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雙射可將一種數(shù)學(xué)對象轉(zhuǎn)化為另一種。這類變換為研究這些數(shù)學(xué)對象提供了全新視角，既揭示出其令人意想不到的性質(zhì)，也帶來了新的未解之謎。本文將探討交替符號矩陣與數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域中其他對象之間的雙射關(guān)系，以及尋找這一待解雙射的最新研究進(jìn)展。

作者：Jessica Striker（美國北達(dá)科他州立大學(xué)數(shù)學(xué)教授）

MFO 奧伯沃爾法赫現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡報 2026-2-24

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-3-17

1 現(xiàn)實生活與組合數(shù)學(xué)中的雙射

假如我遞給你一杯水和幾塊冰塊，問你：“這些是同一種東西嗎？”你可能會回答：“不是，一個是固體，一個是液體?！币部赡軙f：“是，它們都是由H?O分子構(gòu)成的?！蹦姆N答案正確？答案是：兩者都對！冰和液態(tài)水雖形態(tài)不同，卻由同一種物質(zhì)組成，且存在能將二者相互轉(zhuǎn)化的方式——冰在室溫下會融化為液態(tài)水，液態(tài)水放入冰箱又會凝結(jié)成冰。從數(shù)學(xué)角度來說，這就是一種雙射（bijection）：從一個集合到另一個集合的可逆變換。在組合數(shù)學(xué)（combinatorics）?2?中，我們研究的是有限集之間的雙射，而兩個有限集之間存在雙射的充要條件，是二者包含的元素數(shù)量相等。許多組合數(shù)學(xué)中的雙射，能讓我們窺見數(shù)學(xué)對象背后隱藏的特征。

?1?本研究得到西蒙斯基金會資助（編號MP-TSM-00002802）與NSF美國國家科學(xué)基金會資助（編號DMS-2247089）支持。

?2?組合數(shù)學(xué)常被稱作關(guān)于計數(shù)的藝術(shù)與科學(xué)。

舉一個例子：n元置換（permutation of n）是對數(shù)字1,2,...,n的重新排列。比如3的6個置換分別為123、132、213、231、312、321。n元置換與n階置換矩陣（permutation matrix）之間存在雙射關(guān)系，置換矩陣是一種n×n方陣，其每行每列均僅有一個元素為1，其余元素均為0。圖1（左）展示了置換46315827對應(yīng)的置換矩陣，可見矩陣第一行的1出現(xiàn)在第4列，第二行的1出現(xiàn)在第6列，依此類推。單行表示法46315827與矩陣表示法，都是研究同一個置換的有效方式：前者可幫助我們計算8個孩子排隊的不同排列方式數(shù)；后者則能模擬在棋盤上放置盡可能多的互斥車的問題，保證任意兩車之間無法互相攻擊（見圖1右）?3?。

圖1

?3?在國際象棋中，若兩車位于同一行或同一列，且中間無其他棋子阻隔，則一方可攻擊另一方。

2 交替符號矩陣

現(xiàn)在試想，在棋盤上放置黑色和白色的車，要求同色車之間無法互相攻擊。這意味著，若某一行有多個車，這些車的顏色必須交替出現(xiàn)。同時規(guī)定，棋盤的每一行、每一列中，黑車的數(shù)量均比白車多1。這雖是一種非常規(guī)的國際象棋玩法，卻由此誕生了一個有趣的數(shù)學(xué)對象——交替符號矩陣（alternating sign matrix, ASM）！

交替符號矩陣（ASM）是一種方陣，其元素僅取0、1或-1，且滿足兩個核心條件：

1. 每行、每列的所有元素之和均為1；

2. 每行、每列中的非零元素，符號呈交替排列。

交替符號矩陣與上述特殊的車放置方式之間存在雙射關(guān)系：將矩陣中的1對應(yīng)黑車，-1對應(yīng)白車，0對應(yīng)棋盤上無棋子的位置（見圖2）。

圖2

圖2的矩陣中，1由8個黑兵和2個黑車表示。需要注意的是，置換矩陣是交替符號矩陣的子集——因為置換矩陣對應(yīng)的棋盤上，僅放置了黑車。結(jié)合上述定義，不妨判斷以下4個矩陣中，哪兩個是交替符號矩陣（答案見文末）！

交替符號矩陣有著頗具吸引力的研究歷史（詳見參考文獻(xiàn)[3]），它于1984年由研究線性代數(shù)中行列式推廣問題的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)。當(dāng)時他們提出了一個十分自然的問題：n階交替符號矩陣的數(shù)量有多少個？

通過手工與計算機(jī)計算，研究者發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律，并由此提出猜想???：n階交替符號矩陣的數(shù)量為

1!4!7!?(3n?2)! / (n!(n+1)!?(2n?1)!)

其中n!=n(n-1)?3?2?1為階乘。例如，3階交替符號矩陣的數(shù)量為1!4!7! / (3!4!5!) = 7個。而這一計數(shù)公式的證明，耗時長達(dá)13年！其中一種證明方法???就依賴于交替符號矩陣與方形冰構(gòu)型（square ice configurations）之間的精妙雙射，這也是下文要介紹的內(nèi)容。

一個交替符號矩陣 、對應(yīng)的方形冰構(gòu)、對應(yīng)的六頂點(diǎn)模型構(gòu)型

圖3

3 已知的交替符號矩陣雙射

3.1 方形冰

再回到“冰”的例子。試想有一個由氫原子和氧原子構(gòu)成的網(wǎng)格，氫原子位于氧原子之間，且網(wǎng)格的左右兩側(cè)均為氫原子。我們需要在原子之間繪制化學(xué)鍵，使所有原子結(jié)合成水分子，且原子的位置固定不變——即每個氧原子恰好與相鄰的兩個氫原子成鍵，由此便形成了方形冰（square ice）的單層結(jié)構(gòu)（見圖3中）???。

???熟悉化學(xué)的讀者可能會注意到，實際的冰凍水分子成鍵夾角為120°，而非90°或180°，因此方形冰構(gòu)型并非冰凍冰的精確模型。但這類構(gòu)型已在石墨烯中被發(fā)現(xiàn)，是一個能在現(xiàn)實世界中找到對應(yīng)物的物理模型（詳見參考文獻(xiàn)[1]）。

方形冰構(gòu)型與交替符號矩陣之間可相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化規(guī)則為：水平排列的水分子對應(yīng)矩陣中的1，豎直排列的水分子對應(yīng)-1，其余構(gòu)型的水分子對應(yīng)0。而將交替符號矩陣轉(zhuǎn)化為方形冰構(gòu)型的過程則稍復(fù)雜——因為矩陣中的0可對應(yīng)多種水分子構(gòu)型，但研究發(fā)現(xiàn)，若先繪制出對應(yīng)1和-1的水平、豎直水分子，其余位置的四種直角水分子構(gòu)型中，總有唯一一種選擇能讓所有氫原子都形成化學(xué)鍵（可結(jié)合圖3的例子嘗試推導(dǎo)?。?。

物理學(xué)家通常會研究與方形冰網(wǎng)格雙射的圖（graph）：將每個氧原子替換為一個點(diǎn)（頂點(diǎn)，vertex），每個氫原子替換為指向其成鍵氧原子的箭頭（有向邊，directed edge）；同時在網(wǎng)格頂部添加向上的箭頭，底部添加向下的箭頭（見圖3右）。這一模型被稱為六頂點(diǎn)模型（six-vertex model），因為該模型中，每個頂點(diǎn)處的箭頭排布恰好有六種可能（見圖4上、中）。

圖4：

上——六頂點(diǎn)模型的六種頂點(diǎn)構(gòu)型

中——與方形冰水分子的雙射關(guān)系

下——對應(yīng)的無碰撞管道流瓦片

這一精妙的雙射為交替符號矩陣的計數(shù)提供了重要工具[7]，讓數(shù)學(xué)家得以借助物理學(xué)的研究方法展開分析。

3.2 無碰撞管道流

接下來，我們將六頂點(diǎn)模型構(gòu)型轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對象，其形態(tài)類似多層公寓樓的管道網(wǎng)絡(luò)，這種轉(zhuǎn)化需將六頂點(diǎn)模型的每種頂點(diǎn)構(gòu)型，替換為圖4（下）對應(yīng)的瓦片（tile）。

這類對象被稱為無碰撞管道流（bumpless pipe dreams），原因是不允許出現(xiàn)兩根管道幾乎相撞的瓦片構(gòu)型。

圖5

左：與圖3中交替符號矩陣對應(yīng)的約化無碰撞管道流

右：對應(yīng)的沙漏型邊著色平面圖

圖5（左）展示了與圖3中方形冰構(gòu)型對應(yīng)的無碰撞管道流，從這一視角可發(fā)現(xiàn)一個新性質(zhì)：每個交替符號矩陣都對應(yīng)一個置換。具體的對應(yīng)方法為：將網(wǎng)格底部的管道從左到右編號，追蹤每根管道的走向后，再將網(wǎng)格頂部的方格從上到下對應(yīng)編號。例如，圖5中的無碰撞管道流對應(yīng)的置換為1432。

若一個無碰撞管道流由技藝尚可的管道工構(gòu)建，且保證任意兩根管道均不交叉兩次，則稱其為約化無碰撞管道流（reduced bumpless pipe dreams）。這類管道流將在本文末尾再次出現(xiàn)，成為解決“待解雙射”問題的部分解。

3.3 沙漏型邊著色平面圖

在近期的研究中[4]，交替符號矩陣意外地與一類特殊的圖產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，這類圖屬于一個更大的對象集合——沙漏型邊著色平面圖（hourglass plabic graphs）（見圖5右）。不妨嘗試根據(jù)文中的交替符號矩陣?yán)?，推?dǎo)繪制這類圖的規(guī)則！

除了能繪制出美觀的圖形，沙漏型邊著色平面圖還能幫助解決一個代數(shù)問題：為SL?不變多項式空間尋找一組“良基（nice basis）”。

4 交替符號矩陣的待解雙射

4.1 問題提出

交替符號矩陣最神秘的特征之一是：存在另一類數(shù)學(xué)對象，其計數(shù)公式與交替符號矩陣完全相同，但目前尚未發(fā)現(xiàn)二者之間的優(yōu)美雙射（nice bijection），全對稱自補(bǔ)平面分拆（totally symmetric self-complementary plane partition, TSSCPP）就是其中之一。

試想給你一堆積木，要求你將其堆疊在盒子的角落，且滿足以下三條規(guī)則：

• 規(guī)則1：積木的堆疊方式關(guān)于左右方向鏡像對稱（如同人的臉）；

• 規(guī)則2：將盒子繞角落旋轉(zhuǎn)（使底面變?yōu)樽蟊?、左壁變?yōu)橛冶?、右壁變?yōu)榈酌妫┖?，積木的堆疊形態(tài)保持不變；

• 規(guī)則3：盒子中的空區(qū)域與積木堆疊區(qū)域的形狀完全相同。

圖6

8×8×8立方體中的一個全對稱自補(bǔ)平面分拆、其基本域

從數(shù)學(xué)角度，這樣的積木堆疊方式即為全對稱自補(bǔ)平面分拆（TSSCPP）（見圖6左）。一個自然的問題是：對于給定大小的盒子，全對稱自補(bǔ)平面分拆的數(shù)量有多少個？

首先，規(guī)則2意味著盒子的各條棱長必須相等，即盒子為立方體；規(guī)則3則要求盒子的空間被積木區(qū)域和空區(qū)域均勻分割，因此盒子的體積（以積木為單位）必須為偶數(shù)。綜上，盒子的大小必為2n×2n×2n（n為自然數(shù)）。

一個驚人的結(jié)論是：2n×2n×2n的立方體中，全對稱自補(bǔ)平面分拆的數(shù)量，恰好等于n階交替符號矩陣的數(shù)量（該結(jié)論已在參考文獻(xiàn)[2]中證明）。但與前文介紹的對象不同，目前尚未發(fā)現(xiàn)能將交替符號矩陣作為輸入、輸出對應(yīng)全對稱自補(bǔ)平面分拆的優(yōu)美雙射。

當(dāng)然，我們可以構(gòu)造一種無實際研究價值的雙射：將所有交替符號矩陣按順序列在紙的左側(cè)，所有全對稱自補(bǔ)平面分拆按順序列在紙的右側(cè)，聲明二者按紙面順序一一對應(yīng)。但通過前文介紹的各類優(yōu)美雙射例子，不難發(fā)現(xiàn)這并非數(shù)學(xué)家想要的結(jié)果。事實上，時至今日，數(shù)學(xué)家仍在尋找這兩個集合之間的優(yōu)美雙射，下一節(jié)將介紹這一公開問題的最新研究進(jìn)展。

4.2 研究進(jìn)展

研究的第一步，是先找到全對稱自補(bǔ)平面分拆集合上的一些自然雙射。試想你面前有一堆按全對稱自補(bǔ)平面分拆規(guī)則堆疊的積木，若想告訴朋友如何堆疊出相同的形狀卻不展示圖片，由于全對稱自補(bǔ)平面分拆具有高度的對稱性，你無需告知每一塊積木的位置，對方也能完成堆疊：

根據(jù)規(guī)則1，只需告知左側(cè)積木的位置，對方即可通過鏡像得到右側(cè)積木的位置；

結(jié)合規(guī)則2和規(guī)則3，你甚至無需告知左側(cè)所有積木的位置。

研究發(fā)現(xiàn)，只需掌握盒子中1/12大小的披薩切片狀區(qū)域的積木堆疊方式，就能獲得構(gòu)建整個全對稱自補(bǔ)平面分拆的全部信息，這個包含核心信息的區(qū)域被稱為基本域（fundamental domain，見圖6右）。

在尋找雙射的過程中，數(shù)學(xué)家通常會從自己熟悉的集合子集入手。數(shù)年前的研究中[9]，我們在基本域上發(fā)現(xiàn)了一個簡單的判定準(zhǔn)則，能確定哪些全對稱自補(bǔ)平面分拆與置換相對應(yīng)（例如，圖6中的全對稱自補(bǔ)平面分拆對應(yīng)置換3241）。這一發(fā)現(xiàn)建立了交替符號矩陣與全對稱自補(bǔ)平面分拆之間的部分雙射——因為置換矩陣是交替符號矩陣的特殊情況。但問題是：當(dāng)交替符號矩陣中包含-1時，對應(yīng)的雙射關(guān)系又該如何建立？

近期，我們找到了一種方法，將這一局部雙射推廣到更大的交替符號矩陣子集，其中包括部分包含-1的交替符號矩陣[6]。研究中借助了舒伯特演算（Schubert calculus）的一項新突破???——該突破建立了約化無碰撞管道流與另一類對象約化管道流（reduced pipe dreams）之間的雙射???。

???盡管“無碰撞管道流”與“管道流”名稱相近，但二者是完全不同的對象集合，其之間的雙射關(guān)系實際上十分復(fù)雜。

我們首先證明了全對稱自補(bǔ)平面分拆可映射為管道流，隨后利用參考文獻(xiàn)[5]中的雙射，將約化的管道流轉(zhuǎn)化為無碰撞管道流（進(jìn)而轉(zhuǎn)化為交替符號矩陣）。

圖7：參考文獻(xiàn)[6]中，特定全對稱自補(bǔ)平面分拆與交替符號矩陣之間的映射例子。

圖7為該映射的一個例子，這一成果構(gòu)建了交替符號矩陣與全對稱自補(bǔ)平面分拆之間更大范圍的部分雙射。

4.3 研究展望

我們能否最終找到所有交替符號矩陣與全對稱自補(bǔ)平面分拆之間的優(yōu)美雙射？數(shù)學(xué)家已為這一問題探索了30年：有人認(rèn)為，若時至今日仍未找到，這類雙射可能并不存在；也有人認(rèn)為，或許換一種研究視角，就能讓問題變得清晰。答案尚需時間驗證，但目前我們已有了一個可能帶來突破的新視角。

前文提到，交替符號矩陣意外地以沙漏型邊著色平面圖的形式出現(xiàn)，而全對稱自補(bǔ)平面分拆也在這類圖中出現(xiàn)了（見圖8）！盡管交替符號矩陣和全對稱自補(bǔ)平面分拆均為沙漏型邊著色平面圖的特例，并不意味著二者之間的雙射必然存在，但這一全新關(guān)聯(lián)，未來有望成為解開“二者計數(shù)公式為何相同”這一謎題的關(guān)鍵。

圖8：繪制在全對稱自補(bǔ)平面分拆基本域上的沙漏型邊著色平面圖（綠色）

參考文獻(xiàn)

[1] G. Algara-Siller, O. Lehtinen, F. C. Wang, R. R. Nair, U. Kaiser, H. A. Wu, A. K. Geim, and I. V. Grigorieva, Square ice in graphene nanocapillaries, Nature 519 (2015), no. 7544, 443–445.

[2] G. Andrews, Plane partitions V: The TSSCPP conjecture, Journal of Combinatorial Theory, Series A 66 (1994), no. 1, 28–39.

[3] D. Bressoud and J. Propp, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society 46 (1999), no. 6, 637–646.

[4] C. Gaetz, O. Pechenik, S. Pfannerer, J. Striker, and J. Swanson, Rotationinvariant web bases from hourglass plabic graphs, Inventiones mathematicae (2025), 1–102.

[5] Y. Gao and D. Huang, The canonical bijection between pipe dreams and bumpless pipe dreams, International Mathematics Research Notices (2023), no. 21, 18629–18663.

[6] D. Huang and J. Striker, A pipe dream perspective on totally symmetric selfcomplementary plane partitions, Forum of Mathematics. Sigma 12 (2024), Paper No. e17, 19.

[7] G. Kuperberg, Another proof of the alternating-sign matrix conjecture, International Mathematics Research Notices 3 (1996), 139–150.

[8] W. H. Mills, D. P. Robbins, and H. Rumsey, Alternating sign matrices and descending plane partitions, Journal of Combinatorial Theory, Series A 34 (1983), no. 3, 340–359.

[9] J. Striker, Permutation totally symmetric self-complementary plane partitions, Annals of Combinatorics 22 (2018), no. 3, 641–671.

（第2節(jié)問題答案：中間兩個矩陣為交替符號矩陣。）

作者簡介

Jessica Striker，美國北達(dá)科他州立大學(xué)數(shù)學(xué)教授。

所屬數(shù)學(xué)領(lǐng)域

代數(shù)學(xué)與數(shù)論、離散數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

跨學(xué)科關(guān)聯(lián)

化學(xué)與地球科學(xué)、物理學(xué)

版權(quán)協(xié)議

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奧伯沃爾法赫現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡報為讀者呈現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)研究的精彩洞見，由奧伯沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, MFO）科研項目的參與者撰寫。本簡報項目旨在向全球?qū)?shù)學(xué)感興趣的公眾普及現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識，增進(jìn)大眾對數(shù)學(xué)研究的理解與認(rèn)同。所有簡報均與IMAGINARY平臺合作發(fā)布，可在以下網(wǎng)址查閱：www.imaginary.org/snapshots 及 www.mfo.de/snapshots 。

國際標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)出版物號

ISSN 2626-1995

機(jī)構(gòu)信息

奧伯沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH）

地址：德國巴登-符騰堡州奧伯沃爾法赫市，黑森林大街9-11號，77709

所長：Gerhard Huisken

合作平臺：IMAGINARY開放式數(shù)學(xué)平臺

參考資料

https://publications.mfo.de/handle/mfo/4388

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