數(shù)學家和中學數(shù)學，這似乎八竿子打不著，正如很多人認為數(shù)學不過是不斷刷題……

其實，越是基礎的東西越難講清楚，正如數(shù)學家陳省身先生指出的，把數(shù)學講得干巴巴的，扼殺了孩子的好奇心，數(shù)學再簡單也難了。

近些年來，中小學的數(shù)學教育引起了世界各國的數(shù)學家的廣泛關注，美籍華人伍鴻熙的《數(shù)學家講解小學數(shù)學》正是其中的一本代表作。

豆瓣網(wǎng)友對《數(shù)學家講解小學數(shù)學》的評價

時隔近十年，這本書的續(xù)作《數(shù)學家講解中學數(shù)學——代數(shù)》終于出版。它以高維的視角，徹底講透中學代數(shù)的邏輯本質。

看過這本書，將學會用精確的語言和精確的推理得到邏輯嚴密的結論。正確的數(shù)學比不正確的要好學，正如一篇好文章比一篇差文章要容易讀。

伍鴻熙，國際著名微分幾何學家，他不僅在數(shù)學研究上取得了令人矚目的成就，還致力于將深奧的數(shù)學理論加以普及。

01

數(shù)學學習的一個主要障礙

是學會應對抽象的增加

中學代數(shù)常常讓孩子和家長都頭疼：字母x、y一出現(xiàn)，孩子就莫名緊張；函數(shù)概念抽象難懂，公式定理記了忘、忘了記；解方程靠死記硬背步驟，課后還要埋頭刷題無數(shù)……

這樣的場景是否似曾相識？事實上，“雜交水稻之父”袁隆平院士就曾回憶，自己中學時不理解為什么負數(shù)乘以負數(shù)等于正數(shù)，問老師原因卻被要求硬背結論，他從此對數(shù)學提不起興趣。

袁隆平：記得當時學“負數(shù)乘以負數(shù)得正數(shù)”時，我很不理解，說正數(shù)乘以正數(shù)得到的是正數(shù)，這還好理解，為什么負數(shù)乘以負數(shù)也得正數(shù)？我就問老師為什么，老師不講，只要我呆記。我不懂，那怎么呆記呢？要講道理呀！從此我便對數(shù)學不感興趣了。

數(shù)學家伍鴻熙一針見血地指出，如果不講清背后的邏輯，讓學生死記硬背規(guī)則，只會讓他們以為數(shù)學就是一堆不可理喻的規(guī)定，久而久之完全喪失繼續(xù)深造的信心。

更糟糕的是，一些教材還要求學生在正式學代數(shù)前就“理解變量是什么”，結果孩子每看到一個符號就提心吊膽，仿佛那真是本子上會跳動的“變量”妖怪！在這種氛圍下，數(shù)學學習怎能不變得枯燥困難？

1.變量概念含糊：把“變量”作為核心，卻沒有嚴密數(shù)學定義，初學者被排除在代數(shù)門外。

2.方程等式本質模糊：變量表達式相等到底是什么意思？沒有說清楚。

3.斜率概念機械：只讓學生背“升程比行程”，完全沒有數(shù)學推理，甚至教材本身都存在根本性錯誤。

4.方程與圖像的關聯(lián)混亂：為什么線性方程的圖像是直線？教材沒有嚴密解釋，學生只能死記硬背公式和方法。

5.平行與垂直的定義突兀：從生活概念突然轉為“斜率”等式，導致學生困惑。

6.恒定速率無定義：教材缺乏把比例推理和線性函數(shù)聯(lián)系起來的嚴密論證。

7.方程圖像未準確定義：學生對解的幾何意義只是死記硬背，無法進行真正推理。

8.不等式無定義：導致后續(xù)學習變成“踩地雷”，只靠記憶跨越難點。

9.有理指數(shù)與指數(shù)函數(shù)邏輯混亂：指數(shù)法則變成機械記憶，沒有內在聯(lián)系和推理。

10.二次函數(shù)表述零散：沒有統(tǒng)一的概念框架，學生只能記一堆公式。

上下滑動查看伍鴻熙針對中學數(shù)學教學的一些批評

02

突破傳統(tǒng)教學限制

代數(shù)難點也能迎刃而解

經(jīng)過多年潛心分析中小學數(shù)學體系、親身參與教師培訓，伍鴻熙用淺顯、生動的講解將代數(shù)變得前所未有的清晰。有了數(shù)學家的指點，曾經(jīng)令孩子困惑的概念與題目也變得迎刃而解：

變量不再神秘：全書反復強調“正確使用符號”的重要性。別小看這一點，這正是破解“變量恐懼癥”的鑰匙——當符號用得恰當，孩子就會明白，所謂“變量”其實只是表示數(shù)的一個慣用名詞，并非高深莫測的數(shù)學實體。

以線性方程2x-3=4x為例，教學上通常配合“天平平衡”或“代數(shù)瓦片”等直觀類比，幫助學生接受每一步的合法性，然而它過于直觀，學生將來難以勝任更高階的數(shù)學思維。

線性方程2x-3=4x 的“類比”教學。

正確做法是假設解存在，即設x0是方程的解，然后逐步用代數(shù)運算法則（加法交換律、結合律、分配律等）推導和化簡。每一步都明確說明，變量在此時已經(jīng)固定為某個數(shù)，這保證了每一個變換都是關于具體數(shù)的操作，完全合乎邏輯。

完全不需要去死記硬背一個叫做“變量”的東西。

函數(shù)概念一通百通：針對函數(shù)概念抽象難懂的問題，伍鴻熙用貼近生活的比喻和嚴謹?shù)亩x相結合的方法，幫孩子建立對“函數(shù)就是一種對應關系”的直觀理解。書中循序漸進地講解了一次函數(shù)、二次函數(shù)等不同類型函數(shù)及其圖像，讓學生在理解概念的同時掌握函數(shù)的應用。

書中讓孩子想象一杯咖啡在變涼，如果只關心起點和終點的溫度，就像只看了一張“快照”；但如果想知道每一分鐘，甚至每一秒鐘的溫度，就需要一張越來越大的表格，最后發(fā)現(xiàn)其實一個函數(shù) f(t) 就能把每個時刻的溫度都描述清楚。

解方程講邏輯：書中特別注重培養(yǎng)孩子解方程的邏輯思維。例如，為什么一元一次方程的解在坐標系中形成一條直線？書中給出了深入淺出的原因解釋。再如，讓許多學生疑惑的“一負一正”規(guī)則（負負得正），可以基于分配律等數(shù)學原理推導出這個結論的合理性。

用圖像輔助理解：針對代數(shù)學習中“只會算不會看”的通病，伍教授在書中大量引入“代數(shù)圖形化”的思想。例如，他詳細說明了一元二次函數(shù)的拋物線圖像如何由代數(shù)式推導而來，并通過圖形變化直觀展示二次項系數(shù)、常數(shù)項對曲線開口和位置的影響。這種圖形與代數(shù)結合的直觀教學，使學生在大腦中建立起“代數(shù)—幾何”雙重理解，看問題更加全面，學起來也更有趣。

掌握關鍵技巧：在代數(shù)解題技巧方面，書中點出了“配方法”作為連接代數(shù)恒等式、方程求解、圖像變換以及函數(shù)性質的精髓。掌握了配方法，就掌握了解決二次方程和二次函數(shù)各種問題的基本工具。與其讓孩子刷幾十道求根公式的習題，不如讓他們真正吃透原理與應用，舉一反三的能力由此培養(yǎng)起來。

相比之下，傳統(tǒng)教學中那些繁冗的公式推導、呆板的規(guī)則記憶，在這里都被更直觀、更具啟發(fā)性的講解所取代。

03

基礎不牢地動山搖

數(shù)學思維比刷題更重要

伍鴻熙教授指出，許多時候教師的解釋可能對學生起不到任何作用：設想一位教師在給母語非英語的學生上英語課，一個學生問到“huge”是什么意思，教師回答：“enormous”。他是否解釋清楚了呢？當然沒有！

這個例子就是用“神秘的”還未定義的概念（分數(shù)乘法）去解釋更初等的結論，顯然不符合邏輯。因此，這樣的解釋是無效的。數(shù)學語言是有一定等級的，并非隨機放在一起的，某些概念和技巧必須出現(xiàn)在其他概念和技巧之前，因為邏輯推理要求這么做。

這本書的每一頁都在努力告訴孩子：“數(shù)學是講道理的，你也完全可以把它學懂！”

代數(shù)并不可怕，可怕的是讓孩子在不解其意的狀態(tài)下一味做題。培養(yǎng)了邏輯推理能力和對數(shù)學原理的深刻認識，即便在不具備高深數(shù)學基礎的情況下，也能掌握數(shù)學的核心知識。最終，孩子不僅能感受到思維的嚴密性和數(shù)學推理的樂趣，更將具備應對復雜數(shù)學問題的能力。

-End-

觀點資料來源：《數(shù)學家講解中學數(shù)學》