來(lái)源：學(xué)術(shù)頭條

整理：王躍然 王江玨

【編者按】日前，菲爾茨獎(jiǎng)得主、華裔數(shù)學(xué)家、加州大學(xué)洛杉磯分校教授陶哲軒在牛津數(shù)學(xué)公開(kāi)講座中，探討了人工智能（AI）將如何改變數(shù)學(xué)這個(gè)“最保守的學(xué)科”。

他指出，數(shù)學(xué)有著驚人的連續(xù)性——200 年前的教科書今天仍可使用，黑板與粉筆依然是標(biāo)配，論文合著者數(shù)量長(zhǎng)期徘徊在每篇 2.5 人，遠(yuǎn)低于其他科學(xué)的“大合作”模式。但這種延續(xù)數(shù)個(gè)世紀(jì)的研究范式，正在被新技術(shù)打破。

核心觀點(diǎn)如下：

• 形式化驗(yàn)證使正確運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)和 AI 來(lái)解決問(wèn)題成為可能。

• 當(dāng)前 AI 本質(zhì)是“猜測(cè)機(jī)器”，必須與驗(yàn)證器結(jié)合，AI 負(fù)責(zé)批量生成候選答案，驗(yàn)證器負(fù)責(zé)剔除錯(cuò)誤。

• AI應(yīng)處理“中等難度長(zhǎng)尾問(wèn)題”，而非替代數(shù)學(xué)家攻堅(jiān)。 最有效的應(yīng)用方向不是讓AI挑戰(zhàn)人類最擅長(zhǎng)的創(chuàng)造性難題，而是讓它完成第一遍篩選，再把真正困難的留給人類專家。

• 數(shù)學(xué)研究正在從“個(gè)案研究”轉(zhuǎn)向“大規(guī)模調(diào)查”。AI 的使命不是縮小數(shù)學(xué)的蛋糕，而是把它做大。

學(xué)術(shù)頭條在不改變?cè)拇笠獾那闆r下，做了簡(jiǎn)單的編譯。演講內(nèi)容如下：

我將談?wù)勎宜诘臄?shù)學(xué)領(lǐng)域在 AI 時(shí)代是如何發(fā)生變革，以及這種變革可能對(duì)其他學(xué)科產(chǎn)生的影響。但當(dāng)前我們身處一個(gè)充滿變革和不確定性的時(shí)代，這是我們不太習(xí)慣的。就數(shù)學(xué)領(lǐng)域而言，我們或許是所有學(xué)科中最保守的，因?yàn)閹讉�(gè)世紀(jì)以來(lái)，我們的研究方法幾乎未曾改變。

左側(cè)展示的是一本 200 年前由柯西教授撰寫的教科書，其中介紹了我們現(xiàn)在稱之為柯西積分公式的內(nèi)容。雖然在當(dāng)前的分辨率下難以辨認(rèn)，但是它的內(nèi)容幾乎和如今研究生使用的教材一模一樣。除了它是法語(yǔ)而不是英語(yǔ)，且沒(méi)有采用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)排版語(yǔ)言排版之外，它如今完全可以使用。數(shù)學(xué)的這種連續(xù)性正是其強(qiáng)大的一大優(yōu)勢(shì)。我們使用 200 年前、甚至 2000 年前的成果。比如我在工作中經(jīng)常用到勾股定理。這確實(shí)很棒，但這確實(shí)意味著我們往往不像其他學(xué)科那樣熱衷于追逐潮流。

右邊這本咖啡桌畫冊(cè)是由攝影師杰西卡·溫創(chuàng)作的。她對(duì)數(shù)學(xué)家使用的黑板非常著迷。我們幾乎是唯一一個(gè)仍然保留黑板和粉筆的學(xué)科了。其他人都開(kāi)始用 PPT、白板等現(xiàn)代工具了。但是，我的辦公室里還是有六塊黑板。我超愛(ài)它們，絕對(duì)舍不得丟棄。話說(shuō)回來(lái)，她給數(shù)學(xué)家們的黑板拍了照片，制作了一本精美的小型藝術(shù)畫冊(cè)。

我們與其他科學(xué)領(lǐng)域的區(qū)別還在于，數(shù)學(xué)研究往往缺乏合作。這里有一些科學(xué)指標(biāo)可以參考：多年來(lái)，我們論文的合著者平均數(shù)從每篇 1.5 人逐漸上升到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的 2.5 人。但看看其他學(xué)科，它們正在蓬勃發(fā)展——那些大型合作研究項(xiàng)目層出不窮，數(shù)學(xué)家們卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后。

現(xiàn)在，這并不是因?yàn)槲覀儾簧平浑H，或者不僅僅是因?yàn)椴簧平浑H。這里確實(shí)存在一些系統(tǒng)性問(wèn)題。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)項(xiàng)目歷來(lái)都有很高的準(zhǔn)入門檻。通常需要數(shù)學(xué)博士才能理解研究課題。我們要求證明必須在每個(gè)細(xì)節(jié)上都做到百分之百正確。所以，如果你嘗試通過(guò)眾包獲取證明，當(dāng) 100 個(gè)貢獻(xiàn)中有一份出錯(cuò)時(shí)，整個(gè)證明就會(huì)被推翻。而我們現(xiàn)有的工作流程，比如用粉筆在黑板上一起討論解決問(wèn)題，無(wú)法擴(kuò)展到與 100 人通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行協(xié)作。

其他科學(xué)領(lǐng)域正在蓬勃發(fā)展，我們難道就落后了嗎？

其實(shí)情況正在開(kāi)始改變，這要?dú)w功于新技術(shù)的推動(dòng)，包括 AI （雖然我認(rèn)為 AI 只是其中一部分）。我們正逐步掌握如何開(kāi)展大規(guī)模研究項(xiàng)目。要知道，直到最近，數(shù)學(xué)研究還停留在“案例分析”階段——先攻克一個(gè)難題，花幾個(gè)月時(shí)間完成報(bào)告，然后轉(zhuǎn)向下一個(gè)課題。但現(xiàn)在我們開(kāi)始采用“調(diào)查研究”模式，能夠同時(shí)處理數(shù)百甚至數(shù)千個(gè)問(wèn)題。

我們或許無(wú)法解決所有問(wèn)題，但我們可以收集有關(guān)這些難題群體的各種有趣數(shù)據(jù)。我們正開(kāi)始突破數(shù)學(xué)博士群體的局限，擴(kuò)大參與范圍。“公民科學(xué)”正在其他學(xué)科領(lǐng)域蓬勃發(fā)展，而數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“公民數(shù)學(xué)”才剛剛起步。

雖然目前還處于萌芽階段，但我們正逐步摸索如何正確運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)和 AI 來(lái)解決問(wèn)題。雖然我們發(fā)現(xiàn)許多錯(cuò)誤的 AI 應(yīng)用方式，但這些工具的實(shí)用價(jià)值正逐漸顯現(xiàn)。其中有個(gè)關(guān)鍵要素讓這一切成為可能——形式化驗(yàn)證。

形式化驗(yàn)證是一種特殊的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，它能自動(dòng)處理數(shù)學(xué)論證并驗(yàn)證其正確性。這種技術(shù)能大幅減少干擾因素，有效過(guò)濾掉那些曾阻礙新型工作流程發(fā)展的“糟粕”。

舉個(gè)例子，我今天只能在演講中分享一個(gè)半案例。

第一個(gè)案例是去年我在加州大學(xué)洛杉磯分校啟動(dòng)的“方程理論項(xiàng)目”，這個(gè)項(xiàng)目是我與 50 位合作者共同完成的。其中大部分伙伴都是通過(guò)這個(gè)項(xiàng)目結(jié)識(shí)的，之前我都沒(méi)見(jiàn)過(guò)面。而且他們中的大多數(shù)并不是專業(yè)數(shù)學(xué)家。很多計(jì)算機(jī)科學(xué)家、學(xué)生、研究生、本科生，甚至一些高中生都參與了這個(gè)開(kāi)放的協(xié)作項(xiàng)目。

這個(gè)代數(shù)研究項(xiàng)目的具體內(nèi)容我暫時(shí)不便透露，但是我們通過(guò)程序生成了 2200 萬(wàn)個(gè)代數(shù)問(wèn)題。比如典型問(wèn)題就是：交換律是否蘊(yùn)含結(jié)合律？如果有一個(gè)運(yùn)算，使得 a*b 等于 b*a，你能推斷出 a*b*c 等于 a*b*c 嗎？結(jié)果表明答案是否定的。

但是我們生成了 2200 萬(wàn)個(gè)這類問(wèn)題。任何一個(gè)具體的問(wèn)題，也許一個(gè)代數(shù)專業(yè)的研究生可以花一個(gè)小時(shí)就能判斷對(duì)錯(cuò)。但問(wèn)題數(shù)量高達(dá) 2200 萬(wàn)個(gè)，我可沒(méi)有 2200 萬(wàn)研究生。有人會(huì)說(shuō)：“讓我們眾包吧”，“開(kāi)放平臺(tái)讓公眾參與”。但要處理 2200 萬(wàn)道代數(shù)題，這根本沒(méi)人能搞定。我也沒(méi)時(shí)間處理。

所以這類項(xiàng)目在過(guò)去根本無(wú)法實(shí)現(xiàn)。比如之前文獻(xiàn)里提到的同類項(xiàng)目，最多也就研究過(guò) 20 道題。但這次涉及 2200 萬(wàn)道題，完全不是一個(gè)量級(jí)。

不過(guò)我們居然在三個(gè)月內(nèi)完成了這個(gè)項(xiàng)目。對(duì)于每個(gè)命題，我們都有對(duì)應(yīng)的證明或反證，來(lái)證明它是真是假。

為此我們不得不發(fā)明一些新的工作流程：

• 我們?cè)?GitHub 上搭建了大型儲(chǔ)存庫(kù)，所有證明都必須用標(biāo)準(zhǔn)化語(yǔ)言“形式化”，這樣才能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化驗(yàn)證。我們使用了 Lean 這個(gè)證明輔助語(yǔ)言。

• 我們搭建了活躍的討論區(qū)，這里既有人工生成的證明：有人會(huì)從 2200 萬(wàn)條推論中隨機(jī)選取一條進(jìn)行驗(yàn)證并發(fā)布，其他人則會(huì)嘗試復(fù)刻這些成果。

• 研究人員會(huì)運(yùn)行計(jì)算機(jī)程序，嘗試解決全部 2200 萬(wàn)個(gè)問(wèn)題，他們的程序每次最多能處理 10 萬(wàn)個(gè)問(wèn)題。

• 團(tuán)隊(duì)成員會(huì)反復(fù)調(diào)整，將人類證明轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)證明，或?qū)⒂?jì)算機(jī)證明轉(zhuǎn)換為人類證明。這種反復(fù)調(diào)整的過(guò)程我們算是即興摸索出來(lái)的，但效果確實(shí)非常顯著。

我認(rèn)為這個(gè)項(xiàng)目成功有幾個(gè)關(guān)鍵因素：

1.高度模塊化設(shè)計(jì)

系統(tǒng)本身就被拆解成 2200 萬(wàn)個(gè)相關(guān)問(wèn)題，研究人員可以針對(duì)其中的某個(gè)子集展開(kāi)專項(xiàng)攻關(guān)�；蛘哒f(shuō)，有些人會(huì)專門撰寫人類可讀的證明文件，而另一些人則會(huì)專門將這些證明轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)可讀的證明。你不必事無(wú)巨細(xì)地了解項(xiàng)目每個(gè)環(huán)節(jié)，完全可以專注于某個(gè)特定領(lǐng)域。這就像現(xiàn)代軟件開(kāi)發(fā)項(xiàng)目中的分工協(xié)作模式。

2.明確的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)

另一個(gè)關(guān)鍵優(yōu)勢(shì)在于我們制定了明確的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)項(xiàng)目設(shè)定目標(biāo)并建立評(píng)分體系（比如損失函數(shù)）后，就能開(kāi)始優(yōu)化改進(jìn)，這種機(jī)制為項(xiàng)目推進(jìn)開(kāi)辟了全新思路。

在項(xiàng)目進(jìn)行到第 16 天時(shí)，系統(tǒng)顯示存在 2200 萬(wàn)條關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)。但實(shí)際上，我們?cè)缭诘?16 天就解決了除 888 條之外的所有問(wèn)題。隨后團(tuán)隊(duì)會(huì)從這些數(shù)據(jù)中篩選出部分子集進(jìn)行專項(xiàng)研究。這種機(jī)制讓項(xiàng)目實(shí)現(xiàn)了自主分散化運(yùn)作——參與者自發(fā)開(kāi)展研究，若發(fā)現(xiàn)有效方案，就會(huì)為數(shù)據(jù)庫(kù)新增解決方案，使剩余問(wèn)題數(shù)量持續(xù)減少。整個(gè)團(tuán)隊(duì)就這樣不斷推動(dòng)項(xiàng)目進(jìn)展。

有些想法讓這個(gè)數(shù)字大幅下降，有些則不太成功，不過(guò)我們不需要像傳統(tǒng)項(xiàng)目那樣協(xié)調(diào)配合——你知道的，大家各司其職。雖然我們進(jìn)行了任務(wù)分配，但參與者們也自發(fā)地展開(kāi)了許多獨(dú)立活動(dòng)，這過(guò)程其實(shí)挺有意思的。

3.形式化驗(yàn)證打破信任壁壘

最后我提到的秘訣是形式化驗(yàn)證，關(guān)鍵在于它能打破信任壁壘。

以前在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如果你想和其他人合作，要么你必須檢查他們提交的每一行內(nèi)容，要么你必須相信他們擁有足夠好的聲譽(yù)，相信他們的工作質(zhì)量足夠高，值得被納入你的論文中。但是我們收到了來(lái)自各種各樣的人的投稿，這些人我們從未見(jiàn)過(guò)。但是所有貢獻(xiàn)都必須經(jīng)過(guò)這種形式化驗(yàn)證，所以我們可以接受匿名或不受信任的貢獻(xiàn)。

而且，這種驗(yàn)證方式確實(shí)能帶來(lái)極其精確的討論。比如有人嘗試驗(yàn)證某個(gè)證明（比如人工驗(yàn)證），然后將其轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)ean 代碼。假設(shè)這個(gè)證明包含九個(gè)步驟，其中八個(gè)步驟都能正常運(yùn)行，但最后一個(gè)步驟存在形式化問(wèn)題。這時(shí)可以與原作者進(jìn)行深入討論，針對(duì)這個(gè)需要特別說(shuō)明的微步驟進(jìn)行澄清。這種討論雖然不需要 BLE 工具，但通常需要耗費(fèi)大量時(shí)間來(lái)規(guī)范符號(hào)體系和通用術(shù)語(yǔ)。

有時(shí)候人們可能不太明白，如果不能具體說(shuō)明某個(gè)步驟，為什么你會(huì)卡在這個(gè)環(huán)節(jié)。但這些編程語(yǔ)言支持極其精確的技術(shù)討論，甚至能細(xì)化到原子級(jí)層面。而且你不需要完全理解整個(gè)項(xiàng)目就能推進(jìn)工作。

雖然我們確實(shí)使用了一些相對(duì)復(fù)雜的 AI 技術(shù)，特別是那些被稱為自動(dòng)定理證明器的工具，但事實(shí)上，像 GitHub 這樣的基礎(chǔ)協(xié)作平臺(tái)，以及 Zulip 平臺(tái)上的討論組這類基礎(chǔ)協(xié)作工具，反而非常實(shí)用且不可或缺。

我有時(shí)間再講半個(gè)案例。這個(gè)項(xiàng)目是與 Google DeepMind 合作進(jìn)行的，雖然已經(jīng)進(jìn)入開(kāi)發(fā)階段，但論文還在審批流程中，所以具體成果暫時(shí)不便透露。不過(guò)可以大致說(shuō)明谷歌在該領(lǐng)域的前期工作：

目前大型語(yǔ)言模型正變得越來(lái)越強(qiáng)大，能夠解決奧林匹克競(jìng)賽級(jí)別的難題，有時(shí)甚至能解答相當(dāng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。但它們?nèi)詴?huì)出錯(cuò)，而且這些錯(cuò)誤往往非常基礎(chǔ)。就連最新款的模型，當(dāng)你問(wèn)它簡(jiǎn)單算術(shù)題時(shí)，有時(shí)答對(duì)有時(shí)答錯(cuò)。比如有個(gè)題目它把 7*4+8*8 算錯(cuò)了，結(jié)果被指出錯(cuò)誤后道歉，最后居然也答對(duì)了。

所有數(shù)學(xué)家都試過(guò)用這種系統(tǒng)，最終發(fā)現(xiàn)它的不可靠性實(shí)在是個(gè)大問(wèn)題。不過(guò)要是能把這種不穩(wěn)定輸出和驗(yàn)證器結(jié)合起來(lái)——也就是能實(shí)際檢測(cè)輸出是否正確的工具——那至少在理論上還是能派上用場(chǎng)的。有時(shí)候你可以讓它進(jìn)入循環(huán)運(yùn)行：讓語(yǔ)言模型生成數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果，然后進(jìn)行測(cè)試。如果運(yùn)行正常就很好；如果出問(wèn)題，就將錯(cuò)誤信息反饋給模型，讓它嘗試修正。

確實(shí)有很多人嘗試過(guò)各種方法來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)功能，效果參差不齊。我一直在與 DeepMind 合作開(kāi)發(fā)他們最新推出的 Alpha Evolve 工具。除此之外還有其他方案，比如底層的通用算法。不過(guò)這個(gè)方案目前看來(lái)效果還算不錯(cuò)。

它已經(jīng)能夠解決某些類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題了。幾個(gè)月前我們發(fā)表了一篇初步論文，其中我們成功地改進(jìn)了諸如打包問(wèn)題的各種界限。例如，如果你有 11 個(gè)六邊形，能同時(shí)容納這 11 個(gè)六邊形的最小六邊形是什么？之前也有關(guān)于最佳包裝的記錄。通過(guò)讓大語(yǔ)言模型嘗試各種隨機(jī)的東西，獲得反饋，不斷改進(jìn)代碼，他們最終獲得了數(shù)值上的提升。

這些本身只是一些測(cè)試用例，是有限維優(yōu)化問(wèn)題，只是我們所關(guān)心的所有數(shù)學(xué)問(wèn)題中很小的一部分。不過(guò)，我們最近在研究無(wú)限維優(yōu)化問(wèn)題方面也取得了一些進(jìn)展。很遺憾，我現(xiàn)在還不能透露更多信息。敬請(qǐng)期待，幾周后我們會(huì)發(fā)表一篇論文。

總而言之，這些工具正在逐步改變我們的職業(yè)領(lǐng)域。它們已經(jīng)在多個(gè)方面發(fā)揮著重要作用：

• 輔助次要任務(wù)：事實(shí)上，我和許多同事日常工作中都會(huì)用到 AI 來(lái)輔助完成次要任務(wù)。比如編寫計(jì)算機(jī)代碼現(xiàn)在變得輕松多了，進(jìn)行文獻(xiàn)綜述也變得更加高效。

• 發(fā)現(xiàn)新模式：雖然我們還無(wú)法系統(tǒng)化地應(yīng)用，但已有零星案例表明，將數(shù)據(jù)集輸入 AI 后，確實(shí)能獲得新的數(shù)學(xué)猜想和發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

• 充當(dāng)“萬(wàn)能翻譯器”：AI 還能幫助科學(xué)家跨越專業(yè)壁壘——雖然我們的術(shù)語(yǔ)體系與同行存在差異，但借助 AI 技術(shù)，溝通效率已顯著提升。

目前已有諸多 AI 應(yīng)用展現(xiàn)出良好效果，但要開(kāi)發(fā)更先進(jìn)的應(yīng)用場(chǎng)景，我們?nèi)孕柰ㄟ^(guò)嚴(yán)格的驗(yàn)證機(jī)制來(lái)規(guī)范其使用。說(shuō)白了，我們只能在信任 AI 輸出結(jié)果的前提下使用它，或者至少能進(jìn)一步驗(yàn)證這些結(jié)果。但風(fēng)險(xiǎn)實(shí)在太高了。

雖然 AI 能為數(shù)學(xué)家提供一定幫助，但我覺(jué)得它們最有效的應(yīng)用場(chǎng)景還是需要融入更廣泛的科研協(xié)作體系。只有通過(guò)團(tuán)隊(duì)協(xié)作，才能填補(bǔ) AI 在數(shù)學(xué)研究中存在的空白。

最直觀的用法就是讓 AI 來(lái)替代數(shù)學(xué)家最擅長(zhǎng)的領(lǐng)域——用創(chuàng)新方法攻克那些棘手難題。但實(shí)際上，AI 還有一個(gè)正交的、更有前景的應(yīng)用方向：處理那些中等難度的問(wèn)題。比如這 2200 萬(wàn)道代數(shù)題，我們沒(méi)有足夠的人力來(lái)解決，但可以讓 AI 先進(jìn)行初步探索，找出所有容易解決的問(wèn)題，然后再把任何難題交給人類專家。

在專家小組討論中，大家也提到了這種范式�？傮w來(lái)說(shuō)，我認(rèn)為 AI 不應(yīng)該是為了和人類競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)有工作量，而是要擴(kuò)大這個(gè)領(lǐng)域，創(chuàng)造更多經(jīng)濟(jì)上可行的新任務(wù)。

雖然存在許多前景廣闊的應(yīng)用場(chǎng)景，但其應(yīng)用具有高度情境依賴性。這并非即插即用的解決方案，我們必須掌握其使用方法及適用時(shí)機(jī)。

謝謝大家。

閱讀最新前沿科技趨勢(shì)報(bào)告，請(qǐng)?jiān)L問(wèn)歐米伽研究所的“未來(lái)知識(shí)庫(kù)”

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未來(lái)知識(shí)庫(kù)是“ 歐米伽 未來(lái)研究所”建立的在線知識(shí)庫(kù)平臺(tái)，收藏的資料范圍包括人工智能、腦科學(xué)、互聯(lián)網(wǎng)、超級(jí)智能，數(shù)智大腦、能源、軍事、經(jīng)濟(jì)、人類風(fēng)險(xiǎn)等等領(lǐng)域的前沿進(jìn)展與未來(lái)趨勢(shì)。目前擁有超過(guò)8000篇重要資料。每周更新不少于100篇世界范圍最新研究資料。 歡迎掃描二維碼或訪問(wèn)https://wx.zsxq.com/group/454854145828進(jìn)入。