數(shù)學(xué)家和中學(xué)數(shù)學(xué)，這似乎八竿子打不著，正如很多人認為數(shù)學(xué)不過是不斷刷題……

其實，越是基礎(chǔ)的東西越難講清楚，正如數(shù)學(xué)家陳省身先生指出的，把數(shù)學(xué)講得干巴巴的，扼殺了孩子的好奇心，數(shù)學(xué)再簡單也難了。

近些年來，中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育引起了世界各國的數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注，美籍華人伍鴻熙的《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》正是其中的一本代表作。

豆瓣網(wǎng)友對《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》的評價

時隔近十年，這本書的續(xù)作《數(shù)學(xué)家講解中學(xué)數(shù)學(xué)——代數(shù)》終于出版。它以高維的視角，徹底講透中學(xué)代數(shù)的邏輯本質(zhì)。

看過這本書，將學(xué)會用精確的語言和精確的推理得到邏輯嚴密的結(jié)論。正確的數(shù)學(xué)比不正確的要好學(xué)，正如一篇好文章比一篇差文章要容易讀。

伍鴻熙，國際著名微分幾何學(xué)家，他不僅在數(shù)學(xué)研究上取得了令人矚目的成就，還致力于將深奧的數(shù)學(xué)理論加以普及。

01

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個主要障礙

是學(xué)會應(yīng)對抽象的增加

中學(xué)代數(shù)常常讓孩子和家長都頭疼：字母x、y一出現(xiàn)，孩子就莫名緊張；函數(shù)概念抽象難懂，公式定理記了忘、忘了記；解方程靠死記硬背步驟，課后還要埋頭刷題無數(shù)……

這樣的場景是否似曾相識？事實上，“雜交水稻之父”袁隆平院士就曾回憶，自己中學(xué)時不理解為什么負數(shù)乘以負數(shù)等于正數(shù)，問老師原因卻被要求硬背結(jié)論，他從此對數(shù)學(xué)提不起興趣。

袁隆平：記得當(dāng)時學(xué)“負數(shù)乘以負數(shù)得正數(shù)”時，我很不理解，說正數(shù)乘以正數(shù)得到的是正數(shù)，這還好理解，為什么負數(shù)乘以負數(shù)也得正數(shù)？我就問老師為什么，老師不講，只要我呆記。我不懂，那怎么呆記呢？要講道理呀！從此我便對數(shù)學(xué)不感興趣了。

數(shù)學(xué)家伍鴻熙一針見血地指出，如果不講清背后的邏輯，讓學(xué)生死記硬背規(guī)則，只會讓他們以為數(shù)學(xué)就是一堆不可理喻的規(guī)定，久而久之完全喪失繼續(xù)深造的信心。

更糟糕的是，一些教材還要求學(xué)生在正式學(xué)代數(shù)前就“理解變量是什么”，結(jié)果孩子每看到一個符號就提心吊膽，仿佛那真是本子上會跳動的“變量”妖怪！在這種氛圍下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)怎能不變得枯燥困難？

1.變量概念含糊：把“變量”作為核心，卻沒有嚴密數(shù)學(xué)定義，初學(xué)者被排除在代數(shù)門外。

2.方程等式本質(zhì)模糊：變量表達式相等到底是什么意思？沒有說清楚。

3.斜率概念機械：只讓學(xué)生背“升程比行程”，完全沒有數(shù)學(xué)推理，甚至教材本身都存在根本性錯誤。

4.方程與圖像的關(guān)聯(lián)混亂：為什么線性方程的圖像是直線？教材沒有嚴密解釋，學(xué)生只能死記硬背公式和方法。

5.平行與垂直的定義突兀：從生活概念突然轉(zhuǎn)為“斜率”等式，導(dǎo)致學(xué)生困惑。

6.恒定速率無定義：教材缺乏把比例推理和線性函數(shù)聯(lián)系起來的嚴密論證。

7.方程圖像未準確定義：學(xué)生對解的幾何意義只是死記硬背，無法進行真正推理。

8.不等式無定義：導(dǎo)致后續(xù)學(xué)習(xí)變成“踩地雷”，只靠記憶跨越難點。

9.有理指數(shù)與指數(shù)函數(shù)邏輯混亂：指數(shù)法則變成機械記憶，沒有內(nèi)在聯(lián)系和推理。

10.二次函數(shù)表述零散：沒有統(tǒng)一的概念框架，學(xué)生只能記一堆公式。

上下滑動查看伍鴻熙針對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些批評

02

突破傳統(tǒng)教學(xué)限制

代數(shù)難點也能迎刃而解

經(jīng)過多年潛心分析中小學(xué)數(shù)學(xué)體系、親身參與教師培訓(xùn)，伍鴻熙用淺顯、生動的講解將代數(shù)變得前所未有的清晰。有了數(shù)學(xué)家的指點，曾經(jīng)令孩子困惑的概念與題目也變得迎刃而解：

變量不再神秘：全書反復(fù)強調(diào)“正確使用符號”的重要性。別小看這一點，這正是破解“變量恐懼癥”的鑰匙——當(dāng)符號用得恰當(dāng)，孩子就會明白，所謂“變量”其實只是表示數(shù)的一個慣用名詞，并非高深莫測的數(shù)學(xué)實體。

以線性方程2x-3=4x為例，教學(xué)上通常配合“天平平衡”或“代數(shù)瓦片”等直觀類比，幫助學(xué)生接受每一步的合法性，然而它過于直觀，學(xué)生將來難以勝任更高階的數(shù)學(xué)思維。

線性方程2x-3=4x 的“類比”教學(xué)。

正確做法是假設(shè)解存在，即設(shè)x0是方程的解，然后逐步用代數(shù)運算法則（加法交換律、結(jié)合律、分配律等）推導(dǎo)和化簡。每一步都明確說明，變量在此時已經(jīng)固定為某個數(shù)，這保證了每一個變換都是關(guān)于具體數(shù)的操作，完全合乎邏輯。

完全不需要去死記硬背一個叫做“變量”的東西。

函數(shù)概念一通百通：針對函數(shù)概念抽象難懂的問題，伍鴻熙用貼近生活的比喻和嚴謹?shù)亩x相結(jié)合的方法，幫孩子建立對“函數(shù)就是一種對應(yīng)關(guān)系”的直觀理解。書中循序漸進地講解了一次函數(shù)、二次函數(shù)等不同類型函數(shù)及其圖像，讓學(xué)生在理解概念的同時掌握函數(shù)的應(yīng)用。

書中讓孩子想象一杯咖啡在變涼，如果只關(guān)心起點和終點的溫度，就像只看了一張“快照”；但如果想知道每一分鐘，甚至每一秒鐘的溫度，就需要一張越來越大的表格，最后發(fā)現(xiàn)其實一個函數(shù) f(t) 就能把每個時刻的溫度都描述清楚。

解方程講邏輯：書中特別注重培養(yǎng)孩子解方程的邏輯思維。例如，為什么一元一次方程的解在坐標系中形成一條直線？書中給出了深入淺出的原因解釋。再如，讓許多學(xué)生疑惑的“一負一正”規(guī)則（負負得正），可以基于分配律等數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)出這個結(jié)論的合理性。

用圖像輔助理解：針對代數(shù)學(xué)習(xí)中“只會算不會看”的通病，伍教授在書中大量引入“代數(shù)圖形化”的思想。例如，他詳細說明了一元二次函數(shù)的拋物線圖像如何由代數(shù)式推導(dǎo)而來，并通過圖形變化直觀展示二次項系數(shù)、常數(shù)項對曲線開口和位置的影響。這種圖形與代數(shù)結(jié)合的直觀教學(xué)，使學(xué)生在大腦中建立起“代數(shù)—幾何”雙重理解，看問題更加全面，學(xué)起來也更有趣。

掌握關(guān)鍵技巧：在代數(shù)解題技巧方面，書中點出了“配方法”作為連接代數(shù)恒等式、方程求解、圖像變換以及函數(shù)性質(zhì)的精髓。掌握了配方法，就掌握了解決二次方程和二次函數(shù)各種問題的基本工具。與其讓孩子刷幾十道求根公式的習(xí)題，不如讓他們真正吃透原理與應(yīng)用，舉一反三的能力由此培養(yǎng)起來。

相比之下，傳統(tǒng)教學(xué)中那些繁冗的公式推導(dǎo)、呆板的規(guī)則記憶，在這里都被更直觀、更具啟發(fā)性的講解所取代。

03

基礎(chǔ)不牢地動山搖

數(shù)學(xué)思維比刷題更重要

伍鴻熙教授指出，許多時候教師的解釋可能對學(xué)生起不到任何作用：設(shè)想一位教師在給母語非英語的學(xué)生上英語課，一個學(xué)生問到“huge”是什么意思，教師回答：“enormous”。他是否解釋清楚了呢？當(dāng)然沒有！

這個例子就是用“神秘的”還未定義的概念（分數(shù)乘法）去解釋更初等的結(jié)論，顯然不符合邏輯。因此，這樣的解釋是無效的。數(shù)學(xué)語言是有一定等級的，并非隨機放在一起的，某些概念和技巧必須出現(xiàn)在其他概念和技巧之前，因為邏輯推理要求這么做。

這本書的每一頁都在努力告訴孩子：“數(shù)學(xué)是講道理的，你也完全可以把它學(xué)懂！”

代數(shù)并不可怕，可怕的是讓孩子在不解其意的狀態(tài)下一味做題。培養(yǎng)了邏輯推理能力和對數(shù)學(xué)原理的深刻認識，即便在不具備高深數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的情況下，也能掌握數(shù)學(xué)的核心知識。最終，孩子不僅能感受到思維的嚴密性和數(shù)學(xué)推理的樂趣，更將具備應(yīng)對復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的能力。

-End-

觀點資料來源：《數(shù)學(xué)家講解中學(xué)數(shù)學(xué)》