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《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 016. 5N+A空間

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《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 016

016. 5N+A空間

我們之前提到,正整數(shù)可以通過等差數(shù)列構(gòu)成無窮多個(gè)“正整數(shù)空間”。我們可以將這些空間進(jìn)行分類:

設(shè)Zk為全體正整數(shù)空間,則有公式:

Zn=wN+A

其中:w表示維度,w=1,2,3…

N為各正整數(shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù),N=0,1,2,3…

A為特定空間內(nèi)等差數(shù)列的順序號(hào),A=1,2,3…

用代數(shù)式可以這樣表示:

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1,5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

許許多多……

在上述每一組橫向等差數(shù)列(空間)中,每一個(gè)數(shù)列均能代表所有整數(shù)。一旦選定某個(gè)特定空間,每個(gè)正整數(shù)都將擁有其獨(dú)特的位置坐標(biāo),且其他空間內(nèi)的等差數(shù)列不會(huì)進(jìn)入該空間,從而實(shí)現(xiàn)了等差數(shù)列的函數(shù)化表達(dá)及空間的獨(dú)立隔離。

如下圖表示,



基礎(chǔ)空間 如,N+A ,A=1 空間。

如下圖,



這個(gè)空間里有六組公式,

1) 合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列組

1k+0

2k+1

3k+2

5k+4

7k+6……

Sk+n……

這些合數(shù)項(xiàng)數(shù)列公式可以寫成,N(S) =Sk+n 的形式。

2) 合數(shù)項(xiàng)公式, Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1,b≥1 他們都是項(xiàng)數(shù)。

這是一個(gè)二元一次的曲面方程,他的解是Sn+K的直線族。

3) 素?cái)?shù)項(xiàng)公式, Ns = N-Nh 這是一個(gè)素?cái)?shù)數(shù)量的表達(dá)式。

4) 素?cái)?shù)的生成公式, S =N+1 且 N ∈ P

5) 合數(shù)素?cái)?shù)判定式, C = ( N-b)/(b+1)

其中,C須是整數(shù),所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)N就是一個(gè)合數(shù),否則就是一個(gè)素?cái)?shù)。

6) 素?cái)?shù)在正整數(shù)中的密度,P=Ns/N

注意:其它空間都具備這些性質(zhì),都有這些公式,僅僅是表達(dá)復(fù)雜了一些。關(guān)于空間概念的內(nèi)容我的文章里多次介紹過了,這里不再累輸了。

等差數(shù)列我們可以有三種分類:

等差數(shù)列這種形式的WN+A公式也是等差數(shù)列,

比如2N+2,3N+2,6N+5等等。

2N+2 N=1,2,3 …… 有數(shù)列 4,6,8……

3N+2 N=1,2,3 …… 有數(shù)列 5,8,11……

6N+5 N=1,2,3 …… 有數(shù)列 11,17,23……

1)偶數(shù)數(shù)列2N+2 這種出現(xiàn)都是偶數(shù)的數(shù)列;

2)奇偶混合數(shù)列3N+2 這種出現(xiàn)即有偶數(shù)也有奇數(shù)的數(shù)列;

3)奇數(shù)數(shù)列6N+5 這種出現(xiàn)都是奇數(shù)的數(shù)列。

下面我們介紹這篇文章的主角 5N+A (A=1,2,3,4,5) 空間,這是一個(gè)“素?cái)?shù)空間”。

見下圖,



5N+A空間屬于“素?cái)?shù)空間”,代數(shù)式表示為SN+A,即空間維數(shù)W均為素?cái)?shù)3、5、7、11……的空間。這類空間具有以下特點(diǎn):

1. 空間內(nèi)所有等差數(shù)列均為奇偶混合數(shù)列;

2. 除了最后一個(gè)數(shù)列SN+S是素?cái)?shù)S與合數(shù)的混合數(shù)列外,其余數(shù)列均包含素?cái)?shù);

3. 該空間內(nèi)含素?cái)?shù)的數(shù)列數(shù)量,恰好等于2S偶數(shù)空間內(nèi)含素?cái)?shù)數(shù)列的數(shù)量。

例如,3N+A空間有兩個(gè)含素?cái)?shù)的數(shù)列,2S=6,對(duì)應(yīng)的6N+A空間內(nèi)則有6N±1兩個(gè)含素?cái)?shù)的數(shù)列。又如,5N+A空間有兩個(gè)含素?cái)?shù)的數(shù)列,2S=10,相應(yīng)的10N+A空間內(nèi)則有四個(gè)含素?cái)?shù)的數(shù)列。

通過深入探索“正整數(shù)空間”這一概念,我們能夠觀察到一些具有啟發(fā)性的規(guī)律。具體而言,當(dāng)我們面對(duì)形式為 A±1 的等差數(shù)列或函數(shù)表達(dá)時(shí),如果 A 是一個(gè)偶數(shù),并且這一表達(dá)方式不與“合數(shù)項(xiàng)公式”產(chǎn)生重疊,那么在確定相關(guān)空間后,可以確定 A±1 這一形式必然包含無窮多個(gè)素?cái)?shù)。

例如,梅森數(shù)和費(fèi)馬數(shù)作為典型的案例,由于它們的構(gòu)造中包含了2的因子,這確保了 A 本身是一個(gè)偶數(shù)。因此,A±1 在這種情況下必定會(huì)展現(xiàn)出無窮多個(gè)素?cái)?shù)的存在,這一結(jié)論具有重要的理論意義。

另一方面,如果 A 不僅是一個(gè)偶數(shù),同時(shí)也是一個(gè)合數(shù),例如考慮形式為 a2+1 的情況,那么情況會(huì)變得稍微復(fù)雜。當(dāng) a2 為偶數(shù)時(shí),a2+1 這一形式同樣會(huì)包含無窮多個(gè)素?cái)?shù);然而,當(dāng) a2 為奇數(shù)時(shí),a2+1 則不會(huì)包含任何素?cái)?shù),這突顯了初始條件對(duì)結(jié)果的關(guān)鍵影響。

我們還發(fā)現(xiàn)一個(gè)非常有趣的規(guī)律,在3N+A空間里面出現(xiàn)的素?cái)?shù)對(duì),它們之間的差值恰好等于6,這樣的差值正好可以讓這些素?cái)?shù)對(duì)進(jìn)入到6N+A的空間中;

同樣地,在5N+A空間里面的素?cái)?shù)對(duì),它們的差值剛好是10,這個(gè)差值恰好可以使它們順利進(jìn)入10N+A的空間。

這些不同的正整數(shù)空間既表現(xiàn)出彼此相互屏蔽、各自獨(dú)立的特點(diǎn),又存在著微妙而深刻的相互聯(lián)系,這種雙重性質(zhì)特別值得我們?cè)谘芯恐薪o予關(guān)注和重視。

綜上所述,這些發(fā)現(xiàn)充分展示了研究“Ltg-空間”對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論以及數(shù)論領(lǐng)域的深遠(yuǎn)意義,它不僅幫助我們更深入地理解素?cái)?shù)的分布規(guī)律,還為未來的數(shù)學(xué)探索提供了有力的工具和方向。



2025年11月12日星期三

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