數(shù)學是怎樣進步的？

數(shù)學論文最重要的三要素是什么？

為什么很多人在數(shù)學方面的新工作都年輕時完成的？

《用數(shù)學的語言看宇宙》傳達了數(shù)學這門學問與社會、產業(yè)之間的內在聯(lián)系和展現(xiàn)出的新趨勢，是一本兼具前沿數(shù)學理論和通俗數(shù)學知識的科普佳作，里面有很多新穎觀點：

“一項極為新穎的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，有時候并不是出現(xiàn)在學科的前沿領域，而是更有可能出現(xiàn)在非常基礎的地方?！?/p>

“數(shù)學是一門非常耗費體力的學問?！?/p>

《用數(shù)學的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》

作者 | [日]加藤文元

譯者 | 周健

01

數(shù)學就像是一場

多種打法的格斗大賽

數(shù)學這個學科對于新的發(fā)現(xiàn)一直都是很開放的。在“科學的常規(guī)發(fā)展”期，新的發(fā)現(xiàn)是在既有結果的基礎上一點一滴地增添新的見解和知識，而在“范式轉型”期，那就需要徹底打破之前所獲得的知識見解和方法論，從全新的角度出發(fā)來重新建構新的知識，數(shù)學就是這么一種情況。

如果你一直用學校里教的那些看起來像是“結束了”的數(shù)學來看待數(shù)學的話，那就很難相信數(shù)學里也會不斷產生新的東西，以及數(shù)學也是不斷進步的學科。

但在歷史長河中，數(shù)學里確實發(fā)生了各種各樣的進步，某些時候甚至還創(chuàng)造出了一個全新的思維框架。

從總體上說，數(shù)學這個學科就是在漫長的歷史中不斷被創(chuàng)造、被“破壞”、被超越的許多研究分支和思維框架的集合體。

其中包含著數(shù)量眾多且內容迥異的理論，甚至是看起來完全不同的理論，這些理論的總合就是我們今天稱為“數(shù)學”的那個學科。

我們完全不能說它是一個具有單一的研究領域的學科，因為它的研究領域多得驚人，而且這些領域相互交織，構成了一個巨大的網(wǎng)絡，故我們可以說數(shù)學是一個極其復雜且多樣化的體系。

不妨回憶一下自己在初中或高中時學過的數(shù)學，那里不僅有圖形、數(shù)、函數(shù)、向量，甚至還有數(shù)列和概率，這么多不同種類的對象和概念擠在一起。形象地說，數(shù)學就像是把這些不同種類的對象和概念雜亂地聚在一處來進行“多種打法的格斗大賽”。

要同時處理這么多看起來完全不同的概念，這樣的學科恐怕除了數(shù)學就沒有別的了吧？

正是這種令人驚訝的“內在多樣性”，才使數(shù)學即使已經非常豐富和成熟了，仍然能夠不斷進步和煥發(fā)新生命力。而數(shù)學本身，也正因為在其內部已經具備了這種概念上的“多種打法”的兼收并蓄，才使數(shù)學工作者能夠有各種不同的構思或創(chuàng)意，可以根據(jù)各自的個性工作。

而且，這件事還與數(shù)學中圍繞著“進步”的另一個重要的事實有著密切的關系。這個事實就是，一項極為新穎的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，有時候并不是出現(xiàn)在學科的前沿領域，而是更有可能出現(xiàn)在非常基礎的地方。其他學術領域應該也在發(fā)生著同樣的事情，不過在數(shù)學里，這個現(xiàn)象尤其明顯，即那些具有極其重大影響力的出現(xiàn)或者發(fā)明，一般不是出現(xiàn)在該學科的前沿領域，而是出現(xiàn)在更為基礎性的地方。

舉例來說，和整數(shù)相關的各種問題，自古以來就是數(shù)學上的大問題。

因為不管怎么說，整數(shù)這種對象是連初中生都十分熟悉的，因而與整數(shù)有關的問題很多都是非?；A的問題。在現(xiàn)代數(shù)學中，為了解決與整數(shù)有關的各種問題，已經開發(fā)了各種各樣的概念架構和技術工具，但即便如此，仍然有數(shù)量眾多的問題尚未得到解決。

其中，大部分都是非?；镜膯栴}，比如與素數(shù)有關的問題，而且這些問題本身就是中學生也能夠理解的。像哥德巴赫猜想“任何一個大于等于4的偶數(shù)都能寫成兩個素數(shù)之和”，就是這一類型的問題。

到目前為止，盡管現(xiàn)代數(shù)學的最前沿研究已經達到了很高的高度，面對這樣一個聽起來如此“平易近人”的問題，數(shù)學研究者們仍然拿不出什么有效的解決方法。為了能對這樣的基本問題發(fā)起真正的挑戰(zhàn)，可能必須要找到一些全新的想法，而且應該是與這個問題處于同一個基礎性層面上的發(fā)明創(chuàng)造。

現(xiàn)在，望月教授的IUT理論就是要在這樣一個非常基礎性的層面上發(fā)起一場具有巨大影響力的革新，這恐怕在整個數(shù)學的歷史上都很難找到能與之匹敵的事件。那么，這個理論究竟是怎樣在“基礎性”的層面上顛覆了今天的數(shù)學呢？關于這一點，我們將在后面的章節(jié)里一點一點地介紹和說明。

但是，在此之前，對于該理論的“新穎”之處究竟是關于數(shù)學中的什么東西這個問題，我們倒是可以在這里透露一點內幕消息，那就是對“加法和乘法的關系”提出了全新的理解。加法和乘法之間會有什么樣的關系呢，這不是連小學生都知道的嗎？我們在小學的時候最早學的是加法，然后在這個基礎上又學習了乘法。從某種意義上來說，它們之間的關系是明顯的。這里面還能藏著什么深奧的問題嗎？對于我們普通人來說，這恐怕是無論如何也想象不到的吧。但是，在那里確實藏著很大的問題。而且，正因為這個問題的背景是非?；A的，所以它才是極其深奧難解的問題。

在本書后面的章節(jié)中，對于IUT理論可能會引發(fā)的理論變革的相關內容，我們會盡可能使用簡單、易懂的方式來介紹。由此，我們已經可以窺見這種“破壞力”的一部分，那就是在小學算術的層面上對數(shù)學進行根本性的重新審視。而且，盡管它是革命性的，但也是基于一些非常自然的想法的。這就是為什么即使我們略去各種技術性細節(jié)，也能充分地傳達出想法的基本意思。

02

所謂的數(shù)學進步

到底是怎么一回事？

不管怎么說，數(shù)學就是一個非常自由的學科，而且總是對“進步”保持著開放的態(tài)度，這可能遠遠超出大多數(shù)人的想象。數(shù)學工作者發(fā)揮自己的個性，并在自己觀點的主導下，夜以繼日地為這個進步做著貢獻。然后，當他們得到了一個新定理的證明，或者建構了一個新的理論體系時，通常會把這些數(shù)學上的新工作整理成論文的形式，或者寫成書的形式。

論文的篇幅可以很短，只有幾頁，也可以很長，超過100頁的都有，但基本上就是十幾頁到幾十頁這樣的篇幅。如果你希望把自己所完成的工作傳達給世界各地的數(shù)學工作者的話，那么一般來說，論文就要用英語、法語或者德語來書寫。

其中，德語的使用頻率（流通普及率）如今似乎沒有那么高。能使用德語進行閱讀和書寫的數(shù)學工作者的比例好像也不是太高。我曾經與其他研究者合作發(fā)表過一篇德語論文，出版在Crelle雜志（后面會講到）上，但得到的評價不是很好。到現(xiàn)在還時常被人問到“沒有翻譯成英語嗎？”這樣的問題。另外，我也用法語發(fā)表過一篇簡短的合作論文，這篇文章就沒有出現(xiàn)語言方面的問題。

實際上，在數(shù)學的世界里，法語文獻相當多，如果論文是用法語寫的，那么沒有任何人會有抱怨。但是如果使用的是德語或者俄語的話，很久以前的文章姑且不論，現(xiàn)在的文章就會招來很多人的抱怨。所以，論文還是應該用英語或法語來撰寫。

數(shù)學理論通常是以論文的形式向外界公布的。這就要求把此前只存在于一個或者少數(shù)幾個數(shù)學工作者頭腦之中的想法轉化成文章和數(shù)學公式，而且要能夠讓大家都能看懂。因此，論文寫作的基本要求就是，對于專業(yè)相同的數(shù)學工作者來說，只要讀過這樣的論文，就應該能夠獲得或了解與對應問題有關的理論及必要的知識。這永遠是最基本的要求。所以在這里也一樣，如第1章所述，寫作論文也需要掌握一些專門的溝通交流技巧。也就是說，和口頭宣講時一樣，在論文中，有必要運用行業(yè)術語和專業(yè)性的表達方式。不過從根本上來說，和口頭宣講相比，論文里的內容必須更加詳盡，因而所采用的書寫格式和遣詞造句也就有很大的不同。

對于一篇數(shù)學論文來說，最重要的事情就是它要具備以下3個要素，一是“新”的東西，二是“正確”的東西，三是“意味深長”的東西。這三者之中，不管哪一個有所欠缺，這篇數(shù)學論文的價值都會急劇降低。

在這里，用來判斷“新”的依據(jù)是什么？“正確”的標準又是什么？這都是非常專業(yè)的問題。初出茅廬的年輕研究者，都要經過一番訓練才能做出恰當且專業(yè)的判斷。至于說數(shù)學中的“新”是什么意思，在某種程度上我們已經做出說明了。比如在“科學的常規(guī)發(fā)展”時期，就是要對所選的問題或者對該時代占主導地位的問題給出部分的或者完整的解決方案，也可以是提出理解問題的新視角，而在前面所說的那種“范式轉型”的時期，還包括那種能夠在該領域掀起革命的大論文。

03

數(shù)學是一個需要體力的學科

那么“正確”又是什么意思呢？簡單來說，所謂“正確”只有一個意思，那就是要給出滴水不漏的證明。正如前面說過的那樣，對于數(shù)學工作者來說，“正確”就是指“已經給出了證明”。而且在那個證明中，任何細節(jié)都不能出現(xiàn)邏輯上的跳躍。在數(shù)學工作者的眼里，只要證明還沒有達到滴水不漏的程度，就是無法令人滿意的。所以說，作為決定一篇論文好壞的“標準”，上面所說的這種“正確”是非常重要的事情。

而且，在數(shù)學里，“正確”這個詞的意思在某些時候是極其嚴格的。數(shù)學中的那些定理，至少對于那些熱愛數(shù)學并且能理解數(shù)學的人來說，是非常自然的，有時候還是十分優(yōu)美的。因此，這些定理的論證與證明在一定程度上也都是自然的，甚至是優(yōu)美的。話雖這么說，但如果認為這種自然性一定會自動地關聯(lián)正確性，那就大錯特錯了。我們可以把那些正在論證困難理論的數(shù)學工作者與F1賽車手做個對比。賽車手們開著車在賽道上以320公里的時速飛馳，還要時刻與對手爭奪那幾厘米的差距。

數(shù)學工作者也是這樣，在運用一個宏大而抽象的概念的時候，對每一個細小的步驟都必須進行精密的論證，而且還要能夠長時間地維持這種高度緊張的論證過程。在數(shù)學工作者為了確?！罢_性”而從事的工作中，就是有這種極其嚴苛的一面。所以說，數(shù)學的論證總是與“錯誤”比鄰而居。盡管我自己平時已經十分小心謹慎了，但還是常常會出現(xiàn)很多“錯誤”。

我們經常能聽到這樣一種說法，那就是很多人在數(shù)學方面的新工作都是在年輕的時候完成的。給出的理由是，人在年輕的時候想法更加靈活，而且有著不拘泥于常規(guī)的自由想法等。

然而，除此之外，“體力”也是一個非常重要的因素。要長時間保持高度緊張的思考，這種對于集中力的高要求，如果沒有體力是肯定做不到的。因此，數(shù)學是一門非常耗費體力的學問。

01

《用數(shù)學的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》

作者：[日]加藤文元

譯者：周健

1.日本天才數(shù)學家望月新一，為解決數(shù)學界頂級難題“abc猜想”而自建的IUT理論（即宇宙際Teichmüller理論）的解讀讀物，展現(xiàn)理論思考脈絡及其對現(xiàn)代數(shù)學體系的重大意義，同時也展示了數(shù)學家的思考方法。

2.深度展現(xiàn)數(shù)學家在做什么？數(shù)學家是如何思考的？數(shù)學的底層邏輯與深度思考方法等問題等，以及數(shù)學家如何挑戰(zhàn)人類遺留下的最后一個超級難題--ABC預測！

3.望月新一親自作序推薦，日本數(shù)學家加藤文元的嘔心瀝血之作，解鎖被遺留下來的數(shù)論難題。