如何聯(lián)想到“牧民飲馬”問題？

人教版數(shù)學(xué)八年級上冊綜合與實(shí)踐《最短路徑問題》是經(jīng)典的最值問題，教材中明確給出了研究方法，即利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等，對線段和的最小值問題進(jìn)行探究.

這節(jié)課的活動(dòng)目標(biāo)是：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的最短路徑問題；會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法描述最短路徑問題，把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；會(huì)通過邏輯推理解決數(shù)學(xué)問題；會(huì)用數(shù)學(xué)問題的結(jié)果解釋最短路徑問題，獲得最短路徑問題的答案.

在這個(gè)問題解決之后，我們可幫助學(xué)生歸納方法，形成解題模型，模型特征非常明顯，直線同側(cè)有兩定點(diǎn)，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，分別連接定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)，所得線段和最短.

當(dāng)我們在面對這類問題的時(shí)候，需要將新問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問題，這是解題模型的正確打開方式.

題目

在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△ADE（點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E）.

(1)如圖1，連接BD，CE，求證：BD=CE；

(2)如圖2，若AB=AC=6，α=60°，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0°至360°得到△ADE的過程中，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，連接BE，CE，求△BCE的面積；

(3)如圖3，若AB=AC=6，α=60°，當(dāng)AD與AC重合時(shí)，再將△ADE沿直線AC平移，得到△AD'E'，連接BE'，BD'，求△BD'E'周長的最小值.

解析：

01

(1)由旋轉(zhuǎn)可證△ABD≌△ACE，如下圖：

所以得到BD=CE；

02

(2)由旋轉(zhuǎn)仍然可得△ABD≌△ACE，再延長BC、ED相交于點(diǎn)F，連接BD，如下圖：

△ABC與△ADE的對應(yīng)邊BC⊥DE，則可知旋轉(zhuǎn)角為90°，因此可得等腰Rt△ABD，求得BD=6√2，由△ABD≌△ACE得BD=CE，可再證△BDF≌△ECF，所以BF=EF，得到DF=CF，不妨設(shè)DF=CF=x，在Rt△BDF中由勾股定理得x2+(x+6)2=(6√2)2，解得x=-3+3√3，所以EF=6+(-3+3√3)=3+3√3，它是△BCE的高，因此可求出面積為9+9√3；

第二種情況類似，如下圖：

同理可得EF=-3+3√3，則△BCE的面積為-9+9√3.

03

(3)理解△BD'E'周長的最小值是關(guān)鍵，從圖中可知，這個(gè)三角形有一條邊長是固定的，即D'E'=6，另兩邊長度未知，所以求△BD'E'周長的最小值，等同于求BD'+BE'的最小值，如下圖：

轉(zhuǎn)化成求兩條線段和的最小值問題了，此時(shí)應(yīng)該明確需要使用的模型為“牧民飲馬”；

從教材上的活動(dòng)，我們需要明白這一類問題中，構(gòu)成線段和的這兩張線段，分別有一個(gè)端點(diǎn)是固定的，另一個(gè)端點(diǎn)重合，且在某條直線上運(yùn)動(dòng)，顯然上圖中的線段并不符合，因此需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，不妨連接AE'，如下圖：

由平移可知，AE'=BD'，且點(diǎn)E'在直線EE'上，我們再來看AE'+BE'，完美條例模型使用條件了，接下來我們將點(diǎn)A或點(diǎn)B之一關(guān)于直線EE'軸對稱，如下圖：

可知四邊形ABCE為菱形，因此將其對角線BE加倍延長即可得到對稱點(diǎn)B'，再連接AB'，它與直線EE'的交點(diǎn)G，即為使線段和最小的E'位置，此時(shí)AB'=AE'+BE'，我們可以在Rt△AOB'中利用勾股定理來求，BE=6√3=BE'，所以O(shè)B'=9√3，OA=3，得到AB'=6√7，即△BD'E'周長的最小值是6+6√7.

解題思考

上述思路也是較簡單的“套用模型”方法，對于解題模型，我們需要理解它的架構(gòu)，它為什么會(huì)成為模型，是因?yàn)榻滩纳辖o出的是最基本的定理、公式、方法，我們?nèi)魧⑺鼈兛醋鳌霸牧稀保敲锤黝惤忸}模型則是“加工料”，屬于半成品，它們有好用的一面，例如學(xué)生面對的題目恰好可以用模型“組裝”起來，那便如魚得水、勢如破竹，但在模型學(xué)習(xí)過程中，只會(huì)“組裝”是不行的，我們需要理解模型生成的原理，即理解為什么要用模型，這就要求我們在課堂上，除了教會(huì)學(xué)生用，更要教會(huì)學(xué)生為什么用。