在1874年的一篇論文中，格奧爾格·康托爾證明了無窮大有不同的大小，從此永遠(yuǎn)改變了數(shù)學(xué)。一批新近出土的信件表明，這同時(shí)也是一種剽竊行為。

來源 | QuantaMagazine及網(wǎng)絡(luò)公開報(bào)道

編譯 | 數(shù)學(xué)家編譯小組

校對(duì) | 慧玲

去年3月12日，當(dāng)?shù)旅装病じ晁垢S卡琳·里希特走進(jìn)她的辦公室時(shí)，他首先注意到的是那個(gè)半身像。它矗立在房間角落的一個(gè)高底座上，刻畫著一位表情堅(jiān)忍、謝頂?shù)睦霞澥?。戈斯絲毫看不出那個(gè)讓他癡迷了一年多的焦慮、孤獨(dú)之人的影子。

相反，這是歷史眼中的格奧爾格·康托爾。一位知識(shí)巨人：堅(jiān)定不移、意志頑強(qiáng)，決心不顧同儕的強(qiáng)烈反對(duì)，發(fā)起一場(chǎng)數(shù)學(xué)革命。

正是在這里，在德國哈勒大學(xué)，康托爾于150年前發(fā)起了他的革命。1874年，他在這里發(fā)表了數(shù)學(xué)4000年歷史上最重要的論文之一。那篇論文將長期以來被視為數(shù)學(xué)毒瘤、必須不惜一切代價(jià)回避的概念——無窮——具體化了。它迫使數(shù)學(xué)家質(zhì)疑他們一些最悠久的假設(shè)，動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的根基。它催生了一個(gè)新的研究領(lǐng)域，并最終導(dǎo)致整個(gè)學(xué)科被重寫。

現(xiàn)在，35歲的數(shù)學(xué)家兼記者戈斯來到哈勒——從他位于美因茨的家坐火車需要五個(gè)小時(shí)——是為了查閱康托爾遺留下來的一些信件。他見過其中一封的掃描件，并且相當(dāng)確定其他信件會(huì)說些什么。但他想親眼看看原件。

里希特——像康托爾一樣，她的整個(gè)職業(yè)生涯都在這里度過，先是作為研究數(shù)學(xué)家，退休后則擔(dān)任數(shù)學(xué)史講師——示意戈斯坐下。她從堆滿散亂書籍和論文的桌子上拿起一個(gè)薄薄的藍(lán)色活頁夾。里面是幾十張塑料保護(hù)頁，每張都夾著一封手寫的舊信件。

戈斯開始翻閱，像考古學(xué)家進(jìn)入一座失落已久的古墓那樣，饒有興味地審視著這些信件。然后他翻到某一頁，呆住了。他幾乎屏住了呼吸。

不是因?yàn)楣P跡。在他對(duì)康托爾的研究中，他已經(jīng)習(xí)慣了那種奇怪的、幾乎無法辨認(rèn)的、被稱為哥特手寫體（kurrentschrift）的字體，這是德國人一直使用到1900年左右的一種字體。

也不是因?yàn)楹灻?。他知道德國?shù)學(xué)家理查德·戴德金在康托爾理解無窮和鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探索中扮演了關(guān)鍵角色，并且兩人交換過許多信件。

是日期：1873年11月30日。

他以前從未見過這封信。沒人見過。據(jù)信它已經(jīng)丟失，可能在第二次世界大戰(zhàn)的動(dòng)蕩中被毀，或者被康托爾本人銷毀了。

正是這封信有能力改寫康托爾的遺產(chǎn)。這封信最終證明了康托爾那篇著名的1874年論文——那篇后來重塑了整個(gè)數(shù)學(xué)的論文——是一次剽竊行為。

思想的相遇

康托爾于1845年出生在俄羅斯的圣彼得堡。他11歲時(shí)，父親生病了，全家為了躲避俄羅斯危險(xiǎn)的冬天移居德國?？低袪枌⒃谀抢锒冗^余生，并最終完全失去任何口音。但他從未在這個(gè)收養(yǎng)他的家鄉(xiāng)感到完全自在。

隨著康托爾父親的病情持續(xù)惡化，他把所有希望都寄托在六個(gè)孩子中的長子身上。在康托爾的堅(jiān)信禮上，父親給這個(gè)15歲的男孩寫了一封信，警告他許多有前途的人才都因?yàn)槟切┑种扑麄兿敕ǖ娜硕×恕挥袌?jiān)定不移的宗教信仰才能防止他成為另一個(gè)“所謂的被毀掉的天才”。為了發(fā)揮他作為“科學(xué)地平線上的閃耀之星”的潛力，他必須在詆毀者面前堅(jiān)持不懈。

康托爾余生都隨身帶著父親的這封信。他將這種英雄式的知識(shí)反抗觀內(nèi)化于心，并很快找到了施展自己才華的地方：數(shù)學(xué)。正如他所說，數(shù)學(xué)是“一種未知的、秘密的聲音召喚他”的領(lǐng)域。18歲時(shí)，父親去世，他用繼承的遺產(chǎn)進(jìn)入了柏林大學(xué)，這是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的偉大中心之一。

在那里，一場(chǎng)沖突開始醞釀。

格奧爾格·康托爾不斷尋求在數(shù)學(xué)領(lǐng)域留下自己的印記。但到了19世紀(jì)90年代，他的野心使他陷入了嚴(yán)重的抑郁癥。

問題是無窮。數(shù)學(xué)家們?cè)趲浊昵鞍l(fā)明了這個(gè)抽象概念來處理這樣一個(gè)問題：對(duì)于你命名的任何數(shù)字，你總能命名一個(gè)更大的數(shù)字。但無窮本身也帶來了問題。古希臘哲學(xué)家芝諾用它來編造各種悖論。當(dāng)無窮進(jìn)入畫面時(shí)，像大小和加法這樣直截了當(dāng)?shù)母拍钏坪蹙褪Я恕?/p>

無窮也帶來了宗教上的挑戰(zhàn)。基督教神學(xué)規(guī)定，上帝必須比他的任何創(chuàng)造物都偉大——唯一的真無窮，比任何數(shù)字都大。如果普通數(shù)學(xué)家能夠掌控這種不可量化的量，那將是對(duì)上帝的侮辱，從而也是對(duì)教會(huì)權(quán)威的侮辱。

數(shù)千年來，數(shù)學(xué)家們通過同意無窮只是一種有用的技巧，而不是一個(gè)有效的數(shù)學(xué)實(shí)體來規(guī)避這些危險(xiǎn)。正如偉大的數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里希·高斯在1831年的一封信中所說，無窮不過是一種“說法（fa?on de parler）”——一種修辭方式。

但在幾十年內(nèi)，無窮變得越來越難以忽視。

數(shù)學(xué)家們開始重新審視他們最基本的概念，希望使其更加精確。他們開始意識(shí)到，即使他們對(duì)數(shù)字是什么的理解，也建立在搖搖欲墜的基礎(chǔ)之上。

在那之前，他們只把數(shù)字看作是在代數(shù)中解方程得到的答案：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、平方根?，F(xiàn)在，他們中的一些人想探索這些不同的種類如何相互關(guān)聯(lián)，以及是否有其他種類的數(shù)字有待發(fā)現(xiàn)。

理查德·戴德金花費(fèi)了數(shù)十年時(shí)間試圖理解數(shù)學(xué)最基本的對(duì)象。他最著名的論文之一是：《數(shù)字是什么，它們應(yīng)該是什么？》

在這些探索者中，有一位名叫理查德·戴德金的性格安靜的德國數(shù)學(xué)家。1858年，他找到了一種嚴(yán)格定義實(shí)數(shù)的方法——實(shí)數(shù)就是數(shù)軸上出現(xiàn)的任何數(shù)字。但他沒有分享他的發(fā)現(xiàn)。作為一個(gè)思維緩慢而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜?，他更愿意與他人討論他的結(jié)果，直到他確信自己是對(duì)的。

與此同時(shí)，在1870年，康托爾還不知道戴德金的工作，他完成了研究生學(xué)業(yè)，并開始研究關(guān)于某些方程如何表現(xiàn)的實(shí)踐性問題。他對(duì)關(guān)于數(shù)字本質(zhì)的哲學(xué)問題還不感興趣，但他的工作使他得出了自己對(duì)實(shí)數(shù)的定義。

1872年初，戴德金和康托爾分別發(fā)表了他們的成果。

他們都做了一些激進(jìn)的事情：他們重新定義了數(shù)軸。

在他們的論文之前，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，盡管數(shù)軸看起來可能是一個(gè)連續(xù)的對(duì)象，但如果你放大得足夠遠(yuǎn)，你最終會(huì)發(fā)現(xiàn)間隙。

以零和一之間的那段數(shù)軸為例。它包含無窮多個(gè)分?jǐn)?shù)：對(duì)于任意兩個(gè)分?jǐn)?shù)，你總能放大找到介于它們之間的另一個(gè)分?jǐn)?shù)。但無論你放大多少倍，總有一些數(shù)字，比如，是你永遠(yuǎn)也達(dá)不到的。這里有間隙——無窮是斷裂的。

然而，在他們1872年的論文中，康托爾和戴德金找到了一種方法來構(gòu)建一個(gè)完整的數(shù)軸。無論你把它任意一段放大多少倍，它仍然是無窮多個(gè)實(shí)數(shù)連續(xù)連接、不間斷的廣闊領(lǐng)域。

突然間，長期被數(shù)學(xué)家們恐懼的無窮這個(gè)怪物，再也不能被歸到數(shù)軸上某個(gè)無法觸及的部分了。它藏匿于數(shù)軸的每一個(gè)縫隙之中。

那年夏天，康托爾和戴德金都在瑞士風(fēng)景如畫的湖畔村莊格紹度假，在那里他們第一次相遇，并一起長談，討論了他們的想法。

一張19世紀(jì)90年代的印刷品，描繪了瑞士村莊格紹，康托爾和戴德金在那里偶然相遇并迅速成為朋友。

在任何一個(gè)旁觀者看來，這兩個(gè)在湖邊漫步的男人似乎很不相配。27歲的康托爾高大、肩膀?qū)掗熐页錆M熱情。他陶醉于同儕的關(guān)注，但在這一切之下，他對(duì)自己在他們眼中的看法深感焦慮。這使他工作迅速，試圖頻繁快速地發(fā)表成果。另一方面，戴德金比康托爾大13歲，但矮得多，也更加內(nèi)向。他完全沒有康托爾那種急于發(fā)表成果的緊迫感。事實(shí)上，在他的一生中，他發(fā)表的東西相對(duì)較少。

但他們一拍即合。在他們后來寫的信中，兩人都一次又一次地回憶起那個(gè)在湖邊討論數(shù)學(xué)的美好日子。他們?cè)诒舜松砩险业搅嘶锇?，找到了朋友?/p>

然而，這段友誼沒能持久。

追尋一個(gè)故事

德米安·戈斯從小就非常在意規(guī)則。2008年，17歲的他和家人從他長大的德國搬到了他母親的原籍國阿根廷。在那里，戈斯決定開始做裁判?！拔蚁矚g和朋友一起踢足球，”他說——但比起踢球，“我總覺得體育運(yùn)動(dòng)中的不公正令人惱火。當(dāng)我看比賽時(shí)，如果裁判判罰錯(cuò)了，我就想為糾正錯(cuò)誤出份力?！?/p>

這讓他有機(jī)會(huì)將自己的信念付諸行動(dòng)。在接下來的15年里——從他在羅薩里奧國立大學(xué)讀本科、研究生、做博士后研究員和講師期間——他一直為一個(gè)重要的地區(qū)性足球錦標(biāo)賽擔(dān)任職業(yè)比賽的裁判。他回憶說，有一次，人群中的一名球迷向他揮舞著砍刀，這是一種隱晦的威脅。但當(dāng)該球迷的球隊(duì)在接下來的比賽中犯規(guī)時(shí)，戈斯沒有退縮。他只是深吸一口氣，掏出了紅牌。

“做裁判真的是一段塑造性格的經(jīng)歷，”他說?！爱?dāng)人們?cè)噲D恐嚇我時(shí)，我不會(huì)退縮?！?/p>

德米安·戈斯，一位德國阿根廷裔數(shù)學(xué)家和記者，在阿根廷感覺最自在。圖中他正在喝馬黛茶，一種南美洲的傳統(tǒng)草本茶。

盡管戈斯喜歡數(shù)學(xué)研究，但他更被定理背后的故事所吸引。他利用空閑時(shí)間閱讀數(shù)學(xué)思想史，并在大學(xué)咖啡館為他的同學(xué)們繪聲繪色地講述他學(xué)到的故事，同學(xué)們把這個(gè)咖啡館稱為他的“辦公室”。做博士后時(shí)，他有時(shí)會(huì)帶學(xué)生到戶外，通過解釋性舞蹈來闡釋數(shù)學(xué)概念，比如優(yōu)化算法或混沌系統(tǒng)。他說，許多學(xué)生喜歡這種方式，但一些教授警告他不要使用這種非正統(tǒng)的方法?！八麄兇蟾乓詾槟車樀轿?，”戈斯說?！八麄儧]聽過砍刀的故事?！?/p>

2020年，還在做博士后的他病倒了，不得不經(jīng)?；氐聡委?。幾年后，他徹底搬回了德國。博士后結(jié)束后，身體也好轉(zhuǎn)了些，他決定是時(shí)候離開學(xué)術(shù)界，去追尋他對(duì)講故事的喜愛了。于是，在2023年初，他在柏林自由大學(xué)開始了一個(gè)科學(xué)新聞學(xué)的研究項(xiàng)目，專注于開發(fā)一個(gè)播客。他想講述數(shù)學(xué)史上最扣人心弦的故事。

他有了一個(gè)想法，知道從哪里開始。

“因?yàn)槲沂且粋€(gè)情感豐富的人，所以我關(guān)注的是有史以來最情感化的故事，"他說——這個(gè)故事就是無窮如何變成現(xiàn)實(shí)，并催生了集合論（set theory），而集合論為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)提供了新的基礎(chǔ)。"它將我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解推向了極限，”戈斯說?！澳惚仨毟鎰e數(shù)學(xué)直覺，只是開放和接受你將在那里遇到的所有不可思議的事情。”

戈斯制作了一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)和科學(xué)史的播客。正是這個(gè)播客的工作讓他發(fā)現(xiàn)了關(guān)于康托爾和戴德金之間真實(shí)故事的新證據(jù)。

他在學(xué)校學(xué)到的是，康托爾是集合論的唯一創(chuàng)始人——而這一切都始于他1874年發(fā)表的一個(gè)證明。在那個(gè)證明中，康托爾展示了無窮大有不同的大小，終結(jié)了無窮只是數(shù)學(xué)花招的觀念。

戈斯開始為一個(gè)關(guān)于康托爾發(fā)現(xiàn)的播客做研究。但他很快發(fā)現(xiàn)，真實(shí)的故事比他被告知的要復(fù)雜得多。

“我最初的方法是講述每個(gè)人都講的那個(gè)故事。那是一個(gè)美麗的故事，”他說。“但這是一個(gè)錯(cuò)誤的故事。它不是真實(shí)發(fā)生的事情。”

特洛伊木馬

真實(shí)的故事是，康托爾不是一個(gè)孤獨(dú)的天才。他有一個(gè)伙伴——至少在一段時(shí)間內(nèi)是這樣。

每當(dāng)康托爾遇到志同道合的數(shù)學(xué)家，他都會(huì)熱切地追求他們。他會(huì)在黎明時(shí)分出現(xiàn)在合作者的住所，興奮地討論他想到的新想法，有時(shí)會(huì)等上幾個(gè)小時(shí)直到他們醒來。與戴德金的關(guān)系也是如此。1872年在格紹相遇后，康托爾抓住一切機(jī)會(huì)向這位年長的數(shù)學(xué)家請(qǐng)教。

1873年11月，康托爾開始了一次將永遠(yuǎn)改變?nèi)祟愔R(shí)進(jìn)程的通信?！罢?qǐng)?jiān)试S我向您提出一個(gè)問題，”他在一封匆忙寫就的信中告訴戴德金?！斑@對(duì)我有某種理論上的興趣，但我自己無法回答；也許您可以?！?/p>

康托爾為他父親灌輸?shù)臒崆轵?qū)動(dòng)力找到了一個(gè)出口：數(shù)軸的無窮本質(zhì)?！八蟹浅?qiáng)烈的使命感，”西班牙塞維利亞大學(xué)的數(shù)學(xué)史家和哲學(xué)家何塞·費(fèi)雷羅斯說?！八钚?，真實(shí)無窮（actual infinity）的引入不僅會(huì)改變數(shù)學(xué)，還會(huì)改變整個(gè)科學(xué)?！睂?duì)康托爾來說，這種無窮并不與上帝的至高無上相矛盾。它只意味著上帝不是遙遠(yuǎn)和不可知的，而是無處不在，存在于萬物之間。

他開始把實(shí)數(shù)作為一個(gè)單一的、無窮的包來研究，提出了以前沒有人想過要問的問題。1, 2, 3, … 中的三個(gè)點(diǎn)所表示的無窮，與隱藏在神秘連續(xù)的數(shù)軸本身中的無窮，兩者之間有區(qū)別嗎？換句話說，實(shí)數(shù)是否比整數(shù)多？

從表面上看，這個(gè)問題似乎毫無意義。說這些無窮集合有不同的大小，到底是什么意思？

康托爾想找出答案。

他問戴德金，這兩組數(shù)是否可以建立“一一對(duì)應(yīng)”——即每個(gè)實(shí)數(shù)都能與一個(gè)獨(dú)特的整數(shù)配對(duì)。他寫道，他已經(jīng)成功地對(duì)另一組數(shù)做到了這一點(diǎn)：他證明了每個(gè)有理數(shù)（可以寫成分?jǐn)?shù)的數(shù)）都可以分配一個(gè)唯一的整數(shù)，沒有剩余任何數(shù)。也就是說，盡管有理數(shù)看起來比整數(shù)多得多，但這兩組數(shù)實(shí)際上大小相同。因此，兩者都是數(shù)學(xué)家后來稱之為“可數(shù)的（countable）”集合。

但康托爾無法想出如何以同樣的方式比較整數(shù)和實(shí)數(shù)。戴德金很快回信說他也不能——但他已經(jīng)想出了一個(gè)證明，證明代數(shù)數(shù)（作為代數(shù)問題解得到的數(shù)字）是可數(shù)的?！拔也粫?huì)寫所有這些，”戴德金在信的結(jié)尾對(duì)康托爾寫道，“如果我不認(rèn)為這個(gè)或那個(gè)評(píng)論可能對(duì)您有用的話。”

從那以后，數(shù)學(xué)上的交流繼續(xù)進(jìn)行。受到戴德金進(jìn)展的鼓舞，康托爾在接下來的日子里繼續(xù)攻克剩下的問題——實(shí)數(shù)。他能否最終證明，與代數(shù)數(shù)不同，它們是一個(gè)比整數(shù)更大的無窮大？

1873年12月7日，他寫信給戴德金，說他認(rèn)為他終于成功了：“但如果我是在自欺欺人，我肯定找不到比您更寬容的評(píng)判者了?！彼U述了他的證明。但它很笨拙，復(fù)雜難懂。戴德金回信提出了一種簡化康托爾證明的方法，構(gòu)建了一個(gè)更清晰的論證，同時(shí)沒有失去任何嚴(yán)謹(jǐn)性或準(zhǔn)確性。與此同時(shí)，康托爾在收到戴德金的信之前，也給他寄去了一個(gè)類似的想法，關(guān)于如何簡化證明，盡管他沒有像戴德金那樣把細(xì)節(jié)弄出來。

康托爾思考著他手中掌握的東西：兩個(gè)集合，都是無窮的，但其中一個(gè)在某種意義上比另一個(gè)更大。其含義是革命性的。他開始?jí)粝氩恢皇怯幸粋€(gè)無窮，而是有一個(gè)完整的無窮層級(jí)。如果無窮可以如此具體地比較，那么它們一定是真實(shí)的，而不僅僅是修辭方式。

他意識(shí)到，他的證明有可能撼動(dòng)數(shù)學(xué)界的核心。但這也必然會(huì)激怒一些最杰出的人物。

其中一個(gè)人物是利奧波德·克羅內(nèi)克，一位厭惡無窮的數(shù)學(xué)理論家。他不相信數(shù)軸上那些緊密堆積的角落和縫隙。根據(jù)證明了π不是代數(shù)的（你永遠(yuǎn)無法提出一個(gè)普通的代數(shù)問題以π為答案）的數(shù)學(xué)家費(fèi)迪南德·馮·林德曼的說法，克羅內(nèi)克曾告訴他，他的工作毫無價(jià)值，因?yàn)檫@種“超越數(shù)（transcendental）”根本不存在。

對(duì)利奧波德·克羅內(nèi)克來說，無窮在數(shù)學(xué)中沒有位置。當(dāng)康托爾挑戰(zhàn)這一信念時(shí)，克羅內(nèi)克開始著手摧毀他的聲譽(yù)，并阻止他發(fā)表。

克羅內(nèi)克也是數(shù)學(xué)界的一個(gè)重要把關(guān)人。他是世界上最著名的數(shù)學(xué)出版物之一《克雷勒雜志》（Crelle's Journal）的編委。而且他從不猶豫利用自己巨大的影響力來推行他的保守議程。他常常會(huì)決定哪些成果能迅速——或者根本不能——傳到其他數(shù)學(xué)家手中。

康托爾在與他的導(dǎo)師卡爾·魏爾斯特拉斯討論后，想把這些發(fā)現(xiàn)發(fā)表在《克雷勒雜志》上。他想，在那里，他能夠?qū)o窮帶入主流。向全世界揭示上帝的思想。成為數(shù)學(xué)地平線上的一顆閃耀之星。

康托爾的使命感，他內(nèi)心那種“秘密的聲音”，開始膨脹。

康托爾與克羅內(nèi)克關(guān)系良好。但幾年前，戴德金曾在一個(gè)重大成果上搶在克羅內(nèi)克之前發(fā)表，而克羅內(nèi)克對(duì)他的厭惡是眾所周知的。如果康托爾提交一篇與克羅內(nèi)克的宿敵合著的論文——一篇公開宣稱存在多種大小的無窮的論文——它可能永遠(yuǎn)無法發(fā)表。

于是他做了兩個(gè)決定。

第一個(gè)是建造一個(gè)數(shù)學(xué)上的“特洛伊木馬”。

魏爾斯特拉斯對(duì)代數(shù)數(shù)可數(shù)的證明最為興奮。（他后來會(huì)用這個(gè)結(jié)果來證明他自己的一個(gè)定理。）所以康托爾選擇了一個(gè)誤導(dǎo)性的標(biāo)題，只提到了代數(shù)數(shù)。

但他把這個(gè)證明——戴德金的證明——看作是誘餌，是他可以用來撬開被禁止的無窮之門的一個(gè)楔子。在撰寫論文時(shí)，康托爾把關(guān)于代數(shù)數(shù)的證明放在前面。在它下面，他加上了他自己關(guān)于實(shí)數(shù)不可數(shù)的證明——也就是戴德金的簡化版本?？低袪柕说诙糠终嬲闹匾??！八匾膺x擇了一種不會(huì)引起克羅內(nèi)克和所有那些憎恨無窮的人懷疑的措辭，”戈斯說。

康托爾的第二個(gè)決定是聲稱自己是唯一的作者。他小心翼翼地抹去了他合作者貢獻(xiàn)的每一絲痕跡，包括那些知情人會(huì)認(rèn)出是戴德金風(fēng)格的術(shù)語的零星使用。

以典型的康托爾風(fēng)格，他在一天之內(nèi)就把論文拼湊起來，提交給了《克雷勒雜志》。第二天早上，也就是1873年的圣誕節(jié)，他給戴德金寄了一封信，告訴他魏爾斯特拉斯說服了他發(fā)表?！罢缒鷮⒖吹降模彼麑懙?，“您的評(píng)論，我高度重視，以及您闡述某些要點(diǎn)的方式，對(duì)我?guī)椭艽??！?/p>

書寫故事

康托爾欺騙行為的第一個(gè)證據(jù)是在20世紀(jì)初由另一位偉大的德國數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的。埃米·諾特是戴德金的追隨者。她常常詩意地談?wù)撍臄?shù)學(xué)先見之明。正如她喜歡告訴學(xué)生的：“一切都已經(jīng)在戴德金那里了?！?930年，她正將他所有的數(shù)學(xué)著作收集成四卷出版時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)了他保存的一些與康托爾的通信。她與法國哲學(xué)家讓·卡瓦耶合作，也把這些信件收集并出版。

著名數(shù)學(xué)家埃米·諾特幫助收集了康托爾不當(dāng)行為的第一個(gè)證據(jù)。

那時(shí)戴德金和康托爾都已去世十多年了。諾特和卡瓦耶花了接下來幾年時(shí)間追尋戴德金遺產(chǎn)中的信件。1933年，阿道夫·希特勒上臺(tái)后，身為猶太人的諾特從德國逃往美國，兩年后因癌癥在那里去世。但卡瓦耶在1937年完成了他們的項(xiàng)目。

書中呈現(xiàn)的通信很奇怪。它始于1872年康托爾和戴德金相遇后不久的一連串信件。這些來自戴德金遺產(chǎn)的信件，只包括他收到的那些，不包括他寄給康托爾的。然后通信在1874年1月突然中斷，隨后是幾年的沉默。當(dāng)通信在1877年恢復(fù)時(shí)，戴德金自己寫給康托爾的信也出現(xiàn)了。戴德金顯然決定把他寄給這位數(shù)學(xué)同行的一切都留一份副本。

還有一張似乎是戴德金在看到康托爾1874年在《克雷勒雜志》上發(fā)表的文章后給自己寫的便條。在便條中，他敘述了他如何把論文中的第一個(gè)證明和第二個(gè)證明的修訂版寄給康托爾——結(jié)果僅僅幾個(gè)月后，它們就“幾乎逐字逐句”地以康托爾一個(gè)人的名義出現(xiàn)在出版物上。

戴德金從未公開提出這一指控，諾特和卡瓦耶也沒有對(duì)此發(fā)表評(píng)論。“我認(rèn)為對(duì)他們來說，這是一個(gè)非?？桃獾臎Q定，什么都不說，只是讓信件自己說話，”塞維利亞的歷史學(xué)家費(fèi)雷羅斯說。“那是當(dāng)時(shí)的榮譽(yù)準(zhǔn)則?！?/p>

其他人也沒有注意到這一點(diǎn)——至少?zèng)]有公開指出。最早由康托爾的數(shù)學(xué)弟子們撰寫的傳記，只是贊美了他的天才。

戈斯拿著康托爾和戴德金通信的首次出版記錄。

幾十年后，像艾弗·格拉頓-吉尼斯這樣的歷史學(xué)家重新審視了康托爾-戴德金的通信。格拉頓-吉尼斯拼命試圖找到戴德金在1873年寄給康托爾的那些信——那些可能證明康托爾不當(dāng)行為的信。據(jù)推測(cè)，它們?cè)谒篮蟊涣粼诹斯沾髮W(xué)的辦公室里，但現(xiàn)在卻無處可尋。格拉頓-吉尼斯得出結(jié)論，它們很可能在第二次世界大戰(zhàn)期間丟失了，或者在1945年美國及蘇聯(lián)軍隊(duì)占領(lǐng)哈勒后隨之而來的破壞中遺失了。

沒有這些信件，格拉頓-吉尼斯和他同時(shí)代的人決定不指控康托爾有道德失當(dāng)行為。一些人認(rèn)為他的行為得到了戴德金的許可；另一些人則原諒了他的選擇，因?yàn)槭撬_始了這次通信，并且想出了那個(gè)更重要的第二個(gè)證明的初版。

但當(dāng)戈斯在2024年制作播客時(shí)了解到這段歷史，他感到憤慨。他只能找到一篇明確討論康托爾不當(dāng)行為的文章。在1993年的一篇論文中，費(fèi)雷羅斯指控康托爾剽竊并發(fā)表了戴德金的工作而未署名。但其他康托爾傳記作者立即對(duì)費(fèi)雷羅斯的說法提出反駁，認(rèn)為這是對(duì)所發(fā)生事情的過于極端的解釋。而且，沒有戴德金丟失的那封信，就沒有所謂罪行的真正證據(jù)——只有戴德金事后寫的便條。誰能那么肯定其說法是真的呢？

何塞·費(fèi)雷羅斯，塞維利亞大學(xué)的數(shù)學(xué)史家和哲學(xué)家，是第一個(gè)在出版物中指控康托爾剽竊的人。

這仍然是數(shù)學(xué)史家之間一場(chǎng)不起眼的爭論，康托爾作為孤獨(dú)天才的神秘感得以延續(xù)。

戈斯想在他的播客中講述真實(shí)的故事——并且用證據(jù)支持它。他看到了一個(gè)方法。但這希望渺茫。

“他們總是說這些信件在戰(zhàn)后丟失了，”他說。這讓他耿耿于懷?！昂翢o疑問，很多東西丟失了，但這并不意味著沒有別的東西幸存下來。”

許多偉大的歷史學(xué)家都曾尋找過這些信件，但都一無所獲。戈斯才剛剛開始他的研究。但所有專家都可能漏掉了什么嗎？

孤獨(dú)的生存

康托爾在《克雷勒雜志》上的論文并沒有引起巨大轟動(dòng)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家們大多沒有注意到他隱藏在字里行間的內(nèi)容。但他打響了第一槍，開啟了他對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)狀的終身攻擊。他在數(shù)學(xué)界最重要的期刊上發(fā)表了一個(gè)證明，證明無窮有不同的大小。這最終將迫使數(shù)學(xué)家們重新思考該領(lǐng)域的基礎(chǔ)——決定其最基本的規(guī)則及其后果。

與此同時(shí)，戴德金不再回復(fù)康托爾。他們幾乎有三年完全沒有通信。然后，出于不完全清楚的原因，戴德金謹(jǐn)慎地重新接觸。但這一次，他保存了每封寄出信的草稿：一份留作記錄。

兩人又開始討論無窮?？低袪栍?jì)劃跟進(jìn)他關(guān)于無窮有多種大小的工作，并希望得到建議。他的信現(xiàn)在更帶有懇求的意味，而戴德金則更加謹(jǐn)慎。但通信是富有成果的，康托爾很快向《克雷勒雜志》提交了一篇新的、更大膽的論文——這次沒有偽裝。

克羅內(nèi)克強(qiáng)烈反對(duì)。他利用自己在柏林圈子的所有影響力，盡可能地拖延審稿過程。但幾個(gè)月后，魏爾斯特拉斯和其他人代表康托爾出面干預(yù)，論文最終出現(xiàn)在雜志上。

又一次，戴德金寫給康托爾信中的想法未經(jīng)署名就出現(xiàn)在論文里。又一次，戴德金中斷了他們的通信。

康托爾或許最終會(huì)后悔與他僅有的知識(shí)盟友之一決裂。他一直努力想把哈勒這個(gè)數(shù)學(xué)的偏僻之地變成從他工作中發(fā)展出來的新領(lǐng)域——集合論——的中心。他實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的最佳機(jī)會(huì)是聘請(qǐng)戴德金。1882年，他試圖招募他，好像什么都沒發(fā)生過一樣。戴德金禮貌地拒絕了。

隨著康托爾繼續(xù)發(fā)表關(guān)于無窮的成果，克羅內(nèi)克致力于讓數(shù)學(xué)界反對(duì)他。他稱康托爾為“青年的敗壞者”和“叛徒”。當(dāng)康托爾試圖離開哈勒，于1883年申請(qǐng)更負(fù)盛名的柏林大學(xué)的職位時(shí)，那里的教授克羅內(nèi)克阻止了他的任命。其他數(shù)學(xué)家，包括康托爾的一些朋友，也開始勸阻他發(fā)表成果。

康托爾將所有這些抵制都視為針對(duì)個(gè)人的。“他渴望得到認(rèn)可，”戈斯說?！暗雠c別人不同的事情，其本質(zhì)就是他們會(huì)不喜歡?！?884年，康托爾因一次嚴(yán)重的抑郁發(fā)作而住院。隨著時(shí)間的推移，他變得越來越孤立。“有一種模式，”費(fèi)雷羅斯說?！八c許多同事的關(guān)系都以糟糕的結(jié)局告終?！?/p>

康托爾在后期的照片中常常顯得自信而強(qiáng)大。但在他自信的外表下，他是孤獨(dú)和焦慮的。

最終，康托爾成了他父親警告過他的那種反對(duì)力量的犧牲品。當(dāng)他一次又一次地被認(rèn)為理應(yīng)獲得的學(xué)術(shù)職位和榮譽(yù)被拒絕時(shí)，他的使命感讓位于怨恨。他的抑郁癥復(fù)發(fā)了，在接下來的二十年里，他多次住院。1917年，他最終被送進(jìn)一家療養(yǎng)院，在那里他定期給妻子寫信，懇求她讓他回家。他于次年去世。

康托爾被迫退到了邊緣。但他的想法逐漸在年輕一代數(shù)學(xué)家中獲得了關(guān)注。他們?cè)诳低袪柕墓ぷ髦锌吹搅藦念^重寫整個(gè)數(shù)學(xué)的潛力。

幸運(yùn)的發(fā)現(xiàn)

戈斯也想做一些改寫工作。在他2024年的播客中，他報(bào)道了康托爾和戴德金之間的沖突。但由于未能發(fā)掘出任何新證據(jù)，他發(fā)現(xiàn)很難改變這場(chǎng)爭論。他轉(zhuǎn)向了其他項(xiàng)目。

盡管如此，他無法放下這個(gè)故事。

他在空閑時(shí)間繼續(xù)挖掘關(guān)于丟失信件的線索?！拔也徽J(rèn)為還有哪本書是我沒有的，”他說。他盡可能地追蹤原始資料，仔細(xì)查閱大學(xué)檔案館?！拔抑傅氖悄切┰谝黄恼轮兄槐灰恍刑岬竭^一次的原始資料?！?/p>

就這樣，在2024年夏天，他偶然發(fā)現(xiàn)了一封看起來像是戴德金寫給康托爾的信的部分掃描件。它在一個(gè)名為“Georg-Cantor-Vereinigung”——格奧爾格·康托爾協(xié)會(huì)——的網(wǎng)頁上?！斑@是一群試圖保持康托爾記憶的人，”戈斯說。這封信是1877年的，遠(yuǎn)在沖突之后，所以戴德金的草稿已經(jīng)存在于歷史記錄中。但從未有過他寄給康托爾的那份副本的任何記錄。戈斯嘗試聯(lián)系該組織的多位成員，但沒有得到回復(fù)。

幾個(gè)月后，他再次訪問該網(wǎng)頁。但這一次，他注意到在掃描件下方，網(wǎng)站提到2009年有人捐贈(zèng)了來自一位繼承人的信件。他追查那位繼承人可能是誰，在仔細(xì)查閱了許多家譜和其他文件后，他終于找到了安格莉卡·瓦倫博士——康托爾的曾孫女，她似乎住在哈勒。

當(dāng)他打電話給她時(shí)，她告訴他，她對(duì)數(shù)學(xué)一無所知（實(shí)際上她是位考古學(xué)家），但她希望把她擁有的所有信件都提供給歷史學(xué)家研究。她把它們交給了哈勒大學(xué)（現(xiàn)在正式名稱為馬丁·路德·哈勒-維滕貝格大學(xué)），最后它們到了康托爾協(xié)會(huì)主席、一位名叫卡琳·里希特的數(shù)學(xué)教授手中。

戈斯找到了里希特。于2025年3月到達(dá)她的辦公室。打開了她遞給他的那個(gè)薄薄的藍(lán)色活頁夾。

他本以為會(huì)看到康托爾協(xié)會(huì)網(wǎng)站上貼出的那封戴德金的后期信件。這會(huì)像他追尋其他原始資料一樣——是驗(yàn)證已知信息和或許獲得一些新見解的好方法。

但擺在他面前的，是他渴望尋找了一年多的那封信。他確信這一點(diǎn)。盡管戴德金那細(xì)致、華麗的筆跡不知何故比康托爾不均勻的潦草字跡更難辨認(rèn)，戈斯能看到信紙上散布著“algebraischen Zahlen”這個(gè)詞組：即“代數(shù)數(shù)”。而在信的末尾，毫無疑問，是署名：“致以最誠摯的問候，您最忠誠的 R. 戴德金——不倫瑞克，1873年11月30日?！?/p>

里希特到底知不知道她手里有什么？他要了掃描件。里希特說她會(huì)考慮一下。

這是戴德金1873年11月30日寫給康托爾的信，遺失了一個(gè)多世紀(jì)。在信中，戴德金提供了代數(shù)數(shù)集合與整數(shù)集合大小相同的證明——康托爾后來剽竊了這一成果。

在回家的火車上——這是他當(dāng)天的第二次五小時(shí)旅程——戈斯思忖著他所掌握的發(fā)現(xiàn)。他知道情況很微妙。當(dāng)他提起康托爾背叛戴德金的事時(shí)，他經(jīng)歷過德國數(shù)學(xué)家們的不屑一顧?！膀湴潦堑聡送ǔ２惶敢獗砺兜那楦?，”戈斯說。“但我們?yōu)榭低袪柛械津湴??！焙茈y找到比里希特更狂熱的康托爾粉絲了，而且她似乎并不急于分享掃描件。

兩天后，當(dāng)他撥打里希特的電話號(hào)碼時(shí)，他的希望沉到了谷底。該號(hào)碼已停止使用?！澳阍趺锤苏f這事呢？你知道，我跟這位女士談過，她似乎不太樂意分享這些信件，所以我打電話給她，她的號(hào)碼卻不存在了，”他說。“得了吧，德米安，得了吧！”他責(zé)備自己當(dāng)時(shí)太客氣，沒在里希特的辦公室掏出手機(jī)開始拍照。

接下來的一個(gè)月，他聯(lián)系了所有他在哈勒認(rèn)識(shí)的人，懇求他們想辦法找到里希特。“我開始覺得自己要瘋了，”他說?！八娴拇嬖趩幔俊苯K于，里希特的一位同事告訴他她下一次上課的時(shí)間和地點(diǎn)。他在四月又做了一次十小時(shí)的往返旅行，里希特解釋說她已經(jīng)換了電話供應(yīng)商。她遞給他一份掃描件和謄本。雖然只有一封信，但正是那封關(guān)鍵的信。

又過了一個(gè)月，又一次長途跋涉，里希特交出了另一封戴德金的信，這次是1873年夏天的。戈斯不知道他是否還能負(fù)擔(dān)更多這樣的旅行：“我并不富有，”他說。他認(rèn)為是時(shí)候讓世界知道他的發(fā)現(xiàn)了。

戈斯閱讀那封丟失信件的掃描件。

更真實(shí)的遺產(chǎn)

如今，康托爾的聲望遠(yuǎn)超戴德金。

兩人都為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)做出了重大貢獻(xiàn)。但康托爾常常被認(rèn)為是馴服了無窮并發(fā)明了集合論的人，而集合論是現(xiàn)在所有現(xiàn)代數(shù)學(xué)所使用的語言。他作為歷史上最偉大數(shù)學(xué)家之一的聲譽(yù)，通過傳記和暢銷書得到了鞏固，他是少數(shù)幾個(gè)在數(shù)學(xué)界之外也被知曉的數(shù)學(xué)家之一。

沒有英文版的戴德金傳記。他的維基百科頁面長度是他昔日朋友的四分之一。在數(shù)學(xué)家中——很大程度上歸功于諾特的努力——他保留著作為一位鮮為人知的遠(yuǎn)見者的聲譽(yù)。“我對(duì)戴德金了解得越多，就越印象深刻，”圣母大學(xué)的集合論學(xué)家和哲學(xué)家喬爾·戴維·哈姆金斯說?！翱低袪栕C明了所有這些偉大的定理，但戴德金可能是更偉大的數(shù)學(xué)家?！?/p>

康托爾1874年論文背后的真實(shí)故事已經(jīng)公開存在了90年。但這并不是人們喜歡講述的那種故事?！懊總€(gè)科學(xué)分支都需要一個(gè)英雄，”費(fèi)雷羅斯說?！盎瘜W(xué)有拉瓦錫，力學(xué)有牛頓，相對(duì)論有愛因斯坦。總是有這一個(gè)，只有一個(gè)。但這總是謊言?！?/p>

自從挑戰(zhàn)這個(gè)謊言以來，戈斯遇到了阻力。當(dāng)他分享他發(fā)現(xiàn)了那封丟失的信件時(shí)，數(shù)學(xué)家們質(zhì)疑其重要性——尤其是在德國。他很難讓人們明白為什么這很重要。他們的反應(yīng)呼應(yīng)了30年前歷史學(xué)家對(duì)費(fèi)雷羅斯論文的反應(yīng)。

但這確實(shí)很重要。數(shù)學(xué)常常被視為離現(xiàn)實(shí)世界及其缺陷最遙遠(yuǎn)的科學(xué)。它的真理是絕對(duì)的。它重視美和優(yōu)雅勝過一切。重要的是工作本身，是被探索的世界。其他一切，包括作者身份和功勞，都是次要的。

但這掩蓋了追求科學(xué)真理的實(shí)際情況?！皵?shù)學(xué)是一項(xiàng)集體事業(yè)，”費(fèi)雷羅斯說?！凹词乖诩险摰那闆r下，你也沒有這樣一個(gè)絕妙的例子，證明是單個(gè)人發(fā)明了整個(gè)東西?！?/p>

這也掩蓋了數(shù)學(xué)是由人完成的事實(shí)。不可能將自我、觀點(diǎn)和個(gè)人缺陷與工作本身分開。“太好了，”戈斯喜歡對(duì)那些否定康托爾不當(dāng)行為的數(shù)學(xué)家們這樣回應(yīng)?！澳阆乱黄撐?，匿名發(fā)表。然后我們?cè)倏纯此欠耜P(guān)乎科學(xué)。”當(dāng)涉及到自己的工作，數(shù)學(xué)家們非常在意功勞。他們中許多人近乎百科全書式地知道誰提出了哪個(gè)定理，誰贏得了哪些獎(jiǎng)項(xiàng)。

關(guān)于康托爾成果的真相揭示，并沒有削弱他的遺產(chǎn)。他仍然是第一個(gè)證明實(shí)數(shù)比整數(shù)多的人，這最終開辟了對(duì)無窮的研究。“在我看來，真正重要的是第二個(gè)定理，”哈姆金斯說。而那個(gè)定理的原始證明并不是戴德金的。

但認(rèn)識(shí)到戴德金在數(shù)學(xué)史上最偉大發(fā)現(xiàn)之一中的作用，以及康托爾決定不給他署名，仍然很重要。歸根結(jié)底，康托爾的選擇只是把他從英雄降格為凡人——一個(gè)更誠實(shí)的形象?！翱低袪柺莻€(gè)不太容易與人交往的人，”里希特說?！斑@對(duì)康托爾來說非常非常困難?！?/p>

“他當(dāng)時(shí)非常年輕，非常充滿激情和熱忱，”費(fèi)雷羅斯說?！八噶艘粋€(gè)大錯(cuò)誤?！?/p>

歸根結(jié)底，這才是更好的故事——因?yàn)樗钦鎸?shí)的。

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“數(shù)學(xué)家”，責(zé)編：。

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