科學(xué)的演進(jìn)往往通過推倒舊體系來建立新知，這讓數(shù)學(xué)顯得有些異類：它不斷向前推進(jìn)，卻幾乎從不否定自己的過去。歐幾里得的公理，至今仍構(gòu)成數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的歷史是建立在證明之上的一條延綿的思想脈絡(luò)。著名數(shù)學(xué)家、科普作家伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）試圖追問一個更根本的問題：數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域究竟是如何被“創(chuàng)造”出來的？為此，他選擇了 25 位數(shù)學(xué)史上的巨人，講述他們非凡的人生與深遠(yuǎn)的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)是人類智慧的結(jié)晶，而創(chuàng)造這些思想的人，同樣擁有值得講述的故事。通過他們的經(jīng)歷，我們得以看到：作為一種人類共建的思想體系，數(shù)學(xué)如何在嚴(yán)密的邏輯約束中，孕育出真正的創(chuàng)新。

本文經(jīng)授權(quán)摘自《數(shù)學(xué)巨人傳傳：思考、創(chuàng)造的奇趣故事》（人民郵電出版社，2025年12月版）前言，標(biāo)題、小標(biāo)題為編者所加。

撰文 | 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

翻譯 | 張憬

古老的數(shù)學(xué)依然鮮活

科學(xué)的所有分支都可以穿過歷史迷霧，回溯遙遠(yuǎn)的源頭，不過對大多數(shù)學(xué)科而言，人們在談到過往的時候總要加一句“我們現(xiàn)在知道那是錯誤的”或者“這種想法的方向是正確的，但不符合現(xiàn)代觀點(diǎn)”。舉個例子，古希臘哲學(xué)家亞里士多德（Aristotle）認(rèn)為，奔跑的馬兒永遠(yuǎn)不會完全離開地面，然而在 1878 年，埃德沃德 ·邁布里奇（Eadweard Muybridge）用絆線綁定照相設(shè)備，拍出一系列照片，證明了前人判斷有誤。亞里士多德的運(yùn)動理論被伽利略·伽利雷（Galileo Galilei）和艾薩克·牛頓（Isaac Newton）完全推翻，而他關(guān)于心靈的理論則同現(xiàn)代神經(jīng)科學(xué)和心理學(xué)沒有任何實(shí)際的聯(lián)系。

數(shù)學(xué)卻不一樣，古老的數(shù)學(xué)依然鮮活。大約在公元前 2000 年，古巴比倫人找到了二次方程的解法——不過最早的有形證據(jù)來自公元前1500 年前后——他們的成果從未過時。這種方法當(dāng)年是正確的，古人知道這背后的原因，而今天它依然沒有錯?，F(xiàn)在我們用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示它，但推理過程是相同的。從未來回溯古巴比倫，數(shù)學(xué)思想是一條連綿不斷的線。當(dāng)阿基米德（Archimedes）計算出一個球體的體積時，他沒有使用代數(shù)符號，也沒有像我們現(xiàn)在這樣將某個特定的數(shù)稱為π,而是借助比例，用幾何方式表示結(jié)果，這也是古希臘人的常見做法。但他的答案與今天的4/3πr^3，是一回事，后人一看便知。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)之外，另一些古代的發(fā)現(xiàn)同樣經(jīng)受住了歷史的考驗(yàn)。阿基米德曾經(jīng)提出，一個（懸浮的）物體會排開與自身質(zhì)量相等的液體，這就是一個例子，他的杠桿定律則是另一個例子。雖然一些來自古希臘的物理學(xué)和工程學(xué)知識在今天依然有效，但對這些學(xué)科來說，永不失效是少數(shù)情況；而在數(shù)學(xué)中，這卻像是一個規(guī)律。歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》（Elements）為幾何學(xué)奠定了邏輯基礎(chǔ)，直到今天仍然值得仔細(xì)研究。它的定理仍然成立，許多仍然實(shí)用。在數(shù)學(xué)中，我們不斷前進(jìn)，但過往不會被摒棄。

為了防止大家誤以為數(shù)學(xué)總是埋首于過往，我需要指出兩件事。

第一，一個方法或者定理在人們眼中的重要性是會發(fā)生變化的。有些數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)不再那么引人注目，或者說，隨著前沿的轉(zhuǎn)變和新技術(shù)的興起，它們已經(jīng)不再流行。但它們依然手握真理，如果被發(fā)現(xiàn)同其他領(lǐng)域、新興應(yīng)用和方法論突破之間存在從前不知道的聯(lián)系，老舊的領(lǐng)域時不時也能迎來復(fù)興。

第二，在發(fā)展學(xué)科的時候，數(shù)學(xué)家們所做的不僅僅是延續(xù)古人的研究，他們還為數(shù)學(xué)開拓了大量新鮮、優(yōu)美、重要且實(shí)用的內(nèi)容。

盡管如此，基本的要點(diǎn)一直是穩(wěn)固的。一旦一個數(shù)學(xué)定理被證明是正確的，它就成了可以讓后人添磚加瓦的基礎(chǔ)，永不坍塌。雖然為了消除未聲明的假設(shè)，自歐幾里得的時代以來，人們在看待證明的概念時越發(fā)嚴(yán)格，但我們依然可以在數(shù)學(xué)中填補(bǔ)眼下的空白，并獲得站得住腳的成果。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域是開辟出來的

本書探討的是在數(shù)學(xué)中開拓新領(lǐng)域的過程，這個過程近乎神秘。數(shù)學(xué)并不是憑空出現(xiàn)的，它是被人創(chuàng)造出來的。有些人頭腦清晰，擁有令人驚嘆的創(chuàng)新能力，我們知道數(shù)學(xué)領(lǐng)域的巨大突破離不開他們，他們是先驅(qū)、巨人、開拓者。歷史學(xué)家說得對，偉人的成就之下是許許多多普通人的支持，后者各自貢獻(xiàn)微小的線索，為重大謎題的解答提供幫助。能夠帶來成果的重要問題可能由不那么有名的人提出；缺乏技能的人也許可以模模糊糊地生出某些重要的想法，但無法將它們轉(zhuǎn)化成強(qiáng)有力的新方法和新觀點(diǎn)。牛頓曾經(jīng)自稱“站在巨人的肩上”，這在某種程度上帶有諷刺意味。這些巨人中有人——尤其是羅伯特·胡克（Robert Hooke）——抱怨說，與其說牛頓站在他們的肩上，倒不如說他踩在他們的腳指頭上，因?yàn)榕ｎD并沒有公平地分享聲望，或者說，盡管他在著作中提及了別人的貢獻(xiàn)，卻在公眾面前獨(dú)享了榮譽(yù)。不過牛頓說得沒錯：如果沒有前輩學(xué)者留下的大量見解，就沒有他在運(yùn)動、引力和光方面集大成的研究。而這些前輩并不全都是巨人，普通人也發(fā)揮了重要的作用。

巨人是脫穎而出的人，他們走出了一條路，我們其他人跟隨其后。選擇一部分巨人，了解他們的人生和成就，我們可以看到數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域是由誰開辟出來的，怎樣開辟出來的，這些人是怎樣生活的。在我看來，他們不僅僅是為我們指明方向的先驅(qū)，還是在數(shù)學(xué)思想的密林中披荊斬棘，開辟出通行之路的開拓者。他們花費(fèi)大量的時間艱難地穿越荊棘和沼澤，但時不時又能發(fā)現(xiàn)失落的“神象之城”或“黃金國”，找到隱藏在草木中的珍寶。他們走入了人類從前未知的思想秘境。

事實(shí)上，他們創(chuàng)造了這些領(lǐng)域。數(shù)學(xué)叢林不像亞馬孫雨林或剛果盆地的熱帶雨林，數(shù)學(xué)開拓者不是沿著贊比西河開道或者尋找尼羅河源頭的戴維·利文斯通（David Livingstone）。利文斯通是在“發(fā)現(xiàn)”已然存在的事物——當(dāng)?shù)鼐用裨缇椭浪鼈兇嬖诹?。但在那個年代，歐洲人口中的“發(fā)現(xiàn)”就是“歐洲人把某物指給其他歐洲人看”。但數(shù)學(xué)開拓者的成就遠(yuǎn)大于探索已經(jīng)存在的叢林。在前行的過程中，他們似乎也塑造了叢林，就好像新的植物在他們的足跡中破土而出，飛速生長，然后成為參天大樹。不過，這些植物的種類不是人能選擇的，所以我們感覺數(shù)學(xué)叢林早已存在。你可以選擇在哪里踩下足跡，但如果長出的是紅樹林沼澤，你就不能“發(fā)現(xiàn)”桃花心木林。

我想，依然在流行的柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀的根源就在這里：數(shù)學(xué)真理“真實(shí)”存在，但以理念形式存在于某種平行現(xiàn)實(shí)中，不生不滅，直到永遠(yuǎn)。這樣看來，在證明一個新定理時，我們只是發(fā)現(xiàn)了一直存在的東西。我不認(rèn)為柏拉圖主義作為一種說法有多大意義，但它準(zhǔn)確描述了數(shù)學(xué)研究的過程。你無法選擇：能做的就是搖晃草木，看會不會有什么東西掉出來。在《數(shù)學(xué)到底是什么？》（What is Mathematics, Really?）一書中，魯本 ·赫什（Reuben Hersh）給出了更現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)觀：它是人類共建共享的思維體系。在這方面，數(shù)學(xué)很像貨幣。貨幣并不“真的”是金屬塊、紙片，或者計算機(jī)里的數(shù)字；它是我們用金屬塊、紙片和計算機(jī)里的數(shù)字做交換時的一套共同約定，無論我們是在換錢，還是在買東西。

赫什激怒了一些數(shù)學(xué)家，他們盯住“人類共建”不放，聲稱數(shù)學(xué)絕不是能隨意構(gòu)建的東西，社會相對主義在這里是行不通的。他們沒說錯，但赫什非常清楚地解釋過，數(shù)學(xué)并不是人類任意構(gòu)建的。我們可以選擇證明費(fèi)馬大定理，但我們無法選擇它本身是真是假。經(jīng)過人類共建，數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出嚴(yán)格的邏輯體系，只有符合約束條件的內(nèi)容才能加入其中。這些約束條件或許使我們能夠區(qū)分真假，但大聲宣稱只有一個答案并不能讓我們找到答案，重點(diǎn)在于答案是什么。我已經(jīng)記不清多少次有爭議的數(shù)學(xué)課題因?yàn)椴挥懭讼矚g而遭受攻擊了，攻擊者總是指出，數(shù)學(xué)是一種“重言式”（tautology）：一切新東西都是已知事物的邏輯推演產(chǎn)物。沒錯，是這樣的，舊事物里隱藏著新事物。但把新事物挖掘出來，需要巨大的付出。這一點(diǎn)，你可以去問問安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）。你可以告訴他，數(shù)學(xué)的邏輯體系早就決定了費(fèi)馬大定理的結(jié)論，但這是一句廢話。懷爾斯花了七年時間才搞清楚這個早就決定了的結(jié)論是什么。在得出結(jié)論之前，知道它是“早就決定的”根本沒用，這就好比你問別人大英圖書館怎么走，對方卻告訴你它在英國。

25位巨人

本書并沒有整理和書寫整個數(shù)學(xué)史，但我努力以一種連貫的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)主題，使各種概念隨著篇章的推進(jìn)逐步形成體系?？偟膩碚f，這意味著本書要大體上按照時間順序呈現(xiàn)所有內(nèi)容。然而，同時照顧主題和時間順序會削弱可讀性，因?yàn)槲覀冃枰粩嗟貜囊晃粩?shù)學(xué)家跳到另一位數(shù)學(xué)家，所以，我按照數(shù)學(xué)家的生日為章節(jié)排序，并偶爾提供交叉參考。

我選擇了 25 位數(shù)學(xué)巨人，其中有古人也有現(xiàn)代人，有男性也有女性，有東方人也有西方人。以他們?yōu)橹行牡臍v史發(fā)端于古希臘，始于偉大的幾何學(xué)家和工程師、成就斐然的阿基米德，他算出了π的近似值，找到了球體體積和表面積的計算方法，制作了阿基米德螺旋抽水器，設(shè)計了可以摧毀敵船的起重裝置。接下來的三位代表生活在遙遠(yuǎn)的東方，中世紀(jì)數(shù)學(xué)的主要進(jìn)展出現(xiàn)在那里。他們是中國學(xué)者劉徽、波斯數(shù)學(xué)家穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米 [Muhammad ibn Musaal-Khwarizmi，他的著作為我們帶來了“算法”（algorithm）和“代數(shù)” （algebra）這兩個詞 ]，以及古印度桑加馬格拉馬的瑪大瓦（Madhava of Sangamagrama，他最先研究了展開為無窮級數(shù)的三角函數(shù)，多年后西方的牛頓才重新發(fā)現(xiàn)了這個成果）。

在意大利文藝復(fù)興時期，數(shù)學(xué)研究的主場回到了歐洲，我們將在那里邂逅吉羅拉莫 ·卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano），數(shù)學(xué)神殿中有史以來最大的惡棍之一?？栠_(dá)諾嗜賭成性、好勇斗狠，但迄今為止最重要的代數(shù)學(xué)著作之一正是出自他手。他還行過醫(yī)，占過星，簡直是在照著八卦小報過日子。和他形成鮮明對比的是以費(fèi)馬大定理名揚(yáng)四海的皮埃爾 ·德 ·費(fèi)馬（Pierre de Fermat），對數(shù)學(xué)的熱情常常令這位律政人士顧不上本職工作。他讓數(shù)論作為一個數(shù)學(xué)分支得到承認(rèn)，還對光學(xué)做出了貢獻(xiàn)，并探索了微積分的前身。而微積分的正式誕生則要?dú)w功于艾薩克 · 牛頓，他的經(jīng)典之作是《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica），通常被簡稱為《原理》（Principia）。牛頓在書中闡述了運(yùn)動定律和萬有引力定律，并用它們來解釋太陽系的運(yùn)動。他代表了數(shù)學(xué)物理學(xué)的一個關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，物理學(xué)從此成為一種有組織的數(shù)學(xué)研究，研究對象則是牛頓口中的“宇宙的體系”（System of the World）。

在牛頓之后的一個世紀(jì)里，數(shù)學(xué)的中心轉(zhuǎn)移到了歐洲大陸和俄國。萊昂哈德 ·歐拉（Leonhard Euler）是史上最高產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他發(fā)表重要論文的速度堪比記者刊發(fā)日常報道。他還通過一系列優(yōu)雅、清晰的教科書推動了許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的系統(tǒng)化。沒有一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域能逃過他的審視。歐拉甚至預(yù)見了約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）的一些想法，后者對熱的研究帶來了現(xiàn)代工程師最重要的技術(shù)之一——傅里葉分析，涉及用基本三角函數(shù)正弦和余弦表示周期性波形。傅里葉也是第一個發(fā)現(xiàn)大氣對地球熱平衡有重要影響的人。

數(shù)學(xué)進(jìn)入近代后，卡爾·弗里德里?！じ咚梗–arl Friedrich Gauss）拿出了無與倫比的研究成果，如果要評選有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家，他便是實(shí)力強(qiáng)勁的參選者。高斯從數(shù)論出發(fā)，通過預(yù)測新發(fā)現(xiàn)的小行星谷神星的再次出現(xiàn)而在天體力學(xué)領(lǐng)域聲名鵲起，并且在復(fù)數(shù)、最小二乘數(shù)據(jù)擬合和非歐幾何方面取得了重大進(jìn)展，但他沒有發(fā)表過任何關(guān)于非歐幾何的研究成果，因?yàn)樗麚?dān)心這太過超前，會招來嘲笑。尼古拉·伊萬諾維奇 ·羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）則不那么畏怯，他發(fā)表了大量文章介紹不同于歐氏幾何的另一種幾何，現(xiàn)在被稱為雙曲幾何。如今，他和亞諾什·波爾約（János Bolyai）是公認(rèn)的非歐幾何創(chuàng)始人，這個領(lǐng)域可以解釋為具有非零恒定曲率的曲面的自然幾何。不過高斯的判斷基本正確，非歐幾何的思想太超前了，羅巴切夫斯基和波爾約在有生之年都沒有得到肯定。革命者埃瓦里斯特 ·伽羅瓦（évariste Galois）的悲劇故事為這個時代畫上了句號，他為了一名年輕女子參加決斗，在年僅 20 歲時去世。伽羅瓦在代數(shù)學(xué)方面做出了重大貢獻(xiàn)，今天用變換群來描述對稱性的重要概念就可以追溯到他的研究。

此刻，故事迎來了一個新的主題，我們遇到的第一位女?dāng)?shù)學(xué)家開辟了新的道路，也就是計算數(shù)學(xué)。洛夫萊斯伯爵夫人奧古絲塔·埃達(dá)·金（Augusta Ada King, Countess of Lovelace；通常也稱埃達(dá)·洛夫萊斯（Ada Lovelace）——編者注）曾經(jīng)是查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage）的重要協(xié)助者。潛心于研究的巴貝奇看到了機(jī)器計算的巨大潛能。他設(shè)想了分析機(jī)（Analytical Engine），這是一種由棘輪和齒輪組成的可編程計算機(jī)，如今已經(jīng)成為蒸汽朋克科幻小說的招牌噱頭。盡管存在爭議，但人們普遍認(rèn)為埃達(dá)是第一位計算機(jī)程序員。喬治·布爾（George Boole）延續(xù)了計算機(jī)的主題，他的《思維規(guī)律的研究》（An Investigation of the Laws of Thought）為當(dāng)代計算機(jī)的數(shù)字邏輯奠定了基本的數(shù)學(xué)形式體系。

生生不息的數(shù)學(xué)叢林中不斷出現(xiàn)各不相同的新領(lǐng)域，我們的故事也越發(fā)豐富。伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）善于洞察看似復(fù)雜的概念，發(fā)現(xiàn)其背后簡單而普適的思想。他做出過堪稱幾何學(xué)基石的貢獻(xiàn)，尤其是愛因斯坦（Einstein）革命性的引力理論（廣義相對論）所依賴的彎曲流形。他還通過 ζ 函數(shù)將數(shù)論與復(fù)分析聯(lián)系起來，大大推進(jìn)了質(zhì)數(shù)理論的發(fā)展。關(guān)于這個函數(shù)的零點(diǎn)的黎曼猜想，是全數(shù)學(xué)界最大、最重要的未解之謎之一，解答者可以獲得百萬美元的獎金。

接下來是格奧爾格·康托爾（Georg Cantor），他通過引入集合論改變了數(shù)學(xué)家思考本學(xué)科基礎(chǔ)的方式，他定義了非零自然數(shù) 1, 2, 3,…和其他情形下的無窮大，從而在嚴(yán)謹(jǐn)、實(shí)用、有意義的層面發(fā)現(xiàn)，有些無窮大比其他無窮大更大。和很多創(chuàng)新者一樣，康托爾在世的時候也曾遭到誤解和嘲笑。

我們的第二位女?dāng)?shù)學(xué)家，天賦異稟的索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭（Sofia Kovalevskaya）出現(xiàn)了。她的一生相當(dāng)坎坷，原因關(guān)乎俄國革命下的政治以及男性主導(dǎo)的社會對杰出女學(xué)者設(shè)置的障礙。她能夠在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得成就，這本身就令人驚嘆。事實(shí)上，她在偏微分方程的求解、剛體的運(yùn)動、土星環(huán)的結(jié)構(gòu)，以及晶體對光線的折射等方面都有非凡的發(fā)現(xiàn)。

接下來，故事的節(jié)奏加快了。在 19 、20 世紀(jì)之交，法國的亨利·龐加萊（Henri Poincaré) 位列世界頂級數(shù)學(xué)家之一。他表面古怪，其實(shí)極為敏銳。他看到了拓?fù)鋵W(xué)（一種“橡膠片幾何學(xué)”，允許形狀不斷扭曲）這個新興領(lǐng)域的重要性，并且將它從二維擴(kuò)展到三維甚至更廣。他將拓?fù)鋺?yīng)用于微分方程，研究牛頓的引力模型中的三體問題。這使他發(fā)現(xiàn)了確定性混沌，即非隨機(jī)系統(tǒng)中明顯隨機(jī)的行為存在的可能性。龐加萊還差點(diǎn)兒比愛因斯坦更早提出狹義相對論。

德國數(shù)學(xué)界也有自己的龐加萊，他就是大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）。希爾伯特的職業(yè)生涯分為五個時期。首先，他吸納了布爾關(guān)于不變量的思想——坐標(biāo)發(fā)生變化，代數(shù)表達(dá)式依然保持不變。接著，他為數(shù)論的核心領(lǐng)域開發(fā)了系統(tǒng)化的處理方式。然后，他重新審視了歐幾里得的幾何公理，發(fā)現(xiàn)它們并不完備，于是增加了額外的公理來填補(bǔ)邏輯上的空白。隨后，他轉(zhuǎn)向數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，啟動了一項(xiàng)計劃，旨在證明數(shù)學(xué)大廈可以擁有既一致（任何邏輯推導(dǎo)都不會推出矛盾）又完備（任何一則陳述都可以被證實(shí)或證偽）的公理基礎(chǔ)。最后，他轉(zhuǎn)而研究數(shù)學(xué)物理學(xué)，險些搶先愛因斯坦一步提出廣義相對論，并且提出了對量子力學(xué)至關(guān)重要的希爾伯特空間。

埃米·諾特（Emmy Noether）是我們講述的第三位，也是最后一位女?dāng)?shù)學(xué)家。在她生活的時代，女性參與學(xué)術(shù)研究仍然要受到大多數(shù)在職男性的排斥。她與希爾伯特一樣，最初從事不變量理論研究，后來兩人成了同事。希爾伯特曾竭力嘗試打破限制女性的阻礙，為她爭取一個長期的學(xué)術(shù)職位，但只取得了部分成功。諾特開辟了抽象代數(shù)的道路，如今我們口中群、環(huán)、域這樣的公理結(jié)構(gòu)便得益于她的先行探索。她還證明了一個將物理定律中的對稱性和能量等守恒量關(guān)聯(lián)起來的重要定理。

到這里，故事進(jìn)入 20 世紀(jì)。數(shù)學(xué)界的強(qiáng)者并不局限于西方世界的受教育階層，為了展現(xiàn)這一點(diǎn)，我們追尋出身貧寒、自學(xué)成才的印度天才斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）的蹤跡，了解他的人生和研究。拉馬努金對怪異但正確的公式有一種奇特的直覺，就算這種直覺不是獨(dú)一無二的，也只有歐拉和卡爾 ·雅可比（Carl Jacobi）這樣的巨人才能與他相比。對于證明，拉馬努金缺乏足夠明確的概念，但他能找到別人做夢也想不到的公式。直到今天，人們依然在用他的論文和筆記挖掘新思路。

兩位富有哲學(xué)天賦的數(shù)學(xué)家讓我們回到了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，以及它和計算的關(guān)系。一位是庫爾特·哥德爾（Kurt G?del），他證明了所有算術(shù)公理系統(tǒng)都必定存在不完備和不可判定的問題，從而摧毀了希爾伯特的計劃。另一位是艾倫·圖靈（Alan Turing），他針對可編程計算機(jī)功能的研究為這些成果提供了更簡單、更自然的證明。毫無疑問，第二次世界大戰(zhàn)期間在英國布萊奇利園的密碼破譯工作讓他聞名于世。圖靈還為人工智能提出了圖靈測試，并且在戰(zhàn)后研究了動物斑紋的規(guī)律。他是一名同性戀者，悲慘而神秘地去世。

我決定不收錄在世的數(shù)學(xué)家，但會在本書最后介紹兩位最近去世的當(dāng)代學(xué)者，一位是純數(shù)學(xué)家，另一位是脫離正統(tǒng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。后者是因分形研究而廣為人知的貝努瓦 ·芒德布羅（Benoit Mandelbrot）。分形是一種幾何圖形，在任何尺度上放大都能呈現(xiàn)相同的細(xì)節(jié)。相比球體、圓柱體等整齊光滑的傳統(tǒng)幾何圖形，分形通?？梢愿玫貙ψ匀贿M(jìn)行建模。雖然另有幾位數(shù)學(xué)家也研究過我們現(xiàn)在稱為分形的結(jié)構(gòu)，但芒德布羅發(fā)現(xiàn)了它們作為自然界模型的潛力，由此帶來了巨大的進(jìn)步。他不是活在定理和證明中的數(shù)學(xué)家，而是對幾何有著強(qiáng)烈的視覺直覺，所以看到了其中的關(guān)系并且提出了猜想。芒德布羅還有點(diǎn)兒愛出風(fēng)頭，是一個精力充沛的思想推廣者。數(shù)學(xué)界有些人并不喜歡他這一點(diǎn)，但你不可能取悅所有人。

我最后選擇的純數(shù)學(xué)家則是威廉·瑟斯頓（William Thurston），他稱得上是數(shù)學(xué)家中的數(shù)學(xué)家。瑟斯頓也對幾何有著極佳的直覺把握，而且廣度和深度都超過芒德布羅。他研究定理和證明的能力不比任何數(shù)學(xué)家差，但隨著職業(yè)生涯的發(fā)展，他更傾向于關(guān)注定理本身，而僅僅勾勒出證明思路。尤其是在拓?fù)鋵W(xué)方面，他注意到了這個領(lǐng)域和非歐幾何之間意想不到的聯(lián)系。最終，這些想法促使格里戈里 ·佩雷爾曼（Grigori Perelman）證明了龐加萊在拓?fù)鋵W(xué)中提出的一個難以捉摸的猜想。他的方法還證明了瑟斯頓的一個更普遍的猜想，為所有三維流形提供了意想不到的啟示。

在本書最后，我將從這 25 位巨人的故事中拾取一些織就他們探索之路的線索，探討我們該怎樣理解這些數(shù)學(xué)先驅(qū)——他們是誰？他們是怎樣工作的？他們從哪里獲得了那些瘋狂的想法？讓他們成為數(shù)學(xué)家的最初動力是什么？

不過現(xiàn)在，我只想補(bǔ)充兩則聲明。第一，書中的內(nèi)容必然是經(jīng)過選擇的。因?yàn)槠南拗疲覠o法全面撰寫數(shù)學(xué)家的人生，調(diào)查這些開拓者研究的一切，或者深入他們思考的具體過程以及他們與同行互動的細(xì)節(jié)。我所做的是，從他們最重要或最有趣的發(fā)現(xiàn)和概念中，努力選取有代表性的部分，并且提供足夠的歷史細(xì)節(jié)，把他們當(dāng)作當(dāng)時社會中的人來描繪。對于一些古代數(shù)學(xué)家來說，這樣的寫法只能是非常粗略的，因?yàn)楝F(xiàn)存資料中沒有多少關(guān)于他們生活的記錄，通常也找不到他們著作的原始版本。

第二，數(shù)學(xué)發(fā)展史上的關(guān)鍵人物絕不只有我所選擇的這 25 位。我的選擇依據(jù)很多——數(shù)學(xué)課題的重要性、領(lǐng)域的內(nèi)在趣味、人物故事的吸引力、歷史時期、多樣性，還有難以言說的“平衡”。如果你最喜歡的數(shù)學(xué)家被遺漏了，最大的可能是因?yàn)槠邢?。再者，這也是因?yàn)槲蚁ＭC合地理、歷史和性別三個維度考慮，讓入選代表的分布廣闊一些。我相信書中的每一位數(shù)學(xué)巨人都完全值得被收錄，盡管有一兩位可能會引起爭議。但毫無疑問，還有許多人分量相當(dāng)，值得一起出現(xiàn)在書中。

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