北京
導(dǎo)語
如果說幾何學(xué)關(guān)注“形狀中的度量”，那么拓?fù)鋵W(xué)則更加關(guān)注“形狀在連續(xù)變形下的不變性”。它揭示了世界深層的結(jié)構(gòu)：那些超越距離與角度、卻能決定聯(lián)系與整體的規(guī)律。
在《拓?fù)鋵W(xué)的思維革命：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)》課程中，我們將以系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)思想史為線索，探索拓?fù)淙绾纬蔀槔斫鈴?fù)雜系統(tǒng)與現(xiàn)代科學(xué)思維的核心語言。為了幫助大家更好地在課前/課后延展思考，課程主講金威老師特別整理了一份分層次的閱讀書單。
趙思怡|作者
金威|審校
科普推薦
《繩圈的數(shù)學(xué)》——姜伯駒
本書由姜伯駒院士所著，以清晰生動的筆觸介紹拓?fù)鋵W(xué)的核心思想，重點(diǎn)講解拓?fù)鋵W(xué)中與紐結(jié)論相關(guān)的基本概念，涵蓋瓊斯多項(xiàng)式、懷特公式等及其在 DNA 研究中的應(yīng)用等。寫法深入淺出而富啟發(fā)性，適合中學(xué)生及以上讀者閱讀與思考。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3778426/
《拓?fù)鋵W(xué)奇趣》——V. G. Boltyanski? & V. A. Efremovich（裘光明譯）
英文原著《Intuitive Combinatorial Topology》。本書以富有趣味的敘述，將平面與曲面的拓?fù)鋯栴}呈為一系列謎題與故事，既有直觀的幾何想象也有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐蒲?。?nèi)容涉及皮亞諾曲線、歐拉公式、四色定理等名題，同倫、同調(diào)與莫爾斯理論等核心概念，以及拓?fù)渌枷朐谝壕У任锢硐到y(tǒng)中的應(yīng)用，并安排了200余道習(xí)題。裘光明教授的譯文流暢，保留了原著的數(shù)學(xué)美感與啟發(fā)性，適合希望以輕松方式進(jìn)入拓?fù)涫澜绲淖x者。
書籍鏈接：https://www.amazon.com/Intuitive-Combinatorial-Topology-Universitext-Boltyanskii-ebook/dp/B000PY3NWI
《Intuitive topology》——V. V. Prasolov
本書從“橡膠”的形變出發(fā)介紹了一系列低維拓?fù)鋵W(xué)中的直觀概念：紐結(jié)、向量場、紐結(jié)不變量、曲面及其分類，章節(jié)短小，圖文并茂，而且也配有習(xí)題（部分有答案）。遺憾的是似乎沒有中譯版。本書作者Прасолов（Виктор Васильевич），著有多部數(shù)學(xué)教材和科普作品。此書選入AMS（美國數(shù)學(xué)會）的“Mathmatical world”科普系列叢書。本叢書中的第二本《Fixed Points》和第六冊《Knots and surfaces》也與拓?fù)鋵W(xué)主題有關(guān)。
教材推薦
在教材方面，對讀者的建議水平是：至少大致學(xué)過微積分和線性代數(shù)。但更重要的是好奇心和“數(shù)學(xué)上的成熟性”。
《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義》——尤承業(yè)
本書延續(xù)了邏輯較為嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)構(gòu)清晰，內(nèi)容涵蓋點(diǎn)集拓?fù)渑c代數(shù)拓?fù)涞某醪礁拍?，是上世紀(jì)中文拓?fù)浣滩闹械拇碇?。尤老師講解清晰、層次分明，幫助讀者在嚴(yán)密推理中建立直觀理解。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/1230382/
與之定位大致類似的國外教材是Munkres的《拓?fù)鋵W(xué)》（點(diǎn)集拓?fù)鋬?nèi)容較為詳盡，代數(shù)拓?fù)渲v到基本群和Van Kampen定理）
和Armstrong的《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)》（講解較通俗）。
《拓?fù)鋵W(xué)引論》——江澤涵
這本書是中國最早的現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)教材之一，以精煉的語言和嚴(yán)密的邏輯奠定了拓?fù)鋵W(xué)教學(xué)的典范。全書結(jié)構(gòu)緊湊、論證嚴(yán)謹(jǐn)，體現(xiàn)了江澤涵先生深厚的數(shù)學(xué)功底與清晰的思想脈絡(luò)。雖然行文簡練，卻處處蘊(yùn)含啟發(fā)，適合具備一定基礎(chǔ)、希望打牢理論根基的讀者。
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《拓?fù)鋵W(xué)導(dǎo)論》——鮑里索維奇等
這本蘇聯(lián)經(jīng)典以獨(dú)特的數(shù)學(xué)敘述風(fēng)格，將拓?fù)鋵W(xué)講得既嚴(yán)謹(jǐn)又富有直觀魅力。作者兼顧幾何直覺與代數(shù)方法，從數(shù)學(xué)中的例子出發(fā)，配以大量生動插圖，幫助讀者在邏輯與想象之間自由切換。內(nèi)容涵蓋點(diǎn)集拓?fù)?、連續(xù)性以及代數(shù)拓?fù)涞暮诵乃枷搿１緯⑽陌媸恰秈ntroduction to topology》（Yu. Borisovich, N. Bliznyakov, Ya. Izrailevich, T. Fomenko）。
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《現(xiàn)代幾何學(xué)》（三卷本）——諾維科夫等
這套三卷本堪稱蘇聯(lián)幾何與拓?fù)鋫鹘y(tǒng)的巔峰之作。作者以極高的自由度，從具體的例子出發(fā)，逐步引入抽象的幾何、拓?fù)渑c代數(shù)結(jié)構(gòu)，展現(xiàn)了幾何思想與物理直覺的深度融合。全書內(nèi)容廣博，涵蓋曲面拓?fù)?、同調(diào)與上同調(diào)理論、莫爾斯理論、博特（Bott）周期律、示性類等核心主題，既有理論高度和深度，也有與力學(xué)、物理相結(jié)合的深刻洞見，注重聯(lián)系，非常有蘇聯(lián)特色。英譯本收入 GTM 叢書，中文譯本則收錄于《俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯》系列。
作者之一諾維科夫曾獲列寧獎、羅巴切夫斯基獎、羅蒙托索夫獎等，且為菲爾茲獎、沃爾夫獎得主。本書對任何想涉足幾何、拓?fù)涞膼酆谜吆脱芯空?，包括?shù)學(xué)家和物理學(xué)家，都是必讀的著作。
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《拓?fù)鋵W(xué)導(dǎo)論》——V. A. Vassiliev
本書以莫斯科獨(dú)立大學(xué)的講義為基礎(chǔ)，系統(tǒng)展現(xiàn)了現(xiàn)代拓?fù)涞睦碚摽蚣芘c思想精髓。作者 V. A. Vassiliev 是紐結(jié)理論中著名“Vassiliev 不變量”的提出者，同時也是兼具創(chuàng)造力與哲學(xué)深度的數(shù)學(xué)家。全書寫作風(fēng)格嚴(yán)謹(jǐn)、抽象而富啟發(fā)性，適合具備扎實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的讀者閱讀。本書收錄于美國數(shù)學(xué)會的 Student Mathematical Library 叢書。
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《點(diǎn)集拓?fù)渑c代數(shù)拓?fù)湟摗贰緩?qiáng)
近年來的國內(nèi)教材中，包志強(qiáng)老師的《點(diǎn)集拓?fù)渑c代數(shù)拓?fù)湟摗泛?01計劃中雷逢春、楊志青、李風(fēng)玲老師的《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)及應(yīng)用》也很不錯，前者富含對拓?fù)鋵W(xué)各個概念的動機(jī)介紹，而后者的習(xí)題選擇（劃分了難度）和最后一章“應(yīng)用”則更加突出。
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《Topology——An Invitation》——K. Parthasarathy
本書中除介紹拓?fù)鋵W(xué)基本概念外，還引用了不少這些概念的發(fā)展史料。
數(shù)學(xué)史書籍推薦
《數(shù)學(xué)及其歷史》——John Stillwell
數(shù)學(xué)家和歷史挖掘者Stillwell教授通過生動的故事講述數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，從古代幾何到現(xiàn)代拓?fù)?，讀來如同一次思想的遠(yuǎn)征。書中拓?fù)洳糠钟葹榫剩故玖藲W拉、黎曼、龐加萊等數(shù)學(xué)巨匠如何塑造現(xiàn)代數(shù)學(xué)的面貌。
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《代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)浜喪贰贰傻r
本書是相關(guān)學(xué)科史領(lǐng)域的中文首創(chuàng)。凝練梳理代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)鋵W(xué)發(fā)展脈絡(luò)，重點(diǎn)呈現(xiàn)思想演化的邏輯。語言平實(shí)，便于理解拓?fù)鋸膸缀蔚匠橄蟮臍v史必然性。
《米爾諾眼中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家》——Milnor
菲爾茲、沃爾夫、阿貝爾獎得主米爾諾以簡潔犀利的筆觸，分享他心中的數(shù)學(xué)美學(xué)與思維方式。書中既有數(shù)學(xué)史，也呈現(xiàn)拓?fù)浯髱煂?chuàng)造力、簡潔性與深刻性的獨(dú)到理解。
書籍鏈接：http://www.360doc.com/content/23/1028/22/77855143_1101989638.shtml
進(jìn)階閱讀推薦
如果學(xué)員想進(jìn)一步深入，那么根據(jù)不同的領(lǐng)域，值得一讀的書有：
代數(shù)拓?fù)?/strong>《同調(diào)論》——姜伯駒
凝聚了中國數(shù)學(xué)家原創(chuàng)思想的代數(shù)拓?fù)渲?，姜伯駒院士以獨(dú)特且簡潔深邃的方式闡釋同調(diào)與代數(shù)結(jié)構(gòu)的關(guān)系。據(jù)多位聽者講述，姜院士開設(shè)的同調(diào)論課程可能是世界最好的，而這些聽者也已成為了目前世界知名的數(shù)學(xué)家和學(xué)者。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/1805814/
《Algebraic Topology》——Allen Hatcher
當(dāng)代代數(shù)拓?fù)漕I(lǐng)域最受歡迎的（研究生）教材之一，內(nèi)容豐富、敘述優(yōu)雅，插圖清晰，是世界公認(rèn)的代數(shù)拓?fù)錁?biāo)準(zhǔn)教材，也是無數(shù)專業(yè)學(xué)生的必讀著作。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/2332224/
微分拓?fù)?/strong>《從微分觀點(diǎn)看拓?fù)洹贰狫ohn Milnor
米爾諾以簡潔而深刻的風(fēng)格，揭示微分拓?fù)涞暮诵母拍睿毫餍?、切空間與光滑映射。書薄而精，猶如聆聽大師親授，堪稱以最少篇幅講最深思想的經(jīng)典之作。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3235763/
《Differential Topology》——Guillemin & Pollack
本書系統(tǒng)而細(xì)致地講述微分拓?fù)涞幕纠碚?，邏輯清晰、條理分明，是眾多研究生課程指定教材，也是微分拓?fù)淙腴T與進(jìn)階學(xué)習(xí)的經(jīng)典之作。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/12447872/
幾何拓?fù)浜偷途S流形（2-3維）
《An Introduction to Geometric Topology》——Bruno Martelli
近年來Bruno Martelli的《An Introduction to Geometric Topology》是一本優(yōu)秀的著作，國內(nèi)的杜曉明老師和合作者不辭辛勞，將其翻譯成了中文，同時在B站上也有相關(guān)的講課視頻。而研究4維流形則需要更多的復(fù)幾何、微分幾何和分析學(xué)知識。
書籍鏈接：https://arxiv.org/abs/1610.02592
紐結(jié)論
《Knots and Links》——Rolfsen
Rolfsen于1976年出版的這本書系統(tǒng)構(gòu)建了紐結(jié)與鏈環(huán)的數(shù)學(xué)理論，是紐結(jié)論領(lǐng)域的經(jīng)典基礎(chǔ)著作，至今仍被廣泛引用和學(xué)習(xí)。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/6088883/
《Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots》——Francis Bonahon
Bonahon的這本書系統(tǒng)介紹了低維幾何與拓?fù)洌瑥臍W氏曲面到雙曲紐結(jié)，內(nèi)容涵蓋紐結(jié)論及相關(guān)低維拓?fù)鋯栴}。它兼具幾何直覺與數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性，是《大學(xué)生數(shù)學(xué)圖書館》第49本，適合希望了解雙曲幾何和低維拓?fù)漕I(lǐng)域并發(fā)展相關(guān)直覺的讀者。
書籍鏈接：https://bookstore.ams.org/stml-49/
微分幾何和纖維叢
《陳省身文集》——陳省身
這部文集收錄了陳省身教授關(guān)于微分幾何、纖維叢及相關(guān)拓?fù)鋯栴}的論文和科普文章，語言精煉而富有洞見，既展示了大師的數(shù)學(xué)思想，也提供了拓?fù)渑c幾何在物理中直觀應(yīng)用案例。適合希望從大師視角理解微分幾何與拓?fù)渎?lián)系的讀者。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/6893675/
應(yīng)用書籍推薦
《Elementary Applied Topology》——Robert Ghrist
在數(shù)學(xué)之外的應(yīng)用領(lǐng)域，比較系統(tǒng)的書籍相對較少——作者一般是根據(jù)應(yīng)用場景和具體問題，“挑選”“有用”的理論，并且分散于各個著作和論文。除上文中《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)及應(yīng)用》外，Ghrist的《Elementary Applied Topology》也匯集了不少應(yīng)用，講述拓?fù)湓跈C(jī)器人、傳感器網(wǎng)絡(luò)、數(shù)據(jù)分析中的具體應(yīng)用，因此尤為難得。本書語言現(xiàn)代，例子鮮活。
書籍鏈接：https://www2.math.upenn.edu/~ghrist/notes.html
《Geometry, Topology and Physics, Second Edition》——Nakahara
本書是物理學(xué)者的經(jīng)典參考書籍，系統(tǒng)地講述了拓?fù)浜臀⒎謳缀卧诂F(xiàn)代物理中的應(yīng)用，如規(guī)范場論、貝里（Berry）相位及超對稱與弦論。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/1768683/
《Gauge Fields, Knots, and Gravity》——John Baez
本書以清晰的幾何語言，將規(guī)范場理論（包括麥克斯韋電磁場）、紐結(jié)與引力統(tǒng)一到幾何與拓?fù)鋵W(xué)框架中。既適合數(shù)學(xué)愛好者，也適合物理研究者，是理解數(shù)學(xué)與物理交叉領(lǐng)域的經(jīng)典讀物。
書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3495755/
Thouless（作者在1960年和Kosterlitz合作發(fā)現(xiàn)拓?fù)湎嘧?，并因此獲得2016年諾貝爾物理學(xué)獎；蘇聯(lián)科學(xué)家Berezinskii也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這種相變）的《非相對論物理學(xué)中的拓?fù)淞孔訑?shù)》、《拓?fù)渑c物理》（楊振寧、[英國] 羅杰·彭羅斯等編，常亮、崔星山、于立偉等譯）等，這兩本書更接近于專著和論文集，需要讀者有較好的數(shù)學(xué)和物理基礎(chǔ)。
書籍鏈接：https://www.dushu.com/book/11421703/
書籍鏈接：https://www.qidian.com/book/1029128553/
從“空間”到“思維”的連續(xù)變形
拓?fù)鋵W(xué)不僅是一門數(shù)學(xué)，更是一種理解世界結(jié)構(gòu)的方式。它教我們超越形狀與尺度，看見隱藏在變化背后的不變，看見系統(tǒng)中各部分之間的連續(xù)與整體。無論你是初學(xué)者、研究者，還是對復(fù)雜系統(tǒng)充滿好奇的思考者，拓?fù)鋵W(xué)都能帶來一種獨(dú)特的智性愉悅——那是一種從混沌中辨認(rèn)秩序、從形式中體悟本質(zhì)的快感。
希望這份書單能成為你的“思維地圖”，幫助你在歐拉的七橋、龐加萊的洞、陳省身的曲面、姜伯駒的結(jié)環(huán)之間，看見一個更深的世界：——一個可以被連續(xù)變形、卻始終保持聯(lián)系的思想宇宙。
“拓?fù)鋵W(xué)，是形狀的哲學(xué)；而內(nèi)蘊(yùn)形，是思想的幾何?！?/blockquote>拓?fù)鋵W(xué)課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)
你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>
拓?fù)鋵W(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學(xué)與腦科學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認(rèn)知方式。
集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開設(shè)，課程將于11月23日開啟，現(xiàn)在加入可享早鳥價格。
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