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格爾德?法爾廷斯（Gerd Faltings）剛剛獲得2026年阿貝爾獎，他是算術(shù)幾何領(lǐng)域的泰斗級人物。其學(xué)術(shù)思想與研究成果重塑了整個領(lǐng)域，不僅攻克了多項懸而未決的重大猜想，更構(gòu)建了全新的理論框架，為后續(xù)數(shù)十年的相關(guān)研究指明了方向。本文簡單介紹格爾德?法爾廷斯的學(xué)術(shù)成就。

作者：蒂曼德拉·哈克尼斯（Timandra Harkness）2026-3-19

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-3-19

數(shù)字，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)研究對象。我們可以對數(shù)字做加法、乘法運算，也可以將數(shù)字自乘（平方），或是進(jìn)行任意次數(shù)的自乘（立方及更高次冪運算）。這些基礎(chǔ)運算法則，你在上學(xué)時便已悉數(shù)掌握。

亞歷山大的丟番圖（Diophantos of Alexandria）手稿（約公元前200-284年），由克勞德·加斯帕爾·巴歇·德·梅齊里亞克（Claude Gaspard Bachet de Méziriac）從希臘語譯為拉丁語，1621年刊印成書。

圖源：公域/維基共享資源

數(shù)論是數(shù)學(xué)最古老的分支之一。早在公元3世紀(jì)，數(shù)學(xué)家亞歷山大的丟番圖提出的一系列問題，至今仍令數(shù)學(xué)家們絞盡腦汁。

因為盡管數(shù)字的加減乘除運算法則看似簡單，可一旦將乘法與加法結(jié)合，數(shù)字的規(guī)律就會變得十分玄妙。

丟番圖方程含有多個未知變量（通常用a、b、x、y等表示），且其解均為整數(shù)（正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零）。

勾股定理就是一個典型的丟番圖方程：a2 + b2 = c2。滿足該方程的整數(shù)a、b、c被稱為勾股數(shù)，這類數(shù)有無窮多組，最基礎(chǔ)的一組便是3、4、5。

勾股定理

插圖：蒂曼德拉·哈克尼斯

可如果將a、b、c的平方運算換成立方運算，求解就沒那么容易了。事實上，費馬大定理——費馬在其收藏的丟番圖算術(shù)著作頁邊空白處寫下的結(jié)論——指出：當(dāng)n大于2時，方程a? + b? = c?不存在整數(shù)解。

數(shù)百年來，數(shù)學(xué)家們始終無法找到n≥3（即方程次數(shù)為3及以上）時的任何整數(shù)解。歐拉、索菲·熱爾曼、狄利克雷、勒讓德等多位數(shù)學(xué)家僅證明了該定理在特定情形下成立。直到1995年，時隔1637年費馬提出猜想后，2016年阿貝爾獎得主安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）才最終證明：當(dāng)n為任意大于2的整數(shù)時，該方程均無整數(shù)解。

觀看視頻：https://youtu.be/nlUimyJpWtI?si=ZA1P99eE0vOdXxpl

三十年的證明：費馬大定理證明三十周年專訪安德魯·懷爾斯

參閱：

左圖：皮埃爾·德·費馬（1607-1665）肖像

畫家：羅蘭·勒費夫爾（Rolland Lefebvre，1608-1677）1650年繪（公域）

右圖：安德魯·懷爾斯（2016年阿貝爾獎得主）

攝影：彼得·巴奇（Peter Badge）2016年阿貝爾獎官方供圖

數(shù)學(xué)家探索數(shù)字深層規(guī)律的一種方法，是將其轉(zhuǎn)化為幾何圖形進(jìn)行研究，這一領(lǐng)域便是算術(shù)幾何。

我們可以將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再將方程的解以坐標(biāo)形式繪制成點集，以此實現(xiàn)方程的幾何表達(dá)。例如方程x2 + y2 - 1 = 0，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x,y)=x2+y2-1，隨后研究該函數(shù)取0值的點，即f(x,y)=0的解集。

在平面直角坐標(biāo)系中繪制該函數(shù)，會得到一個圓，該圓經(jīng)過(1,0)、(-1,0)、(0,1)、(0,-1)四個點。你可以親自驗證——將方程x2 + y2 - 1 = 0輸入這個計算器的第一個輸入框：https://www.desmos.com/calculator

這個圓上的任意一點對應(yīng)的x、y值都是方程的解，但上述四個整數(shù)解是顯而易見的，用數(shù)學(xué)家的話來說就是“平凡解”，且這也是該方程僅有的整數(shù)解。

但我們能找到無窮多組滿足該方程的有理數(shù)x和y，比如x=3/5（0.6）、y=4/5（0.8）就是一組解。事實上，只要讓分子和分母取足夠大的數(shù)值，這條曲線上就會有無窮多個有理點。

有理數(shù)之所以得名，并非因為其運算規(guī)律符合常理，而是因為它可以表示為兩個整數(shù)的比值，也就是分?jǐn)?shù)。

但這條曲線上更多的點對應(yīng)的是無理數(shù)，無理數(shù)無法表示為兩個整數(shù)的比值，不過只要取足夠大的分母，就能用分?jǐn)?shù)近似表示無理數(shù)，這一方法便是丟番圖逼近。

如果覺得這一概念難以理解，不妨想想無理數(shù)π：它的精確值無法用分?jǐn)?shù)表示，但實際應(yīng)用中我們可以用22/7或3.142（即3142/1000）近似表示。想要逼近π的精確值，分子和分母的數(shù)值就需要不斷增大，比如104348/33215就是一個更精確的近似值。

由此可見，方程x2 + y2 - 1 = 0既有整數(shù)解，也有有理數(shù)解和無理數(shù)解。但如果將冪次改為3，方程x3 + y3 - 1 = 0便不存在正有理數(shù)解。

同時涉及乘法和加法的復(fù)雜方程，均可在數(shù)域中表示為曲線。數(shù)域是一類數(shù)的集合，集合內(nèi)的數(shù)遵循特定的加減乘除運算規(guī)則和序關(guān)系。例如有理數(shù)域?（?取自商數(shù)quotient的首字母）包含所有有理數(shù)；復(fù)數(shù)域?則包含虛數(shù)單位i（即-1的平方根）及所有復(fù)數(shù)。

帶有兩組維拉索（Villarceau）圓的環(huán)面

圖源：Ag2gaeh

多項式方程包含同一變量的不同次冪，例如x3 + 3x2 - x + 1 = 0。方程的最高次冪越高，次數(shù)就越高，而通過方程的次數(shù)，我們可以確定曲線的虧格——虧格代表曲線對應(yīng)的幾何圖形上的孔洞數(shù)量。

橢圓曲線由三次方程定義，例如y2 = x3 + ax + b，因此橢圓曲線的次數(shù)為3，虧格為1。該方程對應(yīng)的函數(shù)f(x,y,z) = y2z - x3 - axz2 - bz3取0值時，所定義的曲線為環(huán)面，僅有一個孔洞。安德魯·懷爾斯證明費馬大定理時，便運用了橢圓曲線的相關(guān)理論。

1922年，路易斯·J·莫德爾（Louis J. Mordell）證明：橢圓曲線上的有理點由一組有限的、規(guī)律可預(yù)測的點生成。事實上，這些有理點構(gòu)成了阿貝爾群——這一概念由尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）發(fā)現(xiàn)，其研究成果始終是重大數(shù)學(xué)理論的核心，阿貝爾獎也正是以他的名字命名。

左圖：路易斯·喬爾·莫德爾（1888-1972）

沃爾特·斯托尼曼1943年8月拍攝的溴化銀照片（版權(quán)歸屬：英國倫敦國家肖像館，非商業(yè)使用）

右圖：尼爾斯·亨利克·阿貝爾肖像畫

挪威畫家約翰·格爾比茨（1782-1853）繪，大概率創(chuàng)作于1826年的巴黎（收藏于奧斯陸大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，公域）

那么，由更高次冪方程定義的、虧格≥2的曲線，又有著怎樣的性質(zhì)呢？遺憾的是，這類曲線并不遵循上述簡潔的規(guī)律。

莫德爾提出猜想：虧格≥2的代數(shù)曲線上僅有有限個有理點，但他未能證明這一猜想。

1983年，格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）證明了沙法列維奇（Shafarevitch）和泰特（Tate）提出的關(guān)于曲線有限性的相關(guān)猜想。正如帕爾申（Parshin）此前預(yù)測的那樣，這一證明同時也證實了莫德爾猜想，該猜想此后也被命名為法爾廷斯定理。

法爾廷斯的證明方法令學(xué)界倍感意外，他并未沿用丟番圖逼近法，而是借鑒泰特、帕爾申、斯皮羅（Szpiro）的研究思想，結(jié)合代數(shù)曲線的分類理論，發(fā)展出了算術(shù)幾何領(lǐng)域的新方法。

他還優(yōu)化了一種用于衡量有理數(shù)復(fù)雜度的指標(biāo)——高度（Height），簡單來說，高度指的是能精確表示某個有理數(shù)的分子或分母的最小位數(shù)。嚴(yán)格來講，法爾廷斯定理指出：在有界法爾廷斯高度下，高次代數(shù)曲線上僅有有限個有理點。

后來，保羅·沃伊塔（Paul Vojta）運用丟番圖逼近法為莫德爾猜想給出了新的證明，這也為法爾廷斯的研究指明了新方向。法爾廷斯借助這一新工具提出了法爾廷斯乘積定理，并進(jìn)一步利用該定理證明了關(guān)于有理點分布的莫德爾-朗猜想（Mordell-Lang conjecture）。

法爾廷斯在算術(shù)幾何領(lǐng)域的研究，持續(xù)解答著該領(lǐng)域的經(jīng)典難題，也為幾何與數(shù)論的融合構(gòu)建了全新的理論框架。

格爾德·法爾廷斯——2026年阿貝爾獎得主

攝影：彼得·巴奇（Peter Badge）/ 2026年阿貝爾獎官方供圖

參考資料

https://abelprize.no/page/introduction-laureates-work-timandra-harkness

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/pressrelease_english__Abelprize%202026.pdf

https://abelprize.no/page/press-room-2026-abel-prize-laureate

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