?天不生數(shù)學，萬古如長夜

2002年6月，41歲的埃隆·馬斯克成立SpaceX，宣布要研究可回收重載火箭。此舉受到了主流航天專家的一致嘲笑與批駁，其中就包括了馬斯克的偶像、人類首次登月的宇航員阿姆斯特朗。

這一度讓馬斯克在接受采訪時淚目漣漣。他說當時很希望阿姆斯特朗來參觀一下，看看SpaceX員工的努力。

遺憾的是，馬斯克與SpaceX員工努力了11年，也沒把可回收火箭實現(xiàn)，因為可回收火箭在動力下降階段中的“懸停著陸”難題一直沒有解決。

直到2013年，幾位數(shù)學家發(fā)表了《無損凸化非凸控制邊界和軟著陸最優(yōu)控制問題的指向約束》，以無損凸優(yōu)化技術(lossless convexification)把非凸問題成功轉換成了凸優(yōu)化問題，為可回收火箭著陸過程中最優(yōu)控制和指向約束的精確管理開辟了工程可行性。

短短兩年以后，SpaceX的獵鷹火箭回收成功，開創(chuàng)了航天領域的2.0時代。

但馬斯克的某個心愿卻一直未遂：

2012年8月，尼爾·阿姆斯特朗因病去世，他永遠也不可能參觀SpaceX的工廠，與造火箭的年輕人“一笑泯恩仇”了。

但沒有人責怪數(shù)學家“我來晚了”，因為后者站在人類智慧的頂端，而且還伴隨著“強大”與“神秘”的加成，簡直與奇幻小說中的魔法師媲美。

?數(shù)學系的鄙視鏈

知乎上有一個很冷門的問題：

如果整數(shù)X的13次方等于21982145917308330487013369，X=？

此題的正常解法是這樣的：

1，該數(shù)字尾數(shù)為9，則x個位數(shù)是9

2，由于100的13次方是一個27位的數(shù)字，而該數(shù)字有26位，說明x是一個兩位數(shù)，且接近100

3，方程兩邊同時除以10^26，問題轉化為（X/100）^13=0.2198

4，令Y=X/100，該問題轉化為Y^13≈2/9，兩邊取對數(shù)得13lnY=ln2-ln3。求解得到lnY≈0.11

5，這就等價于一個小數(shù)點后的兩位數(shù)，且百分位數(shù)字是9，現(xiàn)在需要確定十分位。設Y=z/10，則lnY=lnZ-ln2-ln5，聯(lián)立上式lnY=0.11，得到lnZ≈2.19，這個數(shù)值介于ln8和ln9之間（注：ln8≈2.1，而ln9≈2.2），故8

6，根據(jù)已知條件，顯然有Z=0.89，因此原問題中X=89。

可見，只要具備合適的數(shù)學思維，原問題的計算難度瞬間就降低到了：

口算級別。

但它有一個前提，你必須掌握插值法的基本原理，且熟悉對數(shù)的基本概念與運算。

設想一下，如果某位小學生一時疏忽，在筆記中把lnX寫成10X，無論我們認為TA板書不規(guī)范，還是缺乏對自然對數(shù)的基本概念，終歸會懷疑TA口算解出本題的能力。

當然，這不是本文的重點。我之所以列舉這個例子，是因為它勾引起了我對數(shù)學的痛苦回憶。

我就讀研究僧的第一年，曾和班長蹬著自行車去阜成門。當時月壇區(qū)域還沒有金融街的開發(fā)，是一個極其平價的官園小商品批發(fā)市場。

我們去官園市場的目的，是批發(fā)二十幾個帶有高級數(shù)學運算和程序編寫功能的計算器，用于《數(shù)值分析》課程的日常作業(yè)與期末考試。

——它是一門模擬計算機算法、求解復雜計算問題近似解的課程，常用的就是函數(shù)求值、回歸分析、微分方程。無論哪個章節(jié)，插值法都是最基本的解題手段。

可以說，這是一門方法比較基礎但技巧性很強的課程。

期末考試時，像我等資質愚鈍之徒抓耳撓腮，因為找不到合適的差值點而機械地迭代計算，計算器都快按出煙來；而我們的班長則閑庭信步地提前交卷，連計算器都沒怎么用。

這一點我們是服氣的。畢竟班長大人有著一絲傳奇色彩。

眾所周知，中國的大學排名歷來很神奇，競爭TOP1的大學有兩所，競爭TOP3的有七八所。我們班長本科就畢業(yè)于某所TOP3的數(shù)學系，然后在考研時以數(shù)學滿分考入我校，不服不行。

當我們每次宿舍臥談會談到數(shù)學、不自覺地流露出對班長的景仰時，班長大人就激動起來，連說不敢當，讓我們莫要亂說。

我們只當這是他的矜持與謙遜。

直到有一次喝高了，大家又說起了該死的數(shù)學，班長突然就崩潰了，他大著舌頭說了很多。

他說他從小就熱愛數(shù)學，但進入大學后才發(fā)現(xiàn)，數(shù)學真的是一個最吃天賦的專業(yè)，人和人的差距比人和狗的差距還大。

他說數(shù)學專業(yè)學生的四年本科，其實就是一個自我認知、自我分流的過程——每個學生在學習過程中，逐漸排除自己學不會的領域，直到找準自己足夠勝任的專業(yè)。

所以數(shù)學系存在一條嚴格的鄙視鏈：

站在生態(tài)位上層的是基礎數(shù)學，包括代數(shù)、分析與幾何學。通常而言：

1，如果數(shù)學系學生發(fā)現(xiàn)自己學不好抽象代數(shù)，他會自動退出代數(shù)領域； 2，如果發(fā)現(xiàn)自己不能自如地理解泛函分析、微分方程，基本就告別分析方向了； 3，至于對代數(shù)和分析都有極高要求的幾何學，更是站在鄙視鏈的頂端，普通人亂入該領域，連別人給出的證明過程都看不懂，真的就生不如死。

告別了基礎數(shù)學的數(shù)學系學生，就只能去應用數(shù)學領域折騰。例如機靈點的學個統(tǒng)計，還可以與其他行業(yè)的大牛合作，甚至指導專家們的工作；次一點的去計算數(shù)學折騰，去大廠當算法專家；最沒天賦的就去軟件工程/計算機技術，當個碼農混口飯吃。

而我們的班長大人從小就以華羅庚、陳景潤為榜樣，結果在TOP3奮斗了四年后，黯然神傷地離開了心心念的基礎數(shù)學領域…

感到內心受傷的他跨專業(yè)考入我校，結果卻發(fā)現(xiàn)課程表里居然有《數(shù)值分析》這樣的渣渣課程——這是計算數(shù)學的專業(yè)課程呀，搞了半天又雙叒叕進入了鄙視鏈的底部？

那一天，放飛自我的班長直接把我們干沉默了。因為這意味著一件特別商自尊的事：

大家從小學混到研究僧，年年學數(shù)學，自以為基礎還比較扎實。突然間我們中的佼佼者大喝一聲，“在座各位包括我在內，都是學渣”，大伙兒的道心，當場就碎了一地。

（這種道心破碎的糟糕感覺，古今無不同）

而中學階段表現(xiàn)平平、中專月考差強人意、余元公式都能寫錯的某位姜同學，突然就開了天眼大殺四方…在邏輯上有沒有問題呢？

當然，在數(shù)學史上，不排除有天賦異稟的野生奇才，卻因為家庭貧困而成為專業(yè)教育的漏網(wǎng)之魚。

例如印度數(shù)學家拉馬努金就沒受過正規(guī)的高等數(shù)學教育，不得不在一家會計師事務所打工糊口，最后還因為肺結核，33歲就去世了。

拉馬努金研究的是數(shù)論，這是一門源于代數(shù)，但又與分析、幾何密切相關的數(shù)學分支。他的天才體現(xiàn)于他神奇的直覺。

例如拉馬努金曾寫出一個快速收斂π值的神秘公式，其模樣如下：

它的收斂性快到了何等逆天的程度呢？簡而言之就是“k每增加1，π值收斂8位”，例如：

當k=0時，計算得到π= 3.1415927300133； 當k=1時，計算得到π= 3.1415926535897936。

就在這一瞬間，割圓法、微積分求解π值的方法突然就不香了，還讓背誦著“祖沖之領先世界一千年”的小學生無所適從…

由于拉馬努金沒有給出公式推導的過程，這讓數(shù)學家們犯了難：公式中的各項參數(shù)是如何確定的？

尤其是分母中（1103+26390k）這一項，怎么就湯姆的能想到加一個常數(shù)呢？！

更離譜的是，如果把常數(shù)1103替換成其他數(shù)字，這個公式的收斂性就會大幅度下降，泯然眾人。

大神的世界，宵小們不懂啊。

但即使是野生天才拉馬努金，也在第一次接觸數(shù)學時就顯示了非凡的天賦（他10歲才學到正規(guī)的數(shù)學，11歲時就已經(jīng)自學了大學的數(shù)學知識，26歲時被劍橋大學著名數(shù)學家哈代收歸門下），而不是基本概念都沒弄懂、高中難度的考卷都考不好的天才。

畢竟數(shù)學就是這樣一門不會欺騙自己的課程，數(shù)學不會就是真不會。

?數(shù)學家的倔強

一語成讖的是，研究僧畢業(yè)后，我們的班長在一家國資軟件開發(fā)公司找了份寫代碼的工作，如愿以償?shù)爻蔀榱艘幻麛?shù)學系向社會輸送的“基礎型人才”。

但這又有什么關系呢。

與按照天賦強行碾壓的數(shù)學系鄙視鏈相比，社會這所大學里存在著一條反向的數(shù)學鄙視鏈——干應用研究的職位更多、薪酬更高，總體待遇遠好過基礎數(shù)學研究者。

甚至于，這也是全球數(shù)學界的尷尬現(xiàn)狀。

2013年4月，華裔數(shù)學家張益唐在《數(shù)學年刊》發(fā)表《質數(shù)間的有界間隔》，證明了存在無窮多對質數(shù)間隙都小于7000萬，它讓人類距離“孿生素數(shù)猜想”的最終解決，縮小至“一根頭發(fā)絲”一樣的程度，成為近年來數(shù)論方面的重大突破。

而張益唐本身的曲折經(jīng)歷，給這一成就增添了傳奇色彩。

《紐約客》以它獨特的筆調看法了一則專稿，開頭部分大致是這樣的：

當《數(shù)學年刊》以130年來最快審核記錄接收張益唐的論文后，這位長期擔任講師的新罕布什爾大學員工給他的妻子打了一個電話，平靜地提醒妻子注意這幾天的報紙，她將在上面看到他的名字。

在餐館擔任服務員的妻子不耐煩地說，你是不是又在你的校友家…喝醉了？

張和他的妻子，是在一家快餐店人士的。當時他們都是這家店鋪的小時工。

事實上，攻讀數(shù)學博士的7年，對于從中國來到美國的張來說并不是一段美好記憶。

在博士畢業(yè)時，他沒有得到導師的推薦信，也沒有找到教職的工作，不得不去超市當收銀員、在賽百味（subway）賣漢堡，并由此認識了他的太太。

幸運的是，在他的北大同學的幫助下，張在新罕布什爾大學找到了一份臨時教職工作，負責給大一本科生教微積分——他用6年時間才轉為講師，并看起來要在講師位置干到退休。

文章被接受的消息傳開后，新罕布什爾大學告訴張益唐，他被破格提拔為專職科研的助理教授，他的同事都對此表示祝賀。只有年邁的女教學秘書憂心忡忡地詢問：

張還會給數(shù)學系的飲水機換水嗎？

這位接近退休的老太太始終沒有明白，有些事情是注定的，而張益唐就是這樣被注定的人，所以他才會抓住機會，如彗星般地崛起。

但對于張?zhí)?，《?shù)學年刊》的肯定非常有意義。

有時候，勝利不是一切，它是唯一。

張益唐的故事告訴我們，沒有過人的天賦，千萬不要碰瓷基礎數(shù)學，會變得不幸。

例如你看文體圈的學霸設定與明星們的天才子女，基本都在秀英語、秀藝術、秀馬術，秀服裝設計，就沒有一個敢碰瓷數(shù)學的。

因為這是一項門檻極高而又費力不討好的工作。

從這個意義上說，推動“天才數(shù)學少女”的幕后主角，還真是勇者無畏、熱愛數(shù)學啊。

2022年11月，加州大學圣巴巴拉分校數(shù)學系終身教授張益唐發(fā)布了攻克 Landau-Siegel 零點猜想的相關論文，再次引起數(shù)學界的轟動。

有趣的是，張益唐饒有興致地在知乎上回答了關于零點猜想的問題。他回應了吃瓜群眾對他經(jīng)歷的八卦，也跟著感慨了自己早年的艱辛，但又堅定地表示：

幾年前，有位導演找到我說，想把我的故事拍成電影，就像納什的《美麗心靈》，我不希望拍，不希望再給我干擾… 關于我的未來，這些數(shù)學問題我是不會丟掉的。我覺得我大概這一輩子就是做數(shù)學的命了，我不做數(shù)學都不知道干什么。

其實吧，張老師明顯還是過謙了。這位1978年考入北大數(shù)學系的年輕人，曾喜愛蘇小明的流行歌曲、喜歡杜甫的古典詩詞，還想躍向遠方，變成天上半明半暗的云。

只是由于各種原因，他的生活被改變了原有的樣子，但又在無可匹敵的天賦下，強行扭轉了自身的命運。

在他名聲鵲起之時，有人問起杜甫的哪一首詩最能概括當時的心情。張益唐毫不猶豫地引用了《詠懷古跡》中的兩句：

庾信平生最蕭瑟，暮年詩賦動江關。

也許，這就是數(shù)學家的倔強，也是數(shù)學的浪漫。

——（全文完）——

寫在后面的話：

對于寫長文章的自媒體而言，談及俄烏戰(zhàn)爭、巴以沖突、中醫(yī)效果、天才兒童…等相關問題，非常地敗人品。因為長文章自古以來就和情緒輸出對立；而又有些問題已經(jīng)脫離了事實之爭，演變?yōu)樾叛鰡栴}。

例如天才中專少女勇闖數(shù)學競賽的新聞成為輿論熱點后，我在很久以后才參與討論，寫了兩篇文章。它們的重點，都不是討論姜同學本人，而是其他。

例如第一篇文章《》，調侃人民日報關于“姜同學與她（潛在）的5次菲爾茲獎”，明白人都知道，這是譏諷某些媒體人的“造神運動”。

而第二篇文章《》，我感嘆競賽組織者悄然篡改對姜萍的宣傳視頻，試圖淡化、修改大眾記憶的行為，認為這是一項違背程序正義的事情。它的性質，與江西指鼠為鴨事件、甘肅天水煙草證“補證據(jù)”事件是同等危險的。

嘿，您猜怎么著？

文章發(fā)出來之后，我收到了兩位數(shù)的后臺私信。溫柔點的勸我“君子不立危墻之下，等結果出來后再評論為好”，急躁的直接給我扣上“你這是一種誤導，你沒有證據(jù)證明她不是天才”，然后熟練地拉黑、取關一條龍。

搞得我心里沉甸甸的，反思自己是不是一個傷害了新時代獨立女性的渣男。

這么說吧，這世界上有一種人，他們對自身匱乏的某種知識有著樸素的圖騰崇拜，但又對獲取知識的艱辛與成本有著莫名的內心蔑視；他們舍得為看不懂的知識而付費，卻又認為（對天才而言）知識的獲得毫不費力。

這種內心糾結與撕裂，讓我想起了1993年《科幻世界》刊發(fā)的一篇短篇小說，故事梗概是：

某研究所的年輕學者在一個史前遺跡中發(fā)現(xiàn)了刻有“科學”等字眼的文物，機緣巧合之下，他穿越到這個原始部落中，并與年輕漂亮的女主愛得死去活來。

但有一天恰逢日全食，眼見陽光越來越暗，酋長把女主當作祭品，綁著往火刑柱上送。驚怒之下，男主跳起了大神，預言太陽很快就會復原。當日食結束后，抱得美人歸的男主激動地教育部落人：不許迷信，相信科學。

于是，男主一肚子的現(xiàn)代科學，就此成為部落的神秘圖騰。他們把“科學教派”的詞匯刻在金石之上，流芳千古。

因此，作為一名曾經(jīng)的數(shù)學學渣，我覺得有必要科普一下數(shù)學的八卦故事。

數(shù)學就是數(shù)學，不應該成為高高在上的圖騰，也不應該成為埋在隱秘角落、等待墜崖的傻瓜來挖掘的武林秘籍。

數(shù)學，不該是這個樣子的。

其實早在1945年，卡爾波普就把證偽主義的理論外延至社會科學領域，他認為證偽與祛魅比所謂的民主平等、專業(yè)知識更加重要。這本哲學類暢銷書有一個大名鼎鼎的名字：

《開放社會及其敵人》。

毫無疑問，誰是我們的朋友，誰是我們的敵人，這是科學的首要問題。

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26 Jun 2024

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