高等數(shù)學(xué)的奠基

17世紀(jì)初年，由于社會(huì)生產(chǎn)的需要，推動(dòng)了天體力學(xué)、幾何光學(xué)、力學(xué)和數(shù)學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，正是在這些當(dāng)時(shí)處于迅速發(fā)展?fàn)顟B(tài)的學(xué)科里，最先播下了微積分的數(shù)學(xué)種子。

首先，在天體力學(xué)和力學(xué)的發(fā)展中，由于計(jì)算行星的軌道，由于計(jì)算拋物體的運(yùn)動(dòng)，從距離和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度，或從運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度來求運(yùn)動(dòng)物體的距離，這樣屬于變速運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)問題又突出地?cái)[在數(shù)學(xué)家面前。

其次，在幾何光學(xué)與力學(xué)的發(fā)展中，還從另一方面提出了新的數(shù)學(xué)問題。在幾何光學(xué)中，由于設(shè)計(jì)透鏡，需要計(jì)算入射光與法線和切線的變化，因此提出了曲線上的任意一點(diǎn)的切線計(jì)算問題。在力學(xué)中，為了找到運(yùn)動(dòng)物體在曲線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，同樣也提出了曲線上的任意一點(diǎn)的切線的計(jì)算問題。同時(shí)，在數(shù)學(xué)本身的發(fā)展中，特別是在笛卡爾和費(fèi)爾瑪兩人的解析幾何建立之后，求曲線上任意一點(diǎn)的切線問題，同樣也突出地?cái)[到數(shù)學(xué)家面前。

除了上述的求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度和求曲線上任意一點(diǎn)的切線這兩個(gè)基本的數(shù)學(xué)問題之外，還有求函數(shù)的極大值和極小值問題，求曲線的長(zhǎng)度、曲面的面積、曲體的體積等問題，同樣也提到了數(shù)學(xué)的議事日程。這些基本的數(shù)學(xué)問題，實(shí)質(zhì)上可歸于同一數(shù)學(xué)問題。所以，17世紀(jì)初的數(shù)學(xué)家，只要他真正走到了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)的前沿，沒有一個(gè)不想在這一數(shù)學(xué)問題上試試自己的數(shù)學(xué)才能的。

正是在上述歷史條件下，生活在17世紀(jì)初期的數(shù)學(xué)家已對(duì)微積分問題進(jìn)行了卓有成效的探索。在進(jìn)行這一開拓性探索的數(shù)學(xué)家隊(duì)伍中，普通數(shù)學(xué)家多達(dá)幾十人，著名數(shù)學(xué)家多達(dá)十幾人，如笛卡爾、卡瓦列利、費(fèi)爾瑪、羅伯佛爾，以及英國(guó)數(shù)學(xué)家華里斯和牛頓的老師巴羅等人。在這些數(shù)學(xué)家中，法國(guó)數(shù)學(xué)家羅伯佛爾早在1634年寫作《不可分法論》(1693年出版）時(shí)，就曾對(duì)求曲線的問題作過最初的嘗試。1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在出版《用新的方法推進(jìn)連續(xù)體的不可分量的幾何學(xué)》一書時(shí)，已發(fā)明了一種形式比較簡(jiǎn)單的微積分。1637年，笛卡爾在出版《幾何》一書時(shí)，在他的曲線方程的基礎(chǔ)上，也曾對(duì)曲線的切線問題進(jìn)行過最初的研究。1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪在其《求極大值和極小值的方法》一書中，曾用微分法來求極大值與極小值。在英國(guó)，華里斯1655年出版的《無窮算術(shù)》一書中，為微積分的奠基作出了重要的貢獻(xiàn)。此后對(duì)微積分的奠基作出重要貢獻(xiàn)的，便是牛頓的老師巴羅，巴羅在1669年出版的《幾何講義》一書中，已經(jīng)找到了求曲線上任意一點(diǎn)的切線的數(shù)學(xué)方法?？梢哉f，17世紀(jì)初期的這些數(shù)學(xué)家與微積分的最后發(fā)明都只相距一步之遙，而牛頓的老師巴羅直接把牛頓送到了微積分發(fā)明的前沿。

在數(shù)學(xué)研究中，牛頓不僅廣泛地閱讀和研究笛卡爾、費(fèi)爾瑪、華里斯和巴羅等人的數(shù)學(xué)著作，而且善于吸收和綜合他人的數(shù)學(xué)成果。正因?yàn)槿绱?，這就使牛頓有可能在綜合當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)成果的基礎(chǔ)上，跨出最高的和最后的一步，從而最終完成微積分的發(fā)明。

據(jù)牛頓自己說，他最初發(fā)明微分方法是在1665年11月，而最初發(fā)明積分方法是在1666年5月，這兩年正是牛頓在他的故鄉(xiāng)逃避瘟疫的時(shí)期。當(dāng)然，牛頓所說的時(shí)間，是他最初發(fā)明這一數(shù)學(xué)方法的時(shí)間，而真正較為系統(tǒng)的建立起微積分的基本原理和主要方法，是在此后十年左右的時(shí)期。

在最初的發(fā)明微積分方法之前的1664-1665年間，牛頓曾運(yùn)用華里斯的分析方法，對(duì)二項(xiàng)式進(jìn)行過研究。這一研究是由曲線形面積的求積問題引起的。在研究中，牛頓嘗試用無窮級(jí)數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算。隨著研究的深入，牛頓發(fā)明了著名的二項(xiàng)式定理。而這一定理作為曲線形面積的最直接最簡(jiǎn)便的求積方法，對(duì)牛頓發(fā)明微積分方法起了直接的推進(jìn)作用。

1669年，即牛頓繼任盧卡斯講座數(shù)學(xué)教授的當(dāng)年，牛頓即著手進(jìn)行微積分的研究。同年，他寫出了記述微積分的第一部重要論著：《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》。在這一論著中，牛頓在他初步引入的無窮小量的基礎(chǔ)上，找到了求一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的普遍方法，并因此初步地建立起微積分的基本原理。但這一論著的原稿在當(dāng)年送交皇家學(xué)會(huì)登記備案后，直到1711年才公開發(fā)表。

1671年，牛頓寫出了研究微積分的第二部重要著作：《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》，即《流數(shù)術(shù)》。在這一著作中，牛頓改變了變量由無窮小量組成的看法，從力學(xué)的瞬時(shí)速度的角度對(duì)微積分方法進(jìn)行了研究。他從力學(xué)的運(yùn)動(dòng)觀念出發(fā)，把兩個(gè)變量稱為"流"，而把兩個(gè)變量的變化率稱為"流數(shù)"。同時(shí)指出：微分的基本問題，乃是由已知的兩個(gè)流之間的關(guān)系，求它們的流數(shù)之間的關(guān)系。而積分不過是微分的逆運(yùn)算。在《流數(shù)術(shù)》中，牛頓還討論了流數(shù)術(shù)的一些應(yīng)用，如用它微分隱函數(shù)，求曲線的切線，求極大值與極小值，求曲線的曲率等。在《流數(shù)術(shù)》中，牛頓還附入了一個(gè)積分的簡(jiǎn)表。但《流數(shù)術(shù)》在牛頓生前也未能出版。直到1736年，即牛頓逝世9年后，這一著作方從拉丁文原稿譯成英文出版。

1676年，牛頓寫出了研究微積分的第三部重要論著：《曲線求積法》(一譯《求曲邊形的面積》）。早在1672年，牛頓在研究華里斯的求積方法時(shí)，就發(fā)現(xiàn)了曲線的作法及其計(jì)算方法。在研究求積問題的基礎(chǔ)上，牛頓在《曲線求積法》中進(jìn)一步改變了對(duì)無窮小量的看法，并試圖進(jìn)一步消除甚至完全拋棄無窮小量的概念，以建立起不用無窮小量的微積分。他說："我認(rèn)為數(shù)學(xué)中的量并不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來描述的。直線不是一部分一部分的連接，而是由點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)畫出的，因而是這樣生成的；面是由線的運(yùn)動(dòng)，體是由面的運(yùn)動(dòng)，角是由邊的旋轉(zhuǎn)，時(shí)間段落是由連續(xù)的流動(dòng)生成的。"牛頓在放棄無窮小量的概念之后，代之以另一新的觀念：最初的和最終的比(亦譯為基本的和最終的比）。他說："流數(shù)可以任意地接近于在盡可能小的等間隔時(shí)段中產(chǎn)生的流量的增量，精確地說，它們是最初增量的最初的比。"同樣，牛頓的這一著作也直到1704年才公開發(fā)表。

盡管牛頓在對(duì)無窮小量這一基本概念的表述中，經(jīng)歷了前后不同的演變，并因此引起了這一概念自身的混亂。但是，正是在持續(xù)十年左右的探索中，微積分的基本原理和主要方法，都由牛頓較為完整地建立起來了。

后來，牛頓把微積分的基本原理寫入他在1686年底完成的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》這一總結(jié)性的著作中。在《原理》的第三版中，牛頓似乎已在微積分的極限理論周圍徘徊。他說："量在其中消失的最后比，嚴(yán)格說來，不是最后量的比，而是無限減少的這些量的比所趨近的極限，而它與這個(gè)極限之差雖然能比任何給出的差更小，但是在這些量無限縮小以前既不能越過也不能達(dá)到這個(gè)極限。"當(dāng)然牛頓只是提出了最初的極限概念，并未能最終建立起極限理論。但是，牛頓的極限概念無疑是后來法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西(1789-1857年）建立極限理論的思想起點(diǎn)。所以，盡管牛頓的微積分方法本身還不十分完善，而且還缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，但是，作為一種全新的數(shù)學(xué)方法，它的發(fā)明已由牛頓基本上完成了。

微積分的發(fā)明，是繼笛卡爾和費(fèi)爾瑪?shù)慕馕鰩缀伟l(fā)明之后，近代數(shù)學(xué)史上的又一大功績(jī)。自此之后，整個(gè)數(shù)學(xué)才真正進(jìn)入了一個(gè)全新的發(fā)展時(shí)期--高等數(shù)學(xué)的發(fā)展時(shí)期。如果說，解析幾何的發(fā)明還只是高等數(shù)學(xué)的曙光的話，那么微積分的發(fā)明則是高等數(shù)學(xué)的光輝燦爛的日出了。自此以后，整個(gè)近代數(shù)學(xué)的面貌就大大地改觀了。

微積分的發(fā)明，也使整個(gè)近代科學(xué)獲得了全新的數(shù)學(xué)方法，因?yàn)?只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運(yùn)動(dòng)"。當(dāng)然，在很少一段時(shí)期內(nèi)，在天文學(xué)和力學(xué)以外的自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，人們尚未一下看到這一新的數(shù)學(xué)方法的潛力。直到19世紀(jì)70年代初，當(dāng)英國(guó)著名電磁學(xué)家麥克斯韋(1831-1879年）運(yùn)用微積分建立起關(guān)于經(jīng)典電磁理論的麥克斯韋方程時(shí)，人們才進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到這一數(shù)學(xué)方法的巨大威力。