這恰好是馬爾可夫核的相等性與幾乎必然相等性之間的區(qū)別。

2.1 PS(Stoch) 中的同構

2.2 動力系統(tǒng)和馬爾可夫鏈

本工作中考慮的另一個主要結構是動力系統(tǒng)（dynamical system），我們將其寫成一個圖表（即作為一個函子），并將對其取極限和余極限。正如我們將看到的，PS(Stoch) 中的動力系統(tǒng)推廣了平穩(wěn)馬爾可夫鏈。

定義 2.11. 設 A A 為一個范疇。 A A 中的一個動力系統(tǒng)由以下組成：

3 主要結果

3.1 作為余極限的不變 σ σ-代數(shù)

我們現(xiàn)在將不變對象（invariant objects）定義為特定的余極限。它們可以被視為“模不可區(qū)分性和模零測的軌道空間”。為了獲得額外的直觀（不含零測部分），參見 [MP22a, 第 2.1 節(jié)和附錄 A]。對于 S t o c h
，正如我們要展示的，它們由（幾乎必然）不變 σ -代數(shù)給出。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2310.04267