導(dǎo)語

在自然界和社會系統(tǒng)的許多相互作用網(wǎng)絡(luò)中，局部連接的微觀動力學(xué)會在時間演化中集體放大，導(dǎo)致宏觀結(jié)構(gòu)的突然重組。然而，傳統(tǒng)的平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)框架無法描述這種在有限時間內(nèi)出現(xiàn)的非平衡突變過程。本文提出了一個關(guān)于非平衡網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的可解模型，揭示了有限時間動力學(xué)相變（Dynamical Phase Transition, DPT）的普適機(jī)制：由局部非線性反饋驅(qū)動的隨機(jī)連邊過程，在時間演化中自組織形成臨界點(diǎn)，使得網(wǎng)絡(luò)平均度在有限時間處發(fā)散。該框架以解析形式建立了動力學(xué)方程、臨界條件與可觀測序參量之間的聯(lián)系，展示了非平衡系統(tǒng)中時間奇點(diǎn)的形成。這一工作表明，有限時間的臨界現(xiàn)象并非偶然異常，而是非平衡網(wǎng)絡(luò)演化的自然結(jié)果，拓展了人們對復(fù)雜系統(tǒng)中時間臨界性的認(rèn)識。

本篇論文通訊作者為Prof. Chaoming Song，第一作者劉家臻為發(fā)起人，主講讀書會[第4期 圖形生長問題的數(shù)學(xué)理論]。

關(guān)鍵詞：非平衡網(wǎng)絡(luò)、動力學(xué)相變、有限時間奇點(diǎn)、時間臨界性、三角閉合反饋

劉家臻丨作者

論文題目：Dynamical Phase Transitions in Nonequilibrium Networks 論文鏈接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/yls4-kdvj 發(fā)表時間：2025年10月15日 論文來源：Physical Review Letters

在自然界和社會系統(tǒng)中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化往往呈現(xiàn)自組織的突變特征：金融市場的連鎖反應(yīng)、生態(tài)系統(tǒng)的突然崩塌、社交網(wǎng)絡(luò)的輿論爆發(fā)，皆是局部互動在宏觀尺度上被放大的結(jié)果。傳統(tǒng)的平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)模型假設(shè)系統(tǒng)在長期極限下達(dá)到穩(wěn)態(tài)，因此能有效解釋溫度、壓力等外參驅(qū)動下的相變現(xiàn)象，卻無法捕捉系統(tǒng)在有限時間內(nèi)的動力學(xué)突變。另一方面，已有的非平衡網(wǎng)絡(luò)模型通常聚焦于穩(wěn)態(tài)拓?fù)洌ㄈ鐑缏煞植蓟蛏鐖F(tuán)結(jié)構(gòu)）的生成機(jī)制，而忽略了這些結(jié)構(gòu)如何在演化過程中自發(fā)出現(xiàn)和消失。換言之，現(xiàn)有框架缺乏描述“時間臨界性”（temporal criticality）的理論語言——即局部非線性過程如何通過動態(tài)放大在有限時間內(nèi)誘發(fā)全局突變。為了理解這種從微觀連接規(guī)則到宏觀爆發(fā)行為的跨尺度耦合，我們需要一種新的非平衡網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)模型：它不依賴外部控制參數(shù)，而通過內(nèi)生的動力學(xué)相互作用，揭示復(fù)雜系統(tǒng)在時間演化中出現(xiàn)的臨界點(diǎn)與相變機(jī)制。

為捕捉非平衡網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的臨界演化，我們提出了一個最小非平衡網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)模型（見圖1）。該模型通過顯式引入時間依賴的連邊率函數(shù)，將微觀層面的連接過程與宏觀結(jié)構(gòu)變量（如平均度與聚類系數(shù)）的時間演化相耦合。具體而言，模型設(shè)定每條潛在邊的生成率不僅取決于節(jié)點(diǎn)間的隨機(jī)接觸，還取決于它們共同鄰居數(shù)所形成的局部三角閉合反饋，從而在微觀層面引入非線性相互作用。

圖1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)相變

通過在連續(xù)極限下對連邊與斷邊過程的主方程求解：（1）我們推導(dǎo)出平均度隨時間的解析表達(dá)式，揭示其在有限臨界時間處出現(xiàn)hyperbolic scaling效應(yīng)，從而在解析層面刻畫了系統(tǒng)從稀疏相到致密相的動力學(xué)相變過程。這一結(jié)果表明，局部三角閉合的非線性反饋經(jīng)由隨機(jī)連邊放大為全局突變，構(gòu)成一類一階動力學(xué)相變（見圖2和3）；（2）解析推導(dǎo)表明，漸近臨界時間時的度分布會逼近冪律，其中冪指數(shù)趨向-1，而聚類標(biāo)度也會漸近服從 C(k)～1/k，再次體現(xiàn)hyperbolic scaling效應(yīng)。這一特征表明，有限時間動力學(xué)相變不僅改變連接密度，還重塑了網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)結(jié)構(gòu)與多尺度特性（圖4）；（3）作者發(fā)展了圖動力學(xué)的Schwinger–Dyson方程族，將網(wǎng)絡(luò)子圖密度的時間演化形式化為關(guān)聯(lián)函數(shù)的層級演化。該框架揭示了從微觀連接概率到宏觀結(jié)構(gòu)演化的層次耦合機(jī)制，為非平衡網(wǎng)絡(luò)建立了場論意義下的系統(tǒng)描述。

上述解析結(jié)果與大規(guī)模數(shù)值模擬高度一致。并顯示隨著熱力學(xué)系統(tǒng)N增大，序參量躍遷趨于不連續(xù)，確認(rèn)相變的熱力學(xué)極限性質(zhì)。

圖2 有限時間內(nèi)邊密度發(fā)散和對應(yīng)的一階相變

圖3 相圖

圖4 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)相變的臨界行為

本研究的理論分析揭示了非平衡網(wǎng)絡(luò)在有限時間動力學(xué)相變過程中所體現(xiàn)的三種深層機(jī)制：（1）有限時間的動力學(xué)相變并非偶然的突發(fā)事件，而是一種普適的非平衡機(jī)制，是一種由動力學(xué)自洽性決定的時間臨界性。這一思想在理論上延伸了非平衡統(tǒng)計(jì)物理的范疇，使“臨界點(diǎn)”不再是參數(shù)空間中的靜態(tài)分界，而是時間演化過程中自發(fā)出現(xiàn)的奇點(diǎn)；（2）當(dāng)局部連接強(qiáng)化宏觀聚集時，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性將很可能隨之下降。解析結(jié)果表明，非線性反饋雖可加速秩序形成，但同時放大擾動對全局結(jié)構(gòu)的影響，使系統(tǒng)在臨界點(diǎn)附近對隨機(jī)波動極度敏感；（3）在非線性交互可忽略時，系統(tǒng)近似滿足詳細(xì)平衡，對應(yīng)封閉體系的平衡穩(wěn)態(tài)；而在非線性交互不可忽略時，持續(xù)的三角反饋驅(qū)動系統(tǒng)保持非零概率流，形成具有正熵產(chǎn)生率的非平衡穩(wěn)態(tài)（NESS）。兩種穩(wěn)態(tài)可由“動力學(xué)勢–組合熵”競爭關(guān)系統(tǒng)一描述，前者為能量最小化平衡態(tài)，后者為熵驅(qū)動的開放態(tài)（見原文討論和補(bǔ)充材料部分）。

未來對動力學(xué)相變（DPT）的實(shí)證研究，將依賴于更高分辨率的復(fù)雜系統(tǒng)時序數(shù)據(jù)與跨領(lǐng)域驗(yàn)證，從量子系統(tǒng)到金融經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，再到生態(tài)系統(tǒng)。在計(jì)算應(yīng)用層面，未來可探索機(jī)器學(xué)習(xí)生成模型，特別是擴(kuò)散模型與薛定諤橋框架在非平衡系統(tǒng)中的可遷移性，評估其在有限樣本條件下重建非平衡臨界動力學(xué)的能力。在理論層面，有限時間奇點(diǎn)的解析結(jié)構(gòu)揭示了與量子體系動力學(xué)相變的形式對應(yīng)：經(jīng)典系統(tǒng)的生滅算符與量子演化算符在數(shù)理上可由同一類譜解析性刻畫。這種跨領(lǐng)域的映射表明，時間臨界性可能構(gòu)成連接經(jīng)典非平衡與量子動力學(xué)的共同語法橋梁。未來的理論研究將進(jìn)一步探討這“動力學(xué)勢—譜結(jié)構(gòu)”的統(tǒng)一框架，探索是否存在普適的“非平衡能量景觀”。

「復(fù)雜科學(xué)經(jīng)典論文研讀·第一季」讀書會

在科學(xué)研究日新月異的今天，復(fù)雜科學(xué)作為一門探索自然界和人類社會中各類復(fù)雜系統(tǒng)規(guī)律的學(xué)科，正日益展現(xiàn)出其獨(dú)特的價值與魅力。從生命起源的奧秘到意識的產(chǎn)生機(jī)制，從氣候系統(tǒng)的微妙平衡到群體智能的涌現(xiàn)，諸多困擾人類的世界難題都與復(fù)雜系統(tǒng)息息相關(guān)。它打破了傳統(tǒng)學(xué)科的邊界，試圖在看似紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象背后，尋找底層的統(tǒng)一性和通用的理論框架，為我們理解這個充滿不確定性的世界提供了全新的視角。

然而，復(fù)雜科學(xué)的發(fā)展并非一蹴而就，它的理論根基深深植根于一系列經(jīng)典的研究成果之中。那些歷經(jīng)時間沉淀的經(jīng)典論文依然閃耀著智慧的光芒，它們是學(xué)科發(fā)展的基石，承載著前輩學(xué)者的深刻洞見，為我們探索未知提供了寶貴的思想源泉。

因此，集智俱樂部聯(lián)合北京師范大學(xué)教授張江、中國人民大學(xué)博士研究生陳繹安、北京師范大學(xué)博士研究生陶如意，邱仲普、清華大學(xué)博士后劉家臻共同發(fā)起，聚焦圣塔菲研究所發(fā)布的文集《Foundational Papers in Complexity Science》。這本文集收錄了 20 世紀(jì)復(fù)雜科學(xué)領(lǐng)域 89 篇重要文獻(xiàn)，涵蓋熵、演化與適應(yīng)、非線性動力學(xué)與計(jì)算等關(guān)鍵主題。讀書會從2025年8月22日開始，每周五進(jìn)行，預(yù)計(jì)持續(xù)分享6-8周。掃碼開啟復(fù)雜性科學(xué)的深度探索之旅，一起共研、共創(chuàng)、共享「復(fù)雜科學(xué)經(jīng)典論文研讀」社區(qū)，一起挖掘經(jīng)典論文中的科學(xué)智慧，勾勒復(fù)雜性理論的發(fā)展脈絡(luò)！

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報名讀書會：「非線性動力學(xué)與混沌」

集智俱樂部聯(lián)合北京師范大學(xué)張江科研組聯(lián)和南信大李春彪科研組師生共同發(fā)起，由師生共同領(lǐng)讀《非線性動力學(xué)與混沌》，以分章節(jié)精讀的方式，帶領(lǐng)大家系統(tǒng)學(xué)習(xí)非線性動力學(xué)的基本理論與典型模型，結(jié)合洛倫茲系統(tǒng)、Kuramoto模型等經(jīng)典案例，深入探討混沌的起源、分形與奇異吸引子等前沿問題。

本讀書會不僅讀書，還會系統(tǒng)化地梳理本書中的重要概念，并整理為百科詞條。也就是說，讀完本書，我們會梳理出一套非線性動力學(xué)與混沌相關(guān)的百科詞條，這才是重點(diǎn)。

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