近日《返樸》刊發(fā)的《量子力學(xué)需要虛數(shù)嗎？》一文，引發(fā)了一些討論。本文從時空對稱性的角度來看量子力學(xué)是否需要虛數(shù)（復(fù)數(shù)）。答案是肯定的。

撰文 | 1/137, Estelle

《返樸》最近刊登的《量子力學(xué)需要虛數(shù)嗎？》（以下簡稱《虛數(shù)》）一文，對于虛數(shù)是否在量子力學(xué)中起到本質(zhì)的作用這一古老問題的新進展[1, 2, 3]，做了解讀。本文不打算就文中實數(shù)系量子力學(xué)理論本身置喙，而從另外的對稱性的角度對復(fù)（虛）數(shù)在量子力學(xué)中的必要性做一簡單評論。

眾所周知，相對論和量子力學(xué)是現(xiàn)代物理學(xué)的兩大基石（二者的融合則產(chǎn)生了量子場論），而對稱性更是貫穿其中的主旋律。對于狹義相對論，洛倫茲群及其群代數(shù)反映了理論的時空結(jié)構(gòu)，并且在低速極限下，“退化”（收縮）為伽利略群及其群代數(shù)。相應(yīng)的對稱性則要求物理理論在群變換下保持不變。

其中m是粒子的質(zhì)量。我們關(guān)心薛定諤方程在（伽利略）時空變換下的性質(zhì)是怎樣的。

考慮伽利略時空變換：兩個慣性坐標(biāo)系S和S’中，S’以速度V相對于S沿+x向運動。設(shè)t = 0時刻兩個參考系的原點重合，涉及的運動是非相對論性的，則

由伽利略變換可得時空坐標(biāo)微分關(guān)系，

我們問：在伽利略變換下薛定諤方程的形式不變，即

這一對稱性要求對波函數(shù)ψ(x, t)產(chǎn)生何種約束？首先，一個最簡單的選擇是令S′系的波函數(shù)ψ'和S的波函數(shù)ψ系滿足純實函數(shù)，且

則不難發(fā)現(xiàn)，新的S’系的薛定諤方程不能滿足伽利略不變性。這個結(jié)果很容易得到，就不在此贅述，而作為后文運算的特例給出結(jié)果。

但是，如果波函數(shù)并不是實函數(shù)，而是復(fù)函數(shù)——畢竟，在量子力學(xué)中，對稱變換下的不變性只要求波函數(shù)的模不變——因此，在時空不變?nèi)旱淖儞Q下，最一般的波函數(shù)變換形式應(yīng)取：

其中Λ(x, t)是相因子（顯然，當(dāng)Λ = 0 時就是前文實函數(shù)的情形）。則根據(jù)前面微分的變換(3)，有：

以及，

保持伽利略不變性要求ψ項和?ψ/?x項前的系數(shù)須為零，故有：

這兩個方程包含以下關(guān)系：

由此不難確定相位Λ(x, t)：

已忽略一個無關(guān)緊要的常數(shù)。從以上推導(dǎo)可以看出，對稱性對時-空間導(dǎo)數(shù)加以很強的限制。最后的結(jié)果意味著，在時空對稱性的約束下，復(fù)數(shù)幾乎必然是（非相對論）量子力學(xué)不可分割的一部分。特別是，這個結(jié)果存在一個簡單的副產(chǎn)品：當(dāng)取波函數(shù)為（一維）行波時，易得頻率（或波長）的變換關(guān)系，從而對德布羅意波粒二象性，? → 0 的經(jīng)典極限有更深的理解，這在本科量子力學(xué)教學(xué)中是個極好的例子。

這里“幾乎”的涵義是，我們只簡單論證了自由粒子的情況，未包括任何勢場的情況，也未包括電磁相互作用的最小耦合（這時問題有些非平庸，機械動量和正則動量通過最小耦合相聯(lián)系P = p - eA，A是矢勢），相對論的情形更是未加以考慮，但是作者相信，在基本原理層面不會發(fā)生本質(zhì)改變。

更進一步，以上結(jié)果，用群論的語言來說，這就是 Bargmann（中心擴張）定理，質(zhì)量參數(shù)作為相關(guān)的中心荷進入量子伽利略代數(shù)中，使得經(jīng)典伽利略代數(shù)在量子力學(xué)中通過投影表示 (Projective Representation) 實現(xiàn)伽利略協(xié)變性（請參考有關(guān)群論教材）。不過作為簡評，就不再贅述了。

最后劃一下本短評重點：物理理論在時空變換下不變的對稱性要求導(dǎo)致復(fù)數(shù)幾乎不可避免地成為量子力學(xué)的一部分。

參考文獻

[1] Ming-Cheng Chen et al, Ruling Out Real-Valued Standard Formalismof Quantum Theory, Phys. Rev. Lett. 128, 040403 (2022).

[2]P. B. Hita et al, Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description, arXiv:2503.17307 (2025).

[3] T. Hoffreumon, M. P. Woods, Quantum theory does not need complexnumbers, arXiv:2504.02808 (2025).

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