什么是數(shù)學(xué)思維？數(shù)學(xué)思維是一種通過抽象、邏輯推理和模式識別，將復(fù)雜問題分解并系統(tǒng)化，從而高效解決問題和做出理性決策的思考方式。在人工智能時代，抽象思維、分析能力和決策力已成為無可替代的競爭力。

數(shù)學(xué)思維的重要性已經(jīng)毋庸置疑，那么如何用一本書讓即便是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的人也能學(xué)會數(shù)學(xué)思維呢？阿爾伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）的這本《人人都用得上的數(shù)學(xué)：生活和工作中的數(shù)學(xué)思維》就做到了這點，這本書不講公式，生動的比喻和案例讓數(shù)學(xué)思維變得直觀有趣，幫你從“思維混亂”走向“頭腦清晰”。

在書中，我們將學(xué)習(xí)抽象思維、分析思維、批判性思維、創(chuàng)造性思維等數(shù)學(xué)思維方法，學(xué)會如何分解復(fù)雜問題、有效糾錯、邏輯推理和識別模式，這些技能在日常生活和職業(yè)發(fā)展中至關(guān)重要。教你運用概率統(tǒng)計、邏輯推理等數(shù)學(xué)工具，在考試、工作、購物、理財?shù)葓鼍爸凶龀龈硇缘倪x擇。

來源 | 《人人都用得上的數(shù)學(xué)：生活和工作中的數(shù)學(xué)思維》

作者：[美] 阿爾伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

作者 | 談天星

任何一個成年人若是被問及對數(shù)學(xué)作何感想，除少數(shù)數(shù)學(xué)愛好者外，大多只能給你個不冷不熱的回應(yīng)。他們大概會說：“嗐！我可不喜歡數(shù)學(xué)?！被蛘哒f：“我數(shù)學(xué)一直很爛！我還是更擅長閱讀（或是藝術(shù)、音樂、寫作、體育……）?！痹倩蛘哒f：“高中那會兒，數(shù)學(xué)課超無聊，我總跟小伙伴傳紙條?！?/p>

我們有千百種討厭數(shù)學(xué)的理由：或許是題海戰(zhàn)術(shù)讓我們煩得想哭；或許是我們在高中時代想要融入某個小團體，于是說服自己，我們不喜歡數(shù)學(xué)〔想想林賽·羅韓（Lyndsay Lohan）在《賤女孩》（Mean Girls）中飾演的角色〕。

甚至，我們曾經(jīng)喜歡過數(shù)學(xué)，卻在代數(shù)課上遇見了那個人見人嫌的“火車問題”。大多數(shù)人可能以為自己并不擅長數(shù)學(xué)，從小學(xué)起就開始相信，自己不是“學(xué)數(shù)學(xué)的料”。

但什么才叫“學(xué)數(shù)學(xué)的料”呢？如果我告訴你，你也能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？其實誰都可以是學(xué)數(shù)學(xué)的那塊料。本書第二部分會讓你相信，你有能力，也應(yīng)該學(xué)會像數(shù)學(xué)家那樣思考，并將向你展示該如何做。

關(guān)于什么是“學(xué)數(shù)學(xué)的料”，許多人心中都會有個概念?；蛟S是數(shù)學(xué)課上舉手最快的那個小孩，或許是總?cè)ズ诎迩扒蠼庾C明題的那位同學(xué)，或許是中學(xué)里的數(shù)學(xué)競賽選手，又或許是學(xué)習(xí)大學(xué)水平課程的高中生。

當(dāng)然，其中可能有一兩位長大后解決了過去懸而未決的問題，繼而震驚全球數(shù)學(xué)圈。其余人大概率并未給數(shù)學(xué)領(lǐng)域帶來什么革新，只是在學(xué)生時代，或是更長久的歲月里，一直喜歡著數(shù)學(xué)。

他們緣何喜歡數(shù)學(xué)？又是什么樣的思維習(xí)慣讓他們在數(shù)學(xué)上取得了成功呢？

這些人知道如何像數(shù)學(xué)家一樣思考。或許他們天生就偏愛邏輯思維，或許他們得到了優(yōu)秀師長的教導(dǎo)，抑或他們年少時便深愛數(shù)學(xué)，于是大腦得到了鍛煉。而關(guān)鍵就在于，他們學(xué)會了像數(shù)學(xué)家一樣思考，你也可以。

你在高中時可能并未意識到，其實數(shù)學(xué)家與藝術(shù)家、音樂家，以及其他創(chuàng)新思考者有許多共同之處。數(shù)學(xué)是一個富有創(chuàng)造性的領(lǐng)域，它涉及可視化、尋找模式、提出假設(shè)，以及做實驗。

你在校園里學(xué)到的內(nèi)容，比如背誦乘法表，或是按步驟解決代數(shù)問題，和數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性思維都無甚關(guān)聯(lián)。鑒于學(xué)校教授數(shù)學(xué)的方式與真正的數(shù)學(xué)相去甚遠(yuǎn)，許多數(shù)學(xué)教育者都在呼吁教學(xué)改革。

2009 年，數(shù)學(xué)教師保羅·洛克哈特（Paul Lockhart）撰寫了《一個數(shù)學(xué)家的嘆息：如何讓孩子好奇、想學(xué)習(xí)、走進美麗的數(shù)學(xué)世界》（A Mathematician’s Lament: How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form）。這本小書已成為許多數(shù)學(xué)教育改革者的基礎(chǔ)讀物。

洛克哈特在該書中主張，數(shù)學(xué)是類似于音樂或繪畫的藝術(shù)形式，不過這一觀點尚未得到認(rèn)可。他對美國教育體制提出了批判：“其實，如果非要我設(shè)計出一種機制，專門用來扼殺孩子們天然的好奇心，以及對模式創(chuàng)作的熱愛，我做不到現(xiàn)有教育體系這種程度。我壓根兒就想象不出那些空洞無物、壓制靈魂，卻構(gòu)成了當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的理念。”

洛克哈特在該書中將數(shù)學(xué)教育比作在學(xué)校里一味記背樂理，卻未曾真正聽過音樂。如果說，大家在上小學(xué)時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只是進行了一系列記憶行為，并未體驗過數(shù)學(xué)的藝術(shù)性與創(chuàng)造力，那我們不免要重新思考，怎樣才算是學(xué)數(shù)學(xué)的料。

我們當(dāng)中有太多人自小便對數(shù)學(xué)失去了興趣。如果那時能夠真正認(rèn)識數(shù)學(xué)，我們會愛上它的。你或許并不常聽人這樣說：“音樂??？哎呀，好無聊。我不是學(xué)音樂的料?！?/p>

數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)——這是屬于數(shù)學(xué)家的秘密。他們知道自己從事數(shù)學(xué)研究，便如音樂家打磨樂曲、藝術(shù)家造就杰作一般。保羅·麥卡特尼（Paul McCartney）聲稱，《昨天》（Yesterday）的旋律源于夢境，這是甲殼蟲樂隊最美的樂曲之一：

在 1998 年為其出版的傳記《多年以后》（Many Years From Now）中，他告訴作者巴里·邁爾斯（Barry Miles）：“當(dāng)我醒來時，我的腦海中有一段美妙的旋律。我心想，真好聽，這是支什么曲子呢？我身旁有架鋼琴，就在床的右邊，靠著窗戶。下床后，我在鋼琴前坐下，奏出了 G 和弦，接著是升 F 小七和弦，而后從 B和弦轉(zhuǎn)向 E 小三和弦，最終回到 E 和弦。整個過程流暢自然。我很喜歡這段旋律，只不過，因為是在夢中遇見的，我都不敢相信這是我寫出來的?！?br/>

同樣，也有數(shù)學(xué)家聲稱，他們在睡夢中取得了重大數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。印度數(shù)學(xué)家斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）堅信，是印度女神通過夢境將方程傳授于他；據(jù)稱，法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡兒（Rene Descartes）早晨躺在床上時，會在半夢半醒間萌生出絕佳的想法，他發(fā)明了以自己的姓氏命名的笛卡兒坐標(biāo)系，也就是標(biāo)準(zhǔn)的二維坐標(biāo)系。在睡著時或是剛醒時，人處于放松狀態(tài)，因而大腦可以對清醒時所專注的問題進行創(chuàng)造和構(gòu)思，形成相關(guān)的想法。

最近的神經(jīng)科學(xué)研究表明，大腦中用于處理數(shù)學(xué)和語言的區(qū)域是不同的。在 2016 年的一項研究中，兩位法國神經(jīng)科學(xué)家阿馬爾里克（Amalric）和德阿納（Dehaene）發(fā)現(xiàn)，我們的大腦會在幾乎同一區(qū)域處理高等數(shù)學(xué)以及解決問題，而這些區(qū)域與處理語言的大腦區(qū)域沒有重疊。這就可以解釋，為什么據(jù)稱愛因斯坦曾說：“當(dāng)我進行思考時，文字和語言，無論是書面的還是口頭的，似乎都起不到任何作用。”

最為關(guān)鍵的是，這兩位法國神經(jīng)科學(xué)家還發(fā)現(xiàn)，我們上小學(xué)時所學(xué)習(xí)的那種簡單數(shù)學(xué)也是由同樣的大腦區(qū)域處理的。

研究結(jié)果表明，當(dāng)數(shù)學(xué)家面對其專業(yè)領(lǐng)域中的論點或問題時，大腦中的一系列區(qū)域，包括左右半球的前額葉皮層、頂葉皮層和下顳葉，就會被激活。普通人在處理數(shù)據(jù)、做加減運算，或是看見寫在紙上的數(shù)學(xué)公式時，也是調(diào)用這些腦區(qū)。

數(shù)學(xué)家的大腦處理高等數(shù)學(xué)就和任何人做加減運算是一樣的。這是一項革命性的發(fā)現(xiàn)。這表明，我們都能成為數(shù)學(xué)家，或者至少可以像他們一樣思考。這也證明了“智人對時空與數(shù)有著與生俱來的認(rèn)知”。

于我們而言，這又意味著什么呢？我們可是不大可能會取得革命性數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的普通人。這并不意味著，我們隨便睡一覺，就能盼著某個發(fā)現(xiàn)會在夢中突然降臨。你不可能一夜之間就跳出尋常人的生活，變成知名數(shù)學(xué)家（或是作曲家）。但你可以訓(xùn)練自己的大腦，像數(shù)學(xué)家一樣思考。這正是本書所要探討的內(nèi)容。

數(shù)學(xué)家的大腦并非專為解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題而設(shè)計，我們也不是只能停留在基礎(chǔ)的乘法表上。二年級的小孩學(xué)數(shù)學(xué)時用到的腦區(qū)和拉馬努金還有笛卡兒是一樣的。當(dāng)然，并不是誰都能成長為拉馬努金或是笛卡兒，就好像不是每個音樂家都能成為下一個保羅·麥卡特尼，但我們的大腦中都有用于處理數(shù)學(xué)的必備區(qū)域。

那數(shù)學(xué)家為何會與眾不同呢？除卻一定的天賦外，他們還建立了數(shù)學(xué)家獨有的思考方式。他們練就了相應(yīng)的技能以追尋自己所熱愛的藝術(shù)。他們大多會為這門藝術(shù)傾注大量的時間。他們會與旁人交流，接觸新思想，鉆研問題，他們甚至?xí)谒瘔糁兴伎冀鉀Q方案。

我們再來細(xì)聊一下保羅·麥卡特尼的那則趣聞。

保羅可不是光靠學(xué)習(xí)鋼琴上的音符，就在一夜之間寫出了《昨天》的曲譜。他學(xué)會了音樂的語言（樂譜上的音符意味著什么，如何閱讀并演奏和弦，什么是好的和聲），然后進行了大量的思考。他的大腦得到鍛煉，從而建立了音樂家的思維模式。我們可以猜想，他會將一天中的大部分時間用于對音樂的思考。

研究人員和教育工作者早已知曉，培養(yǎng)一個人像數(shù)學(xué)家一樣思考是可行的。至于如何實現(xiàn)這一點，尚有爭議。改革數(shù)學(xué)教育的嘗試可追溯至數(shù)十年以前〔湯姆·萊勒（Tom Lehrer）在 1965 年寫過一首歌，叫《新數(shù)學(xué)》（New Math）a〕。1996 年（洛克哈特的《一個數(shù)學(xué)家的嘆息》問世以前），一篇關(guān)于數(shù)學(xué)“思維習(xí)慣”的重要文章要求進行數(shù)學(xué)教育改革，以期更為準(zhǔn)確地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家在做什么，是如何思考的。作者們在開篇即指出：“過去的經(jīng)驗告訴我們，等今天的一年級小學(xué)生高中畢業(yè)的時候，很可能會面臨如今尚不存在的問題。”

與 21 世紀(jì)科技革命以前的 1996 年相比，當(dāng)下更是如此。作者們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育一直就是讓學(xué)生記憶“一堆事實”。

他們呼吁對數(shù)學(xué)教育進行徹底的改革，所以文章中關(guān)注的并非數(shù)學(xué)家推演出了什么事實，而是他們的思維習(xí)慣。作者們提議，應(yīng)當(dāng)教會學(xué)生思考，而非對其灌輸數(shù)學(xué)家的思想。他們寫道：

我們設(shè)想的課程會將創(chuàng)造數(shù)學(xué)的方法與研究人員使用的技術(shù)提升至與研究結(jié)果同等的地位。我們并非要將大批高中生培養(yǎng)成大學(xué)里的數(shù)學(xué)家，而是希望幫助高中生學(xué)習(xí)并采用數(shù)學(xué)家思考問題的一些方式。

作者們希望，教育能塑造出對模式敏銳、會做實驗、能把問題講清楚、有匠心、有創(chuàng)造力、有想象力、能提出猜想與假設(shè)的一群人。傳統(tǒng)觀念則與此截然不同，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是需要記記背背的基礎(chǔ)算術(shù)。

為闡明如何教授數(shù)學(xué)思維， 2010 年美國首次頒布的《共同核心州立數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（“Common Core State Standards for Mathematics”）列出了八項數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)（SMPs），可與學(xué)生在 K-12 教育階段中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念同時進行教學(xué)。有時，它們會被寫成更適合孩子的語言；甚至于，你會在孩子教室的墻上看見寫有這些實踐內(nèi)容的彩色海報。這八項實踐標(biāo)準(zhǔn)如下：

1. 理解問題，鍥而不舍地解決問題；

2. 進行抽象和定量推理；

3. 構(gòu)建可行的論證，評判他人的推理；

4. 建立數(shù)學(xué)模型；

5. 戰(zhàn)略性地使用合適的工具；

6. 注重精確性；

7. 尋找結(jié)構(gòu)，加以利用；

8. 在重復(fù)推理中尋求規(guī)律，表達規(guī)律。

參照這些實踐標(biāo)準(zhǔn)，即便沒有正規(guī)的數(shù)學(xué)知識，你也能像數(shù)學(xué)家一樣思考。數(shù)學(xué)家所做的事情就是運用邏輯、探尋模式、抽象推理，即便遇到難題也絕不放棄，并堅持不懈地尋求解決方案（說不定人家會去睡一覺，在夢里繼續(xù)求解）。顯而易見，像數(shù)學(xué)家一樣思考對于我們個人和整個社會都大有裨益。這些都是21 世紀(jì)所需的技能。

當(dāng)我們希望憑借數(shù)學(xué)來應(yīng)對 21 世紀(jì)的問題時，就會知道不能僅憑字面意思來理解愛因斯坦的話。雖說大腦中用于處理語言和數(shù)學(xué)的區(qū)域是不同的，但我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時仍然需要語言。說不定你就是那種會被代數(shù)中的文字題勸退的人。我不會讓你把文字題撕了，扔出窗外。文字題，尤其是實際生活中的問題，對于數(shù)學(xué)教育至關(guān)重要。

你在數(shù)學(xué)課上看到的問題大多與現(xiàn)實生活沒什么關(guān)系。說不定你還記得自己在初二時向老師抱怨過：“可我什么時候才會需要知道這個呢？”數(shù)學(xué)課上的許多問題都是人為設(shè)定的。你不大可能上了某趟火車，朝著某個方向前進，然后需要計算出何時會與另一列反向行駛的火車相遇。但在日常生活中，你會遇到各種各樣的數(shù)學(xué)問題，你可能甚至都沒意識到那些就是數(shù)學(xué)。

你喜歡領(lǐng)優(yōu)惠券嗎？如果你正在合計自己的購物預(yù)算，盤算著能省下來多少錢，那就是在做數(shù)學(xué)呀。

你是不是會瞅兩眼手機，想知道電量還能撐多久？這可不就是在做數(shù)學(xué)嘛。你有沒有粉刷過住宅或是公寓的墻壁？你得算出要買多少油漆。這也是數(shù)學(xué)。

當(dāng)然，這些并不是最為激動人心的數(shù)學(xué)問題（愛因斯坦大概不會去琢磨墻壁的面積），卻都是現(xiàn)實生活中涉及數(shù)學(xué)思維的問題。你可能每天都在以未曾意識到的方式運用著數(shù)學(xué)。接下來就要搞清楚數(shù)學(xué)思維到底意味著什么，然后利用好這些技能，去應(yīng)對 21 世紀(jì)更具挑戰(zhàn)性的問題。

如果你去問教育工作者，21 世紀(jì)的學(xué)生需要什么樣的技能，你會得到各種各樣的答案。人們大多會提到科技，以及在面對源源不斷的信息時，需要對相關(guān)的和不相關(guān)的內(nèi)容加以區(qū)分。顯然，誰也不知道我們將來會需要什么樣的技能，但我們無比確信，肯定不是傳統(tǒng)上在校園里學(xué)到的那些技能。（因此，從各方面來看，向老師詢問什么時候才會需要知道某個東西，這是正確的做法?。?/p>

在 2008 年的一場演講中，富有影響力的教育家肯·羅賓遜（Ken Robinson）將教育體系比作工廠。我們按照出生年份成“批”地打造小孩，期盼著他們能發(fā)揮相同的作用。這在工廠作業(yè)支撐經(jīng)濟的時代還算有效，但我們的社會已然發(fā)生改變，還將持續(xù)飛速變化。

“人們想要知道：我們該如何教育孩子，好讓他們立足于 21 世紀(jì)的經(jīng)濟體系中？”肯問道，“我們連下周的經(jīng)濟會呈現(xiàn)何種態(tài)勢都不知道，又該如何做到這一點呢？問題就在于，現(xiàn)有教育體系的設(shè)計、構(gòu)想與建立，所考量的是另一個時代?！?br/>

肯的回答是：學(xué)校需要培養(yǎng)的是發(fā)散思維，或者說，“對于同一個問題，能夠給出多種可能的答案，以多種方式去解讀”。換言之，我們需要解決問題的技巧。誰的頭腦在技巧方面得到了最好的鍛煉呢？答對了，是數(shù)學(xué)家。我們知道，要想應(yīng)對即將到來的未知挑戰(zhàn)，就得有解決問題的技巧。根據(jù)神經(jīng)科學(xué)研究，我們還知道，數(shù)學(xué)家是在大腦中用于解決問題的區(qū)域應(yīng)對挑戰(zhàn)。

也就是說，讀者朋友，你要是能從數(shù)學(xué)家那里得到啟示，便會立于應(yīng)對未來挑戰(zhàn)的有利位置。無論背景如何，技能多少，你都可以通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式，以及運用這些技巧，來鍛煉自己的大腦。在這一部分中，你將學(xué)會：

1. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)習(xí)慣；

2. 成為更好的模式識別者；

3. 運用概率與實驗；

4. 用數(shù)學(xué)語言描述與表達；

5. 動手嘗試；

6. 發(fā)明創(chuàng)造；

7. 可視化；

8. 提出猜想。

你可能會注意到，這些技巧基于我們之前討論過的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)。這并非巧合。數(shù)學(xué)家與頂尖的數(shù)學(xué)教育工作者都知道，像數(shù)學(xué)家一樣思考的前提條件是什么。

你會從每一章中了解到，數(shù)學(xué)家是如何運用各種技巧或思維習(xí)慣的；各章還會給出一些竅門與練習(xí)，幫助你像數(shù)學(xué)家一樣思考。別擔(dān)心，這不是數(shù)學(xué)課本，而是提供了鍛煉大腦的方法，這樣你就能以數(shù)學(xué)家的思維模式著手解決問題。

《人人都用得上的數(shù)學(xué)：生活和工作中的數(shù)學(xué)思維》

作者：[美] 阿爾伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

譯者：談天星

文科生也能掌握的數(shù)學(xué)思維入門寶典！

1.提升核心思維能力：數(shù)學(xué)思維是一種通過抽象、邏輯推理和模式識別，將復(fù)雜問題分解并系統(tǒng)化，從而高效解決問題和做出理性決策的思考方式。

2.與生活緊密相關(guān)：本書介紹了“系統(tǒng)性思維”“批判性思維”“模式識別”等實用策略，教你運用概率統(tǒng)計、邏輯推理等數(shù)學(xué)工具，在生活中做出更理性的選擇。

3.文科生也能輕松掌握：本書不講公式，生動的比喻和案例讓數(shù)學(xué)思維變得直觀有趣，幫你從“思維混亂”走向“頭腦清晰”。