研究量子物質(zhì)的不同相及其相變是凝聚態(tài)物理的核心問題。長期以來，人們主要依賴Landau的對(duì)稱性破缺范式來理解這些現(xiàn)象。在這一框架下，不同的相由基態(tài)中是否存在某種全局對(duì)稱性的自發(fā)破缺來加以區(qū)分。然而，隨著研究的深入，人們逐漸意識(shí)到Landau范式雖然強(qiáng)大，卻不足以捕捉量子相的全部豐富性。受對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)湎唷⒕哂型負(fù)湫虻南�，以及受非可逆�?duì)稱性等更為奇特的對(duì)稱性支配的相，都要求我們超越傳統(tǒng)的理解。

與此同時(shí)，數(shù)值方法的發(fā)展極大推動(dòng)了強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的研究。尤其是密度矩陣重整化群（DMRG）和張量網(wǎng)絡(luò)方法，它們能夠高效地表示和求解復(fù)雜的多體基態(tài)。這些方法之所以有效，關(guān)鍵在于它們充分利用了量子態(tài)的糾纏結(jié)構(gòu)。糾纏的分布和強(qiáng)度直接決定了數(shù)值算法所需的計(jì)算資源，也決定了基態(tài)能否被忠實(shí)地刻畫。

Laurens Lootens、Clément Delcamp 與 Frank Verstraete 在 《自然·物理學(xué)》發(fā)表的論文 《Entanglement and the density matrix renormalization group in the generalized Landau paradigm》 將這兩條發(fā)展脈絡(luò)結(jié)合在一起。文章提出，應(yīng)當(dāng)把糾纏和 DMRG 放置在一個(gè)擴(kuò)展的 Landau 范式中來理解，在這個(gè)框架下，廣義對(duì)稱性和對(duì)偶性成為核心要素。作者進(jìn)一步指出，在基態(tài)的張量網(wǎng)絡(luò)表示中，如果選擇那種在對(duì)偶圖景里所有對(duì)稱性都被自發(fā)破缺的表述，糾纏熵可以最小化，計(jì)算也最為高效。

從 Landau 到廣義范式

Landau 的相變理論強(qiáng)調(diào)序參量的作用，把不同的相區(qū)分為保持或破缺某種全局對(duì)稱性的狀態(tài)。例如，在 Ising 模型中，鐵磁相正是通過自發(fā)破缺自旋翻轉(zhuǎn)對(duì)稱性來定義的。然而，許多量子相無法依靠這種思路加以區(qū)分。受對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)湎嘞嗑蜎]有局域序參量，必須通過整體糾纏特征或者邊界態(tài)來刻畫；拓?fù)溆行蛳鄤t擁有長程糾纏，其本質(zhì)屬性完全超出了傳統(tǒng)對(duì)稱性破缺的描述。

近年來，非可逆對(duì)稱性、范疇對(duì)稱性等概念的出現(xiàn)，更是把相的分類擴(kuò)展到了群對(duì)稱性之外。廣義 Landau 范式正是在這樣的背景下提出的，它試圖把這些更加復(fù)雜的對(duì)稱性和對(duì)偶性也納入到相的分類框架中。

糾纏與張量網(wǎng)絡(luò)

量子多體基態(tài)最鮮明的特征之一就是糾纏。在一維有能隙體系中，糾纏熵一般遵循面積律，這使得矩陣積態(tài)（MPS）等張量網(wǎng)絡(luò)成為理想的表示工具。DMRG 正是利用這一性質(zhì)，通過優(yōu)化 MPS 來逼近基態(tài)。算法的效率完全取決于態(tài)的糾纏：糾纏越強(qiáng)，所需的 bond dimension 就越大，變分參數(shù)也隨之增多。因此，理解不同相的糾纏模式，尤其是糾纏在對(duì)偶變換下的表現(xiàn)，直接關(guān)系到數(shù)值模擬的可行性。

對(duì)偶性與糾纏譜

Lootens 等人提出的核心觀點(diǎn)是，一個(gè)模型基態(tài)的糾纏譜，其實(shí)可以理解為對(duì)偶模型中自發(fā)對(duì)稱性破缺的反映。對(duì)于一個(gè)一維有能隙的對(duì)稱格點(diǎn)模型，如果我們通過“gauging”等方式構(gòu)造它的對(duì)偶模型，那么原本在原模型中未被破缺的對(duì)稱性，可能會(huì)在對(duì)偶模型中表現(xiàn)為自發(fā)破缺。這樣，原模型基態(tài)中糾纏譜的簡并性，就恰好對(duì)應(yīng)于對(duì)偶模型中的對(duì)稱性破缺。

這種對(duì)應(yīng)關(guān)系說明，只要在對(duì)偶圖景中進(jìn)行分析，就可以系統(tǒng)地解釋原模型的糾纏特征。更重要的是，它暗示我們可以選擇那種在對(duì)偶表示中所有對(duì)稱性都已經(jīng)破缺的表述來表示基態(tài)。在這種情況下，糾纏被壓縮到最小程度，基態(tài)更接近經(jīng)典態(tài)，而張量網(wǎng)絡(luò)表示也最為簡潔高效。

廣義 DMRG

基于這一思想，作者提出了一種廣義的 DMRG 算法。這種算法在受約束的 Hilbert 空間中運(yùn)行，這些約束正是由對(duì)偶對(duì)稱性破缺所決定的。由于糾纏在這種表述中被極大減少，所需的 bond dimension 和變分參數(shù)都顯著降低，因而計(jì)算資源得到節(jié)省。作者在具體模型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中展示了這種優(yōu)勢。例如，在擾動(dòng)的 Heisenberg 鏈模型中，廣義 DMRG 相較傳統(tǒng)方法明顯降低了復(fù)雜度。這表明抽象的理論思路可以真正轉(zhuǎn)化為實(shí)用的數(shù)值改進(jìn)。

意義與挑戰(zhàn)

這一框架的重要性在于，它把糾纏、對(duì)稱性破缺與對(duì)偶性有機(jī)結(jié)合，為理解量子相提供了一個(gè)統(tǒng)一的語言，也為數(shù)值計(jì)算提供了新的指導(dǎo)。通過選擇最大破缺的對(duì)偶表示，研究者能夠構(gòu)造出最簡潔的張量網(wǎng)絡(luò)，從而在模擬大體系或強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)時(shí)節(jié)省大量資源。這不僅擴(kuò)展了 Landau 范式的適用范圍，使之涵蓋非可逆和范疇對(duì)稱性，還在理論與計(jì)算之間架起了一座橋梁。

當(dāng)然，這一思路也面臨著挑戰(zhàn)。目前的分析主要針對(duì)一維有能隙系統(tǒng)，如何推廣到二維或者無隙臨界體系仍需探索。對(duì)偶模型的構(gòu)造往往并不唯一，如何系統(tǒng)地找到最優(yōu)的表述并非易事。至于廣義 DMRG 在更復(fù)雜體系中的表現(xiàn)，也有待進(jìn)一步檢驗(yàn)。

結(jié)論

將糾纏、對(duì)偶性與 DMRG 納入廣義 Landau 范式，是我們理解量子相與提升數(shù)值模擬效率的重要進(jìn)展。論文展示了糾纏譜如何對(duì)應(yīng)于對(duì)偶模型中的對(duì)稱性破缺，并指出在對(duì)偶對(duì)稱性完全破缺的表示中，基態(tài)可以獲得最優(yōu)的張量網(wǎng)絡(luò)描述。這一洞見既擴(kuò)展了 Landau 理論的內(nèi)涵，也帶來了實(shí)用的算法收益，充分體現(xiàn)了理論與數(shù)值方法的深度交融。