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近幾十年來(lái)，計(jì)算機(jī)算法為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的諸多發(fā)現(xiàn)提供了助力，其應(yīng)用主要集中在大參數(shù)空間的探索。隨著計(jì)算機(jī)算力的不斷提升，一種極具吸引力的可能性逐漸顯現(xiàn) —— 人類直覺(jué)與計(jì)算機(jī)算法的結(jié)合，有望發(fā)現(xiàn)那些原本難以捉摸的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

本文中，我們將展示如何通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助，發(fā)現(xiàn)一種此前未知的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) ——守恒矩陣場(chǎng)（CMF，conservative matrix field）。借鑒拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目的研究思路，我們開(kāi)發(fā)了一款大規(guī)模并行計(jì)算機(jī)算法，為眾多數(shù)學(xué)常數(shù)推導(dǎo)出了大量連分?jǐn)?shù)形式的公式。從這些公式中提煉的規(guī)律，不僅助力我們構(gòu)建出首個(gè)守恒矩陣場(chǎng)，還揭示了該結(jié)構(gòu)的核心特性。

守恒矩陣場(chǎng)讓 π 與 ln2、自然常數(shù) e 與岡珀茨（Gompertz）常數(shù)等不同數(shù)學(xué)常數(shù)之間顯現(xiàn)出意想不到的關(guān)聯(lián)。此外，這一矩陣場(chǎng)還能建立起看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的公式之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)百個(gè)現(xiàn)有公式的統(tǒng)一，并能衍生出無(wú)窮多個(gè)新公式。我們以黎曼 ζ 函數(shù) ζ(n) 的取值為例驗(yàn)證上述結(jié)論，該函數(shù)在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域已被研究數(shù)百年。

同時(shí)，守恒矩陣場(chǎng)也為數(shù)學(xué)常數(shù)的無(wú)理性證明提供了新方法，例如，我們利用這一結(jié)構(gòu)對(duì)阿佩里（Apéry）關(guān)于 ζ(3) 無(wú)理性的經(jīng)典證明進(jìn)行了推廣。本研究借助全球數(shù)千臺(tái)個(gè)人計(jì)算機(jī)開(kāi)展計(jì)算，證明了大規(guī)模計(jì)算方法在解決數(shù)學(xué)領(lǐng)域長(zhǎng)期懸而未決的難題、發(fā)現(xiàn)不同科學(xué)領(lǐng)域間潛在關(guān)聯(lián)方面的巨大潛力。

作者：Rotem Elimelech等（以色列海法理工學(xué)院電氣與計(jì)算機(jī)工程系）2024-6-14

Rotem Elimelecha, Ofir Davida, Carlos De la Cruz Menguala, Rotem Kalischa, Wolfgang Berndta, Michael Shalyta, Mark Silbersteina,Yaron Hadada, Ido Kaminera

PNAS《美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊》

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-3-28

摘要

數(shù)學(xué)常數(shù)在幾何學(xué)、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論、概率論等眾多數(shù)學(xué)分支和科學(xué)領(lǐng)域中自然出現(xiàn)。π、e、黃金分割比 φ 以及黎曼 ζ 函數(shù)的取值

ζ(n)=1??+2??+3??+…（n=2,3,…）

都是廣為人知的數(shù)學(xué)常數(shù)。黎曼 ζ 函數(shù)是數(shù)論領(lǐng)域數(shù)學(xué)探索的核心，其零點(diǎn)分布與素?cái)?shù)分布存在密切關(guān)聯(lián)，而黎曼 ζ 函數(shù)零點(diǎn)的精確分布問(wèn)題構(gòu)成了黎曼猜想 —— 這一至今仍是純數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的未解難題。

一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)出現(xiàn)在不同的數(shù)學(xué)場(chǎng)景中，既體現(xiàn)了其重要性，也往往能推動(dòng)學(xué)者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的核心關(guān)聯(lián)。歐拉解決巴塞爾問(wèn)題的經(jīng)典案例便是這一規(guī)律的絕佳印證，他證明了 ζ(2)=π2/6的恒等式，由此建立起 π 與素?cái)?shù)分布之間的深層聯(lián)系。

數(shù)學(xué)常數(shù)與其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)間新關(guān)聯(lián)的發(fā)現(xiàn)，往往源于研究者的敏銳直覺(jué)或創(chuàng)造性突破。人們不禁猜想，是否存在一種更底層的核心概念，能夠涵蓋全部或大部分?jǐn)?shù)學(xué)常數(shù)，并為這些常數(shù)的分類和排序提供理論框架。本文中，我們提出了這樣一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) ——守恒矩陣場(chǎng)（CMF，conservative matrix field），并證明該結(jié)構(gòu)不僅能復(fù)現(xiàn)已知的常數(shù)間關(guān)聯(lián)，還能揭示此前未被發(fā)現(xiàn)的新關(guān)聯(lián)。通過(guò)這些關(guān)聯(lián)，守恒矩陣場(chǎng)構(gòu)建了一個(gè)統(tǒng)一的理論框架，有助于深入研究數(shù)學(xué)常數(shù)的相互關(guān)系、內(nèi)在特性及復(fù)雜度。

研究意義

本研究屬于科學(xué)人工智能領(lǐng)域，通過(guò)連分?jǐn)?shù)公式建立了不同數(shù)學(xué)常數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，并為證明數(shù)學(xué)常數(shù)的無(wú)理性這一數(shù)論核心問(wèn)題提供了新方法。本研究的關(guān)鍵突破是發(fā)現(xiàn)了階乘約簡(jiǎn)（factorial reduction）現(xiàn)象 —— 這一現(xiàn)象在從經(jīng)典研究到最新成果的眾多數(shù)學(xué)常數(shù)公式中普遍存在。本研究是實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域規(guī)模最大的自動(dòng)化發(fā)現(xiàn)研究之一，數(shù)千名志愿者參與其中，使大規(guī)模并行算法連續(xù)運(yùn)行超過(guò)兩年。該研究不僅展現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)對(duì)廣大數(shù)學(xué)愛(ài)好者群體的影響力，也為這類研究的進(jìn)一步開(kāi)展提供了借鑒。

利益聲明

作者聲明無(wú)利益沖突。本文為PNAS《美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊》直接投稿文章，?2024 作者所有，由《美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊》出版，采用知識(shí)共享署名 - 非商業(yè)性使用 - 禁止演繹 4.0 協(xié)議（CC BY-NC-ND）發(fā)布。

一、數(shù)學(xué)常數(shù)的復(fù)雜度

理解數(shù)學(xué)常數(shù)內(nèi)在本質(zhì)的核心問(wèn)題是判斷其有理性，這一屬性可作為衡量常數(shù)復(fù)雜度的重要指標(biāo)。判斷一個(gè)常數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)并非易事，黎曼 ζ 函數(shù)在奇數(shù)處的取值情況便印證了這一點(diǎn)：1978 年阿佩里證明了 ζ(3) 的無(wú)理性，這是該領(lǐng)域?yàn)閿?shù)不多的研究成果，而所有更高階的奇數(shù) ζ 值的有理性至今仍未確定（相關(guān)部分成果見(jiàn)參考文獻(xiàn) 6-8）。同樣，卡塔蘭常數(shù) G、岡珀茨常數(shù) δ、歐拉 - 馬歇羅尼常數(shù) γ 等著名常數(shù)的無(wú)理性也尚未得到證明。

除了將數(shù)簡(jiǎn)單劃分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)外，無(wú)理性測(cè)度的概念為衡量數(shù)的復(fù)雜度提供了更精細(xì)的方法。該測(cè)度用于量化一個(gè)常數(shù)被無(wú)窮多個(gè)不同有理數(shù)逼近的速度：有理數(shù)的無(wú)理性測(cè)度為 0，無(wú)理數(shù)的無(wú)理性測(cè)度至少為 1，部分?jǐn)?shù)的無(wú)理性測(cè)度甚至可以任意大。然而，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)的無(wú)理性測(cè)度為 1，這意味著學(xué)界需要一套更精準(zhǔn)的常數(shù)分類體系。

本研究的目標(biāo)是通過(guò)量化表示各數(shù)學(xué)常數(shù)的公式復(fù)雜度，建立更精細(xì)的常數(shù)層級(jí)結(jié)構(gòu)，并據(jù)此對(duì)常數(shù)進(jìn)行聚類。接下來(lái)，我們將介紹連分?jǐn)?shù)公式，并闡述這類公式為何特別適用于計(jì)算機(jī)輔助研究。

二、算法驅(qū)動(dòng)的常數(shù)公式發(fā)現(xiàn)

阿佩里關(guān)于 ζ(3) 無(wú)理性的經(jīng)典證明，正是利用連分?jǐn)?shù)公式實(shí)現(xiàn)了對(duì)該常數(shù)的高效逼近：

該公式是多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)（PCF，polynomial continued fraction）的典型例子，其部分分子和部分分母均為關(guān)于深度 n 的整系數(shù)多項(xiàng)式。對(duì)這類連分?jǐn)?shù)進(jìn)行截?cái)?，可得到一列逼近目?biāo)常數(shù)的有理數(shù)，進(jìn)而用于估算該常數(shù)的無(wú)理性測(cè)度。

多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍十分廣泛，可用于表示三角函數(shù)、貝塞爾函數(shù)、伽馬函數(shù)、超幾何函數(shù)等多種數(shù)學(xué)函數(shù)，還能推廣一大類無(wú)窮級(jí)數(shù)，并對(duì)應(yīng)具有多項(xiàng)式系數(shù)的線性遞推公式。同時(shí)，多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)的計(jì)算復(fù)雜度較低，這一特性對(duì)計(jì)算機(jī)輔助研究至關(guān)重要。多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)空間具有可枚舉性，因此可對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)探索，且每個(gè)連分?jǐn)?shù)都能被高效求解。

為致敬斯里尼瓦瑟?拉馬努金對(duì)數(shù)學(xué)的獨(dú)特貢獻(xiàn)而命名的拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目（Ramanujan Machine project），首次提出通過(guò)算法自動(dòng)發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)公式的理念。該項(xiàng)目設(shè)計(jì)了兩種算法，通過(guò)將公式的數(shù)值解與常數(shù)匹配，發(fā)現(xiàn)如上述 ζ(3) 形式的連分?jǐn)?shù)公式，其中中途相遇算法（meet-in-the-middle）是當(dāng)時(shí)最成功的算法。該算法通過(guò)暴力搜索，將公式的數(shù)值展開(kāi)式與常數(shù) η 的線性分式變換形式(c?+c?η)/(c?+c?η)進(jìn)行匹配，成功發(fā)現(xiàn)了大量公式，其中一個(gè)公式還為卡塔蘭常數(shù)的無(wú)理性測(cè)度建立了新的下界。

為突破中途相遇算法等暴力搜索方法的局限性，需要開(kāi)發(fā)更先進(jìn)的探索策略。通過(guò)分析拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目得到的公式數(shù)據(jù)庫(kù)，我們?cè)诠娇臻g中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的數(shù)值特性 ——階乘約簡(jiǎn)（定義見(jiàn)第一部分），這一特性為我們開(kāi)發(fā)更高效的公式發(fā)現(xiàn)算法奠定了基礎(chǔ)。

該算法屬于啟發(fā)式算法，其核心猜想為：著名數(shù)學(xué)常數(shù)的連分?jǐn)?shù)公式常表現(xiàn)出階乘約簡(jiǎn)特性，并基于此對(duì)搜索空間進(jìn)行剪枝。盡管算法以啟發(fā)式猜想為基礎(chǔ)，但通過(guò)該算法發(fā)現(xiàn)的所有公式均經(jīng)過(guò)了獨(dú)立驗(yàn)證。該算法的一大優(yōu)勢(shì)是適用于分布式計(jì)算，支持大規(guī)模并行搜索，由此發(fā)現(xiàn)的大量已知常數(shù)的多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)公式，數(shù)量遠(yuǎn)超以往所有人工推導(dǎo)的結(jié)果。

本研究采用了實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的研究思路，即利用算法挖掘數(shù)學(xué)規(guī)律。算法能夠分析海量且難以人工處理的數(shù)據(jù)集，檢測(cè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的模式和規(guī)律，為數(shù)學(xué)家提出更有力的猜想提供線索，甚至為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明奠定基礎(chǔ)。這些研究結(jié)果會(huì)進(jìn)一步推動(dòng)新的實(shí)驗(yàn)和猜想，形成數(shù)學(xué)領(lǐng)域的 “科學(xué)研究方法”。本研究通過(guò)兩輪算法驅(qū)動(dòng)的科學(xué)研究，最終發(fā)現(xiàn)了守恒矩陣場(chǎng)的概念及其應(yīng)用。

與物理實(shí)驗(yàn)的作用類似，計(jì)算框架為數(shù)學(xué)家提供了 “虛擬實(shí)驗(yàn)室”。算法與數(shù)學(xué)家的協(xié)同合作，加速了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，成為杰出數(shù)學(xué)家偶然靈感發(fā)現(xiàn)的重要補(bǔ)充。

三、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)：守恒矩陣場(chǎng)

守恒矩陣場(chǎng)的發(fā)現(xiàn)，源于我們通過(guò)算法得到的大量多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)公式數(shù)據(jù)集。對(duì)這些公式的分析顯示，其中存在反復(fù)出現(xiàn)的對(duì)稱性和規(guī)律，例如 π 的以下連分?jǐn)?shù)公式：

上述第一個(gè)公式由布朗克爾發(fā)現(xiàn)、歐拉證明，第二個(gè)由拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目發(fā)現(xiàn)，第三個(gè)由皮克特等人發(fā)現(xiàn)。在我們的公式數(shù)據(jù)集中，大量例子都呈現(xiàn)出這種顯著的相似性，這引發(fā)了一個(gè)問(wèn)題：對(duì)于每個(gè)給定的常數(shù)，其所有公式空間中是否存在一個(gè)統(tǒng)御性的結(jié)構(gòu)？

通過(guò)算法得到的海量公式，讓我們得以識(shí)別出若干無(wú)窮參數(shù)族公式，這些公式可表示 e、ln2、π、ζ(3) 等常數(shù)。對(duì)這些公式間關(guān)系的研究，催生了守恒矩陣場(chǎng)這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（定義見(jiàn)第二部分）。該結(jié)構(gòu)不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)無(wú)窮公式族的統(tǒng)一，還能推導(dǎo)出收斂速度更快的公式。這一結(jié)構(gòu)源于公式中發(fā)現(xiàn)的 “守恒律”，與物理學(xué)中表征守恒矢量場(chǎng)的守恒律相似。

守恒矩陣場(chǎng)的一個(gè)重要應(yīng)用是，為證明數(shù)學(xué)常數(shù)的無(wú)理性指明了可行方向，我們以 ζ(3) 為例驗(yàn)證了這一點(diǎn)，其他案例見(jiàn)補(bǔ)充材料第九部分。我們猜想，守恒矩陣場(chǎng)能夠統(tǒng)一一個(gè)特定常數(shù)的所有多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)公式。此外，守恒矩陣場(chǎng)還揭示了不同常數(shù)間的有趣關(guān)聯(lián)，例如 π2 與卡塔蘭常數(shù)、π3 與 ζ(3)、e 與岡珀茨常數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。這些發(fā)現(xiàn)表明，包括黎曼 ζ 函數(shù)取值在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)常數(shù)，可能通過(guò)守恒矩陣場(chǎng)的框架相互關(guān)聯(lián)，這也支持了 “守恒矩陣場(chǎng)構(gòu)建了數(shù)學(xué)常數(shù)層級(jí)結(jié)構(gòu)” 的觀點(diǎn)。

1 分布式階乘約簡(jiǎn)算法

與拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目的算法類似，本研究的算法旨在發(fā)現(xiàn)將數(shù)學(xué)常數(shù)的線性分式變換與整系數(shù)多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)相等的公式。該研究的核心挑戰(zhàn)在于搜索空間的無(wú)窮性 —— 隨著系數(shù)允許范圍的擴(kuò)大，搜索空間呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。若直接對(duì)搜索空間進(jìn)行并行探索，會(huì)產(chǎn)生大量冗余計(jì)算：例如，將目標(biāo)常數(shù)的搜索空間分配給不同計(jì)算節(jié)點(diǎn)時(shí)，不同節(jié)點(diǎn)會(huì)對(duì)同一個(gè)連分?jǐn)?shù)進(jìn)行重復(fù)計(jì)算，僅用于與不同常數(shù)或其變換形式匹配；而若讓計(jì)算節(jié)點(diǎn)共享結(jié)果以避免冗余，又會(huì)產(chǎn)生巨大的通信開(kāi)銷。

為解決上述問(wèn)題，本算法專門搜索具有階乘約簡(jiǎn)特性的連分?jǐn)?shù)。我們的核心猜想是：階乘約簡(jiǎn)是連分?jǐn)?shù)收斂于著名數(shù)學(xué)常數(shù)的標(biāo)志性特征。該策略非常適合分布式計(jì)算，既不會(huì)產(chǎn)生冗余計(jì)算，也不存在通信瓶頸；同時(shí)，無(wú)需遍歷常數(shù)及其變換形式的無(wú)窮空間，大幅簡(jiǎn)化了搜索過(guò)程。

該算法不僅用于搜索猜想的公式，其本身也基于一個(gè)指導(dǎo)性猜想。值得注意的是，算法生成的所有公式均經(jīng)過(guò)獨(dú)立驗(yàn)證，因此無(wú)需為階乘約簡(jiǎn)算法的合理性進(jìn)行證明，該算法本身可作為一個(gè)獨(dú)立的猜想等待形式化證明。

這一基于猜想的算法被證明是極為有效的，發(fā)現(xiàn)了大量數(shù)學(xué)常數(shù)的新公式，其中許多公式是以往方法未能發(fā)現(xiàn)的。階乘約簡(jiǎn)特性的發(fā)現(xiàn)，得益于拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目前期算法得到的海量公式數(shù)據(jù)庫(kù)?；仡櫻芯窟^(guò)程，大量經(jīng)過(guò)獨(dú)立驗(yàn)證、且表現(xiàn)出階乘約簡(jiǎn)特性的公式，進(jìn)一步印證了 “階乘約簡(jiǎn)是收斂于目標(biāo)常數(shù)的公式的顯著特征” 這一觀點(diǎn)。

1.1 階乘約簡(jiǎn)：實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué) “實(shí)驗(yàn)室” 的發(fā)現(xiàn)

階乘約簡(jiǎn)是關(guān)于多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)漸近分?jǐn)?shù)的分子p?和分母q?的最大公約數(shù)g?的一個(gè)觀測(cè)結(jié)論。

無(wú)窮連分?jǐn)?shù)的第 n 個(gè)漸近分?jǐn)?shù)，是將連分?jǐn)?shù)在深度 n 處截?cái)嗪蟮玫降臄?shù)值，形式為：

該漸近分?jǐn)?shù)也可表示為商p?/q?，其中p?和q?由以下遞推公式定義：

u? =a? u??? +b? u??? 【5】

初始條件為p??=1、p?=a?，q??=0、q?=1。若a?和b?均為整數(shù)，則p?和q?也為整數(shù)，此時(shí)記二者的最大公約數(shù)為g?。p?和q?的增長(zhǎng)速度均為階乘的冪，即p?, q? ～ (n!)?（d 為正整數(shù)）。

表 1 展示了兩個(gè)連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)示例，及其對(duì)應(yīng)的p?、q?和g?取值。

a? = 1+2n，b? = n2

n

p?

qg

0

1

1

1

1

4

3

1

2

24

19

1

3

204

160

4

4

2220

1744

4

5

144

→∞ ～n! ～n! ～n!

p?/q? → 4/π

a? = 4n，b? = n2

n

p?

qg

0

0

1

1

1

1

4

1

2

8

36

4

3

105

468

3

4

1808

8604

4

5

2

→∞ ～n! ～n! ?n!

p?/q? → 0.224216…

表 1 兩個(gè)多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)示例

本算法的核心觀測(cè)結(jié)論為：收斂于目標(biāo)數(shù)學(xué)常數(shù)的多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)表現(xiàn)出一個(gè)特殊性質(zhì) —— 漸近分?jǐn)?shù)的既約分子和既約分母的增長(zhǎng)速度至多為指數(shù)級(jí)，即：

p?/g?、q?/g? ~ s? 【6】

而非約簡(jiǎn)前p?和q?更快的階乘級(jí)增長(zhǎng)速度，我們將這一觀測(cè)到的性質(zhì)命名為階乘約簡(jiǎn)（factorial reduction）。

研究發(fā)現(xiàn)，階乘約簡(jiǎn)是一種極為罕見(jiàn)的特性：大范圍搜索表明，具有階乘約簡(jiǎn)特性的連分?jǐn)?shù)空間，是所有多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)空間中的一個(gè) “低維子空間”。但令人驚訝的是，拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目前期算法發(fā)現(xiàn)的、收斂于 π、ζ(3)、卡塔蘭常數(shù)等眾多常數(shù)的所有多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)公式，均表現(xiàn)出階乘約簡(jiǎn)特性；同時(shí)，我們對(duì)數(shù)百年間文獻(xiàn)中收斂于這些常數(shù)的公式進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，所有經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的連分?jǐn)?shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)均具有階乘約簡(jiǎn)特性。

本研究的算法正是利用了這一意外卻簡(jiǎn)單的特性：通過(guò)數(shù)值測(cè)試多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)漸近分?jǐn)?shù)的既約分子和既約分母的增長(zhǎng)速度，僅保留指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的連分?jǐn)?shù)，舍棄階乘級(jí)增長(zhǎng)的連分?jǐn)?shù)。該方法無(wú)需預(yù)先確定極限常數(shù)，因此階乘約簡(jiǎn)特性為高效識(shí)別收斂于數(shù)學(xué)常數(shù)的連分?jǐn)?shù)提供了可能。圖 2 展示了對(duì)若干多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)的測(cè)試，體現(xiàn)了本算法的有效性。

圖2 階乘約化（FR）性質(zhì)的觀測(cè)結(jié)果——其與各類常數(shù)的關(guān)聯(lián)及其在連分?jǐn)?shù)廣闊空間內(nèi)的稀疏性

（A） 不同連分?jǐn)?shù)的約化漸近分?jǐn)?shù)增長(zhǎng)率 s=?√(p? / g?)的計(jì)算結(jié)果，詳見(jiàn)表中內(nèi)容。我們采用繪制負(fù)值 s 的方式，表示 p? / g? 存在負(fù)極限。即便是極為相似的連分?jǐn)?shù)，也可能具有截然不同的增長(zhǎng)率。我們觀測(cè)到，當(dāng)連分?jǐn)?shù)收斂于某一已知數(shù)學(xué)常數(shù)時(shí)，均會(huì)呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)特性。該方法可推導(dǎo)得出多種數(shù)學(xué)常數(shù)的表達(dá)式。

（B） 對(duì)同形式連分?jǐn)?shù)的增長(zhǎng)率進(jìn)行對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，唯一具有階乘約化性質(zhì)的連分?jǐn)?shù)，恰好是阿佩里（Apéry）在文獻(xiàn)（4,5）中發(fā)現(xiàn)的、收斂于ζ(3) 的那一個(gè)。連分?jǐn)?shù)參數(shù)的細(xì)微變化即會(huì)對(duì)階乘約化性質(zhì)產(chǎn)生影響，這表明該性質(zhì)的存在具有極強(qiáng)的稀缺性。

（C） 表中列出了圖（A）中計(jì)算的各項(xiàng)多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)，標(biāo)注了其中具有/不具有階乘約化性質(zhì)的連分?jǐn)?shù)，以及收斂于已知常數(shù)或收斂于無(wú)閉合解析式常數(shù)的連分?jǐn)?shù)。其中，G 為卡塔蘭常數(shù)；ζ^(5,1)=ζ(5)-ζ(4)+ζ(3)-ζ(2)+1 是公式11中取 s=5、R=1 時(shí)對(duì)應(yīng)的連分?jǐn)?shù)。

階乘約簡(jiǎn)不僅是識(shí)別常數(shù)公式的有效工具，其本身也是一個(gè)值得研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，該概念與阿佩里型無(wú)理性證明相關(guān)，還能為其他常數(shù)的無(wú)理性證明提供幫助。

1.2 公式搜索的分布式實(shí)現(xiàn)

階乘約簡(jiǎn)特性的發(fā)現(xiàn)，讓分布式階乘約簡(jiǎn)（DFR）算法的設(shè)計(jì)成為可能，該算法的核心步驟如下：

圖 3 差分階乘約化（DFR）算法的實(shí)現(xiàn)流程

本地方案構(gòu)建：

我們的數(shù)據(jù)庫(kù)收集來(lái)自文獻(xiàn)資料和過(guò)往算法運(yùn)行結(jié)果的公式，以此定義參數(shù)化多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)的方案。搜索空間的參數(shù)范圍根據(jù)算力水平確定。

異地階乘約化驗(yàn)證：

依托伯克利開(kāi)放式網(wǎng)絡(luò)計(jì)算平臺(tái)（BOINC）志愿者社區(qū)提供的分布式計(jì)算能力，由各節(jié)點(diǎn)分別對(duì)連分?jǐn)?shù)進(jìn)行求值運(yùn)算并開(kāi)展階乘約化驗(yàn)證 —— 這是該算法中計(jì)算量最大的環(huán)節(jié)。驗(yàn)證通過(guò)的案例會(huì)被標(biāo)記，以待后續(xù)分析。

本地結(jié)果核驗(yàn)：

對(duì)所有標(biāo)記案例的階乘約化特性進(jìn)行獨(dú)立核驗(yàn)，隨后采用整數(shù)關(guān)系探測(cè)算法（PSLQ）（文獻(xiàn) 40–42）將其與已知常數(shù)進(jìn)行匹配。

1. 本地構(gòu)建多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)的搜索空間方案；

2. 將該方案發(fā)送至服務(wù)器，由服務(wù)器將其解析為若干小計(jì)算塊，確保普通家用計(jì)算機(jī)能在合理時(shí)間內(nèi)完成單塊計(jì)算，計(jì)算塊通過(guò)伯克利開(kāi)放式網(wǎng)絡(luò)計(jì)算平臺(tái)（BOINC）進(jìn)行分發(fā)；

3. 由志愿者捐贈(zèng)的遠(yuǎn)端計(jì)算節(jié)點(diǎn)執(zhí)行各計(jì)算塊，檢驗(yàn)塊內(nèi)每個(gè)多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)是否具有階乘約簡(jiǎn)特性，并將檢測(cè)結(jié)果返回（階乘約簡(jiǎn)為極罕見(jiàn)事件）；

4. 本地對(duì)所有檢測(cè)到的階乘約簡(jiǎn)案例進(jìn)行自動(dòng)驗(yàn)證；

5. 嘗試將每個(gè)驗(yàn)證后的、極限為 v 的公式與數(shù)學(xué)常數(shù) η 匹配，將假設(shè)的等式(a+bη )/(c+dη)=v轉(zhuǎn)化為a+bη?cv?dηv=0，利用 PSLQ 算法尋找該方程的整數(shù)解 a、b、c、d，PSLQ 算法的成功求解即表示匹配成功，所有驗(yàn)證后的公式（無(wú)論是否匹配成功）均被保存；

6. 對(duì)匹配成功的連分?jǐn)?shù)進(jìn)行更高深度的計(jì)算，對(duì)比更多位數(shù)值以進(jìn)一步驗(yàn)證，驗(yàn)證后將這些匹配結(jié)果作為新猜想保存。

盡管絕大多數(shù)階乘約簡(jiǎn)案例都能成功匹配到數(shù)學(xué)常數(shù)，但仍有部分案例無(wú)法匹配 —— 原因是 PSLQ 算法僅能針對(duì)輸入的有限常數(shù)列表進(jìn)行測(cè)試。這些未匹配的案例仍會(huì)被保存為公式候選，用于后續(xù)結(jié)合更多常數(shù)進(jìn)行測(cè)試、改進(jìn) PSLQ 算法的應(yīng)用方式，或借助未來(lái)開(kāi)發(fā)的更先進(jìn)算法進(jìn)行分析。

公式搜索中計(jì)算量最大的環(huán)節(jié)是階乘約簡(jiǎn)的識(shí)別，原因是多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)的候選空間十分龐大。例如，對(duì)次數(shù)分別為 5 和 10 的多項(xiàng)式a?和b?進(jìn)行搜索（該子空間因包含 ζ(5) 的公式而具有研究?jī)r(jià)值，ζ(5) 的無(wú)理性仍是懸而未決的問(wèn)題），僅系數(shù)在 -10 至 10 之間的多項(xiàng)式就包含3×1022個(gè)候選，現(xiàn)有計(jì)算能力難以完成這一計(jì)算量。為縮小搜索空間，我們采用非典范表示法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行篩選。

分布式計(jì)算為大參數(shù)空間的搜索提供了可能。我們首先在理工學(xué)院的宙斯計(jì)算集群上運(yùn)行該分布式算法，隨后借助 BOINC 社區(qū)將算法部署到數(shù)千臺(tái)個(gè)人計(jì)算機(jī)上。本研究發(fā)現(xiàn)的數(shù)千個(gè)公式，很大程度上得益于 BOINC 社區(qū)的貢獻(xiàn)。通過(guò) BOINC 實(shí)現(xiàn)分布式計(jì)算的一大優(yōu)勢(shì)是，無(wú)論新手還是專家，都能參與到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中。

在 BOINC 社區(qū)的支持下，本研究的 DFR 算法從 2021 年 10 月開(kāi)始在線運(yùn)行。截至本文撰寫時(shí)，該算法已部署在 5000 多臺(tái)計(jì)算機(jī)上，運(yùn)行期間有超過(guò) 1000 名志愿者參與。

1.3 算法發(fā)現(xiàn)的公式示例

本分布式算法發(fā)現(xiàn)了大量連分?jǐn)?shù)公式，形成的數(shù)據(jù)集成為本研究后續(xù)發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)。本節(jié)展示該數(shù)據(jù)集中的部分公式示例，這些公式均為首次發(fā)現(xiàn)，且截至目前大部分尚未得到證明。研究結(jié)果可在相關(guān)網(wǎng)站查詢，完整公式列表正以在線庫(kù)的形式整理，可供未來(lái)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)研究使用。

首先展示黎曼 ζ 函數(shù)取值的部分公式，DFR 算法發(fā)現(xiàn)的結(jié)果包括：

該公式及其他相關(guān)公式可推廣為無(wú)窮公式族，與勒奇（Lerch）超越函數(shù)Φ 相關(guān)，該函數(shù)定義為：

其中 z、s 為復(fù)數(shù)，α>0。該函數(shù)的部分取值具有顯式表達(dá)式，且包含多個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，例如以下公式建立了 ζ(3) 與 π3 的關(guān)聯(lián)：

算法還發(fā)現(xiàn)了包含不同 ζ 值的公式，例如：

以及公式【10】

該搜索還發(fā)現(xiàn)了無(wú)窮多族公式，這類公式可關(guān)聯(lián)任意數(shù)量的整數(shù)ζ值，其自變量取值上限為連分?jǐn)?shù)中多項(xiàng)式b?次數(shù)的一半。我們?cè)诠?【11】 中給出了其中一族公式：該公式對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式次數(shù)為 5，根經(jīng)參數(shù)R平移，其極限記為1/ζ^(s,R)；對(duì)于任意有理數(shù)R∈?，均可推導(dǎo)得到系數(shù)α?,…,α???∈?（詳見(jiàn)補(bǔ)充材料附錄 S3.A 節(jié)）。

公式【11】中所示的連分?jǐn)?shù)通式族，僅僅是一個(gè)更廣泛無(wú)窮公式族的子集—— 該廣泛公式族可針對(duì)每個(gè)具有有理根的多項(xiàng)式b?，構(gòu)造出一套含參的a?多項(xiàng)式集合。我們對(duì)該公式族展開(kāi)了探究，并在補(bǔ)充材料附錄 S3 節(jié)中給出了相關(guān)證明。這些公式的復(fù)雜性恰恰凸顯了差分階乘約化（DFR）算法的應(yīng)用前景，因?yàn)楝F(xiàn)有算法根本無(wú)法發(fā)現(xiàn)此類公式。

我們的研究以算法為驅(qū)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)了適用于其他常數(shù)的表達(dá)式，例如卡塔蘭常數(shù)G：

自動(dòng)化搜索還發(fā)現(xiàn)了大量代數(shù)數(shù)的公式，包括次數(shù)大于 2 的代數(shù)數(shù)，例如：

該連分?jǐn)?shù)近期也被其他研究發(fā)現(xiàn)，且本研究發(fā)現(xiàn)其屬于任意次根的參數(shù)公式族：

補(bǔ)充材料第八部分S8進(jìn)一步證明，該公式族本身是更廣泛連分?jǐn)?shù)公式族的特例，后者的極限已在相關(guān)研究中被求解。

2 守恒矩陣場(chǎng)

實(shí)現(xiàn) DFR 算法后，我們從得到的大量公式中提煉規(guī)律，其中一種方法是識(shí)別具有共同模式、且與不同數(shù)學(xué)常數(shù)相關(guān)的公式聚類。

圖4 從連分?jǐn)?shù)的無(wú)窮公式族中生成高效收斂序列

表格給出了一組含參連分?jǐn)?shù)公式族。各行對(duì)應(yīng)參數(shù)α的整數(shù)值，由此得到的公式收斂于ζ(3)的分式線性變換。對(duì)每個(gè)序列中的所有元素進(jìn)行該變換的逆變換后，可生成全部收斂于ζ(3)的序列。隨后，我們沿序列構(gòu)成的二維網(wǎng)格選取 “對(duì)角線” 軌跡采樣，構(gòu)造出一條新序列 —— 即從后續(xù)序列中依次選取對(duì)應(yīng)元素。這條構(gòu)造得到的序列可對(duì)ζ(3)實(shí)現(xiàn)高效逼近，并據(jù)此證明了ζ(3)的無(wú)理性。

值得注意的是，這類公式聚類會(huì)自然形成（參見(jiàn)圖4），對(duì)其性質(zhì)的探索能帶來(lái)有趣的發(fā)現(xiàn)。具體而言，我們提出了一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可對(duì)無(wú)窮多個(gè)多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)進(jìn)行推廣。該結(jié)構(gòu)具有獨(dú)特的數(shù)學(xué)性質(zhì)，能推導(dǎo)出具有新特征的多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)，尤為重要的是，該結(jié)構(gòu)不僅能推導(dǎo)出阿佩里用于證明 ζ(3) 無(wú)理性的多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)，還能將其方法推廣到其他常數(shù)的證明中。

2.1 算法發(fā)現(xiàn)的無(wú)窮公式族

DFR 算法得到了大量公式，我們將其歸為若干無(wú)窮參數(shù)族。以 ζ(3) 相關(guān)的無(wú)窮公式族為例，該公式族由參數(shù) α 進(jìn)行參數(shù)化。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意有理數(shù)值的 α，該公式族的極限均為雙伽馬函數(shù)ψ?2?的取值（雙伽馬函數(shù)定義為 Γ'(z)/Γ(z) 的導(dǎo)數(shù)，Γ 為伽馬函數(shù)）。對(duì)于任意整數(shù)值的 α，該公式族均能通過(guò)線性分式變換得到 ζ(3)=?ψ?2?(1)/2。

對(duì)每個(gè)整數(shù)值 α 對(duì)應(yīng)的公式進(jìn)行逆變換，可得到無(wú)窮多列收斂于 ζ(3) 的序列。我們從第 n 個(gè)序列中選取第 n 項(xiàng)，構(gòu)造出一列收斂于 ζ(3) 的有理數(shù)，該序列的收斂速度遠(yuǎn)快于其構(gòu)建所用的任意一個(gè)連分?jǐn)?shù)，為 ζ(3) 提供了更高效的表示形式 —— 而這一序列正是阿佩里用于證明 ζ(3) 無(wú)理性的序列。

這一發(fā)現(xiàn)表明，可基于無(wú)窮連分?jǐn)?shù)公式族構(gòu)建高效的常數(shù)公式。下一節(jié)將對(duì)該方法進(jìn)行形式化定義，揭示其背后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) —— 該結(jié)構(gòu)不僅能推廣我們的發(fā)現(xiàn)，還能建立不同數(shù)學(xué)常數(shù)間的關(guān)聯(lián)。更多無(wú)窮公式族的例子見(jiàn)補(bǔ)充材料第三部分S3。

2.2 利用守恒矩陣場(chǎng)實(shí)現(xiàn)公式統(tǒng)一

我們提出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可將表示特定常數(shù)的所有連分?jǐn)?shù)公式族統(tǒng)一起來(lái)。為解釋該概念的起源和意義，我們將連分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為矩陣表示，并以 ζ(3) 的公式為核心示例進(jìn)行分析。

任意連分?jǐn)?shù)均可表示為 2×2 矩陣的乘積，因?yàn)檫B分?jǐn)?shù)本質(zhì)上是線性分式變換的復(fù)合。漸近分?jǐn)?shù)的分子p?和分母q?滿足的遞推公式，可轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

矩陣V(n)被定義為系統(tǒng)在整數(shù)點(diǎn) n=1,2,3,… 處的狀態(tài)矩陣，矩陣Mx(n)為從 n 到 n+1 的一步轉(zhuǎn)移所需的作用矩陣。上式描述了從整數(shù)點(diǎn) 1 到 n+1 的轉(zhuǎn)移過(guò)程，當(dāng)n→∞時(shí)，狀態(tài)矩陣V(n+1)列向量的比值p???/q???和p?/q?均收斂于連分?jǐn)?shù)的極限。

考慮圖 4 表格中由整數(shù)參數(shù) α 索引的無(wú)窮公式族，每個(gè)公式均收斂于 ζ(3) 的一個(gè)線性分式變換。為每個(gè)公式的矩陣表示增加對(duì)索引 α 的依賴，可得：

V(n+1,α)=V(1,α)?Mx(1,α)?…?Mx(n,α) 【13】

其中矩陣Mx(x,y)定義為：

公式【13】可直觀解釋為沿水平軌跡的連續(xù)轉(zhuǎn)移，我們將 α=1,2,3,… 對(duì)應(yīng)的水平軌跡排列為從下到上的平行線，形成一個(gè)二維網(wǎng)格。為方便分析，將參數(shù) (n,α) 重新標(biāo)記為 (x,y)。

接下來(lái)，我們分析網(wǎng)格中沿垂直方向的單位轉(zhuǎn)移所需的作用，即從V(x,y)到V(x,y+1)的轉(zhuǎn)移，記該轉(zhuǎn)移的作用矩陣為M?(x,y)。為使該記號(hào)有明確定義，水平和垂直轉(zhuǎn)移需滿足交換性，即對(duì)所有整數(shù) x,y≥1，有：

Mx(x,y)?M?(x+1,y)=M?(x,y)?Mx(x,y+1) 【15】

該條件我們?cè)趫D5B中解釋。

圖 5 守恒（保守）向量場(chǎng)與守恒矩陣場(chǎng)的對(duì)比

（A） 守恒 向量場(chǎng)具有路徑無(wú)關(guān)性，即沿不同路徑的積分結(jié)果相同。

（B） 類似地，守恒矩陣場(chǎng)同樣具有路徑無(wú)關(guān)性，但該性質(zhì)針對(duì)的是沿路徑的矩陣乘法運(yùn)算。運(yùn)算所得矩陣僅取決于初始位置與最終位置。有趣的是，研究發(fā)現(xiàn)守恒矩陣場(chǎng)具備一項(xiàng)額外特性：延伸至無(wú)窮遠(yuǎn)的路徑對(duì)應(yīng)連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。

（C） 圖中所示的每條路徑均對(duì)應(yīng)同一數(shù)學(xué)常數(shù)的不同表達(dá)式。此處給出的連分?jǐn)?shù)示例，均源自自然常數(shù) e 對(duì)應(yīng)的守恒矩陣場(chǎng)（詳見(jiàn)補(bǔ)充材料附錄 S4.A 節(jié)）。對(duì)于任意存在守恒矩陣場(chǎng)的常數(shù)，均可推導(dǎo)得到其對(duì)應(yīng)的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。

我們提出如下猜想：所有收斂于某一常數(shù)的連分?jǐn)?shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)，均可由該常數(shù)對(duì)應(yīng)的單一守恒矩陣場(chǎng)推導(dǎo)得出。

一般而言，對(duì)于任意的Mx(x,y)，連接矩陣M?(x,y)并非必然為關(guān)于 (x,y) 的多項(xiàng)式矩陣，但令人驚訝的是，在我們的示例中，M?(x,y)具有如下形式：

守恒矩陣場(chǎng)的定義為：若 2×2 矩陣Mx(x,y)和M?(x,y)的元素均為關(guān)于 x 和 y 的整系數(shù)多項(xiàng)式，且在Mx和M?行列式非零的 x,y 范圍內(nèi)滿足上述守恒性質(zhì)（公式【15】），則稱這兩個(gè)矩陣構(gòu)成一個(gè)守恒矩陣場(chǎng)。

守恒性質(zhì)（公式【15】，或稱cocycle equation 上循環(huán)方程）保證了沿二維網(wǎng)格中任意軌跡轉(zhuǎn)移的作用矩陣，僅與軌跡的初始和最終坐標(biāo)有關(guān)。這一路徑無(wú)關(guān)性特征與物理學(xué)中守恒矢量場(chǎng)的固有性質(zhì)相似，只是將路徑積分替換為矩陣乘法?；谶@一類比，守恒矩陣場(chǎng)的狀態(tài)V(x,y)可理解為矩陣勢(shì)，表示從固定原點(diǎn)（如 (1,1)）到點(diǎn) (x,y) 的任意軌跡的作用矩陣。具體而言，V(x,y)可通過(guò)沿連接原點(diǎn)和點(diǎn) (x,y) 的任意軌跡，依次相乘矩陣Mx和M?得到。

V (x, y) = Mx (1, 1) · Mx (2, 1) · · · · · Mx (x ? 1, 1)

· M? (x, 1) · M? (x, 2) · · · · · M? (x, y ? 1)

V (x, y) = M? (1, 1) · M? (1, 2) · · · · · M? (1, y ? 1)

· Mx (1, y) · Mx (2, y) · · · · · Mx (x ? 1, y)

即函數(shù)V(x,y)的計(jì)算可通過(guò)兩種方式實(shí)現(xiàn)：先向右平移x-1個(gè)單位，再向上平移y-1個(gè)單位；反之亦然。

我們將從原點(diǎn)出發(fā)的軌跡的極限，定義為當(dāng)沿軌跡趨于無(wú)窮時(shí)，勢(shì)矩陣 V 右列元素的比值。在上述示例守恒矩陣場(chǎng)中，沿水平軌跡的極限對(duì)應(yīng)圖 4 第一行的連分?jǐn)?shù)。一個(gè)重要的觀測(cè)結(jié)論是：該示例守恒矩陣場(chǎng)中，沿任意軌跡的極限均收斂于 1/ζ(3)（該結(jié)論已在相關(guān)研究中得到證明）?；谶@一結(jié)論，我們可從守恒矩陣場(chǎng)的不同軌跡方向，推導(dǎo)出大量 ζ(3) 的公式。更令人驚訝的是，這一性質(zhì)在多個(gè)守恒矩陣場(chǎng)中均成立，從而為各類數(shù)學(xué)常數(shù)生成了無(wú)窮公式族。

我們構(gòu)建了豐富的守恒矩陣場(chǎng)集合（見(jiàn)補(bǔ)充材料第四部分S4），這些矩陣場(chǎng)最初由 DFR 算法從圖 4 所示的無(wú)窮公式族中發(fā)現(xiàn)，而這些示例又促使我們發(fā)現(xiàn)了守恒矩陣場(chǎng)的解析構(gòu)造方法（見(jiàn)補(bǔ)充材料第八部分）。該構(gòu)造方法表明，守恒矩陣場(chǎng)是有理 Wilf-Zeilberger 對(duì)概念的推廣。有趣的是，與算法發(fā)現(xiàn)的守恒矩陣場(chǎng)一樣，為 π、ζ(2) 等常數(shù)解析構(gòu)造的守恒矩陣場(chǎng)，其極限也具有軌跡不變性。這表明，存在一個(gè)基本原理統(tǒng)御著一類具有明確定義極限的守恒矩陣場(chǎng)。對(duì)該類矩陣場(chǎng)進(jìn)行公理化，有望拓寬守恒矩陣場(chǎng)的應(yīng)用范圍，從優(yōu)化數(shù)值逼近方法、輔助符號(hào)計(jì)算，到為無(wú)理性證明提供新途徑。

守恒矩陣場(chǎng)的定義要求兩個(gè)矩陣Mx(x,y)和M?(x,y)滿足守恒性質(zhì)，該定義可自然推廣到 d 個(gè)兩兩交換的矩陣：

Mx?(x?,…,xd),…,Mxd(x?,…,xd)

形成d 維守恒矩陣場(chǎng)（每個(gè)矩陣仍為 2×2）。補(bǔ)充材料第五部分展示了一個(gè)四維守恒矩陣場(chǎng)的示例，該矩陣場(chǎng)沿任意無(wú)窮軌跡均收斂于 ζ(2)。

2.3 基于守恒矩陣場(chǎng)的常數(shù)間關(guān)聯(lián)

我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)守恒矩陣場(chǎng)可通過(guò)沿不同的直軌跡，生成一個(gè)常數(shù)的無(wú)窮多公式，每個(gè)公式均可轉(zhuǎn)化為連分?jǐn)?shù)。且值得注意的是，若沿一個(gè)方向的公式具有階乘約簡(jiǎn)特性，則沿所有方向的公式均具有該特性。這些觀測(cè)結(jié)果引出一個(gè)極具吸引力的猜想：一個(gè)常數(shù)的所有連分?jǐn)?shù)公式，均可由一個(gè)單一的高維守恒矩陣場(chǎng)生成。

計(jì)算實(shí)驗(yàn)表明，守恒矩陣場(chǎng)可建立不同數(shù)學(xué)常數(shù)間的關(guān)聯(lián)。具體而言，從非 (1,1) 的點(diǎn)（如 (1/2,1)）出發(fā)的軌跡，會(huì)生成收斂于新極限的序列，且這些序列均源于同一個(gè)矩陣場(chǎng)。與整數(shù)平移不同 —— 整數(shù)平移通過(guò)線性分式變換將極限與原常數(shù)關(guān)聯(lián)，非整數(shù)有理平移往往會(huì)得到不同的常數(shù)。例如，沿 y 軸將初始點(diǎn)平移 1/2 后，π 和2可由同一個(gè)守恒矩陣場(chǎng)生成；四維守恒矩陣場(chǎng)將 ζ(2) 與卡塔蘭常數(shù) G 關(guān)聯(lián)起來(lái)，π3 與 ζ(3) 也存在類似關(guān)聯(lián)；對(duì)軌跡進(jìn)行非整數(shù)有理縮放，也能建立常數(shù)間的關(guān)聯(lián)，例如將 π 的矩陣場(chǎng)某一軸縮放 1/2 后，沿 x 方向的軌跡可將 π 與 ln2 關(guān)聯(lián)。

這些關(guān)聯(lián)具有重要的研究?jī)r(jià)值，因?yàn)樗鼈兡軐⒁粋€(gè)常數(shù)的公式遷移到另一個(gè)常數(shù)，還有助于證明常數(shù)間的共同性質(zhì)。若兩個(gè)常數(shù)可通過(guò)有理平移從同一個(gè)矩陣場(chǎng)生成，則可將它們歸為同一層級(jí) —— 守恒矩陣場(chǎng)保證了它們由具有相同結(jié)構(gòu)、多項(xiàng)式次數(shù)相同的遞推公式推導(dǎo)而來(lái)。

守恒矩陣場(chǎng)中不同的軌跡，可通過(guò)具有迥異屬性的公式表示同一個(gè)常數(shù)，例如收斂速度和無(wú)理性測(cè)度的差異。下文將分析二維矩陣場(chǎng)中不同斜率的直軌跡，如何為對(duì)應(yīng)常數(shù)的無(wú)理性測(cè)度提供不同的下界。

2.4 無(wú)理性證明

自阿佩里突破性地證明 ζ(3) 的無(wú)理性以來(lái)，學(xué)界一直嘗試將其方法推廣，為其他常數(shù)的無(wú)理性提供證明。本節(jié)將證明，ζ(3) 的守恒矩陣場(chǎng)可為其無(wú)理性證明提供系統(tǒng)化方法，且該方法可推廣到不同的守恒矩陣場(chǎng)，為其他常數(shù)的無(wú)理性證明開(kāi)辟新路徑。

所有這類證明的核心前提是：收斂于一個(gè)常數(shù)的任意連分?jǐn)?shù)，都會(huì)生成一列有理數(shù)逼近，若該逼近的收斂速度足夠快，則可證明該常數(shù)的無(wú)理性。這一結(jié)論可通過(guò)劉維爾 - 羅思（Liouville–Roth）無(wú)理性測(cè)度進(jìn)行量化。實(shí)數(shù) L 的無(wú)理性測(cè)度定義為所有滿足以下條件的 δ 的上確界δ?：存在一列收斂于 L 的不同有理數(shù){p?/q?}，使得對(duì)于充分大的 n，有：

【17】

根據(jù)狄利克雷的經(jīng)典結(jié)論，有理數(shù)的無(wú)理性測(cè)度δ?=0，無(wú)理數(shù)的無(wú)理性測(cè)度δ?≥1。結(jié)合這兩個(gè)結(jié)論，可得無(wú)理性判定準(zhǔn)則：若收斂于 L 的無(wú)窮有理序列具有正的無(wú)理性測(cè)度，則 L 為無(wú)理數(shù)。

可將有理序列{p?/q?}的無(wú)理性測(cè)度 δ定義為：存在該序列的一個(gè)子序列滿足上式的最大 δ 值。該 δ 值為極限常數(shù)的無(wú)理性測(cè)度δ?提供了下界，因此可用于證明常數(shù)的無(wú)理性。例如，阿佩里用于證明 ζ(3) 無(wú)理性的連分?jǐn)?shù)，其無(wú)理性測(cè)度 δ≈0.08。

守恒矩陣場(chǎng)為 δ 提供了閉式公式，將阿佩里的方法推廣到任意多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)，為每個(gè)常數(shù)提供了參數(shù)化的有理逼近族。該公式源于我們?cè)诰仃噲?chǎng)中發(fā)現(xiàn)的強(qiáng)階乘約簡(jiǎn)特性（經(jīng)次數(shù)平衡后）：記g(x,y)=GCD(V(x,y))為矩陣 V 四個(gè)元素的最大公約數(shù)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，我們發(fā)現(xiàn)的絕大多數(shù)守恒矩陣場(chǎng)中，對(duì)于二維網(wǎng)格中趨于無(wú)窮的任意直軌跡t(n)=(x(n),y(n))，既約商V??(x,y)/g(x,y)均呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，而非階乘級(jí)增長(zhǎng)。我們猜想，若守恒矩陣場(chǎng)中四個(gè)既約商的多項(xiàng)式次數(shù)相同，則強(qiáng)階乘約簡(jiǎn)是該類矩陣場(chǎng)的固有特性。指數(shù)增長(zhǎng)的底數(shù) s 與軌跡相關(guān)，可由任意矩陣元素ij推導(dǎo)得到，即s?≈V??(t(n))/g(t(n))。

因此，閉式 δ 公式為不同軌跡提供了不同的無(wú)理性測(cè)度值：

其中∣e???∣≤∣e???∣為當(dāng) x,y 趨于無(wú)窮時(shí)，軌跡t(n)=(x(n),y(n))的一步轉(zhuǎn)移矩陣的特征值。

2.5 ζ(3) 的無(wú)理性證明

為找到守恒矩陣場(chǎng)中使 δ 取最大值的軌跡，我們?cè)诙S網(wǎng)格的每個(gè)點(diǎn)處提取數(shù)值δ=δ(x,y)，該值可由下式推導(dǎo)得到（該式由公式【17】條件推出）：

其中V~(x,y)=V(x,y)/g(x,y)為網(wǎng)格中每個(gè)位置 (x,y) 的既約勢(shì)矩陣。由此得到定義在二維網(wǎng)格上的函數(shù)δ:?2→?，該函數(shù)沿每個(gè)方向趨于無(wú)窮時(shí)的極限，即為該方向?qū)?yīng)的有理逼近的無(wú)理性測(cè)度。因此，我們需要尋找使該極限取最大值的方向。圖 6 給出了若干示例對(duì)應(yīng)的δ(x,y) 分布情況，所有滿足δ>0 的位置均標(biāo)記為紅色。沿圖中紅色區(qū)域內(nèi)的任意軌跡構(gòu)造序列，均可得到用于證明該常數(shù)無(wú)理性的序列。

圖 6 利用守恒矩陣場(chǎng)提取無(wú)理性度量

（A） 從ζ(3)的守恒矩陣場(chǎng)中提取的無(wú)理性度量。所有停留在紅色區(qū)域內(nèi)的無(wú)窮軌跡，均可生成滿足δ>0的序列，從而證明ζ(3)的無(wú)理性。最優(yōu)δ值沿x=y軌跡取得，該軌跡等價(jià)于阿佩里連分?jǐn)?shù)（文獻(xiàn) 4、5、31）。

（B） 沿x軸平移1/3個(gè)單位后的ζ(3)守恒矩陣場(chǎng)。變換后得到的守恒矩陣場(chǎng)收斂于一個(gè)由ζ(3)與x3組合而成的常數(shù)，該常數(shù)的無(wú)理性尚未可知。此時(shí)最優(yōu)δ值不再沿x=y軌跡取得。在補(bǔ)充材料附錄 S6.A 節(jié)中，我們提出了兩種基于優(yōu)化的方法來(lái)檢測(cè)最優(yōu)δ軌跡，圖中以彩色虛線軌跡對(duì)其進(jìn)行了標(biāo)注。盡管該守恒矩陣場(chǎng)不存在滿足δ>0的軌跡，但上述方法可在其他常數(shù)對(duì)應(yīng)的矩陣場(chǎng)中得到δ>0的結(jié)果（詳見(jiàn)補(bǔ)充材料附錄 S9 節(jié)）。

（C） 對(duì)應(yīng)34的矩陣場(chǎng)所提取的δ值。其最優(yōu)軌跡為x=y，可得到滿足δ>0的結(jié)果，進(jìn)而證明該常數(shù)的無(wú)理性。

為找到軌跡 x=y 的閉式表達(dá)式，我們定義M????(n)=Mx(n,n)?M?(n+1,n)，經(jīng)次數(shù)平衡后的轉(zhuǎn)移矩陣為：

當(dāng)n→∞時(shí)，該矩陣的特征值為e±=17±122。直接數(shù)值測(cè)試表明log s≈6.5，因此 δ≈0.08，與阿佩里證明 ζ(3) 無(wú)理性所用連分?jǐn)?shù)的無(wú)理性測(cè)度一致。相關(guān)研究證明了如何利用該守恒矩陣場(chǎng)證明 ζ(3) 的無(wú)理性，補(bǔ)充材料第六部分證明了該矩陣與阿佩里連分?jǐn)?shù)的等價(jià)性。

因此，守恒矩陣場(chǎng)是阿佩里連分?jǐn)?shù)及其無(wú)理性證明背后的代數(shù)結(jié)構(gòu)。這一發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步激勵(lì)學(xué)界為黎曼 ζ 函數(shù)的其他取值和其他數(shù)學(xué)常數(shù)，尋找類似的守恒矩陣場(chǎng)。例如，將該方法應(yīng)用于 ζ(2) 的守恒矩陣場(chǎng)，也能為 ζ(2) 的無(wú)理性提供證明，且得到 δ≈0.09。將該方法推廣到 ζ(2) 和 ζ(3) 之外，學(xué)界仍需探索：其他 ζ(n) 是否存在類似的矩陣場(chǎng)？這些矩陣場(chǎng)是否能為其無(wú)理性證明提供幫助？補(bǔ)充材料第七部分為更高階的 ζ 值提供了類似方法，得到了具有非平凡、非正無(wú)理性測(cè)度的序列。

2.6 ζ(5) 的研究及無(wú)理性證明的探索

為 ζ(5) 構(gòu)造守恒矩陣場(chǎng)具有重要的研究?jī)r(jià)值，因?yàn)槠錈o(wú)理性是數(shù)論領(lǐng)域長(zhǎng)期懸而未決的難題。盡管我們尚未找到這樣的矩陣場(chǎng)，但本節(jié)展示了若干 ζ(5) 的公式，這些公式可為其守恒矩陣場(chǎng)的構(gòu)造奠定基礎(chǔ)。表 2 中的部分公式結(jié)合了黎曼 ζ 函數(shù)的多個(gè)取值，表明它們可能屬于不同的守恒矩陣場(chǎng)，或同一矩陣場(chǎng)的不同有理平移。表中三個(gè)發(fā)現(xiàn)的公式無(wú)法通過(guò) PSLQ 算法與任何 ζ 值組合匹配，因此僅展示其數(shù)值解。

表 2 DFR 算法發(fā)現(xiàn)的、與 ζ(5) 相關(guān)的 5 次多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)結(jié)果

a?

b?

公式

n?+(n+1)?+6(n3+(n+1)3) ?n1?

2/(2ζ(5)+6ζ(3)-9)

n?+(n+1)?+6(n3+(n+1)3)?4(2n+1) ?n1?

2/(2ζ(5)-2ζ(3)+1)

n?+(n+1)?+16(n3+(n+1)3)?4(2n+1)

?n1?

64/(64ζ(5)+176ζ(3)-273)

8(n?+(n+1)?)-15(n3+(n+1)3)+9(2n+1) ?n1?

1.20426…

8(n?+(n+1)?)?12(n3+(n+1)3)+7(2n+1) ?64n1?

2.45174…

8(n?+(n+1)?)+20(n3+(n+1)3)?5(2n+1) ?64n1?

22.8410…

DFR 算法發(fā)現(xiàn)了包含不同 ζ 函數(shù)值的無(wú)窮公式族，盡管我們尚未識(shí)別出能推廣這些連分?jǐn)?shù)的矩陣場(chǎng)，但提出了一種利用這些公式提取有意義無(wú)理性測(cè)度的方法，并以 ζ(5) 為例進(jìn)行了驗(yàn)證。我們通過(guò)組合多個(gè)連分?jǐn)?shù)，構(gòu)造出收斂于 ζ(5) 的新序列：利用公式族極限的閉式表達(dá)式ζ^(s,R)，確定線性組合的系數(shù)c?，使得：

ζ(5)=c??ζ^(s=2,R?)+c??ζ^(s=3,R?)+c??ζ^(s=4,R?)+c??ζ^(s=5,R?)

【21】

將每個(gè)ζ^(s,R)替換為其連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)序列，即可得到 ζ(5) 的有理逼近序列。改變Ri的取值，可生成無(wú)窮多列 ζ(5) 的逼近序列，其結(jié)構(gòu)與圖 4 類似。對(duì)不同Ri取值下的收斂速度分析，得到了 ζ(5) 的非平凡無(wú)理性測(cè)度，該方法有望將 ζ(5) 的無(wú)理性測(cè)度提升至現(xiàn)有記錄之上。

3 討論

分布式算法的引入，大幅增加了拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目的公式候選數(shù)量，也帶來(lái)了新的算法挑戰(zhàn)：需要自動(dòng)化方法為每個(gè)公式候選匹配對(duì)應(yīng)的常數(shù)，還需要方法將公式推廣為參數(shù)族和守恒矩陣場(chǎng)。下文將詳細(xì)闡述這些挑戰(zhàn)。

3.1 連分?jǐn)?shù)與數(shù)學(xué)常數(shù)間關(guān)聯(lián)的發(fā)現(xiàn)算法

DFR 算法可識(shí)別出具有潛力的連分?jǐn)?shù)候選，但無(wú)法確定其極限。為找到連分?jǐn)?shù)的閉式公式，我們利用整數(shù)關(guān)系算法 PSLQ，將候選常數(shù)與發(fā)現(xiàn)的連分?jǐn)?shù)數(shù)值解進(jìn)行匹配。

PSLQ 算法接收一個(gè)實(shí)向量z?，輸出滿足∑c?z?=0（誤差在預(yù)設(shè)范圍內(nèi)）的整數(shù)c?。在本研究的 PSLQ 應(yīng)用中，對(duì)于數(shù)值解為 v 的連分?jǐn)?shù)和候選常數(shù) η，輸入向量為 (1,η,-v,-vη)。若 PSLQ 算法輸出整數(shù)c?,c?,c?,c?，則有(c?+c?η)/(c?+c?η)=v成立。本研究的大部分結(jié)果均基于 PSLQ 算法的這一應(yīng)用，得到了如上述 ζ(2) 形式的猜想公式。

PSLQ 算法的輸入向量還可包含多個(gè)常數(shù)或連分?jǐn)?shù)，從而將研究范圍拓展到更復(fù)雜的公式。將 PSLQ 算法應(yīng)用于這類向量，得到了本研究最具創(chuàng)新性的結(jié)果。我們猜想，改進(jìn)后的 PSLQ 算法有望為本次研究發(fā)現(xiàn)的所有連分?jǐn)?shù)提供閉式公式。

3.2 結(jié)果驗(yàn)證

算法發(fā)現(xiàn)的猜想均經(jīng)過(guò)數(shù)值測(cè)試，除非已被證明，否則可能存在假陽(yáng)性。為降低假陽(yáng)性概率，我們對(duì)連分?jǐn)?shù)進(jìn)行更高深度的計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了超過(guò) 100 位精度的測(cè)試。但部分公式的收斂速度較慢，難以達(dá)到該精度。

為提高慢收斂公式的可信度，我們借鑒實(shí)驗(yàn)物理學(xué)的方法 —— 通過(guò)識(shí)別多個(gè)可能存在誤差的觀測(cè)結(jié)果中的模式，支撐一個(gè)高可信度的模型。在本研究中，我們通過(guò)將慢收斂的連分?jǐn)?shù)推廣為參數(shù)族，彌補(bǔ)其精度不足的問(wèn)題。盡管每個(gè)公式的驗(yàn)證精度有限，但公式族的形成能為其成員的有效性提供支撐。例如，ζ(3) 公式族的前幾個(gè)成員僅通過(guò)了不足 50 位精度的驗(yàn)證，但該族中收斂速度更快的成員通過(guò)了更高精度的驗(yàn)證，為整個(gè)公式族提供了數(shù)值支撐。與物理學(xué)類似 —— 候選模型能對(duì)未測(cè)試參數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，我們也通過(guò)代入新參數(shù)并進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，對(duì)候選參數(shù)公式族進(jìn)行了測(cè)試。

最后，我們將數(shù)學(xué)表示的 “簡(jiǎn)潔性” 作為結(jié)果驗(yàn)證的一個(gè)依據(jù)：PSLQ 算法得到的更簡(jiǎn)潔公式被認(rèn)為更 “優(yōu)美”，其正確性的概率更高，過(guò)擬合的風(fēng)險(xiǎn)更低。PSLQ 算法成功的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則是：找到的整數(shù)的位數(shù)，遠(yuǎn)小于連分?jǐn)?shù)數(shù)值解的輸入精度。位數(shù)越少，表明公式的信息主要來(lái)自常數(shù)而非整數(shù)，證明了表示的簡(jiǎn)潔性。若增加輸入精度后，PSLQ 算法的輸出結(jié)果保持不變，則該結(jié)果的可信度會(huì)進(jìn)一步提升。

3.3 開(kāi)放問(wèn)題

本研究的算法方法在發(fā)現(xiàn)常數(shù)的猜想公式方面取得了巨大成功，海量的發(fā)現(xiàn)公式促使我們對(duì)同一常數(shù)的公式進(jìn)行聚類，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了公式間的關(guān)聯(lián)，最終引出了守恒矩陣場(chǎng)這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)不僅生成了無(wú)窮多列連分?jǐn)?shù)，為無(wú)理性證明提供了方法，還構(gòu)建了數(shù)學(xué)常數(shù)的層級(jí)結(jié)構(gòu)。

本研究的算法輔助研究提出了若干有趣的開(kāi)放問(wèn)題，尤其是關(guān)于守恒矩陣場(chǎng)性質(zhì)的問(wèn)題。核心問(wèn)題是：每個(gè)常數(shù)是否對(duì)應(yīng)唯一的守恒矩陣場(chǎng)？目前的研究結(jié)果支持這一猜想。若該猜想得到驗(yàn)證，則意味著一個(gè)單一的守恒矩陣場(chǎng)可涵蓋一個(gè)特定常數(shù)的所有公式，而定義該矩陣場(chǎng)的最大維度（即矩陣的數(shù)量）可能成為常數(shù)的一個(gè)重要特征。

將守恒矩陣場(chǎng)的概念推廣到 2×2 以外的矩陣，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)常數(shù)。任意次數(shù)的多項(xiàng)式是否均存在對(duì)應(yīng)的守恒矩陣場(chǎng)，仍是一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題，補(bǔ)充材料第八部分給出了次數(shù)最高為 3 的示例。

守恒矩陣場(chǎng)通過(guò)復(fù)雜度構(gòu)建的常數(shù)層級(jí)結(jié)構(gòu)，為識(shí)別同層級(jí)常數(shù)的共同性質(zhì)提供了方法，有望揭示常數(shù)的核心特征。

3.4 研究展望

學(xué)界已開(kāi)展多項(xiàng)開(kāi)創(chuàng)性研究，將大規(guī)模計(jì)算應(yīng)用于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，例如尋找大梅森素?cái)?shù)、大數(shù)分解、計(jì)算 π 的高精度值，同時(shí)該方法也應(yīng)用于氣候模擬、地外文明搜索等其他科學(xué)領(lǐng)域。在這些研究中，定制化算法已成為科學(xué)發(fā)現(xiàn)的常規(guī)工具。盡管如此，算法輔助研究策略仍處于起步階段，隨著科學(xué)人工智能領(lǐng)域的不斷發(fā)展，基于更復(fù)雜算法的大規(guī)模計(jì)算研究正日益增多。

本研究展示了數(shù)論領(lǐng)域大規(guī)模實(shí)驗(yàn)探索和發(fā)現(xiàn)的全過(guò)程，最終得到了一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)上，這類發(fā)現(xiàn)往往源于數(shù)學(xué)家的直覺(jué)，而我們預(yù)見(jiàn)，未來(lái)的數(shù)學(xué)推廣過(guò)程將實(shí)現(xiàn)算法輔助 —— 基于特征提取、模式識(shí)別等技術(shù)，對(duì)大規(guī)模實(shí)驗(yàn)生成的數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析。我們期望算法能生成高質(zhì)量的猜想，自動(dòng)為研究者提出推廣方向，再由研究者進(jìn)行驗(yàn)證和最終證明。

階乘約簡(jiǎn)啟發(fā)式為自動(dòng)化推廣提供了一個(gè)典型案例：這一啟發(fā)式方法是本研究眾多結(jié)果的核心，源于研究者對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中涌現(xiàn)模式的人工觀測(cè)。未來(lái)的研究可探索自動(dòng)化識(shí)別實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的異?；蛞馔庖?guī)律，例如本研究中發(fā)現(xiàn)的、在常數(shù)公式中普遍存在的階乘約簡(jiǎn)特性。

展望未來(lái)，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)中的算法方法將為研究長(zhǎng)期懸而未決的數(shù)學(xué)難題提供更強(qiáng)大的工具。在未來(lái)幾年，更先進(jìn)的算法將被定制用于生成復(fù)雜度更高的猜想，為數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的發(fā)展提供新線索，加速解決諸如數(shù)學(xué)基本常數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)等深刻問(wèn)題。

數(shù)據(jù)、材料與軟件可用性

本文描述的算法在拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目的 GitHub 倉(cāng)庫(kù)公開(kāi)，拉馬努金機(jī)器項(xiàng)目的所有結(jié)果均可在其官方網(wǎng)站查詢，且會(huì)定期更新。

致謝

本研究得到施密特科學(xué)有限責(zé)任公司的資助。感謝伯克利開(kāi)放式網(wǎng)絡(luò)計(jì)算平臺(tái)（BOINC）社區(qū)的志愿者，他們的貢獻(xiàn)使本研究的發(fā)現(xiàn)成為可能。

原文參考資料

參考資料

https://www.pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.2321440121

https://mathworld.wolfram.com/FactorialReduction.html

https://arxiv.org/abs/2502.17533

https://neurips.cc/virtual/2025/loc/san-diego/poster/117099

https://github.com/RamanujanMachine/euler2ai

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-find-one-pi-formula-to-rule-them-all/

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