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派培優(yōu)名師小班數(shù)學(xué)直播課：這門課打通了孩子從校內(nèi)補(bǔ)差，到培優(yōu)和拓展的全鏈路，如果你也像我家Eric曾經(jīng)那樣，數(shù)學(xué)怎么學(xué)好像都沒(méi)太通，或者你擔(dān)心自己不會(huì)規(guī)劃，影響了孩子在數(shù)學(xué)上的進(jìn)一步發(fā)展，那這門課就相當(dāng)合適你了。

這門課是低調(diào)、務(wù)實(shí)、有效果的一門名師小班直播課，把學(xué)習(xí)閉環(huán)做到了極致，也感謝在2025年寒假我們就開(kāi)始上這門課，可以說(shuō)，Eric現(xiàn)在的數(shù)學(xué)真的開(kāi)大竅了，和我一樣感受的家長(zhǎng)非常多，你感興趣的話可以試試。有無(wú)憂試學(xué)期，不喜歡全額退。▼

嗨，我是萌芽。

今天是小學(xué)語(yǔ)數(shù)英系列之?dāng)?shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)篇。

語(yǔ)數(shù)英復(fù)習(xí)系列，還可以回顧：

說(shuō)實(shí)話，在整理的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)容果然還是最龐雜的，每個(gè)年級(jí)的知識(shí)量不僅多，而且還有一定的難度。

所以，我思前想后，決定還是分年級(jí)和大家說(shuō)，雖然工作量不小，但如果能讓大家看清楚，看明白了，還是很值得的~

今天這篇，就從五年級(jí)上開(kāi)始說(shuō)起，我以適用范圍較廣的人教版為例。（其他年級(jí)的也在路上，這幾天陸續(xù)發(fā)出來(lái)噠。另外，雖然以人教版為例，但資源下載也包含了蘇教版、北師大版、人教版的期末復(fù)習(xí)資源，看到文末直接領(lǐng)取下就可以。）

人教版五年級(jí)上冊(cè)一共有七個(gè)單元，涉及到小數(shù)乘法、位置、小數(shù)除法、可能性、簡(jiǎn)易方程、多邊形的面積、植樹(shù)問(wèn)題這幾大版塊。

下面我逐一和大家說(shuō)。今天這篇文章， 就是幫大家快狠準(zhǔn)地找到核心知識(shí)點(diǎn)，考前復(fù)習(xí)考這一篇準(zhǔn)不會(huì)出錯(cuò)！

我建議你直接打印出來(lái)，然后跟孩子一行一行過(guò)一遍，我把題目都配合知識(shí)點(diǎn)給大家配齊了！

如果發(fā)現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié)的，就可以回顧重點(diǎn)攻克下薄弱點(diǎn)，考前一定很有幫助！

期末考前搞完兩輪，滿分絕對(duì)是有保障～文末我還準(zhǔn)備了一份期末復(fù)習(xí)禮包，幫助孩子穩(wěn)穩(wěn)過(guò)期末。

好了，字?jǐn)?shù)有點(diǎn)多，7900肝滿血，記得點(diǎn)贊、收藏、夸夸我，我們直接開(kāi)始。

小數(shù)乘法

小數(shù)乘法是五上數(shù)學(xué)的開(kāi)門單元，看似簡(jiǎn)單，卻是后續(xù)小數(shù)除法、簡(jiǎn)易方程、面積問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。

這一單元雖然不復(fù)雜，但如果沒(méi)有一個(gè)整體框架來(lái)指引的話，認(rèn)為隨便練練計(jì)算就好了，后面可就越練越糊涂了。

為了幫大家搞清楚這單元考什么，我將本單元的知識(shí)點(diǎn)分為三個(gè)層次：

• 基本計(jì)算：算得對(duì)

• 簡(jiǎn)便計(jì)算：算得巧

• 實(shí)際應(yīng)用：用得活

四大基本計(jì)算，必須要掌握！

1、小數(shù)×整數(shù)

小數(shù)x整數(shù)，可以看成是幾個(gè)相同小數(shù)相加，關(guān)鍵是要看懂乘法的核心。

在計(jì)算的時(shí)候，先按整數(shù)算，最后數(shù)小數(shù)點(diǎn)（因數(shù)有幾位小數(shù)，積就有幾位）。

可以回顧一下

2、小數(shù)×小數(shù)

求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少或者是求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少。

比如 0.8×0.5 表示 0.8 的一半。

計(jì)算方面，乘完再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，位數(shù)不夠前面補(bǔ)0，比如 0.2×0.03 = 0.006。

可以回顧一下

3、積的近似數(shù)

先乘出精確值，再用“四舍五入”保留位數(shù)。

但需要注意的一點(diǎn)是，生活中要根據(jù)實(shí)際選“進(jìn)一法”或“去尾法”（比如做衣服、運(yùn)貨物），這一點(diǎn)我們下面會(huì)說(shuō)到。

4、積的大小關(guān)系

記住一個(gè)口訣就夠了：一個(gè)數(shù)（0除外）乘 >1 的數(shù)，積變大；乘 <1 的數(shù)，積變小。

巧算，得高分的關(guān)鍵

巧算的核心是熟練掌握乘法運(yùn)算定律，乘法分配律、乘法結(jié)合律和乘法交換律必須要掌握。

下面是四大巧算思路，一定要帶著孩子過(guò)一遍。

1、湊整

看到25、125、0.25、1.25要敏感，找4或8配對(duì)。

2、分配律正反用

要對(duì)數(shù)字有敏感度，看到相同的數(shù)字時(shí)要能快速反應(yīng)過(guò)來(lái)。

正用：(2.5+0.25)×4 = 2.5×4 + 0.25×4

反用：7.8×0.36+0.64×7.8 = 7.8×(0.36+0.64)

3、拆數(shù)構(gòu)造公因數(shù)

比如這樣：101×4.5 = (100+1)×4.5

挑戰(zhàn)一下

4、“變”與“不變”

利用積不變規(guī)律：一個(gè)因數(shù)乘幾，另一個(gè)因數(shù)除以相同的數(shù)，積不變。

例：2.4×1.25 = (2.4÷8)×(1.25×8) = 0.3×10 = 3

挑戰(zhàn)一下

拉分大題

應(yīng)用題分基礎(chǔ)型和進(jìn)階型，核心是讀懂題、分清楚條件、選對(duì)方法。

1、四大基礎(chǔ)題型（必掌握）

購(gòu)物問(wèn)題：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量，注意“夠不夠”“剩多少”。

倍數(shù)問(wèn)題：A是B的幾倍多/少幾

面積問(wèn)題：長(zhǎng)方形面積 = 長(zhǎng)×寬（記得要先單位統(tǒng)一?。?/p>

行程問(wèn)題：路程 = 速度×?xí)r間

2、四大進(jìn)階題型（拉開(kāi)差距）：

分段計(jì)費(fèi)（重點(diǎn)?。?/strong>

解題關(guān)鍵：分段算、加一起，抓住“超過(guò)部分”單價(jià)不同。

方案選擇

在兩種及以上的方案選擇最佳方案，解題要注意不同方案的意義，最優(yōu)的方案（答案）需要比較幾種方案的結(jié)果后再進(jìn)行選擇。

倒推還原問(wèn)題

典型題目是“用了一半還剩多少，求原來(lái)”，比如下面這道題：

解題方法可以參考我的思路：從后往前推，畫線段圖輔助。

以上面那道題為例：

平均數(shù)問(wèn)題

解題技巧：總數(shù) = 平均數(shù)×個(gè)數(shù)，重疊部分會(huì)多算一次，所以最后結(jié)果需要減去。

解題思路：

語(yǔ)文和英語(yǔ)的總分：93×2＝186（分）

數(shù)學(xué)和英語(yǔ)的總分：97.5×2＝195（分）

語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三門的總分：

（191＋186＋195）÷2

＝572÷2

＝286（分）

英語(yǔ)的分?jǐn)?shù)：286－191＝95（分）

數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)：286－186＝100（分）

語(yǔ)文的分?jǐn)?shù)：286－195＝91（分）

答：小明語(yǔ)文考了 91 分，數(shù)學(xué)考了 100 分，英語(yǔ)考了 95 分。

位置

第二單元是“位置”。

這一部分考察難度較小，考題比較基礎(chǔ)，多以填空題、選擇題、作圖題為主，可以快刀斬亂麻快速過(guò)一遍，把更多的時(shí)間預(yù)留給后續(xù)的小數(shù)除法和幾何題。

要了解怎么考，首先得先搞清楚數(shù)對(duì)是什么。

孩子要能理解數(shù)對(duì) (列數(shù)， 行數(shù))這個(gè)表示方法，并能在具體情境（如電影院、教室）中進(jìn)行讀寫。

解題技巧：先看豎排（列），再看橫排（行），寫在括號(hào)里，中間用逗號(hào)隔開(kāi)。（帶著這個(gè)技巧，可以走遍“位置”篇的所有考點(diǎn)）

列：從左往右數(shù)，第1列，第2列...

行：從前往后數(shù)，第1行，第2行...

比如，明坐在教室第2列、第3行，他的位置用數(shù)對(duì)表示是 (2, 3)。

一定要注意書寫規(guī)范，(3, 4) 和 (4, 3) 是完全不同的兩個(gè)位置。

知道這一點(diǎn)后，我們就來(lái)直接看看考點(diǎn)啦。

1、在方格紙上找位置

在畫有方格（格子圖）的題目中，用數(shù)對(duì)準(zhǔn)確表示或找到某個(gè)點(diǎn)（字、建筑、圖形頂點(diǎn)）的位置。

2、教室座位的前后左右

給定一個(gè)同學(xué)的位置數(shù)對(duì)，能快速寫出他前后左右相鄰?fù)瑢W(xué)的位置數(shù)對(duì)。

• 前后相鄰：兩人在同一列，列數(shù)相同，行數(shù)變。前面的人行數(shù)小，后面的人行數(shù)大。
  

• 左右相鄰：兩人在同一行，行數(shù)相同，列數(shù)變。左邊的人列數(shù)小，右邊的人列數(shù)大。

3、圖形與數(shù)對(duì)

根據(jù)給出的幾個(gè)點(diǎn)的數(shù)對(duì)，在方格紙上描點(diǎn)、連線，判斷形成什么圖形（三角形、長(zhǎng)方形、梯形等）。

• 步驟：把所有點(diǎn)標(biāo)在圖上。按順序連線。觀察圖形特征。
  

• 判斷直角：如果兩個(gè)點(diǎn)在同一列，另兩個(gè)點(diǎn)在同一行，那么連起來(lái)的圖形很可能有直角。

4、圖形平移

圖形在方格紙上移動(dòng)（平移）后，寫出其頂點(diǎn)新的數(shù)對(duì)。

記住平移口訣：“上加下減行，右加左減列”。上下平移改行數(shù)，左右平移改列數(shù)。

5、描述路線

用一連串?dāng)?shù)對(duì)，描述從一個(gè)地方到另一個(gè)地方的行走路線。

6、象棋走法

關(guān)鍵要理解“馬走日”等規(guī)則，用數(shù)對(duì)描述棋子移動(dòng)路徑。

7、計(jì)算隊(duì)列人數(shù)

已知一個(gè)方陣隊(duì)伍四個(gè)角上人的位置數(shù)對(duì)，求總?cè)藬?shù)。

解題關(guān)鍵：

行數(shù) = 最大行號(hào) - 最小行號(hào) + 1；

列數(shù) = 最大列號(hào) - 最小列號(hào) + 1；

總?cè)藬?shù) = 行數(shù) × 列數(shù)。

小數(shù)除法

搞定“位置”單元后，接下來(lái)繼續(xù)啃五年級(jí)上冊(cè)最硬核的計(jì)算單元之一 —— 第三單元《小數(shù)除法》。

這個(gè)單元，說(shuō)簡(jiǎn)單也簡(jiǎn)單，核心就一個(gè)字：除。但說(shuō)難也難，因?yàn)樗诤狭擞?jì)算法則、商的近似、循環(huán)小數(shù)、實(shí)際應(yīng)用等多種題型，一不小心就會(huì)掉進(jìn)“小數(shù)點(diǎn)”的坑里。

下面我從頭到尾把知識(shí)點(diǎn)和大家梳理一遍。

計(jì)算線

1、除數(shù)是整數(shù)

就是像整數(shù)一樣除，關(guān)鍵處理好商的小數(shù)點(diǎn)。

具體怎么算？（三步法）

① 按整數(shù)除法算：忽略小數(shù)點(diǎn)，先當(dāng)整數(shù)除。

② 對(duì)齊點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)：商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

③ 添0繼續(xù)除：有余數(shù)？就在余數(shù)后面添0，繼續(xù)除。

比如這樣

22.4 ÷ 4 = ?

先算 224 ÷ 4 = 56

被除數(shù) 22.4 的小數(shù)點(diǎn)在2和4之間。

所以商是5.6（小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊）

回顧一下

練練手

2、除數(shù)是小數(shù)

把“除數(shù)是小數(shù)”的除法，轉(zhuǎn)化為“除數(shù)是整數(shù)”的除法，是本單元最重要的技能。

具體怎么算？（轉(zhuǎn)化三步法）

① 移除數(shù)：把除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)，變成整數(shù)。

② 移被除數(shù)：除數(shù)移動(dòng)幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠用0補(bǔ)足）。

③ 再計(jì)算：轉(zhuǎn)化后，按“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”計(jì)算。

比如下面這樣

7.65 ÷ 0.85 = ?

除數(shù) 0.85 變成整數(shù) 85，需要向右移動(dòng)兩位。

被除數(shù) 7.65 的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)兩位，變成 765。

計(jì)算 765 ÷ 85 = 9。

所以，7.65 ÷ 0.85 = 9。

回顧一下

練練手

3、簡(jiǎn)便運(yùn)算：拆分法

面對(duì)復(fù)雜除法計(jì)算，先通過(guò)提取公因數(shù)或識(shí)別共同結(jié)構(gòu)，進(jìn)行算式簡(jiǎn)化。

以上面這道題為例，可以這樣進(jìn)行拆分：

（5.4×4.5×8.1）÷（1.8×2.7×1.5）

＝（5.4÷1.8）×（4.5÷1.5）×（8.1÷2.7）

＝3×3×3

＝27

練練手

4、商的近似數(shù)

在實(shí)際生活中，錢、人數(shù)等往往不需要無(wú)限位小數(shù)，需要用 “四舍五入法” 保留一定位數(shù)。

具體怎么做？

① 要求保留幾位，就算到它的下一位（比如保留兩位小數(shù)，就算到小數(shù)點(diǎn)后第三位）。

② 對(duì)下一位數(shù)字進(jìn)行“四舍五入”。

③ 近似數(shù)末尾的0不能去掉（它表示精確度）

比如下面這樣

19.4 ÷ 12 ≈ ?（保留兩位小數(shù)）

先算：19.4 ÷ 12 = 1.61666…

保留兩位小數(shù)，看第三位（千分位）是 6，滿足“五入”。

所以 1.61666… ≈ 1.62。

回顧一下

練練手

應(yīng)用線

1、基礎(chǔ)應(yīng)用計(jì)算

這類題可以直接套公式，記住最基礎(chǔ)的公式就好：

單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量

速度=路程÷時(shí)間

平均數(shù)=總數(shù)÷份數(shù)

練練手

2、生活場(chǎng)景應(yīng)用

生活中遇到類似剩下的不足1份又不能舍去的情況時(shí)，無(wú)論要保留的數(shù)位后一位上的數(shù)是否滿5，都往前一位進(jìn)一，這就是“進(jìn)一法”。

比如下面這道題，無(wú)論剩多少芒果，最后都要用一輛車把剩下的芒果運(yùn)完，所以要用“進(jìn)一法”來(lái)解答。

當(dāng)題目中有關(guān)鍵詞“至少”“一次運(yùn)完”“準(zhǔn)備多少車/箱”時(shí)，就要注意了。

去尾法同理，剩下的不足1，無(wú)論保留數(shù)位后一位是否滿5，都去掉。

比如：

當(dāng)題目中有關(guān)鍵詞“最多”“能做幾個(gè)”“包裝幾個(gè)”時(shí)，就要注意用去尾法了。

3、綜合思維應(yīng)用

歸一問(wèn)題：簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是“先求一份，再求多份”。

比如這道：

先求出第1天節(jié)約了多少噸煤，接著再計(jì)算7天可以節(jié)約多少噸。

練練手

歸總問(wèn)題：就是“先求總量，再重新分配”。

比如這道：

計(jì)算出原來(lái)準(zhǔn)備做1500個(gè)毛絨兔的材料所需要的總錢數(shù)，接著再求現(xiàn)在的個(gè)數(shù)。

相遇問(wèn)題：

基礎(chǔ)題型：求速度和求時(shí)間。

解題的關(guān)鍵是熟練利用時(shí)間、速度、路程三者之間的關(guān)鍵。

可以記住下面三個(gè)公式：

• 速度和×相遇時(shí)間=相遇路程

• 相遇路程÷速度和=相遇時(shí)間

• 相遇路程÷相遇時(shí)間=速度和

比如這一道題：

求的是乙車的速度，根據(jù)相遇時(shí)間×兩車速度和＝路程，用兩地間的路程540千米除以相遇時(shí)間4.5小時(shí)，即可求出甲、乙兩輛汽車的速度之和，再減去甲車的速度，即可求出乙車每小時(shí)行多少千米。

明白這個(gè)道理后，就可以拿下面這幾道題來(lái)練練手，解題思路是一樣的。

練練手

中點(diǎn)相遇：

解題的關(guān)鍵是要理解：快車比慢車多走的路=2×距離中點(diǎn)的距離（必考易錯(cuò)?。?br/>

比如下面這道題：

因?yàn)椤跋嘤龅攸c(diǎn)正好離開(kāi) AB 兩地的中點(diǎn)4.8千米”，所以相遇時(shí)，甲車比乙車多行駛（4.8×2）千米，甲車每小時(shí)比乙車多行（84－68）千米，所以相遇時(shí)，兩人行駛的時(shí)間為（4.8×2）÷（84－68），根據(jù)“速度×相遇時(shí)間＝路程”，即可求出乙車走的距離。

經(jīng)濟(jì)促銷：買幾送幾 →算清實(shí)際單價(jià)再比價(jià)。

先算清5箱單價(jià)（買4送1即用4箱的價(jià)格除以5），再對(duì)比原價(jià)48元看便宜了多少。

鋪磚問(wèn)題：總面積÷每塊磚面積，注意單位統(tǒng)一。

4、壓軸難點(diǎn)應(yīng)用

置換問(wèn)題

當(dāng)“兩組條件中有一個(gè)數(shù)理相同”，如下題，條件中有相同的3千克蘋果：

解答這類題時(shí)，可用“去相同，留不同”的思想，消去相同的3千克蘋果和3千克梨，不同的是2千克的梨，這就是價(jià)格差的部分。

這樣就可以求出：（45.4-33）÷（5-3）=6.2（元）

練練手

當(dāng)“兩組條件中沒(méi)有相同的數(shù)量”時(shí)，如下題：

這時(shí)候就可以用“變相同，再消去”的思想，如：

20 千克蘋果+30 千克梨=132（元）

2 千克蘋果=2.5 千克梨

20 千克蘋果=25 千克梨

25 千克梨+30 千克梨=132（元）

55 千克梨=132 元

1 千克梨：132÷55=2.4（元）

1 千克蘋果：2.5×2.4÷2=3（元）

練練手

小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)和差倍：

記住下面這兩個(gè)公式就好：

右移一位→新數(shù)是原數(shù)10倍→和是原數(shù)11倍，差是原數(shù)9倍。

右移兩位→新數(shù)是原數(shù)100倍→和是原數(shù)101倍，差是原數(shù)99倍。

練練手

分段計(jì)費(fèi)反求（必考?。?/strong>：

解題思路：先判斷在哪個(gè)檔位→減掉基礎(chǔ)費(fèi)用→除以對(duì)應(yīng)單價(jià)→加回基礎(chǔ)用量。

練練手

可能性

這一單元難度不高，常以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，要求孩子可以根據(jù)生活常識(shí)判斷。

下面我們快速過(guò)一遍這一單元的知識(shí)點(diǎn)。

基礎(chǔ)篇，這些概念要搞清楚

1、事件發(fā)生的確定性和不確定性

三種事件的概念一定要清楚：

• 一定：百分之百會(huì)發(fā)生。比如：太陽(yáng)從東邊升起。

• 不可能：絕對(duì)不會(huì)發(fā)生。比如：人不用呼吸。

• 可能：有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生。比如：明天可能下雨。

練練手

2、可能性的結(jié)果和大小

比如擲一次正方體（數(shù)字1~6），可能擲出哪些數(shù)字？全部列出來(lái)就好。

常用枚舉法，考察孩子有沒(méi)有把所有情況想全。

誰(shuí)的數(shù)量多，誰(shuí)被摸到的可能性就大。

練練手

進(jìn)階篇，應(yīng)用解題

1、可能性大小的改變

增加某種顏色的球，它的可能性就變大；減少就變小。

比如“要想摸到紅球的可能性最大，至少要放幾個(gè)？”這種題要會(huì)算，要注意關(guān)鍵詞“至少”“最多”。

2、可能性的應(yīng)用題

可能性大小的求解：

用分?jǐn)?shù)表示可能性，用“可能性發(fā)生的數(shù)量÷總發(fā)生的數(shù)量”。

也會(huì)結(jié)合概率小常識(shí)考，比如擲硬幣正面朝上的可能性是1/2。

可能性與生活實(shí)際問(wèn)題：

結(jié)合抽獎(jiǎng)、比賽預(yù)測(cè)、游戲規(guī)則等情景，判斷誰(shuí)贏的可能性大/游戲規(guī)則是否公平。

要會(huì)分析數(shù)據(jù)、比較平均數(shù)和穩(wěn)定性。

簡(jiǎn)易方程

這一單元孩子們將會(huì)接觸到方程，綜合性較強(qiáng)，難度較大，題型多以計(jì)算為主。

下面我從解方程計(jì)算題和應(yīng)用大題這兩個(gè)板塊開(kāi)始梳理。

五大解方程題

1、基礎(chǔ)方程

x+5=12、x-3=7這種直接移項(xiàng)就行。

記得“移項(xiàng)變號(hào)”，別把符號(hào)搞反了。

練練手

2、乘除混合型

如3x÷2=9，先把 3x 看作整體，再來(lái)解。

練練手

3、帶括號(hào)的方程

如2(x+3)=20，先把括號(hào)看作一個(gè)整體，利用等式的性質(zhì)算出括號(hào)整體得數(shù)，再解方程。

練練手

4、兩邊都有未知數(shù)

如3x+2=2x+10，記住“同加同減、移項(xiàng)合并”。

練練手

解方程應(yīng)用題

應(yīng)用題的核心在于正確找出等量關(guān)系，并根據(jù)等量關(guān)系列出方程。

等量關(guān)系主要來(lái)自三個(gè)地方：

• 題目里“告訴”你的（關(guān)鍵詞）

• 公式里“固定”好的（常識(shí)）

• 圖上“畫”出來(lái)的（直觀）