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數(shù)學家們已經(jīng)開始為數(shù)學意義的深刻轉(zhuǎn)變做準備。#AI時代專題系列

圖源：Sally Caulwell / Quanta Magazine

作者：Jordana Cepelewicz（量子雜志數(shù)學主編）2025-4-30

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-5-1

自20世紀初以來，數(shù)學的核心一直是證明——一個嚴格的、合乎邏輯的論證，證明一個給定的命題是真是假。數(shù)學家的職業(yè)生涯是通過他們能證明什么樣的定理以及證明多少定理來衡量的。他們花費了大量時間提出新的見解來使證明發(fā)揮作用，然后將這些直覺轉(zhuǎn)化為一步一步的推理，像拼圖一樣將不同的推理路線組合在一起。

最好的證明都是藝術(shù)品。它們不僅嚴謹，而且優(yōu)雅、富有創(chuàng)意且漂亮。這使它們像是一種明顯的人類活動——我們理解世界、磨礪思維、測試思維本身極限的一種方式。

但證明本質(zhì)上也是理性的。因此，當研究人員在1950年代中期開始開發(fā)人工智能時，他們希望自動化定理證明是很自然的：設計能夠生成自己的證明的計算機程序。他們?nèi)〉昧艘恍┏晒�。最早�?AI 程序之一可以輸出數(shù)理邏輯中的數(shù)十個命題的證明https://www.cs.cornell.edu/courses/cs4860/2012fa/MacKenzie-TheAutomationOfProof.pdf 。其他程序緊隨其后，想出了證明幾何、微積分和其他領域命題的方法。

盡管如此，這些自動定理證明器仍然有限。數(shù)學家真正關(guān)心的定理類型需要太多的復雜性和創(chuàng)造力。數(shù)學研究一如既往地繼續(xù)進行，沒有受到影響，也沒有被嚇倒。

現(xiàn)在，這種情況開始改變。在過去的幾年里，數(shù)學家們使用機器學習模型來發(fā)現(xiàn)新模式 https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x ，發(fā)明新猜想，并找到舊猜想的反例。他們創(chuàng)建了強大的證明助手 https://www.quantamagazine.org/building-the-mathematical-library-of-the-future-20201001/ 既可以驗證給定的證明是否正確，也可以組織他們的數(shù)學知識。

到目前為止，他們還沒有構(gòu)建可以從頭到尾生成證明的系統(tǒng)，但這種情況可能正在發(fā)生變化。2024年，Google DeepMind宣布他們開發(fā)了一種人工智能系統(tǒng)，該系統(tǒng)在IMO國際數(shù)學奧林匹克競賽（一項針對高中生的著名的以證明為主的考試）中獲得銀牌 https://deepmind.google/discover/blog/ai-solves-imo-problems-at-silver-medal-level/ 。OpenAI更通用的“大語言模型”ChatGPT在復制證明和解決具有挑戰(zhàn)性的問題方面取得了重大進展，較小規(guī)模的定制系統(tǒng)也是如此。

“它們進步的程度令人震驚，”蒙特利爾大學的數(shù)學家安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville）說，直到最近，他才懷疑這項技術(shù)可能很快就會對定理證明產(chǎn)生真正影響的說法�！八鼈儚氐状蚱屏宋以詾榇嬖诘南拗疲鞕C已經(jīng)泄露了。”

研究人員預測，他們將能夠在未來幾年內(nèi)開始將更多乏味的證明部分外包給AI。對于人工智能是否能夠完全證明他們最重要的猜想，他們意見不一：一些人愿意接受這個概念，而另一些人則認為存在無法克服的技術(shù)障礙。但是，數(shù)學事業(yè)中更具創(chuàng)造性的方面有朝一日可能會實現(xiàn)自動化，這已不再完全不可能。

Andrew Granville擔心，將更嚴格的數(shù)學方面外包給AI可能會對研究人員的思考能力產(chǎn)生不利影響�！拔乙庾R到，自己的認知并非源自高瞻遠矚，”他說，“而是來自親力親為的實踐。”

圖源：Alex Tran / Quanta Magazine

即便如此，目前大多數(shù)數(shù)學家“都把頭牢牢地埋在沙子里，”格蘭維爾說。他們忽視了最新的發(fā)展，寧愿將時間和精力花在他們平常的工作上。

一些研究人員警告說，繼續(xù)這樣做將是一個錯誤。即使是將枯燥或死記硬背的部分證明外包給AI的能力，“隨著時間的推移，也會極大地改變我們的工作以及我們對數(shù)學的看法，”新澤西州普林斯頓高等研究所杰出數(shù)學家、菲爾茲獎獲得者阿克薩伊·文卡特什（Akshay Venkatesh，1981 -）說。

他和一小群其他數(shù)學家現(xiàn)在開始研究人工智能驅(qū)動的數(shù)學未來會是什么樣子，以及它將如何改變他們所珍視的東西。在這樣的未來，數(shù)學家們將扮演批評家、翻譯家、指揮家、實驗家的角色，而不是把大部分時間花在證明定理上。數(shù)學可能會更接近實驗室科學，甚至藝術(shù)和人文學科。

想象AI將如何改變數(shù)學不僅僅是一項準備工作。它迫使數(shù)學家考慮數(shù)學的真正核心是什么，以及它的用途是什么。

工具所鑄

蘇格拉底是西方最早擔憂技術(shù)如何與清晰思維相互沖突的思想家之一。在他看來，日益普及的書寫技術(shù)是一種不可靠的信息載體，會侵蝕人們與生俱來的記憶能力。

今天，我們不能不寫作就做數(shù)學�！凹垙埖淖饔檬峭獠坑洃洠环N不同類型的思維系統(tǒng)，”Venkatesh說。它允許人們存儲知識并將其傳遞下去；甚至關(guān)于使用哪些符號來表示數(shù)學概念的決定也帶來了重要的進步。

在蘇格拉底時代以及接下來的2000年里，西方數(shù)學是幾何學。古希臘人將數(shù)學描述為關(guān)于大小的科學，即你可以繪制、測量和計數(shù)的事物。通過以幾何方式表示概念，數(shù)學家可以找到意義并發(fā)現(xiàn)應用。這項工作是物理的，甚至是觸覺的。

然后，在1637年，法國數(shù)學家勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596 - 1650）發(fā)表了他的論文《方法論》（Discourse on the Method https://www.gutenberg.org/ebooks/59 ）。在其附錄中，他介紹了后來被稱為笛卡爾坐標的東西：一種將幾何曲線和形狀轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的方法。

代數(shù)成為外包某些無法用幾何方式解決的問題的手段。但這也意味著要遠離對數(shù)學的物理理解�！澳憧梢云D難地完成代數(shù)，但在某種程度上你是在盲目工作，”英格蘭開放大學的杰里米·格雷（Jeremy Gray）說�！皺C械套用之法，終不及歐氏幾何的直觀之美。”

在17世紀，勒內(nèi)·笛卡爾引入了一種將幾何曲線表示為代數(shù)方程的方法。它改變了數(shù)學的完成方式。

圖源：公共領域

一些數(shù)學家認為代數(shù)方法將數(shù)學帶向了錯誤的方向。其中最主要的是艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643 - 1727）。他寫道，這些方法“如此乏味和糾纏，以至于令人作嘔”。對他來說，幾何直覺是真正用數(shù)學方式理解事物的核心。他聲稱 http://mitp-content-server.mit.edu:18180/books/content/sectbyfn?collid=books_pres_0&fn=9780262013178_sch_0001.pdf&id=8197 ，通過代數(shù)符號和抽象方面的工作，數(shù)學家不可能理解他們在做什么，即使他們認為自己在做什么。

起初，代數(shù)技術(shù)是達到目的的一種手段。它們只是使數(shù)學家能夠思考和解決某些問題。但很快，數(shù)學家們就開始為了他們自己而研究這些技術(shù)，從而產(chǎn)生了各種美麗的數(shù)學：例如，如果沒有代數(shù)，微積分是不可想象的。這反過來又導致了集合論等形式主義——現(xiàn)代數(shù)學的基礎——隨后開辟了全新的研究領域。（牛頓是微積分的發(fā)明者之一，最初為它開發(fā)了一個代數(shù)框架。但由于他的哲學觀點，他拒絕出版他的作品，直到他找到一種以幾何方式呈現(xiàn)它的方法。）

數(shù)學逐漸從其幾何根源轉(zhuǎn)為越來越抽象�！敖裉欤瑪�(shù)學真理以幾何學為基礎的概念似乎很古怪，”卡內(nèi)基梅隆大學的杰里米·阿維加德（Jeremy Avigad）在2022年的一篇文章中寫道 https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-01/S0273-0979-2021-01726-5/viewer/ 。數(shù)學家現(xiàn)在將問題外包給各種方法，包括代數(shù)和非代數(shù)；他們通常將這些比代數(shù)方程復雜得多的方法稱為數(shù)學“機械”。曾經(jīng)不可接受的抽象概念現(xiàn)在并不比一個強大的工具更神秘，并且對于構(gòu)建任何雄心勃勃的東西同樣重要。

了解每一顆釘子

為了構(gòu)建證明，數(shù)學家從堅實的假設或公理基礎開始。他們一次一個地在這個基礎上放置積木 — 命題或引理，這些命題或引理最終組合在一起，幫助形成一個單一的邏輯結(jié)構(gòu)。

歸根結(jié)底，重要的是這個總體結(jié)構(gòu)：墻壁、樓梯和柱子賦予了證明的形狀。但是，雖然證明最有趣的方面可能是它的藍圖——論證的總體設計——但磚塊本身也很重要。引理是次要的陳述，也需要證明為真，然后以巧妙的方式組合起來，以構(gòu)建完整的證明。

La Géométrie《幾何學》是笛卡爾著名的《方法論》中的一個簡短附錄，為解析幾何奠定了基礎。通過引入坐標系的概念，笛卡爾在幾何和代數(shù)之間架起了一座橋梁，后來使微積分和其他重要數(shù)學領域的發(fā)展成為可能。

圖源：公共領域

例如，一個引理可能涉及泛化一個已知的命題，或證明一個對象滿足一組特定的性質(zhì)。通常，數(shù)學家有理由相信這樣的引理是正確的。但是嚴格證明它們可能需要一段時間，從幾小時到幾周不等。它們可能不需要很多創(chuàng)造力，但它們很耗時，并且它們最終可能會在最終的證明中占據(jù)一頁又一頁的篇幅。

幾年后，AI模型（與形式驗證系統(tǒng)配對以檢查準確性）可能能夠自動證明這些引理，就像數(shù)學家目前將簡單算術(shù)外包給計算機程序一樣。如果發(fā)生這種情況，論文將更容易寫。數(shù)學將發(fā)展得更快，以更快的速度開辟新的研究領域。數(shù)學教育可能會發(fā)生重大變化。

在這個愿景中，數(shù)學家將繼續(xù)成為新數(shù)學大教堂的建筑師。但他們也不必再兼任施工隊，親手打造和敲打每一塊磚、每根托梁和每顆釘子。

然而，即使是這種對人工智能的使用——實現(xiàn)人類已經(jīng)可以做的事情，盡管速度更慢——也可能極大地改變數(shù)學，就像17世紀代數(shù)機械的引入一樣。為了了解這可能是什么樣的，倫敦帝國理工學院的希瑟·麥克白（Heather Macbeth）一直在比較傳統(tǒng)的證明 https://arxiv.org/abs/2405.04699 與使用證明助手 Lean編寫的相同定理的證明。

在一個Lean的證明中，所有步驟都是用計算機代碼編寫的，有些是手工編寫的，有些是使用人工智能編寫的；然后，軟件程序驗證這些步驟是否遵循有效的邏輯鏈，以及證明是否正確。Macbeth發(fā)現(xiàn)，在這樣的證明中，你可以將更多信息打包到稱為“策略”的自動化流程中，從而讓數(shù)學家騰出時間專注于更高層次的描述和理解。

“即使在我們認為基于證明的數(shù)學中，即成人研究數(shù)學的生計中，仍然有很多東西實際上是計算，”麥克白說。隨著證明的這些部分被外包給計算機，無論是Lean還是其他一些AI系統(tǒng)，數(shù)學家可以花費更多的精力來提供解釋和傳達最重要的思想；對細節(jié)的強調(diào)將減少，因為細節(jié)將成為AI的職權(quán)范圍。這將代表數(shù)學的重大文化轉(zhuǎn)變：數(shù)學家將不再需要那么多地關(guān)注嚴謹性。

“紙上的嚴謹和你頭腦中的嚴謹之間會有某種脫節(jié)，”多倫多大學的丹尼爾·利特（Daniel Litt）說�！拔視䦶恼w意義上理解一些新的東西，即使我不會理解所有的細節(jié)。”

然而，總的來說，數(shù)學家們在氣質(zhì)或訓練上超乎尋常地傾向于關(guān)注嚴謹性�！拔也幌矚g不了解細節(jié)的感覺，所以我必須接受這種感覺，”利特說。

幾千年來，歐幾里得的《幾何原本》（Elements of Geometry）深刻影響了數(shù)學家對嚴謹性的思考。但在過去的400年里，數(shù)學變得越來越抽象。

圖源：公共領域

這種感受不僅僅是出于不適；數(shù)學家們擔心（正如蘇格拉底曾經(jīng)擔憂的那樣），如果停止強調(diào)嚴謹性，可能會對他們的思維能力產(chǎn)生負面影響�！澳慊蛟S會說，好吧，現(xiàn)在可以自由地關(guān)注更大的圖景了。但我認為我自己的理解并非源于宏觀視角，而是源于親自動手的實踐，”格蘭維爾說，“抽象的力量，在那些同時理解實踐的人手中才能發(fā)揮最大效力�！�

分工合作

許多數(shù)學家可能會因為無法理解他們證明中的每一個細節(jié)而感到不安，但我們已經(jīng)有非常成功的研究計劃的例子，在這些計劃中，沒有人可以把每一個細節(jié)都記在腦子里。例如，在粒子物理學領域，有3000多名作者在論文中宣布發(fā)現(xiàn)了希格斯玻色子，這是一項耗資數(shù)十億美元的科學實驗的最高成就。即使在數(shù)學領域，在20世紀的過程中，也有100多名研究人員為一項大規(guī)模證明做出了貢獻——填滿了10000多頁——將重要對象分類為有限單群。

AI將使這種數(shù)學項目成為常態(tài)而不是例外，將主題轉(zhuǎn)變?yōu)閺娬{(diào)實驗的大型合作，并有可能提出以前無法提出的問題。

2024年秋天，為了展示未來可能是什么樣子，加州大學洛杉磯分校的陶哲軒（Terence Tao）啟動了方程理論項目 https://terrytao.wordpress.com/2024/10/12/the-equational-theories-project-a-brief-tour/ 。首先，他考慮了一個叫做原群（magma）的簡單數(shù)學對象：一組元素，以及將集合中任意兩個元素組合成第三個元素的規(guī)則。（該規(guī)則可能是加法、乘法或不太熟悉的運算。數(shù)學中最核心的對象之一，稱為群，是一種特殊類型的原群。參閱

然后，陶哲軒提出了數(shù)千個命題，描述了任何給定原群中的元素可能的行為。例如，元素可能是可交換的，這意味著你組合它們的順序無關(guān)緊要�；蛘邔⒃嘏c自身組合在一起可能總是會得到相同的元素。陶哲軒說，每個命題“本身就是一個無聊的東西”。但他想了解所有這些命題是如何相互關(guān)聯(lián)的。如果原群滿足一個命題，它可能還必須滿足一系列其他命題，但不能滿足別的命題。

所有命題中有2200萬種可能的含義，陶哲軒想評估每一個命題是真是假�！澳惆堰@些方程式的景觀看作一件大事，你正在研究這個景觀本身，”阿爾伯塔大學的亞當·托帕斯（Adam Topaz）說，他沒有參與這個項目�！皼]有計算機，我們就無法做到這一點。”

在幾個月內(nèi)，50多名參與者（其中許多是業(yè)余愛好者）證明了幾乎所有2200萬條蘊含命題的真假。有些人使用了AI；其他人則手工解決。最終，該項目于2025年4月完成 https://mathstodon.xyz/@tao/114337393836459074 ，開辟了數(shù)學提問的新領域，否則看起來根本不會有趣。

這讓我們看到了AI輔助數(shù)學研究的一絲光芒。“未來，當我們探索數(shù)學的一個領域時，你可以首先讓一個AI來探索數(shù)百萬個問題，并獲得一些初步的景觀，”陶哲軒說。“只是質(zhì)量很低。但這將引導更老練的人類說，‘好吧，現(xiàn)在，根據(jù)這種實驗，我們應該將我們的人力資源用在這里�！�

“這是一種更分散的方法，”渥太華大學的瑪雅·弗雷澤（Maia Fraser）說。或者，正如荷蘭萊頓大學的人類學家和歷史學家羅德里戈·奧內(nèi)加梅（Rodrigo Ochigame）所說，“它具有這種不守紀律、實驗性、自力更生的性格。”

“我們會更像物理學家，”格蘭維爾說�！拔覀儍A向于先說出我們的猜測，然后希望它是正確的。這是一種非常不同的方法，你很多時候都錯了，你只是偶爾希望你能達到目標�！�

數(shù)學家陶哲軒提出了他的“方程理論項目”，以測試一個更具協(xié)作性、實驗性、人工智能驅(qū)動的未來會是什么樣子。

圖源：Reed Hutchinson

因此，與物理學和其他實驗室科學一樣，數(shù)學也可能涉及更多的分工。目前，數(shù)學家負責從頭到尾執(zhí)行所有數(shù)學任務：提出新想法、證明引理和定理、撰寫證明并傳達它們。隨著AI的出現(xiàn)，這種情況很可能會改變。一些數(shù)學家可能會繼續(xù)手工做數(shù)學，而AI系統(tǒng)的能力存在差距。

其他數(shù)學家可能負責開發(fā)理論進行測試，或?qū)⒉孪敕g成計算機語言，以便AI和驗證系統(tǒng)可以投入使用，或確保AI所證明的實際上是數(shù)學家想要證明的（這是一項非常艱巨的任務），或在項目的眾多合作者之間進行協(xié)調(diào)，或向他人解釋自動證明。“在物理學或化學中，有人提出理論，有人做實驗，他們都重視對方，”烏得勒支大學和Lean研究組織的數(shù)學家約翰·科梅林（Johan Commelin）說。“它可能會開始看起來更像那樣�！�

“我們將看到更多的小組項目，其中沒有一個人知道正在發(fā)生的一切，但人們可以集體完成比任何個人都多得多的成就，”陶說。“這就是現(xiàn)代世界其他部分的運作方式�！�

數(shù)學的終結(jié)？

了解到什么算作重要的數(shù)學問題往往是一個品味問題，這可能會讓人感到驚訝。從深遠的角度來看，“什么是數(shù)學”這個問題與“數(shù)學家認為什么很重要”這個問題是一樣的。

根據(jù)Venkatesh的說法，解決某些數(shù)學問題越容易，數(shù)學家就越不重視這些問題 https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01834-5/viewer/ 。“這就像高級時裝，”DeepMind的研究員Alex Davies說�！耙坏┠銚碛辛俗屓藗兒苋菀捉佑|到高級時裝的技術(shù)，它成為大眾市場，那么它就會變得不那么時尚。高級時尚人士去做其他事情。”

AI系統(tǒng)可能更適合某些問題，這使得這些問題本身就不那么有趣。目前尚不清楚哪些學科可能會先落下。例如，尋找函數(shù)的最優(yōu)解的問題曾經(jīng)是純數(shù)學中更核心的部分，與微積分、代數(shù)和其他領域緊密交織在一起。

但在20世紀中葉，隨著基于計算機的技術(shù)發(fā)展，優(yōu)化證明往往被簡化為計算。重點轉(zhuǎn)移到這些技術(shù)的應用上，因此今天，雖然優(yōu)化問題仍然很重要，但它們更多地屬于應用數(shù)學領域——這個領域不是為了它們本身而涉及對思想或概念的研究，而是旨在將它們用作實現(xiàn)特定、實際目的的手段。

AI可能特別適合于最優(yōu)化和其他領域中往往更具體或傾向于重復使用相同類型的證明技術(shù)的問題。例如，一些數(shù)學家認為人工智能可能會改變組合學，即計數(shù)的數(shù)學研究。其他數(shù)學家認為，最容易自動化的學科是那些涉及更多符號表示的學科，例如代數(shù)。

盡管如此，如果AI足夠好，可以解決其中一些領域的問題，那么可能沒有什么可以阻止它最終擅長所有領域的問題。在那個未來，數(shù)學家可以把注意力集中在其他事情上。“我相信AI將能夠證明很多事情，但數(shù)學家只會改變他們工作的抽象層次，”Topaz說。

例如，在使用AI的過程中，Litt已經(jīng)意識到，比他所意識到的要多得多的數(shù)學知識是關(guān)于了解大量事實并以有趣的方式將它們組合在一起，而不是靈光乍現(xiàn)。“我某種程度認為，很多困難的事情更多的是關(guān)于你的工作記憶和知識，而不是創(chuàng)造力，”他說。

“這動搖了我的信心，因為我明白我們做什么，或者什么是優(yōu)秀的數(shù)學家�，F(xiàn)在我認為我所做的大部分工作是將一些以標準方式已知的事實放在一起。然后每隔一段時間，我所做的實際上就會有創(chuàng)意部分。我做一個類比或發(fā)展一個新的定義。”

這意味著“我所做的很多事情都是機器觸手可及的，”他補充說。

也許數(shù)學家會把大部分時間花在試圖理解AI系統(tǒng)生成的證明上——這項任務需要大量的時間、精力和聰明才智。哈佛大學數(shù)學家馬克·基辛（Mark Kisin）預計，該領域可能會在未來10到100年內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)楦咏宋膶W科�！叭绻憧创髮W的一個典型的英語系，它通常不是由寫文學作品的人組成的，”他說�！八墓ぷ魅藛T都是批評文學的人�！�

同樣，他說，數(shù)學家可能會扮演批評家的角色，他們仔細分析AI證明，然后在研討會上教授它們。羅南·埃爾丹（Ronen Eldan）是一位數(shù)學家，最近離開了魏茨曼科學研究所去了OpenAI，他回憶起另一位數(shù)學家在一次談話中的預測，“今天的數(shù)學家將像鋼琴家一樣，”他說。“他們不演奏自己的作品，但人們?nèi)匀粊砺牎！?/p>

即便如此，數(shù)學家也有很多工作要做，從提出新的定義和抽象到?jīng)Q定哪些新的研究方向最值得追求�！拔液茈y想象指導數(shù)學課程的基本創(chuàng)造性工作不是由人類完成的，”約翰霍普金斯大學的艾米莉·里爾（Emily Riehl）說。

盡管如此，數(shù)學家設想的潛在變化是深遠的�！皬哪撤N意義上說，這將是目前實踐的數(shù)學研究的終結(jié)，”利特說�！暗@并不意味著這將是數(shù)學家的終結(jié)�！�

“我認為這會對我的自尊心造成打擊，但我不認為我會為此感到非常沮喪，”他補充道�！叭绻幸粋�大語言模型可以證明黎曼假設 https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY 并向我解釋證明，我仍然會非常高興地學習它。大多數(shù)情況下，我想在數(shù)學中做的是理解什么是真的以及為什么它是真的。”

“在過去的50年里，我們有點處于靜止的環(huán)境中。我們可以繼續(xù)做我們正在做的事情，”Venkatesh說�！暗覀儾荒茉龠@樣做了�！�

參考資料

https://www.quantamagazine.org/mathematical-beauty-truth-and-proof-in-the-age-of-ai-20250430/

https://www.quantamagazine.org/series/science-in-the-age-of-ai/

https://www.cs.cornell.edu/courses/cs4860/2012fa/MacKenzie-TheAutomationOfProof.pdf

https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

https://www.quantamagazine.org/building-the-mathematical-library-of-the-future-20201001/

https://deepmind.google/discover/blog/ai-solves-imo-problems-at-silver-medal-level/

https://www.gutenberg.org/ebooks/59

http://mitp-content-server.mit.edu:18180/books/content/sectbyfn?collid=books_pres_0&fn=9780262013178_sch_0001.pdf&id=8197

https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-01/S0273-0979-2021-01726-5/viewer/

https://arxiv.org/abs/2405.04699

https://terrytao.wordpress.com/2024/10/12/the-equational-theories-project-a-brief-tour/

https://mathstodon.xyz/@tao/114337393836459074

https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01834-5/viewer/

https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY

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