分析學的嚴格化和復變函數(shù)論的創(chuàng)立

一般說來，凡本質上與極限概念有關的數(shù)學分支稱為分析數(shù)學。它是17世紀以來在微積分學發(fā)展的基礎上形成的數(shù)學中一大分支。它曾和幾何學、代數(shù)學并列為數(shù)學中三大主要分支。

圍繞著分析學的基礎問題，在18世紀曾經進行過一場爭論。到了19世紀，分析學中直觀的然而并不嚴密的論證所導致的局限性和矛盾愈顯突出。因此分析學的嚴格化問題日益引起數(shù)學家的關注。事實上，這時期的微積分雖然已發(fā)展成為一門獨立的學科，具有豐富的內容和廣泛的應用，但是它自己還未形成嚴格的邏輯體系。

微積分學中的一些基本概念，如函數(shù)、極限、導數(shù)、微分和積分等概念都沒有嚴格的定義。分析學的嚴格化是從波爾查諾(1781-1848，捷克）、柯西(1789-1857，法國）、阿貝爾和狄利克雷(1805-1859，德國）的工作開始的，并由外爾斯特拉斯(1815-1897，德國）進一步發(fā)展了的，其中柯西與外爾斯特拉斯的工作為最主要。通過上述數(shù)學家的工作確立了以極限理論為基礎的現(xiàn)代分析學體系，這是19世紀數(shù)學發(fā)展中最為重要的成就之一。

1673年，萊布尼茨(1646-1716，德國）首先使用函數(shù)這一概念�？挛髟谒摹斗治鼋坛獭�(1821年）中從定義變量開始，對于函數(shù)概念引入了變量間對應關系。狄利克雷在1837年以變量間對應關系的說法給出了(單值）函數(shù)概念的現(xiàn)代定義，根據(jù)這個定義，對于函數(shù)不一定要求有解析表達式。

如在1829年給出的狄利克雷函數(shù)，即在一切有理數(shù)取值為1，在一切無理數(shù)取值為0的函數(shù)。顯然，這并不需要用解析表達式表示后才確定其為函數(shù)。

在分析學發(fā)展史上，極限理論的建立具有重要的意義，這一工作主要由柯西完成的。柯西通過變量概念，而不是用幾何與力學的直觀給出了極限的定義："若代表某變量的一串數(shù)值無限地趨向于某一固定值時，其差可以隨意小，則該固定值稱為這一串數(shù)值的極限。"這是到那時為止關于極限概念的最為清楚的定義，柯西關于分析學基礎的基本著作是：

①《分析教程》(1821年），

②《無窮小分析教程概論》(1823年），

③《微分計算教程》(1829年）。

通過這幾部著作，柯西奠定了以極限理論為基礎的現(xiàn)代分析學體系。當然，用現(xiàn)代的標準來衡量，在柯西著作中的嚴格性是不夠的，如用了"無限地趨近"，"可以隨意小"之類的語句表述極限概念尚顯得模糊。后來，經過狄利克雷、黎曼，特別是外爾斯特拉斯的工作，才使得分析學的現(xiàn)代形式終于完成。外爾斯特拉斯思想清晰，善于澄清數(shù)學中一些基本而又模糊的概念。

1856年，外爾斯特拉斯在柏林大學的一次講演中主張將分析學建立在算術概念的基礎上，提出了關于極限概念的"ε-δ"說法，對柯西的極限理論的敘述施以"ε-δ"語言。這樣，用"ε-δ"語言敘述分析學中一系列概念，如極限、連續(xù)、導數(shù)和積分等，建立了現(xiàn)代分析學的嚴格體系。

1861年，外爾斯特拉斯構造出一個處處連續(xù)但處處不可微的著名函數(shù)例子：

f(x)＝Σa↑ncos(b↑nπx)

其中0＜a＜1，b是奇數(shù)，并且ab＞1＋3*π/2。外爾斯特拉斯的這個例子對分析學的發(fā)展產生了很大影響，它推動數(shù)學家去創(chuàng)造出更多的函數(shù)，這些函數(shù)雖具連續(xù)性卻并不蘊涵可微性，以及函數(shù)可以具有各種各樣的反常性質，其意義是重要的。它使得數(shù)學家更加不敢信賴直觀的思考了。

柯西藉助于極限理論為分析學奠定了基礎，外爾斯特拉斯在此基礎上又將分析學算術化，這并不表明分析學基礎的研究已經終結。隨著分析學的概念精確化與體系嚴格化，使得數(shù)學家認識到必須建立起嚴格的實數(shù)理論。因為分析學中的許多問題必須借助于實數(shù)才能解決，如極限理論，連續(xù)性與可微性等都與實數(shù)性質相關，所以為了保證分析學結論的正確，應當把分析學理論完全建立在數(shù)的基礎上，這樣就要求有完整的實數(shù)理論。

1872年，戴德金出版了《連續(xù)性與無理數(shù)》，在這部著作中以有理數(shù)為基礎，用嶄新的方法定義了無理數(shù)，建立起了完整的實數(shù)理論，從而建立在極限理論基礎上的分析學形成了嚴密的理論體系。所以，1872年可以看作是分析學基礎完成的一年。

18世紀末到19世紀初建立了復數(shù)與其代數(shù)運算的幾何表示，是復變函數(shù)理論建立的一個重要步驟。復變函數(shù)理論的研究對象是復變數(shù)的函數(shù)，柯西在建立嚴格的分析學理論的同時，為復變函數(shù)理論奠定了基礎。1814年，柯西在巴黎科學院宣讀了復變函數(shù)理論的第一篇重要論文《關于定積分理論的報告》(1827年發(fā)表），開創(chuàng)了復變函數(shù)理論的研究。柯西在復變函數(shù)理論領域作出了出色的貢獻，他給出了柯西——黎曼方程，定義了復函數(shù)沿復數(shù)域中任意路徑的積分，并得到了復函數(shù)沿復數(shù)平面上任意路徑積分的基本定理(即柯西積分定理），由此導出了著名的柯西積分公式上述定理和積分公式是復變函數(shù)理論的基礎。柯西還定義了復變函數(shù)在極點處的留數(shù)，給出了計算留數(shù)的公式，以及建立了留數(shù)定理。

1826年，阿貝爾發(fā)表了《關于很廣的一類超越函數(shù)的一個一般性質》的論文，開創(chuàng)了橢圓函數(shù)理論的研究。1829年，雅可比(1804-1851，德國）著《橢圓函數(shù)論新基礎》，奠定了橢圓函數(shù)理論的基礎。阿貝爾與雅可比創(chuàng)立的橢園函數(shù)理論可以說是復變函數(shù)理論在19世紀發(fā)展中最重要的成就之一。此外，外爾斯特拉斯等對此都作出了重要的貢獻。

1851年，黎曼在其博士論文《單復變函數(shù)的一般理論的基礎》中確立了單值解析函數(shù)的黎曼定義，特別是闡述了現(xiàn)稱為黎曼面的概念，以及共形映射定理，這一定理稱為黎曼映射定理，它成為復變函數(shù)的幾何理論的基礎。黎曼的這篇論文是復變函數(shù)理論的經典性著作。

總之，在這一歷史時期復變函數(shù)理論已發(fā)展成為內容豐富、理論完美、被稱為抽象學科中最為和諧的理論之一，它是19世紀數(shù)學中最為獨特的創(chuàng)造。