本文是挪威數(shù)學(xué)家 ?ystein Ore為《科學(xué)家傳記辭典》（Dictionary of Scientific Biography）撰寫(xiě)Abel的傳記條目，他1957年出版的Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary被公認(rèn)為是了解阿貝爾的經(jīng)典之作。這篇傳記條目則是Abel生平的高度濃縮，包括Abel最重要的成就，也用冷靜的筆觸描繪了他貧困、疾患，被法國(guó)科學(xué)家忽視的經(jīng)歷。

“Abel 留下的工作，足夠讓數(shù)學(xué)家們忙碌500年。”

——Charles Hermite

撰文 | ?ystein Ore

翻譯 | 馮緒寧

Niels Henrik Abel（1802-1829）

Niels Henrik Abel 1802年8月5日生于挪威的 Finnoy (Stavanger附近的一個(gè)小島)，1829年4月6日死于挪威的 Froland。

Abel 的祖父和父親都是路德派牧師。他的父親 Soren Georg Abel 是一個(gè)有才能、有抱負(fù)的神學(xué)家。受教育于哥本哈根大學(xué)——當(dāng)時(shí)丹麥—挪威聯(lián)合王國(guó)中僅有的一所高等學(xué)府。Abel 的母親 Ane Marie Simonson 是南海岸Risor 城一個(gè)富商和船主的女兒。Abel 牧師的第一個(gè)教區(qū)是 Finnoy，這是一個(gè)由幾個(gè)小島組成的忙忙碌碌的小地方。Abel 夫婦生了七個(gè)孩子：六個(gè)兒子和一個(gè)女兒。Niels Henrik 是他們的第二個(gè)孩子。1804年，Soren Geory Abel 作為繼承人接替了他父親在 Gjerstad（在Risor附近）教區(qū)的職務(wù)。當(dāng)時(shí)挪威的政治局勢(shì)很緊張。由于和丹麥的聯(lián)盟，挪威不得不站在法國(guó)一邊投入拿破侖發(fā)動(dòng)的戰(zhàn)爭(zhēng)。英國(guó)封鎖了挪威的海岸，造成了廣泛蔓延的饑荒。Abel 牧師在民族運(yùn)動(dòng)中表現(xiàn)杰出。他為了日后的獨(dú)立，便致力于建立挪威自己的一些機(jī)構(gòu)，特別是建立一所大學(xué)和一個(gè)國(guó)家銀行。Kiel 和約簽訂之后，丹麥將挪威割讓給瑞典，挪威人對(duì) Bernadotte 領(lǐng)導(dǎo)下的瑞典發(fā)起武裝反抗并起草出自己的憲法，但很快就戰(zhàn)敗了，他們不得不接受休戰(zhàn)條約，和瑞典并成聯(lián)邦。1814年秋，Abel 的父親成為臨時(shí)議會(huì)的議員，奉命對(duì)新憲法進(jìn)行必要的修訂。

Abel 和他的弟兄們的啟蒙教育得自于他們的父親。1815年，Abel 和哥哥被送進(jìn)奧斯陸的 Christiania 教會(huì)學(xué)校。這是一個(gè)老學(xué)校，本省很多官員過(guò)去都送自己的子女到這個(gè)學(xué)校，有的人還可以得到獎(jiǎng)學(xué)金。Christiania 教會(huì)學(xué)校曾經(jīng)是個(gè)很不錯(cuò)的學(xué)校，但在這時(shí)由于不少好的教師都接受了在1813年新成立的大學(xué)的聘請(qǐng)而離開(kāi)了，因此學(xué)校顯得蕭條冷落。Abel 離開(kāi)家時(shí)只有十三歲，看來(lái)是家道的逐漸變壞促使他更早離開(kāi)。最初兩年，他的功課還算滿意，但后來(lái)成績(jī)下降。他哥哥情況更糟，開(kāi)始顯現(xiàn)出智力缺欠的跡象，最后只好被送回家去。

1817年，學(xué)校里發(fā)生的一件事改變了 Abel 一生的命運(yùn)。數(shù)學(xué)老師虐待一個(gè)小學(xué)生，在一次殘酷懲罰之后，這個(gè)學(xué)生很快死了。這個(gè)老師立刻被解雇，由 Bernt Michael Holmboe 接任。Holmboe 只比 Abel 大七歲，他也是Christoffer Hansteen 的助教，后者是個(gè)天文學(xué)教授，大學(xué)里的一流科學(xué)家。

很快，Holmboe 就發(fā)現(xiàn)了 Abel 不尋常的數(shù)學(xué)才能。起初，他給Abel一些數(shù)學(xué)題并推薦一些課外參考書(shū)。然后，兩人一起學(xué)習(xí) Euler 的微積分教科書(shū)，后來(lái)再一起學(xué)習(xí)法國(guó)數(shù)學(xué)家特別是 Lagrange 和 Laplace 的著作。Abel的進(jìn)步十分神速，很快他成了實(shí)際上的老師。從奧斯陸大學(xué)圖書(shū)館中所保留的筆記中人們可以看出，這時(shí)的 Abel 已經(jīng)對(duì)代數(shù)方程論有濃厚的興趣，在他畢業(yè)時(shí)，他已經(jīng)熟悉了大多數(shù)重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。Holmboe 對(duì)自己所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)天才是這樣喜愛(ài)，以至于學(xué)校的校長(zhǎng)讓他克制一下在成績(jī)簿中關(guān)于 Abel 的評(píng)價(jià)。然而大學(xué)的教授們已經(jīng)由 Holmboe 處了解了這個(gè)有前途的少年并且結(jié)識(shí)了他。在大學(xué)中，Hansteen 也教應(yīng)用數(shù)學(xué)。除了他以外，只有一個(gè)數(shù)學(xué)教授 Soren Rasmussen，他原來(lái)是教會(huì)學(xué)校的老師。這是一個(gè)好人，但不是多產(chǎn)的學(xué)者，因?yàn)樗拇蟛糠謺r(shí)間都被由政府派給他的事務(wù)所占據(jù)，特別是挪威新銀行經(jīng)理這一職務(wù)花去了他很多時(shí)間。

Abel 在學(xué)校最后一年時(shí)間里，以初生牛犢不怕虎的姿態(tài)猛攻著五次方程的根式解的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題從十六世紀(jì)前半葉，del Ferro，Tartaglia，Cardano及 Ferrari 等人的時(shí)代以來(lái)一直很著名。Abel 自信他已經(jīng)找到了方程解的形式，但在挪威沒(méi)人能懂得他的證明過(guò)程，也沒(méi)有一個(gè)科學(xué)刊物可以出版它。Hansteen 把這文章寄給丹麥數(shù)學(xué)家 Ferdinand Degen，請(qǐng)求他是否可由丹麥科學(xué)院出版。

Degen 沒(méi)有發(fā)現(xiàn)文章中的任何錯(cuò)誤，但要求Abel用例子解釋他的方法。Degen 覺(jué)得在這個(gè)題目上可做的文章不多，建議Abel將注意力轉(zhuǎn)到另一個(gè)題目：“我主張搞橢圓函數(shù)，它的發(fā)展將對(duì)分析及力學(xué)有重大影響。有適當(dāng)資格搞這類研究的人絕不僅僅局限于這種最值得注意的函數(shù)的美妙的性質(zhì)，而是能夠發(fā)現(xiàn)一個(gè)通向廣大無(wú)垠的分析海洋中的麥哲倫海峽”（給 Hansteen 的信）。

Abel 開(kāi)始構(gòu)造一個(gè)五次方程解的例子，但結(jié)果，他狼狽地發(fā)現(xiàn)自己的方法是錯(cuò)誤的。另一方面，他接受了 Degen 關(guān)于搞橢圓函數(shù)的建議，大概在不多幾年內(nèi)他就基本完成了他關(guān)于橢圓函數(shù)的理論。

Abel 牧師在1816年曾經(jīng)歷了一次失敗的競(jìng)選，但1818年他又重被選入了議會(huì)。然而，他的政治生涯結(jié)束得很悲慘。由于他對(duì)其他代表進(jìn)行了激烈而又無(wú)根據(jù)的指控，從而受到彈劾的威脅。這些，再加上酗酒，使他成為報(bào)界嘲笑的對(duì)象。他帶著恥辱回家，夢(mèng)想都破滅了。他和妻子又都酗酒，作為自己所在教區(qū)的牧師來(lái)說(shuō)，這又是一件丑聞。因此人們普遍認(rèn)為他在1820年的死去是一個(gè)解脫。他的遺孀被留在十分窘迫的狀況里，一筆微薄的年金無(wú)法維持她及其眾多子女的生計(jì)。

分文不名的 Abel 在1821年秋進(jìn)入了大學(xué)。他在學(xué)校宿舍得到一間免費(fèi)的房間，并獲準(zhǔn)讓他的弟弟Peder與他同住。這所新大學(xué)沒(méi)有獎(jiǎng)學(xué)金，一些教授用自己的薪金支持這個(gè)年輕的數(shù)學(xué)家，這是很不平常的舉動(dòng)。Abel 成了這些教授家的座上客，特別為 Hansteen 的家及他的妻子和妻妹所吸引。

Abel 在大學(xué)的第一個(gè)任務(wù)是達(dá)到最初等的學(xué)位，一年后這個(gè)任務(wù)一完成，他就全靠自己來(lái)學(xué)習(xí)了。這里沒(méi)有高等數(shù)學(xué)和物理課程，然而看來(lái)這也并非是壞事。稍后些，在一封從巴黎的來(lái)信中，Abel 說(shuō)他實(shí)際上已經(jīng)讀了數(shù)學(xué)中的所有東西：重要的和不重要的。

Abel 把自己的時(shí)間都用來(lái)搞進(jìn)一步的研究。這時(shí) Hansteen 開(kāi)始出版一個(gè)刊物：Magazin for Naturvidenskaben，這又給了 Abel 以強(qiáng)大的動(dòng)力。1823年，這個(gè)刊物出版了Abel第一篇用挪威語(yǔ)寫(xiě)的關(guān)于函數(shù)方程研究的論文。這篇論文及下一篇短文，在數(shù)學(xué)上不是太重要。那時(shí)，讀者們被允許公開(kāi)評(píng)論他們的雜志。大概在遭到一些非議之后，Hansteen 感到有必要為 Abel 的文章的性質(zhì)作些講解：“我相信《雜志》除了提供科學(xué)索材之外還應(yīng)該進(jìn)一步提供用于分析這些素材的工具，現(xiàn)在我們已經(jīng)給博學(xué)的公眾一個(gè)機(jī)會(huì)去認(rèn)識(shí)一個(gè)有才能、有技巧的作者的著作，這將被認(rèn)為是我們的光榮?！?/p>

Abel 的下一篇文章在數(shù)學(xué)史上很重要，它的題目是《用定積分解某些問(wèn)題》，這是第一次解積分方程，文章討論的是質(zhì)點(diǎn)在重力作用下在一個(gè)曲線上運(yùn)動(dòng)的力學(xué)問(wèn)題。此文在當(dāng)時(shí)未引起人們的注意，部分原因大概是因?yàn)樗怯门渤晌膶?xiě)的。在1822一1823年的冬季，Abel 還寫(xiě)了一篇關(guān)于函數(shù)表達(dá)式的積分的長(zhǎng)篇論文。這篇文章被提交給大學(xué)委員會(huì)，希望它能支持文章發(fā)表，現(xiàn)在手稿已經(jīng)找不到了，但看來(lái)可能其中的某些結(jié)果包括在Abel后來(lái)的一些文章中。1823年初夏，Abel 從 Rasmussen 教授那兒得到一筆資助，用作旅費(fèi)到哥本哈根去會(huì)見(jiàn) Degen 及其他數(shù)學(xué)家。他從哥本哈根寫(xiě)信給 Holmboe，告訴他自己得到的數(shù)學(xué)上的啟示，他住在他叔叔家，并在這兒結(jié)識(shí)了 Christine Kemp，他的未婚妻。

從返回奧斯陸的歸途開(kāi)始，Abel 重新考慮起五次方程解的問(wèn)題。這次他采取了相反的觀點(diǎn)，并取得了成功。他證明了一般的五次以上的代數(shù)方程不可能有根式表達(dá)式的解，從而解決了幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)的老問(wèn)題。Abel 深知他的結(jié)果之重要，決定自己出經(jīng)費(fèi)，由一個(gè)地方出版商出版它。為了有更多的讀者，他用法語(yǔ)寫(xiě)這篇文章，題為“Memoire sur les equations algebriques ou on demontre I'impossibilitede la resolution de 1'equation generale du cinquieme degre”。為了節(jié)省開(kāi)支，這個(gè)小冊(cè)子被壓縮到六頁(yè)。敘述之簡(jiǎn)化，大概使它變得十分難懂。總而言之，從任何一位外國(guó)數(shù)學(xué)家那兒都沒(méi)有得到反應(yīng)，包括偉大的 Gauss一一Abel 也寄了一份給他。很清楚，Abel 不能再靠教授們養(yǎng)活他。他的經(jīng)濟(jì)困難由于和 Christine Kemp 訂婚而變得更嚴(yán)重。眼下 Christine 已經(jīng)到了挪威，在奧斯陸附近做家庭教師。Abel想申請(qǐng)經(jīng)費(fèi)出國(guó)。在經(jīng)過(guò)一段拖延后，政府決定 Abel 可以得到一筆小小的薪金，在大學(xué)里學(xué)習(xí)兩年語(yǔ)言，以備出國(guó)旅行。這樣，Abel 得到了600臺(tái)拉（Daler）。

Abel 對(duì)于出國(guó)被延期感到很掃興，但他還是很守本分地學(xué)習(xí)外語(yǔ)，尤其是法語(yǔ)。同時(shí)在這段時(shí)間他寫(xiě)了數(shù)量可觀的一批論文，打算給外國(guó)數(shù)學(xué)家看。1825年夏，他和四個(gè)朋友一起離開(kāi)挪成。這四個(gè)人也是打算將來(lái)從事科學(xué)事業(yè)的，后來(lái)一個(gè)成了醫(yī)學(xué)教授，另外三個(gè)是地質(zhì)學(xué)家。這幾個(gè)人都打算去柏林，而按照 Hansteen 的勸告，Abel 這段時(shí)間應(yīng)該去巴黎——當(dāng)時(shí)的世界數(shù)學(xué)中心。但Abel不愿意孤單一人，便也決定去柏林，盡管他十分了解這可能會(huì)引起他的保護(hù)人的不快。

其實(shí)，Abel決定去柏林是很幸運(yùn)的。在途經(jīng)哥本哈根時(shí)，Abel 聽(tīng)說(shuō) Degen 已經(jīng)去世了，但 Abel 從另一個(gè)丹麥數(shù)學(xué)家那兒得到一封推薦信，將他介紹給德國(guó)樞密顧問(wèn)官 August Leopold Crelle。此人是一個(gè)很有影響的工程師，自己雖不是個(gè)很強(qiáng)的數(shù)學(xué)家，但對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣。

當(dāng)?shù)谝淮伪灰?jiàn)給Crelle時(shí)，Abel沒(méi)有馬上被他理解。但過(guò)了不久，Crelle看出了他的年輕客人的非凡能力。兩個(gè)人后來(lái)成了終身的朋友。Abel將自己關(guān)于五次方程的小冊(cè)子拿給 Crelle 看，Crelle 坦白地承認(rèn)這對(duì)他來(lái)說(shuō)是很難懂的，他建議 Abel 把這篇文章寫(xiě)詳細(xì)點(diǎn)。他們還談到德國(guó)數(shù)學(xué)的可憐狀況，Abel 在1825年12月5日從林寫(xiě)給 Hansteen 的信中說(shuō)：

“當(dāng)我對(duì)德國(guó)不像法國(guó)那樣有數(shù)學(xué)刊物這件事表示驚訝時(shí)，他說(shuō)他很長(zhǎng)時(shí)期以來(lái)就想編輯一個(gè)期刊，很快他就要將這個(gè)計(jì)劃付諸實(shí)施?，F(xiàn)在這個(gè)雜志已在創(chuàng)辦，我非常高興，因?yàn)槲覍⒂幸粋€(gè)地方能出版我的文章。我已經(jīng)準(zhǔn)備了四篇文章，它們將發(fā)表在第一期上?！?/p>

Journal fir die reine wnd angewandte Mathematik, 或按一般人所說(shuō)的 Crelle 的雜志，是十九世紀(jì)最有影響的德國(guó)數(shù)學(xué)刊物。它的第一卷全登的是 Abel 的文章，共七篇。以后各卷又登了更多的，其中絕大多數(shù)都在數(shù)學(xué)史上占有突出的重要地位，其中首屈一指的是關(guān)于一般五次方程根式解的不可能性的詳述文章。在這兒，Abel 發(fā)展了包括代數(shù)域的擴(kuò)張等必要的代數(shù)基礎(chǔ)。此時(shí)，Abel 并不知道他有一個(gè)先驅(qū)一一意大利數(shù)學(xué)家 Paolo Ruffini。在一篇 Abel 死后才出版的關(guān)于方程的根式可解性的文章中，他說(shuō)，“如果我沒(méi)弄錯(cuò)的話，在我之前，只有一個(gè)人，他試圖證明一般方程的代數(shù)解（根式解）的不可能性，這就是數(shù)學(xué)家 Ruffini。但是他的文章復(fù)雜得使人們難以判定他的推理是否正確，我想這是不能令人太滿意的?！蓖ǔ＿@個(gè)結(jié)果被引用時(shí)叫作Abel—Ruffini 定理。

在 Abel 離開(kāi)挪威后發(fā)生的一件事引起他很大注意，Rasmussen 感到他的公共事務(wù)加上數(shù)學(xué)教授職位使他負(fù)擔(dān)過(guò)重，就辭去了教授職務(wù)。之后不久，教員們推選出了 Holmboe 填補(bǔ)這個(gè)空缺，Abel 的幾個(gè)挪威朋友認(rèn)為這個(gè)行動(dòng)極不公正，Abel 自己大概也有同感。雖然如此，他還是寫(xiě)了一封熱烈祝賀的信給他以前的老師，而且他們一直是好朋友。但顯然 Abel 從這時(shí)起就為他的前途和他未來(lái)的婚姻而憂慮，他感到在他的祖國(guó)里科學(xué)是沒(méi)有地位的。

在柏林的整個(gè)冬季，Abel 都在給 Crelle 的雜志寫(xiě)稿。其中值得注意的文章有關(guān)于二項(xiàng)式的推廣和平方根表達(dá)式的積分等，但在數(shù)學(xué)上 Abel 最關(guān)心的東西之一是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)缺乏嚴(yán)密性，在給 Holmboe 的信中，他屢次提到這點(diǎn)，1826年1月16日他寫(xiě)道：

“我非常驚訝地看到下列事實(shí)，如果除開(kāi)最簡(jiǎn)單的情況，那么在全部數(shù)學(xué)中沒(méi)有一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)它的和是被嚴(yán)格定義的。換句話說(shuō)，數(shù)學(xué)中最重要的部分是沒(méi)有根基的。誠(chéng)然，微積分學(xué)的大部分是正確的，而這正是令人驚訝的地方，我要努力找出這個(gè)道理，這是一個(gè)十分有趣的題目?！?/p>

這個(gè)努力的結(jié)果是關(guān)于冪級(jí)數(shù)的經(jīng)典論文，其中包括了很多一般定理，作為一個(gè)應(yīng)用，Abel 寫(xiě)了對(duì)任意實(shí)或復(fù)指數(shù)的二項(xiàng)式級(jí)數(shù)和的嚴(yán)格定義。

1826年早春，Abel 覺(jué)得還必須到他原來(lái)的目的地——巴黎去。Crelle 原來(lái)答應(yīng)陪他去，并且一起繞道 Gottingen 去拜訪 Gauss，但不幸，公務(wù)的壓力使Crelle無(wú)法離開(kāi)柏林。與此同時(shí)，Abel 的挪威朋友正在計(jì)劃一個(gè)通過(guò)中歐的地質(zhì)旅行，Abel 還是因?yàn)椴辉敢怆x開(kāi)他們，便參加了這次旅行。他們坐著馬車經(jīng)過(guò)了波希米亞、奧地利、意大利北部及阿爾卑斯山。一直到7月，Abel才到達(dá)巴黎，這時(shí)他已被這昂貴的旅行搞得所剩無(wú)幾了。到巴黎的訪問(wèn)是令人失望的，Abel 到達(dá)時(shí)，學(xué)校的假期剛開(kāi)始，數(shù)學(xué)家都離開(kāi)了城市。當(dāng)他們回來(lái)時(shí)，Abel 覺(jué)得他們避開(kāi)他，很難接近。他僅僅在路上遇見(jiàn)過(guò) Legendre。在年邁之時(shí)，Legendre 的主要興趣是橢圓積分，這也正是 Abel 的專長(zhǎng)。Abel 保留了一篇他認(rèn)為是自己的杰作的文章提交給法國(guó)科學(xué)院。這篇文章是討論一個(gè)給定的代數(shù)函數(shù)積分的和，Abel 定理說(shuō)對(duì)任何一個(gè)這種和，存在一個(gè)固定數(shù)，使得該和可以用這類積分表達(dá)出來(lái)，其中積分變量是原來(lái)積分變量的代數(shù)函數(shù)，最小的數(shù)是原給定的代數(shù)函數(shù)的虧格，這是虧格這個(gè)概念第一次出現(xiàn)，Abel 的定理是橢圓積分的歐拉公式的極大推廣。

Abel 在巴黎的頭幾個(gè)月用來(lái)完成這篇大論文，這是他最長(zhǎng)的文章之一，包括一個(gè)廣泛的定理及其應(yīng)用，文章于1826年10月30日交給法國(guó)科學(xué)院，題是“一類極為廣泛的超越函數(shù)的一個(gè)一般性質(zhì)”。Cauchy 和 Legendre 是指定的審稿人，Cauchy 是主席。當(dāng)時(shí)有不少年輕人一旦其論文被科學(xué)院接受就很快出名，Abel 等待著審稿人的報(bào)告，但一直沒(méi)有音訊。事實(shí)上，這篇論文直到Abel 死后才不得不出版?？磥?lái)當(dāng)時(shí) Cauchy 受到了責(zé)備，他后來(lái)還說(shuō)這手稿太難讀。

Abel 在巴黎后兩個(gè)月的生活是慘淡的，沒(méi)有錢(qián)也沒(méi)有很多熟人。他曾遇到 P. G. L. Dirichlet，后者比他小三歲，但由于一篇經(jīng) Legendre 推薦到法國(guó)科學(xué)院的文章后已經(jīng)是著名數(shù)學(xué)家了。另一個(gè)相識(shí)者是 Frederie Saigty，是科學(xué)評(píng)論 Fellusac’s Bulletin 的編輯，Abel 寫(xiě)了不多幾篇文章給他，主要講自己在 Crelle 的雜志上發(fā)表的論文。圣誕節(jié)后，他花光了最后一點(diǎn)積蓄到了柏林。

回到柏林不久，Abel 病了。這是他的肺結(jié)核病的第一次發(fā)作，后來(lái) Abel 就死于結(jié)核病。他向 Holmboe 借了些錢(qián)，大概 Crelle 也幫助了他。Abel 很想回到挪威去，但他又覺(jué)得必須在外國(guó)住滿獎(jiǎng)學(xué)金的期限，Crelle 想留他住在柏林，直到他能在一所德國(guó)大學(xué)為 Abel 謀個(gè)位置。他還讓 Abel 擔(dān)任他的期刊的編輯。Abel 又在刻苦工作，寫(xiě)一篇新的文章 《關(guān)于橢圓函數(shù)的研究》，這是他最長(zhǎng)的文章 (在《論文全集》中占了125頁(yè))。在這篇著作中，他借助于橢圓函數(shù)的反函數(shù)把圓積分理論根本上歸結(jié)為橢圓函數(shù)的理論，在最基本的情形下，這相應(yīng)于對(duì)偶性:

于是，橢圓函數(shù)就成為三角函數(shù)的廣泛和自然的推廣。在Abel 的工作啟示下，橢圓函數(shù)就構(gòu)成了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)中最好的研究課題之一。Abel 在奧斯陸當(dāng)學(xué)生時(shí)就發(fā)展了這個(gè)理論的大部分，所以能夠用十分豐富的內(nèi)容解釋橢圓函數(shù)的理論，如雙周期性、無(wú)窮級(jí)數(shù)和無(wú)窮乘積的展開(kāi)、加法定理等。這個(gè)理論導(dǎo)致將變量倍數(shù)的函數(shù)用相應(yīng)定出的分式變量方程來(lái)表示。而這個(gè)方程有根式解，這十分類似高斯對(duì)分圓方程的處理方法。Abel 在1826年12月從巴黎及1827年3月4日從柏林寫(xiě)給 Holmboe 的信中表示，他特別熱衷于確定用圓規(guī)和直尺將雙紐線二等分的條件的問(wèn)題，這和高斯構(gòu)造正多邊形相類似。文章的最后一部分討論了所謂復(fù)乘理論，這后來(lái)在代數(shù)數(shù)論中是十分重要的。

1827年6月20日 Abel 回到奧斯陸，發(fā)現(xiàn)在他的家鄉(xiāng)，條件正如他所擔(dān)心的那樣差。他沒(méi)有找到職位的希望，沒(méi)有獎(jiǎng)學(xué)金，有的只是大量的債務(wù)。他申請(qǐng)延長(zhǎng)獎(jiǎng)學(xué)金的期限，被財(cái)政部拒絕。學(xué)校為了使他不致極端貧困，鼓足勇氣給他一份很少的薪金。為此，財(cái)政部批評(píng)了學(xué)校，并且保留從Abel將來(lái)可能得到的薪金中扣除這些錢(qián)的權(quán)力。Abel 的未婚妻在他們朋友家那里找了個(gè)新工作，這個(gè)朋友是在 Froland 的一個(gè)鐵工廠的廠主。整個(gè)秋季，Abel 在奧斯陸靠做家庭教師以及朋友的接濟(jì)來(lái)彌補(bǔ)生計(jì)。新年時(shí)，情況變得好些，地磁學(xué)研究的開(kāi)拓者 Hansteen 得到一大筆資金，用于對(duì)未開(kāi)發(fā)的西伯利亞進(jìn)行為期兩年的地磁場(chǎng)考察。在此期間，將由 Abel 代替他在大學(xué)和挪威軍事科學(xué)院的職務(wù)。

“Recherches”的第一部分于1827年9月登在 Crelle 雜志上。冬天時(shí)，Abel完成了第二部分。他在奧斯陸與世隔絕地過(guò)活，一冬天沒(méi)有任何郵件。他一點(diǎn)也不知道，歐洲的數(shù)學(xué)家已對(duì)他的研究報(bào)告產(chǎn)生了興趣。他同樣也不知道，在橢圓函數(shù)領(lǐng)域的一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)者已經(jīng)出現(xiàn)。直到1828年初，Hansteen 給他看9月份的《天文報(bào)告》，那上面有一個(gè)年輕的德國(guó)數(shù)學(xué)家 K. G. J. Jacobi，不加證明地宣稱了關(guān)于橢圓函數(shù)變換理論的某些結(jié)果。Abel 趕緊在他的“Recherches”的第二部分的手稿上加了一個(gè)注記，說(shuō)明如何將Jacobi的結(jié)果當(dāng)作他自己的推論。

Abel 敏銳地覺(jué)察到一場(chǎng)競(jìng)賽就在眼前。他趕快停下正在寫(xiě)的一篇關(guān)于方程理論的長(zhǎng)文章——這篇文章討論方程的根式可解性的判定，已經(jīng)出版的部分包括了目前稱之為 Abel 方程的理論。Abel 以極快的速度寫(xiě)下了一系列關(guān)于橢圓函數(shù)的文章，第一篇文章“Solution d'un probleme general concernant la transformation desfonctions elliptigues”是直接回應(yīng) Jacobi 的, 也登在 《天文報(bào)告》上。另一篇登在Crelle雜志。此外，Abel 還寫(xiě)了像書(shū)一樣長(zhǎng)的論文“Precisd'une theorie des fonctions elliptiques”，在他死后這篇著作才得以出版。而站在另一方的 Jacobi 只寫(xiě)了一篇簡(jiǎn)短的注記，但沒(méi)有透露他所用的方法，這些方法包括在1829年出版的他的書(shū)中（Fundamenta nova theoriae functionum ellipticaram）。

關(guān)于橢圓函數(shù)早期理論的很多東西都已寫(xiě)出，看來(lái)沒(méi)有多大疑問(wèn)。Abel 的想法比 Jacobi 早出現(xiàn)幾年。另一方面，同樣確鑿的事實(shí)是，Gauss 雖然沒(méi)有出版什么東西，但是他在 Abel 和 Jacobi 之前很久就發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的原理。

歐洲的數(shù)學(xué)家們著迷般注視著這兩個(gè)年輕數(shù)學(xué)家的競(jìng)賽。Legendre 注意到Jacobi 宣稱的結(jié)果，也收到他的來(lái)信。1827年11月在法國(guó)科學(xué)院的一次會(huì)議上，他贊揚(yáng)了這顆數(shù)學(xué)新星。報(bào)紙上刊載了這篇講話，Legendre 將報(bào)紙剪下來(lái)寄給了 Jacobi。Jocobi 在回信中向他表示了感謝，之后指出 Abel的“Recherches”和他的結(jié)果。Legendre 回答說(shuō)：“通過(guò)這些工作，你們兩人都將躋身于當(dāng)代第一流分析學(xué)家之列。”他同時(shí)也對(duì) Jacobi 沒(méi)有發(fā)表他的方法表示失望。當(dāng) Jacobi 承認(rèn)為了推導(dǎo)他的某些結(jié)果他必須借助于 Abel 的文章時(shí)，Legendre 有點(diǎn)氣惱。與此同時(shí)，Abel 也開(kāi)始和 Legendre 通信，把自己的想法傾吐給他。

歐洲數(shù)學(xué)家們所知的關(guān)于 Abel 在挪威的情況是，他僅僅有一個(gè)臨時(shí)性職位，而不得不靠做家庭教師來(lái)維生。這些消息的主要來(lái)源是 Crelle。他一直試圖利用自己的影響為Abel在柏林一個(gè)新辦的科學(xué)研究所謀個(gè)職位，但是進(jìn)展很慢。1828年9月，四名重要的法國(guó)科學(xué)院的院士，采取了非常步驟。他們一直上書(shū)向 Bernadotte——當(dāng)時(shí)的挪威—瑞典國(guó)王查理十四請(qǐng)?jiān)?，提?qǐng)他注意 Abel，極力主張為他創(chuàng)造一個(gè)適宜的科學(xué)研究位置。在1829年2月25日科學(xué)院會(huì)議上，Legendre 也對(duì) Abel 及其工作，特別是關(guān)于方程理論的結(jié)果加以稱贊。

在這期間，Abel 不顧健康情況的惡化，廢寢忘食地寫(xiě)著幾篇新文章。1828年他和未婚妻一起在 Froland 過(guò)了暑假。圣誕節(jié)時(shí)，Abel 又不顧在嚴(yán)寒中旅行幾天的困難，堅(jiān)持要去看她。在到達(dá)時(shí)，Abel 發(fā)著高燒，但還很有興致地參加了家庭圣誕慶祝。Abel已經(jīng)預(yù)感到自己時(shí)日不多了，他眼下最擔(dān)心的是提交給法國(guó)科學(xué)院的論文以后會(huì)遺失。因此他寫(xiě)了一個(gè)短文 “Demonstration d’une propriete generaled une certaine classe de fonctions transcendantes”，其中他給出一個(gè)主要定理的證明，1829年1月6日他將它寄給了 Crelle。

在等待回奧斯陸的雪橇?xí)r，Abel突然大量嘔血。醫(yī)生診斷他是肺結(jié)核，要他長(zhǎng)期臥床休息。4月份，他死了，時(shí)年26歲。在大風(fēng)雪中，他被埋葬在Froland教堂旁邊。墓上豎著朋友們給他立的紀(jì)念碑。Baltazar Keilhau 寫(xiě)信Christine Kemp，向她求婚 (雖然他還未見(jiàn)過(guò)她)，她答應(yīng)了。在 Abel 死了兩天后，Crelle 很高興地寫(xiě)信通知他在柏林的職位已經(jīng)謀到了。

1830年6月28日，法國(guó)科學(xué)院把它的大獎(jiǎng)授予 Abel 和 Jacobi，表彰他們杰出的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。經(jīng)過(guò)在巴黎全面地尋找，Abel 的偉大的著作終于找到了。在1841年 Abel 提交它的十五年之后，它才得以出版。在印刷過(guò)程中它又不見(jiàn)了，直到1952年才在 Florence 被發(fā)現(xiàn)。

Crelle 在他的雜志上，為 Abel 寫(xiě)了篇很長(zhǎng)的悼詞：

“Abel的全部著作鐫刻著無(wú)比的創(chuàng)造天才和非凡的、有時(shí)是驚人的思維力量。如果考慮到這位作者的年齡，則更是令人驚嘆不已了。我們看到，他能夠以一種不可抵抗的力量，透過(guò)一切障礙，向下深入到問(wèn)題的本質(zhì)上，以不可想象的能量向它進(jìn)攻；又能夠從上面來(lái)考慮問(wèn)題，高高地翱翔于問(wèn)題的目前狀態(tài)之上，所有的困難在這個(gè)天才的無(wú)敵的攻擊之下，都化為烏有。.....然而，Abel 贏得人們的尊敬和無(wú)限懷念，不僅是因?yàn)樗膫ゴ蟮牟拍埽矣捎谒儩嵉钠焚|(zhì)和高尚的心靈，以及少有的謙虛。這些非凡的品德，使得他作為一個(gè)人來(lái)說(shuō)，也像他的天才一樣，被人們所珍愛(ài)?！?/p>

本文轉(zhuǎn)自數(shù)學(xué)縱貫線公眾號(hào)，原標(biāo)題“Abel傳”，原載《數(shù)學(xué)譯林》1982年第1期；

原文可參見(jiàn)：

https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/mathematics-biographies/niels-henrik-abel?

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