在數(shù)學(xué)中，我們通常相信一件看似理所當(dāng)然的事：對于一個命題，只要通過嚴(yán)格的推導(dǎo)把它證明出來，那么我們就相信它是真的。既然如此，我們能否知道所有的數(shù)學(xué)真理，或者說是否所有的數(shù)學(xué)真理都能被證明？這一信念背后其實隱藏著一系列關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的更深刻的問題——什么是數(shù)學(xué)證明？如何選擇公理？是否存在一套完備的推理規(guī)則？等等。數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家試圖以形式化的方式回答這些問題，希望用一套明確的公理與推理規(guī)則刻畫所有可能的數(shù)學(xué)證明，從而為整個數(shù)學(xué)建立堅實的基礎(chǔ)。但出人意料的是，對這一計劃的深入研究最終揭示了一個現(xiàn)實：我們對數(shù)學(xué)真理的把握有著本質(zhì)上的限制，而這種限制來自數(shù)學(xué)本身。本文也將以此為線索，對邏輯學(xué)作一個簡要介紹。

撰文 | 葉凌遠(yuǎn)

“Ignoramus et ignorabimus”，我們不知道，我們永遠(yuǎn)不會知道。

這是德國生理學(xué)家Emil du Bois-Reymond 在其1872年出版的著作《關(guān)于自然知識的限制》（über die Grenzen des Naturerkennens）中寫下的拉丁語格言。這句格言表明了對于科學(xué)發(fā)現(xiàn)的態(tài)度：我們能夠發(fā)現(xiàn)的科學(xué)知識在本質(zhì)上是受局限的。1900年，新世紀(jì)之初，國際數(shù)學(xué)家大會在巴黎舉行。在會上，大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）堅定地反對了面對科學(xué)探索如此消極的態(tài)度。他發(fā)表了如下這番話：

“每一個數(shù)學(xué)問題都可以被解決，這種信念是對研究者的一種強大激勵。我們在內(nèi)心不斷聽到這樣的召喚：問題就在這里，去尋求它的解答吧，你可以憑借純粹的理性找到它。因為數(shù)學(xué)中不存在 ignorabimus”。

三十年后，希爾伯特更是喊出了如下更鏗鏘有力的口號：“Wir müssen wissen - wir werden wissen”，我們必須知道，我們終將知道。我相信，這種對認(rèn)知數(shù)學(xué)真理的堅定信念仍是大部分?jǐn)?shù)學(xué)工作者所認(rèn)同的。

然而，我們真的能知道所有的數(shù)學(xué)真理嗎？甚至，我們真的有辦法明確地回答這個問題，而不僅僅是淪為不同信仰的爭吵嗎？本文對邏輯學(xué)的介紹便會圍繞這一問題展開。作為一些劇透，我想在本文的最后讓讀者了解，希爾伯特對數(shù)學(xué)求索的設(shè)想可能過于樂觀了——我們對數(shù)學(xué)真理的把握有著本質(zhì)上的限制：這種限制無關(guān)乎人類的智力或創(chuàng)造力，它是數(shù)學(xué)作為一項嚴(yán)格的事業(yè)所必須要面臨的局限。

什么是數(shù)學(xué)證明？

要回答“我們能否知道所有的數(shù)學(xué)”這個問題，最關(guān)鍵一點是明確我們獲得數(shù)學(xué)知識的途徑。而數(shù)學(xué)的特殊之處在于，獲得數(shù)學(xué)真理本質(zhì)上只有一種方式：通過證明！因此，理解何為數(shù)學(xué)證明便是我們回答這一問題的最佳切口。

數(shù)學(xué)和哲學(xué)一樣，是人類智力活動中最古老的領(lǐng)域之一。在古希臘，證明幾乎可以看作一種修辭，用于在對話中說服他人相信某個命題。這一點在柏拉圖的對話體寫作中體現(xiàn)得尤為明顯，《美諾篇》（Meno）更是在一般意義上探討了人類如何獲取知識這一問題。我們在此不論述這一更一般的哲學(xué)問題，但引用其中提到的一個具體例子。

蘇格拉底詢問一個奴隸，如果想要把一個正方形的面積擴(kuò)大兩倍，其邊長需要擴(kuò)大多少倍？奴隸的第一反應(yīng)是，需要變成原本的兩倍。蘇格拉底按照他的回答在沙地上用木棍畫出了下圖左邊的圖案。由此，奴隸便明白了，依照他的回答，正方形的面積會變?yōu)樵镜乃谋丁ＬK格拉底隨后又在該圖形上添加了四條對角線，如下圖右所示。

由于每條對角線都把四個小正方形分割成了面積相等的兩份，中間構(gòu)成的正方形其面積也會是外部大正方形面積的二分之一，即為原本小正方形面積的兩倍。蘇格拉底通過這樣的對話說服了奴隸這一事實：若要把正方形的面積變?yōu)樵瓉淼膬杀叮溥呴L需要變?yōu)槿缟嫌覉D中對角線的長度。整個對話便構(gòu)成了一個“證明”。[1]

現(xiàn)代數(shù)學(xué)意義上的證明可以說是從歐幾里得開始的。歐幾里得的《幾何原本》以定義-公理-定理的順序展開，構(gòu)建了許多幾何和數(shù)論的結(jié)論。毫不夸張地說，歐幾里得的書寫影響了之后兩千多年人類探索數(shù)學(xué)的方式：數(shù)學(xué)要從解釋所使用的術(shù)語的定義和預(yù)設(shè)的公理開始，根據(jù)邏輯推演得出結(jié)論。同時，古希臘時期人們已經(jīng)意識到這就是證明的一般結(jié)構(gòu)。亞里士多德在其《后分析篇》（Analytica Posteriora）中已經(jīng)提到：演繹科學(xué)圍繞著一些無需進(jìn)一步解釋即可理解的基本概念，和一些被視為理所當(dāng)然的基本真理或公理而構(gòu)建。已定義的概念和定理都被簡化為這兩者，后者是通過證明實現(xiàn)的。

依照這一范本，數(shù)學(xué)獲得了驚人的發(fā)展——即使語言不通，不同地區(qū)的數(shù)學(xué)家們?nèi)匀荒軌蛳嗷ダ斫獠⒄J(rèn)可彼此的定義、公理以及推演步驟，在歷史的長河中不斷推進(jìn)人類對數(shù)學(xué)的理解。初學(xué)者可以通過閱讀與模仿習(xí)得這樣的技巧，隨后發(fā)揮自己的聰明才智發(fā)明新的定義、證明新的定理，從而推動數(shù)學(xué)的發(fā)展。

然而，能夠?qū)懴聰?shù)學(xué)證明并不意味著對證明本身有了完整的理解。要描述所有可能的數(shù)學(xué)證明，我們所面臨的是如何理解證明的一般結(jié)構(gòu)中所出現(xiàn)的幾個要素：

1. 如何確定數(shù)學(xué)的基本概念？

2. 如何選取公理？

3. 推理的規(guī)則有哪些？

若仔細(xì)想想，這幾個問題的答案都不是顯然的。很長一段時間內(nèi)，數(shù)學(xué)定義要么依賴于之前已經(jīng)定義好的術(shù)語，要么必須超出數(shù)學(xué)的語言，依賴于人們對某些基本概念的直觀。例如，在《幾何原本》中，歐幾里得將“點”定義為“沒有部分的事物”，而后者并沒有更進(jìn)一步的闡釋，而是默認(rèn)了讀者對此有足夠的直觀理解該定義的內(nèi)涵。顯然，我們也不能一直通過引入別的概念來解釋現(xiàn)有的定義——否則就會陷入無窮盡的循環(huán)。那么，哪一個或哪些概念能夠作為其他一切概念定義的基礎(chǔ)呢？對于選定的基本概念，要選擇哪些自然的事實作為公理？要使得所選的基本概念和公理能夠囊括所有的數(shù)學(xué)證明，這是一件不容易的事。

其次，哪些推理規(guī)則是可以在證明中使用的？我們很容易列舉出一些常見的推理規(guī)則，比如“若A推出B，且B推出C，則A推出C”，或者“若A推出C，B也推出C，則（A或B）能推出C”。歷史上許多哲學(xué)家都研究過可行的推理規(guī)則，早期有亞里士多德著名的“三段論”，中國的墨家也對推理有相關(guān)的敘述。要完整地理解什么是一個數(shù)學(xué)證明，我們必須列舉出所有可以在數(shù)學(xué)證明中使用的推理規(guī)則。檢查列舉出的推理規(guī)則是否正確，或者說是否有效，是比較容易的：若推理的前提為真，則結(jié)論也必須為真。可是，如何確保所列舉出的推理規(guī)則是完全的？或者更明確地說，如何確保所有可能被證明的命題都能夠依據(jù)我們所列舉出的推理規(guī)則演繹得到？回答這個問題同樣困難。

現(xiàn)代邏輯學(xué)對上面這些問題都給出了可能的答案。基于此，邏輯學(xué)對什么是一個數(shù)學(xué)證明本身給出了一個可能的嚴(yán)格且完整的描述。在筆者看來，這是人類對真理探索——至少是數(shù)學(xué)真理探索——旅程上一個重要的轉(zhuǎn)折點，它標(biāo)志著我們將探索真理這項活動本身也納入了理性檢驗的范疇。

本文之后的內(nèi)容就圍繞著邏輯學(xué)如何回答這幾個問題展開，為讀者簡要地介紹邏輯學(xué)的思想。在文章的最后，我們會回到行文伊始的問題，在邏輯學(xué)的角度下談?wù)勏柌貙?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的觀念是否是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

證明的出發(fā)點：集合

數(shù)學(xué)基于非常簡單且直觀的基本概念發(fā)展了許多年。幾何學(xué)以點、線、面等基本幾何對象為基礎(chǔ)，數(shù)論與代數(shù)則基于自然數(shù)，這些概念對于有立體感官以及計數(shù)經(jīng)驗的人而言是直接的。隨著數(shù)學(xué)不斷涉及新的復(fù)雜概念，為數(shù)學(xué)對象尋找一個嚴(yán)格甚至是統(tǒng)一的基礎(chǔ)變得越來越重要。首先是微積分，在其發(fā)展的早期，許多計算與證明都基于對“無窮小”以及“連續(xù)體”等概念啟發(fā)式的理解，并不具有嚴(yán)格性。之后復(fù)數(shù)與復(fù)分析的發(fā)展更是讓人們對于
作為一個數(shù)字的具體含義感到困惑。礙于篇幅與能力，筆者在此無法詳細(xì)地整理數(shù)學(xué)中概念的發(fā)展歷程。但這一節(jié)想要說明的是，到了十九、二十世紀(jì)，在戴德金、康托等數(shù)學(xué)家的努力下，以一個單獨的概念為基礎(chǔ)統(tǒng)一所有的數(shù)學(xué)定義變得可能了，這個概念就是集合。

一個集合直觀上就是一些元素所構(gòu)成的整體。集合之間最基本的關(guān)系就是集合之間的屬于關(guān)系，數(shù)學(xué)家用x∈y來表明x是y的一個元素，每個集合都由其內(nèi)的元素唯一確定。直觀上，集合之間存在許多自然的操作：最簡單的集合是空集?，即不包含任何元素的集合；給定一些集合，我們能將它們的元素并在一起構(gòu)成一個新的集合，等等。從空集出發(fā)，我們能定義自然數(shù)，例如將 0 看作空集?，1 看作只包含0這一個元素的集合，通常記作 {0}；2 看作包含0，1兩個元素的集合，記作{0,1}，以此類推。這樣，每個自然數(shù)所包含的元素個數(shù)即為該自然數(shù)本身。

或許最精彩的構(gòu)造是戴德金用集合的語言對實數(shù)的定義：一個實數(shù)可以看作是對有理數(shù)集某種特別的“分割”，被稱為戴德金分割。實數(shù)由此便可看作是對有理數(shù)集分割的集合。從自然數(shù)和實數(shù)出發(fā)，用集合論的語言就能夠清晰地描述代數(shù)與幾何中的基本概念。同時，在以柯西為代表的數(shù)學(xué)家們工作的基礎(chǔ)上，集合論的語言也為微積分、復(fù)數(shù)等近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的復(fù)雜概念提供了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

至此，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域看似不同類別的對象都能夠統(tǒng)一地用集合的語言描述。這是數(shù)學(xué)一次巨大的理念革新，意味著我們找到了一個可能的基本概念：所有其余的數(shù)學(xué)定義都基于集合這一基本概念，而所有的數(shù)學(xué)證明都可以從有關(guān)集合的定義與公理出發(fā)，依照嚴(yán)格的推理完成。

集合的公理

然而，這一理念革新潛藏著危機——對于集合，應(yīng)當(dāng)選擇什么樣的公理？在數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，當(dāng)人們?nèi)砸曰镜膸缀螌ο蠡蜃匀粩?shù)作為基本概念時，有關(guān)它們的公理或多或少是顯然的：我們有足夠的直觀能夠直接地判斷一個關(guān)于基本幾何對象或自然數(shù)的命題是否正確。例如，歐幾里得在《幾何原本》中列出的五條幾何的基本公理，或是自然數(shù)的歸納公理，這些在直觀上都是顯然的：我們能直觀上驗證這些公理的正確性，并且往往從這些簡單且基本的公理出發(fā)，我們能夠證明大部分有關(guān)幾何與自然數(shù)的基本事實。

某種意義上說，我們對集合仍具有良好的直觀。但是，對于集合直觀的簡單運用卻會帶來矛盾——這就是著名的羅素悖論。羅素悖論基于一個簡單的直觀：由于一個集合只是一系列元素構(gòu)成的整體，任何一個性質(zhì)P都應(yīng)能定義一個集合 {x|Px}，該集合內(nèi)的元素即為所有滿足性質(zhì)P的對象。然而，不加限制地使用這一公理會導(dǎo)致矛盾：定義R?{x?x∈x}，即 R 為所有自己不屬于自己的對象所構(gòu)成的集合。根據(jù)其定義，R∈R當(dāng)且僅當(dāng) ?R∈R，矛盾。

為了解決這一“數(shù)學(xué)危機”，在確定有關(guān)集合的公理時需要更為小心謹(jǐn)慎。本文不再詳述集合論公理具體的發(fā)展歷程了。只是告訴讀者，在以德國數(shù)學(xué)家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）和亞伯拉罕·弗蘭克爾（Abraham Adolf Fraenkel）以及挪威數(shù)學(xué)家托拉爾夫·斯科倫（Thoralf Skolem）的努力下，集合論有了一個被數(shù)學(xué)界普遍接受的公理化系統(tǒng)，現(xiàn)如今通常被記作 ZFC（Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice）。

在為數(shù)學(xué)提供基礎(chǔ)的層面上，公理集合論取得了巨大的成功：目前數(shù)學(xué)界已經(jīng)普遍認(rèn)可所有已知的數(shù)學(xué)定理都可用集合的語言描述，并從集合論的公理出發(fā)得以證明。換句話說，目前絕大多數(shù)已知的數(shù)學(xué)都是集合論在 ZFC 公理下的推論。以此看來，集合論的公理系統(tǒng)無論如何都是人類探求真理歷史上的一顆明珠。

推理規(guī)則的完全性

此時，我們剩下的唯一一個問題就是確定數(shù)學(xué)證明所允許的推理規(guī)則。如前文所言，對這一問題的研究比集合論要古早得多。不過，從現(xiàn)代的眼光來看，兩千多年來人們都只局限于發(fā)現(xiàn)有效的推理規(guī)則，而沒有對推理規(guī)則進(jìn)行一般性的研究。范式的轉(zhuǎn)變來自德國哲學(xué)家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）于1879年發(fā)表的重要著作《概念文字》（Begriffsschrift）。弗雷格毫無疑問是現(xiàn)代形式邏輯的奠基人，他首先構(gòu)造出了一個現(xiàn)代意義上的形式邏輯系統(tǒng)，清晰地定義了何為一個數(shù)學(xué)證明。自此之前，沒有人想過存在一套完全的證明原則能夠用于所有可能的數(shù)學(xué)推理：

“所有正確推理所必需的內(nèi)容都已完整表達(dá)，而非必需的內(nèi)容通常不予指出；一切都無需猜測。” （《概念文字》，第3頁）

我們之前已經(jīng)提到，一個有效的推理規(guī)則只需要滿足一個條件：若前提為真，則結(jié)論也必須為真。很顯然，滿足此條件的推理規(guī)則是無窮多的，因為我們只需把已知的有效推理規(guī)則組合在一起就能形成新的有效的推理規(guī)則。弗雷格的工作所具有的劃時代意義是：我們能夠?qū)懴?strong>有限多個基本的推理原則，使得所有的有效推理都能由這些基本推理規(guī)則組合而成。我們稱這有限多個基本推理規(guī)則是完全的。這一理念進(jìn)步對邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展都具有決定性意義。

弗雷格的《概念文字》毫無疑問開啟了現(xiàn)代邏輯學(xué)的研究，且現(xiàn)在我們知道，他在其中列舉出的推理規(guī)則的確對于數(shù)學(xué)證明而言是完全的。然而，對于這一事實的嚴(yán)格證明還需要許多數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家的努力。事實上，如何以嚴(yán)格的方式問出這一問題在弗雷格的年代都并不明晰。到1928年，希爾伯特和德國數(shù)學(xué)家威廉·阿克曼（William Ackermann）在他們的著作《數(shù)理邏輯原理》（Grundzüge der theoretischen Logik）中更加嚴(yán)格地問出了證明規(guī)則完全性的問題。這一問題被庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）于1929年在其博士論文中解決，他證明了希爾伯特和阿克曼在上述著作中給出的證明規(guī)則是完全的。

從現(xiàn)代的角度來看，一套完全的推理規(guī)則由兩部分組成：結(jié)構(gòu)規(guī)則和邏輯連詞的規(guī)則。結(jié)構(gòu)規(guī)則中最重要的是“切割規(guī)則”（cut rule），它聲明若有一個以 A 為前提 B 為結(jié)論的證明，且有一個以 B 為前提 C 為結(jié)論的證明，則可將這兩個證明合起來構(gòu)成一個以 A 為前提 C 為結(jié)論的證明。而有關(guān)邏輯連詞的規(guī)則則與每個邏輯連詞的使用方式有關(guān)：每個連詞都對應(yīng)著兩個規(guī)則，即它的引入規(guī)則和消去規(guī)則。引入規(guī)則規(guī)定了我們?nèi)绾巫C明一個帶有該邏輯連詞的語句，而消去規(guī)則規(guī)定了如何從帶有這個邏輯連詞的語句出發(fā)證明新的句子?，F(xiàn)代邏輯學(xué)可以證明，結(jié)構(gòu)規(guī)則加上每個邏輯連詞對應(yīng)的引入和消去規(guī)則對于所有的邏輯推理是完全的。由于數(shù)學(xué)語句中只涉及有限多個邏輯連詞（合取、析取、否定、蘊含、存在、全部），因此證明規(guī)則也是有限的。

至此，我們對何為一個數(shù)學(xué)證明就有了一個清晰且嚴(yán)格的答案：數(shù)學(xué)證明所涉及的基本概念可選為集合和其之間的包含關(guān)系；對于集合我們有一套完整且確定的公理描述其性質(zhì)；同時，我們有一套完全的證明規(guī)則，使得在集合論下所有可能的數(shù)學(xué)證明都能從集合論的公理出發(fā)，依照這些有效的推理原則證明得到。我們最后得到的這一系統(tǒng)原則上囊括了自數(shù)學(xué)發(fā)展以來所寫下的——以及可見的未來內(nèi)可能寫下的——所有數(shù)學(xué)證明。按照現(xiàn)代邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)的約定，我們把這一整套公理及證明系統(tǒng)記作 ZFC。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的不完全性

此時，讓我們回到最開始的問題：我們能否知道所有的數(shù)學(xué)真理？如果我們認(rèn)同人類知道任何數(shù)學(xué)真理的方式只能通過證明，那該問題就等價于，是否所有數(shù)學(xué)真理都能被證明？當(dāng)我們確定了數(shù)學(xué)證明所選取的證明系統(tǒng) ZFC，該問題也等價于問 ZFC 能否證明所有的數(shù)學(xué)真理？

答案是徹底的否定！某種意義上，這是現(xiàn)代邏輯最重要的結(jié)論之一。這一結(jié)論同樣歸功于哥德爾，有意思的是這一結(jié)論同樣來自于他嘗試回答希爾伯特所提出的另一個問題：一個數(shù)學(xué)證明系統(tǒng)能否證明自身無矛盾？

文章之前提到過，之所以數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家花了大量的精力嘗試給出集合論嚴(yán)格而確定的公理化，是因為對于一些集合直觀的簡單運用會立刻導(dǎo)致矛盾。這里未被討論的問題是，那我們?nèi)绾未_定之后所寫下的公理同樣不會導(dǎo)致矛盾？如果所使用的證明系統(tǒng)能夠推出矛盾，于數(shù)學(xué)而言這顯然是巨大的災(zāi)難。

希爾伯特曾提出了他對于驗證公理證明系統(tǒng)無矛盾的設(shè)想：我們應(yīng)該能通過本質(zhì)上“有限”的方法驗證所選取的公理-證明系統(tǒng)無矛盾。哲學(xué)上對于何為“有限”有很多爭論，但粗略地說，我們應(yīng)該能僅僅通過一些有關(guān)計數(shù)的原則——這些原則我們應(yīng)該能夠通過直接計算進(jìn)行驗證——證明所選取的公理系統(tǒng)無矛盾。由此，希爾伯特希望可以毫無爭議地確定數(shù)學(xué)證明系統(tǒng)不會產(chǎn)生矛盾。

然而，哥德爾的結(jié)論完全推翻了希爾伯特的設(shè)想。即使我們不僅僅局限于“有限”的手段，而將整個 ZFC 作為出發(fā)點，它也無法證明自身無矛盾。若我們相信 ZFC 是無矛盾的——這也是絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)家所相信的——這意味著我們所選取的公理系統(tǒng)無法證明所有的數(shù)學(xué)真理。這被稱為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的不完全性。

讀者自然會問，這是否是由于我們所選取的公理是不完整的？若所選取的公理不完整，自然而然其無法證明所有的數(shù)學(xué)真理。事實上，哥德爾的結(jié)論證明了這不是公理選取多少的問題：只要所選取的公理集是可判定的（且具有足夠的表達(dá)力），即有一個具體確定的規(guī)則告訴我們一個數(shù)學(xué)命題是否是一個公理，最后得到的公理系統(tǒng)都是不完全的。不滿足這一條件的公理系統(tǒng)本質(zhì)上是無法被數(shù)學(xué)家使用的，因為若無法有效地判定一個語句是否是一個公理，那如何運用公理進(jìn)行數(shù)學(xué)證明呢？因此，我們不可能通過向 ZFC 增添新的公理的方式得到一個可用的且能證明所有數(shù)學(xué)真理的公理體系。

結(jié)語

基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的不完全性，我們該以什么樣的方式面對現(xiàn)有的數(shù)學(xué)研究呢？許多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為，這些結(jié)論對于具體的數(shù)學(xué)工作是沒有意義的。因為數(shù)學(xué)的重點不全在于證明新的定理，一部分也在于加深人類對理念和現(xiàn)實世界的理解——而這種理解不是通過對定理進(jìn)行形式化地證明，而是通過創(chuàng)造新的概念、找出看似不同事物之間的關(guān)聯(lián)而取得的。盡管 ZFC 原則上能夠描述所有已知的數(shù)學(xué)證明，但在實際研究中，集合論就像一把大刀隨意地將數(shù)學(xué)的對象切碎成末，加工成人類無法理解的碎片。好的數(shù)學(xué)應(yīng)該是像柏拉圖在《費德魯斯篇》（Phaedrus）中所說，要“切在自然的關(guān)節(jié)處”：引入好的概念使得人的理解加深，而不單單是機械地證明更多定理。

筆者同意這樣的看法，但也認(rèn)為部分?jǐn)?shù)學(xué)家可能沒有意識到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對于他們工作的潛在重要性。的確，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的工作可能不會超出 ZFC 的能力，但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們必定會遇見他們推斷為真——事實上也可能真的為真——但 ZFC 無法證明的命題。許多人可能會認(rèn)為這樣的情況不會出現(xiàn)：數(shù)學(xué)中任何“自然的”命題應(yīng)該都能在 ZFC 中證明。然而，何為一個“自然”的命題并不清晰。希爾伯特在 1900 年巴黎數(shù)學(xué)家大會上提出了著名的 23 個問題，許多問題都深遠(yuǎn)地影響著數(shù)學(xué)之后一百多年的發(fā)展。其中的第一個問題有關(guān)康托的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”，而哥德爾和美國數(shù)學(xué)家保羅·科恩（Paul Cohen）的工作說明該假設(shè)與 ZFC獨立，即 ZFC 不可證明也不可證否該假設(shè)。

當(dāng)然，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探討可能無法對目前大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的日常工作產(chǎn)生幫助，數(shù)學(xué)也的確不應(yīng)該一直局限于對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探討當(dāng)中，而更應(yīng)該關(guān)注什么樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)更能夠揭示數(shù)學(xué)和自然界的真理。但隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，我們有一天一定還會回到對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論中來，因為每個數(shù)學(xué)家工作的下一個問題都可能超出 ZFC 中的證明。那時，如哥德爾在其職業(yè)生涯后期一直所強調(diào)地那樣，我們會需要新的公理——甚至是不再基于集合作為基本概念的新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

注釋

[1] 當(dāng)然，依照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光，這并不構(gòu)成一個嚴(yán)格的證明。不過有趣的是，現(xiàn)代邏輯學(xué)對證明的其中一種解釋是博弈語義，它可以看作將證明理解為對話的理論基礎(chǔ)。只不過對話的對象變成了抽象的“上帝”：如果你能說服上帝某個命題為真，那顯然你就證明了它，否則全知全能的上帝一定能舉出反例！

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