導(dǎo)語

重整化群（RG）本質(zhì)上是研究系統(tǒng)在群變換下的不變性及其導(dǎo)致的簡(jiǎn)化。傳統(tǒng)上，它被用于研究臨界相變，但同樣適用于非線性動(dòng)力學(xué)。在動(dòng)力系統(tǒng)研究中，通過尋找時(shí)間演化的不變結(jié)構(gòu)，可以提取出支配運(yùn)動(dòng)的低維子流形（如不變流形、穩(wěn)定/不穩(wěn)定流形），實(shí)現(xiàn)降維、粗?；蛣?dòng)態(tài)約化。動(dòng)力學(xué)中的RG還強(qiáng)調(diào)各種物理和數(shù)學(xué)對(duì)稱性（如平移、旋轉(zhuǎn)、縮放），這些不變性與諾特定理聯(lián)系起來，幫助我們理解守恒定律和可積性。隨著計(jì)算科學(xué)的發(fā)展，RG思想逐漸融入機(jī)器學(xué)習(xí)和復(fù)雜系統(tǒng)研究，用于提取數(shù)據(jù)的主要特征并忽略無關(guān)細(xì)節(jié)。

本周六（8月30日）14:00-16:00將進(jìn)行第六課中，由蘭岳恒教授介紹重整化群分析不僅能夠計(jì)算方程的近似解，也能夠得到精確解，并提高計(jì)算效率。為復(fù)雜非線性系統(tǒng)，例如流體計(jì)算、等離子體計(jì)算等提供了一個(gè)可以期待的手段。

主題：重整化群分析的更多應(yīng)用

課程簡(jiǎn)介

重整化群分析不僅能夠計(jì)算方程的近似解，也能夠得到精確解。即使是較為復(fù)雜的多孤子解，也可以方便得到。這里把群的不變性質(zhì)用到解的形式不變上面，將復(fù)雜非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題或低維非線性問題，大大降低了求解難度。將方程約化到狀態(tài)空間的子流形上，則是RG分析的應(yīng)有之用。這里舉的例子是描述空間延伸系統(tǒng)的非線性偏微分方程，RG分析可以用更少的自由度達(dá)到相同的計(jì)算精度，大大提高了計(jì)算效率。為復(fù)雜非線性系統(tǒng)，例如流體計(jì)算、等離子體計(jì)算等提供了一個(gè)可以期待的手段。當(dāng)然，RG分析還有很多未明之端，期待各位同仁共同努力，讓這一經(jīng)典工具煥發(fā)新的活力。

課程大綱

1. 引言：重整化群與微分方程

   1. 重整化群分析本質(zhì)上是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的一種坐標(biāo)變換方法，通過引入新的參數(shù)來描述系統(tǒng)的演化，從簡(jiǎn)單的線性振子例子推廣到一般非線性系統(tǒng)，但后者通常需要借助近似方法。

2. 重整化群分析的擴(kuò)展

   1. 重整化群分析已從常微分方程擴(kuò)展到非線性偏微分方程、映射和分岔理論等更廣泛領(lǐng)域，能夠推導(dǎo)振幅方程和確定中心流形，但在子流形動(dòng)力學(xué)中面臨不變性方程數(shù)量不足的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。

3. 三個(gè)具體的案例

   1. Kuramoto-Sivashinsky方程的穩(wěn)態(tài)解。可以將Kuramoto-Sivashinsky方程的穩(wěn)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為三維動(dòng)力系統(tǒng)，運(yùn)用擾動(dòng)分析和重整化群方法推導(dǎo)出描述系統(tǒng)演化的精確行波解。

   2. 一個(gè)簡(jiǎn)單的常微分方程。通過重整化群方法分析具有時(shí)間反演對(duì)稱性的簡(jiǎn)單二維常微分方程組，成功推導(dǎo)出連接不穩(wěn)定與穩(wěn)定流形的同宿軌道的精確解析解。

   3. 一個(gè)有趣的偏微分方程。通過重整化群方法系統(tǒng)構(gòu)造了五階非線性演化方程的多種精確解，包括單孤立子解、雙孤立子解和橢圓函數(shù)解，展現(xiàn)了RG方法在求解復(fù)雜非線性偏微分方程中的強(qiáng)大能力。

4. KS方程的具體求解

   1. 通過微擾展開和模態(tài)分解技術(shù)系統(tǒng)求解KS方程，展現(xiàn)了重整化群方法在處理復(fù)雜非線性偏微分方程中的有效性，并通過數(shù)值驗(yàn)證證實(shí)了理論解的準(zhǔn)確性。

5. 本節(jié)總結(jié)

   1. 成功提出并應(yīng)用了擴(kuò)展重整化群方法處理常微分方程和偏微分方程等多種物理系統(tǒng)，并推廣到高維不變子流形的動(dòng)力學(xué)分析，但在時(shí)滯噪聲系統(tǒng)、收斂性判據(jù)、可積性理論和復(fù)雜系統(tǒng)子網(wǎng)格建模的最優(yōu)參數(shù)化等方面仍面臨重大挑戰(zhàn)。

   2. Goldenfeld的重整化群理論。通過引入任意時(shí)間尺度參數(shù)τ并要求物理解不依賴于該參數(shù)，系統(tǒng)性地消除微擾展開中的久期項(xiàng)，從而獲得在長(zhǎng)時(shí)間尺度上有效的解。

專業(yè)術(shù)語

重整化群、坐標(biāo)變換、相空間、非線性動(dòng)力學(xué)、初始條件演化、非線性偏微分方程、振幅方程、中心流形、映射分析、子流形動(dòng)力學(xué)、Kuramoto-Sivashinsky方程、穩(wěn)態(tài)解、動(dòng)力系統(tǒng)化、擾動(dòng)分析、時(shí)間反演對(duì)稱性、同宿軌道、連接軌道、精確解、可逆系統(tǒng)、五階演化方程、N-孤立子解、橢圓函數(shù)解、多參數(shù)分類、有理分式解、微擾展開、模態(tài)分解、擴(kuò)展重整化群、高維不變子流形、時(shí)滯噪聲系統(tǒng)

課程信息

課程信息

課程主題：重整化群分析的更多應(yīng)用

課程時(shí)間：2025年8月30日（周六） 14:00-16:00

課程形式：騰訊會(huì)議（會(huì)議信息見群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個(gè)工作日內(nèi)上線）

課程主講人

蘭岳恒，北京郵電大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院教授，博士學(xué)位在佐治亞理工學(xué)院（Georgia Institute of Technology）獲得。先后在國(guó)內(nèi)外多個(gè)著名大學(xué)學(xué)習(xí)和工作過，有豐富的學(xué)科交叉研究經(jīng)歷。主要從事非線性科學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、生物物理、復(fù)雜信息和智能系統(tǒng)等方面的研究工作，注重基本理論方法的發(fā)展和與實(shí)驗(yàn)緊密結(jié)合的應(yīng)用?，F(xiàn)為北京郵電大學(xué)“數(shù)學(xué)與信息網(wǎng)絡(luò)”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室副主任，多次被邀請(qǐng)?jiān)趪?guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)會(huì)議上報(bào)告自己的工作，同時(shí)擔(dān)任期刊“理論物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理”（Modern Mathematical Physics）的編委，也是多個(gè)國(guó)際著名雜志的審稿人。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100余篇，包括國(guó)際頂級(jí)雜志PRL， PNAS， Nature子刊論文多篇。

重整化群分析在非線性物理中的應(yīng)用系列課程 火熱報(bào)名中

你知道嗎？費(fèi)根鮑姆常數(shù)可以由重整化群計(jì)算，相變臨界點(diǎn)可以由重整化方法得出，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多層計(jì)算就是在對(duì)圖像做重整化。重整化群是考察不同尺度下物理規(guī)律變化的數(shù)學(xué)工具，幫助我們理解系統(tǒng)在大范圍內(nèi)或臨界點(diǎn)附近的行為。集智學(xué)園聯(lián)合北京郵電大學(xué)蘭岳恒教授開設(shè)，系統(tǒng)講述重整化群這一理論框架，怎樣用來分析高維非線性系統(tǒng)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)方程的求解與約化。本系列課程將回答如下問題：

從有限的觀測(cè)提取一般性規(guī)律建模的原則和常見框架是什么？ 怎樣寫出系統(tǒng)重要結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)模式的近似解析表達(dá)式？ 怎樣將對(duì)稱性、不變性、基本范式等先驗(yàn)知識(shí)放到系統(tǒng)解析描述中？ 怎樣建立系統(tǒng)不同層級(jí)動(dòng)力學(xué)間聯(lián)系的方程？

早鳥價(jià)最后兩天！歡迎感興趣的研究者加入課程。

詳情可見：

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