拓?fù)淞孔游飸B(tài)是凝聚態(tài)物理與量子信息交叉領(lǐng)域的前沿方向. 過去十余年, 該領(lǐng)域不斷深化人們對量子多體系統(tǒng)的理解. 從拓?fù)浣^緣體、拓?fù)涑瑢?dǎo)體到各類新型量子材料, 這些特殊拓?fù)湮飸B(tài)不僅在基礎(chǔ)研究中理論價(jià)值深厚, 更在未來量子技術(shù)中展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景. 隨著對量子糾纏和對稱性認(rèn)識的提升, 拓?fù)湮飸B(tài)正成為連接物理學(xué)各分支的重要紐帶, 為揭示自然界復(fù)雜結(jié)構(gòu)、探索新物理規(guī)律, 以及開發(fā)新一代量子器件提供了全新視角.

在眾多拓?fù)淞孔討B(tài)中, 內(nèi)秉拓?fù)鋺B(tài)(intrinsic topological states)具有長程糾纏, 反映了強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中涌現(xiàn)的非平凡量子結(jié)構(gòu) [1] . 與之相對, 對稱性保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)(symmetry-protected topological states, SPT態(tài))只具有短程糾纏, 但在特定對稱性的保護(hù)下依然呈現(xiàn)出非平凡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) [2] . 這些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不能用傳統(tǒng)的局域序參量區(qū)分, 其特性通常以零能模、簡并態(tài)等形式體現(xiàn)在系統(tǒng)邊界上. 目前, 針對玻色子和費(fèi)米子系統(tǒng)的SPT相, 已有較為系統(tǒng)的構(gòu)造和分類研究, 并在量子計(jì)算、量子糾錯(cuò)、量子相變等前沿方向展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力.

然而, 大多數(shù)相關(guān)研究仍然基于理想的封閉系統(tǒng), 即系統(tǒng)與環(huán)境無耦合、量子態(tài)始終保持純態(tài). 在現(xiàn)實(shí)中, 量子系統(tǒng)不可避免地受到環(huán)境的影響, 如熱漲落、材料缺陷、光學(xué)損耗、退相干等, 使其表現(xiàn)為開放量子系統(tǒng) [3] . 在這種情況下, 現(xiàn)有的SPT理論框架往往不再適用, 由此引出了若干關(guān)鍵問題: 在開放量子系統(tǒng)中, 原有的拓?fù)湮飸B(tài)在環(huán)境的擾動下能否保持穩(wěn)定? 除了封閉系統(tǒng)已知的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 開放系統(tǒng)是否還會涌現(xiàn)出全新的拓?fù)湮飸B(tài)?

近年來的理論研究表明, 混態(tài)的對稱性結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比純態(tài)更為復(fù)雜多樣. 除了從純態(tài)對稱性直接推廣而來的強(qiáng)對稱性(strong symmetry), 還存在一種稱為弱對稱性(weak symmetry)的新類型 [4] . 強(qiáng)對稱性要求混態(tài)中每個(gè)純態(tài)分量在對稱操作下具有相同的守恒量, 而弱對稱性僅要求密度矩陣所代表的整體系綜在統(tǒng)計(jì)意義上滿足對稱性, 因此又被稱為平均對稱性(average symmetry). 在一些具有部分退相干、系統(tǒng)和熱環(huán)境具有相互作用的真實(shí)物理過程中, 系統(tǒng)可能僅以統(tǒng)計(jì)平均的方式保留對稱性, 這為刻畫量子混態(tài)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提供了新的視角 [ 5 , 6 ] .

在此背景下, 我們提出了一種新的研究思路: 利用張量網(wǎng)絡(luò)中的局域純化密度算符(locally purified density operator, LPDO), 構(gòu)造并分類混態(tài)拓?fù)湎?[7] . 張量網(wǎng)絡(luò)方法不僅顯著降低了量子多體系統(tǒng)的模擬復(fù)雜度, 還能為系統(tǒng)各組分之間的關(guān)聯(lián)和糾纏結(jié)構(gòu)提供直觀而明確的表示, 因此在拓?fù)湮飸B(tài)的數(shù)值模擬、解析構(gòu)造和分類中具有重要的作用 [ 8 , 9 ] . 其中, LPDO是一種專門用于表示混態(tài)密度矩陣的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu), 使我們能夠以可視化、簡潔清晰的方式研究不同對稱性在混態(tài)中的作用, 并為構(gòu)造新型拓?fù)湮飸B(tài)開辟新的途徑.

借助該方法, 我們系統(tǒng)研究了一類混態(tài)拓?fù)湎唷骄鶎ΨQ性保護(hù)拓?fù)湎?average symmetry-protected topological phases, ASPT相), 并針對一維和二維體系以及玻色子和費(fèi)米子等多種開放量子系統(tǒng)給出了完整的分類方案 [7] . 特別地, 我們揭示了一種僅存在于開放量子系統(tǒng)、在純態(tài)中沒有對應(yīng)物的特殊拓?fù)湮飸B(tài), 稱為本征ASPT相. 此外, 我們提出了兩種可在實(shí)驗(yàn)平臺上實(shí)現(xiàn)并驗(yàn)證此類拓?fù)湮飸B(tài)的方案. 本研究不僅建立了理解混態(tài)中新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的理論框架, 也為凝聚態(tài)物理與量子信息交叉前沿的探索提供了新的思路.

具體而言, LPDO方法的核心思想是在每個(gè)物理自由度上引入局域的環(huán)境自由度, 從而構(gòu)造出混態(tài)對應(yīng)的局域純化態(tài), 并利用張量網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模, 如 圖1(a) 所示. 該方法不僅延續(xù)了傳統(tǒng)矩陣乘積態(tài)(matrix product state, MPS)在高效表征和計(jì)算方面的優(yōu)勢, 還天然適用于刻畫真實(shí)的開放量子系統(tǒng), 因此已被應(yīng)用于含噪聲量子線路模擬、量子態(tài)層析等量子信息處理任務(wù) [ 10 , 11 ] .

圖 1

(網(wǎng)絡(luò)版彩色)基于LPDO的ASPT相構(gòu)造和分類. (a) 密度矩陣的LPDO表示. (b) 局域張量在強(qiáng)對稱性和弱對稱性下的變換形式. (c) 蜂窩晶格和 C 自旋的疇壁. (d) Z2×Z2×Z2對稱性保護(hù)的(2+1)維SPT相的張量結(jié)構(gòu). (e) Z2×Z2×Z2對稱性保護(hù)的(2+1)維SPT相的張量元. (f) Z2×Z4對稱性保護(hù)的(2+1)維本征ASPT相的張量元

為了精準(zhǔn)刻畫ASPT相, 我們在理論上提出了兩類單射性條件, 以確保所得到的混態(tài)結(jié)構(gòu)僅具有短程關(guān)聯(lián), 從而規(guī)避了對稱性自發(fā)破缺和長程糾纏帶來的額外復(fù)雜性, 使研究能夠聚焦于可控且穩(wěn)定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 我們系統(tǒng)討論了強(qiáng)對稱性和弱對稱性所導(dǎo)致的局域張量變換方程, 如 圖1(b) 所示. 物理自由度(紅色實(shí)線)的對稱操作會使虛擬自由度(黑色細(xì)實(shí)線)和環(huán)境自由度(藍(lán)色粗實(shí)線)產(chǎn)生相應(yīng)的對稱變換, 可有效刻畫系統(tǒng)的非平凡拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 當(dāng)系統(tǒng)具有強(qiáng)對稱性時(shí), 密度矩陣的每個(gè)純態(tài)分量均具有同樣的對稱性和對稱荷, 因此物理自由度的對稱操作 Uk 僅會在虛擬自由度上產(chǎn)生一個(gè)規(guī)范變換 Vk , 使得每個(gè)純態(tài)分量均保持不變. 此時(shí), 虛擬自由度產(chǎn)生的規(guī)范變換對應(yīng)于對稱群的投影表示, 所保護(hù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對應(yīng)于封閉系統(tǒng)的SPT分類. 當(dāng)系統(tǒng)具有弱對稱性時(shí), 密度矩陣在平均的意義上保持對稱性, 但不同的純態(tài)分量之間可能會互相轉(zhuǎn)換或重新線性組合, 因此除了虛擬自由度上的變換 Vg 以外, 還會在環(huán)境自由度上產(chǎn)生一個(gè)額外的幺正變換 Mg , 以保證密度矩陣在弱對稱性變換下的不變性. 這種情況下, 對稱操作引起的左右矢相位變換會相互抵消, 難以單獨(dú)保護(hù)非平凡拓?fù)湎?

然而, 當(dāng)強(qiáng)弱對稱性同時(shí)存在時(shí), 兩者在虛擬和環(huán)境自由度中的耦合效應(yīng)可能對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形成協(xié)同保護(hù), 導(dǎo)致系統(tǒng)邊界出現(xiàn)混合反常(mixed anomaly), 從而形成穩(wěn)定的拓?fù)湮飸B(tài). 特別地, 當(dāng)系統(tǒng)的對稱性并不是強(qiáng)弱對稱性的簡單直積, 而是形成某種群擴(kuò)展結(jié)構(gòu)時(shí), 就可能涌現(xiàn)出一種在純態(tài)系統(tǒng)中從未出現(xiàn)過的新物態(tài)——本征ASPT相. 例如, 具有Z4對稱性(由兩個(gè)Z2群擴(kuò)展而成)的一維量子系統(tǒng)沒有非平凡的SPT相, 這是因?yàn)槿簲U(kuò)展結(jié)構(gòu)對虛擬自由度的變換施加了更嚴(yán)格的自洽性條件, 這些條件就像額外的障礙(obstruction), 阻止了非平凡拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的形成. 但是, 如果將其中一個(gè)Z2改為弱對稱性, 它在左右矢上的相位變換會相互抵消, 少了一個(gè)約束條件的限制, 反而能夠形成非平凡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 我們系統(tǒng)推導(dǎo)了出現(xiàn)本征ASPT相的條件, 并且構(gòu)造了一維和二維系統(tǒng)中本征ASPT相的具體張量網(wǎng)絡(luò)表示, 其中二維系統(tǒng)中由Z2×Z4保護(hù)的ASPT相的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如 圖1(c~f )所示.

尤其值得強(qiáng)調(diào)的是, 基于LPDO中環(huán)境自由度的不同物理意義, 我們詳細(xì)討論了這些混態(tài)拓?fù)湎嗟膬煞N實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方案 [7] , 分別對應(yīng)退相干系統(tǒng)和無序系統(tǒng). 一方面, 在量子計(jì)算平臺上可以通過引入輔助比特來表示環(huán)境自由度, 基于量子線路實(shí)現(xiàn)純化量子態(tài)的實(shí)驗(yàn)制備, 進(jìn)而在退相干系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)量子混態(tài). 另一方面, 環(huán)境自由度還能作為密度矩陣所代表的系綜中各量子態(tài)的標(biāo)簽, 借助蒙特卡羅方法對LPDO的環(huán)境自由度采樣, 即可構(gòu)建相應(yīng)的哈密頓量或量子線路系綜, 通過無序系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)量子混態(tài)制備. 此外, 我們給出了多個(gè)具體樣例, 包括一維拓?fù)湮飸B(tài)在退相干系統(tǒng)中的量子線路實(shí)現(xiàn)方案, 以及二維拓?fù)湮飸B(tài)在無序系統(tǒng)中的哈密頓量構(gòu)造, 為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提供了明確且可行的路徑. 需要指出的是, 這兩類實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方案也面臨一定的挑戰(zhàn). 例如, 在退相干系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)中, 如何精確控制輔助比特與系統(tǒng)的相互作用而不引入額外噪聲, 是實(shí)驗(yàn)中必須克服的主要問題. 而在無序系統(tǒng)的方案中, 在實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的限制下如何保證環(huán)境自由度采樣的統(tǒng)計(jì)充分性, 以區(qū)分拓?fù)湫?yīng)和無序引起的偶然效應(yīng), 也是一個(gè)關(guān)鍵難點(diǎn). 這些問題的解決需要進(jìn)一步發(fā)展量子控制與模擬的實(shí)驗(yàn)技術(shù).

綜上所述, LPDO不僅為混態(tài)拓?fù)湎嗟难芯刻峁┝艘环N清晰、直觀且系統(tǒng)化的理論工具, 也為探索非理想環(huán)境下的拓?fù)淞孔咏Y(jié)構(gòu)開辟了全新思路. 研究結(jié)果表明, 豐富且獨(dú)特的拓?fù)淞孔蝇F(xiàn)象依然能夠在開放系統(tǒng)中涌現(xiàn), 其中部分拓?fù)湎嘧鳛楸菊鹘Y(jié)構(gòu), 在純態(tài)系統(tǒng)中并不存在. 展望未來, 隨著實(shí)驗(yàn)平臺的不斷進(jìn)步和量子控制精度的提升, 我們有望在真實(shí)物理體系中實(shí)現(xiàn)并操控這些混態(tài)拓?fù)湮飸B(tài), 為拓?fù)淞孔佑?jì)算、量子通信及量子材料設(shè)計(jì)注入新的活力.

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