相信你經(jīng)常會看到有人說循環(huán)小數(shù)0.999......等于1，這讓你覺得不可思議，但又苦于證明過程比較高大上，你可能覺得自己理解的還不夠透徹，所以我們今天就聊一聊如何用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)證明循環(huán)小數(shù)0.999......等于1，對你沒看錯，是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，沒有微積分，沒有極限，沒有任何高端的數(shù)學(xué)概念。順便我們在討論下無窮領(lǐng)域?qū)⒔o我們?nèi)祟愓J(rèn)知宇宙將帶來什么困惑？讓我們開始吧！

方法1，證明0.999...=1

可能你一直沒有意識到，我們可以很容易地把任何循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)。如果你有一個個位數(shù)的循環(huán)小數(shù)，把重復(fù)的那個數(shù)字寫在分母9上，像下圖這樣:(如果你不放心的話，可以拿出計(jì)算機(jī)驗(yàn)證下）

如果你有一個2位數(shù)字的循環(huán)小數(shù)的話，請?jiān)诜帜?9上寫下循環(huán)的數(shù)字.

如果你有一個3位數(shù)字的循環(huán)小數(shù)，可以將循環(huán)數(shù)字寫在分母999上.

如果是N個循環(huán)數(shù)字，公式是：

結(jié)論

其實(shí)這個公式已經(jīng)顯示出0.999…等于1了。我們還是往下證明吧！從0.999…等于它的等效分?jǐn)?shù)開始。

顯然，9÷9 = 1。所以我們有：

證明完了，簡短精悍，不過我能感覺到你的面前飄來很多問號，這簡直違反直覺，怎么可能這么簡單？那我們繼續(xù)，不過接下來這個方法更簡單！

方法2，證明0.999...=1

我們知道1/3等于0.33333…2/3等于0.66666…，所以1/3+2/3必須等于0.3333…+0.6666…，對吧？

兩邊相加，結(jié)果又來了：

數(shù)學(xué)迷們可能又有點(diǎn)失望了，因?yàn)檫@太簡單了。因?yàn)槲覀兏杏X到越簡單越?jīng)]有說服力，大家喜歡哪種看起來超復(fù)雜，又高端的方法，如果你想再多看一會，那我們接下來用一個很好的無窮級數(shù)來說明為什么以上等式是成立的。前面說過我們今天不做那些復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，但是我害怕你們覺得被忽悠了。那么開始吧。

方法3，無限級數(shù)法

讓我們從分解0.999...開始。

如果你回想一下你上小學(xué)的時候，你就會想起有一位和藹可親的老師向你解釋怎樣分解數(shù)字的位數(shù)，

所以我們可以以同樣的方式寫0.999…為：

或分?jǐn)?shù)形式：

如果我們把前5個值相加，我們得到0.99999，如果我們不停地寫出十進(jìn)制展開式，我們可以把它寫到無窮大，無窮長，無窮遠(yuǎn)，想繞地球幾圈都可以！這樣我們將得到精確的0.9999999999…。手工將小數(shù)展開到無窮大是不可行的，這就是為什么用簡寫的原因。

我們先將9提出來。

然后將分母重寫為10的冪。

現(xiàn)在用符號∑表示無窮求和。

希臘字母西格瑪∑在數(shù)學(xué)中用來表示重復(fù)加法。求和中的第一個值是通過將n的值代入∑下面來得到。如果n = 1,所以我們得到(1/10)1。下一個值代入n = 2, (1/10)2。然后代入n = 3，(1/10)3,等等。一直這樣往進(jìn)代，直到等于∑符號上面的值。在上面式子中，上方的值為無窮大，所以沒有終點(diǎn)。所有這些代入生成的值相加，然后整個和再乘以9，我們就能得到這個無窮數(shù)列的值，可是我們要先考慮的是無窮數(shù)列求和的問題。

考慮求和的方法是在上面的式子中每一個連續(xù)項(xiàng)都是由前一項(xiàng)乘以一個公比得到的。這意味著我們有一個收斂到a/(1 - r)的幾何級數(shù)，其中a是級數(shù)的第一個值，r是我們得到下一項(xiàng)乘以的比值，也就是前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的公比。

無窮幾何級數(shù)的公式

級數(shù)的收斂性意味著當(dāng)你向級數(shù)中添加越來越多的項(xiàng)時，級數(shù)會越來越接近一個特定的值。這個級數(shù)正無限逼近收斂值。在我們的例子中，我們從1/10開始，每一項(xiàng)都乘以1/10來得到后一項(xiàng)，所以a和r都等于1/10。

由于a=1/10, r=1/10，我們可以將a和r組合起來，將求和調(diào)整為n=1，這與我們對這個問題的原始求和非常匹配，完成右邊的運(yùn)算。

現(xiàn)在我們正式證明了0.999收斂到或等于1。

最后的想法和靈感

這個結(jié)果讓人覺得很奇怪!兩個不同的數(shù)竟然相等。這個問題的反直覺本質(zhì)是無窮領(lǐng)域帶來的陌生感和奇異性。

通過這樣一個簡單的問題，我們?nèi)祟惖拇竽X從一個能感知到的范圍進(jìn)入了一個超出我們所能理解范圍。人類作為有限的存在，我們可以把握和理解無限或永恒的概念，但我們永遠(yuǎn)無法真正體驗(yàn)無窮的本質(zhì)。這意味著，在我們有限的感知世界里，我們所得到的真理，往往在無限的層面上將表現(xiàn)得不同。

很多伙伴們都認(rèn)為也很樂意承認(rèn)宇宙的無限，但是宇宙的無限將給我們?nèi)祟悗順O大的困惑，它將和0.999...無限逼近1或等于1一樣，超出我們?nèi)祟惱斫夂透兄姆懂?。無限的宇宙將帶來無限的可能，這將導(dǎo)致我們?nèi)祟惸壳暗挠钪嬲J(rèn)知可能在無窮的時空中被顛覆。所以我們不要期盼著宇宙真的無限，這樣我們?nèi)祟愒诤泼斓挠钪婷媲斑€可能有“出人頭地”的一天。