復(fù)雜系統(tǒng)通常由大量互相作用的異質(zhì)組成部分構(gòu)成，這些系統(tǒng)在微觀上表現(xiàn)出高維、非線性動力學(xué)行為，但其宏觀表現(xiàn)往往由少數(shù)主導(dǎo)模式?jīng)Q定。這種現(xiàn)象啟發(fā)了低秩假說（Low-rank hypothesis）：即復(fù)雜系統(tǒng)的整體動力學(xué)可以通過一個低秩矩陣所描述的相互作用模式進(jìn)行有效近似。奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）正是揭示這種低秩結(jié)構(gòu)的核心數(shù)學(xué)工具，它能夠從高維、嘈雜的數(shù)據(jù)中提取最重要的模式，形成對系統(tǒng)降維的自然框架。

本文是The low-rank hypothesis of complex systems論文的II. SVD IN THE STUDY OF COMPLEX SYSTEMS部分，論文正文見集智俱樂部公眾號1月15日文章《自然·物理：復(fù)雜系統(tǒng)的低秩假說》。

撰文 | 王璇

審校 | 趙思怡

論文題目：The low-rank hypothesis of complex systems

論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41567-023-02303-0

發(fā)表時間：2024 年 1 月 10 日

論文來源：Nature Physics

當(dāng)你對AI說“畫一只有戴帽子的微笑貓”，它為何能理解并生成這幅不存在的圖像？AI的“思考”并非像素層面的操作，而是對語義的捕捉與建模。在看似魔法般的創(chuàng)作背后，是數(shù)學(xué)在悄然搭建一座橋梁。一端是抽象的文字描述（“貓”“帽子”“微笑”），另一端是具體的視覺圖像。這座橋梁的核心支柱，便是奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。

從生成“戴帽子的貓”的語義潛在空間回到現(xiàn)實世界中的復(fù)雜系統(tǒng)，SVD的核心思想是從高維、嘈雜的數(shù)據(jù)中提取少數(shù)主導(dǎo)模式。同樣構(gòu)成了理解復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與其動力學(xué)行為的關(guān)鍵數(shù)學(xué)支柱。若將AI繪畫中的“語義方向”類比于復(fù)雜系統(tǒng)中的“主導(dǎo)相互作用模式”，那么SVD正是揭示這些隱藏模式、實現(xiàn)系統(tǒng)降維描述的通用語言。

詳情請見《線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課丨新課上線》

在復(fù)雜系統(tǒng)的研究中，一個基礎(chǔ)且影響深遠(yuǎn)的現(xiàn)象是：盡管系統(tǒng)在微觀上可能包含海量組分與錯綜復(fù)雜的相互作用，但其宏觀行為往往由少數(shù)幾個關(guān)鍵變量或模式主導(dǎo)。這便是復(fù)雜系統(tǒng)的“低秩假說”。本部分內(nèi)容將從隨機圖理論的視角切入，系統(tǒng)性地檢視這一假設(shè)。在眾多廣泛使用的網(wǎng)絡(luò)模型中，其權(quán)重矩陣的期望值天然蘊含低秩結(jié)構(gòu)，這為低秩假設(shè)提供了堅實的理論基礎(chǔ)。針對難以直接顯式分解的模型（如有向軟配置模型及其加權(quán)版本），嚴(yán)格證明其奇異值以指數(shù)級速度衰減，從而在更深刻的意義上驗證了低秩近似的合理性。

進(jìn)一步地，研究者們不僅滿足于“低秩”的定性判斷，而且通過有效秩這一系列定量指標(biāo)，來刻畫奇異值衰減的快慢，并探究其背后的標(biāo)度規(guī)律。不同的衰減模式（如指數(shù)、冪律）將導(dǎo)致有效秩迥異的漸近行為，這為理解不同類別網(wǎng)絡(luò)的“內(nèi)在維度”提供了精確的度量。此外，SVD為有向、加權(quán)乃至帶符號的網(wǎng)絡(luò)提供了天然、穩(wěn)定的中心性度量（權(quán)威中心性與樞紐中心性），避免了特征值分解可能帶來的復(fù)數(shù)困境。

研究者還初步探索復(fù)雜系統(tǒng)的動態(tài)適應(yīng)性。在自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)本身會隨動力學(xué)或外部環(huán)境演變，其有效秩也可能隨之演化，這為理解學(xué)習(xí)、演化等過程提供了新的視角。最后，簡要概述SVD在動力系統(tǒng)降維中的強大作用，它將系統(tǒng)的奇異值譜與降維誤差直接關(guān)聯(lián)，為在高維網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)中提取可理解的宏觀方程奠定了理論基礎(chǔ)。

總而言之，從靜態(tài)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)到動態(tài)的演化過程，從理論的隨機模型到實證的真實系統(tǒng)，SVD提供了一套連貫、強大且可計算的理論工具，用以捕捉復(fù)雜系統(tǒng)中那“多者異也”（More is different）的簡約之美。

隨機圖的SVD

盡管隨機圖及其特征值譜的研究歷史悠久[1–11]，但其SVD性質(zhì)在文獻(xiàn)中關(guān)注較少。實際上，許多網(wǎng)絡(luò)科學(xué)[12]或譜圖論[2, 13, 14]入門教材甚至未涉及SVD。然而，正如復(fù)雜系統(tǒng)分析所顯示，SVD為理解網(wǎng)絡(luò)的低秩結(jié)構(gòu)與動力學(xué)模式提供了強大工具，因此值得更多關(guān)注。

考慮一個隨機網(wǎng)絡(luò)模型，其鄰接矩陣或權(quán)重矩陣W可以寫作：

陣，對于每個以概率p重連的位置，其元素為-1或1。其奇異值衰減通常不呈指數(shù)型，說明其有效秩較高。這類例子提醒我們，低秩并非普適規(guī)律，而是廣泛存在于大多數(shù)隨機網(wǎng)絡(luò)與復(fù)雜系統(tǒng)模型中。

在物理學(xué)、機器學(xué)習(xí)及神經(jīng)科學(xué)中，也存在明確的低秩例子：如Sherrington-Kirkpatrick自旋玻璃模型的相互作用矩陣，其期望矩陣為秩一形式；經(jīng)典隨機矩陣高斯系綜在〈W〉=0時秩為零；其他尖峰隨機矩陣或有限秩外源隨機矩陣則體現(xiàn)了低秩結(jié)構(gòu)在大規(guī)模極限下的普適性。

值得注意的是，即便期望矩陣〈W〉明確依賴低秩矩陣L，實際矩陣W的有效低秩性仍需通過奇異值譜分析來驗證。例如，在軟配置模型中，盡管沒有顯式的秩分解，其奇異值仍呈指數(shù)級快速衰減。這一現(xiàn)象將在下一節(jié)通過有向軟配置模型與最大熵隨機圖的分析得到嚴(yán)格證明。

有向軟配置模型中奇異值的指數(shù)級遞減

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析中，我們通常只能獲取網(wǎng)絡(luò)的部分信息。因此，將觀察到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)描述為一組可能的網(wǎng)絡(luò)，每個網(wǎng)絡(luò)具有一定概率，是合理的。為了在最小偏差的前提下確定這些概率分布，可以依賴香農(nóng)熵的最大化原理[15]。這種方法保證在給定約束下網(wǎng)絡(luò)模型最無偏，從而廣泛應(yīng)用于隨機圖模型的構(gòu)建。

最大熵網(wǎng)絡(luò)模型的拉格朗日乘子法

最大熵網(wǎng)絡(luò)模型通常通過拉格朗日乘子法得到。這一方法最早由拉格朗日和歐拉提出，但在嚴(yán)格數(shù)學(xué)表述上，Carathéodory 在 1935 年的變分法著作中系統(tǒng)闡明了其適用條件。其核心思想是：在約束條件下，最大熵概率分布可表示為指數(shù)族形式。

對于隨機鄰接矩陣A，在滿足某些軟約束（如期望度數(shù)或其他結(jié)構(gòu)量）的情況下，最大熵概率分布為：

這個公式揭示了期望矩陣元素遵循Fermi-Dirac 分布，保證所有值在 (0,1) 之間。

奇異值分解與指數(shù)衰減

期望鄰接矩陣可以表示為一系列秩為一的矩陣之和，每一項對應(yīng)一個奇異值。這一分解揭示了奇異值的快速衰減規(guī)律。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知，若矩陣元素滿足適度條件（如小于 1/2），則其奇異值至少以指數(shù)速度下降：

類似地，在另一類參數(shù)條件下，奇異值也存在類似的指數(shù)上界。這一性質(zhì)表明，有向軟配置模型的期望鄰接矩陣是低秩近似的，這對于網(wǎng)絡(luò)壓縮、降維以及社區(qū)發(fā)現(xiàn)具有重要意義。

在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，最大熵方法同樣適用。對權(quán)重矩陣W的期望值進(jìn)行分析，可得到類似的指數(shù)衰減，與有向軟配置模型不同，權(quán)重矩陣的元素遵循Bose-Einstein 分布，其取值域不受限制，但奇異值仍然呈指數(shù)衰減趨勢。這表明，即使在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，主要結(jié)構(gòu)信息仍高度集中于少數(shù)奇異向量上。

奇異值分布和矩陣密度對有效秩的影響

本小節(jié)關(guān)注一個核心問題：奇異值的衰減形態(tài)如何決定矩陣的有效秩，并由此刻畫復(fù)雜系統(tǒng)的“內(nèi)在維度”。為此，我們引入三類常用的有效秩指標(biāo)——穩(wěn)定秩（srank）、核范數(shù)秩（nrank）與熵秩（erank），并系統(tǒng)分析它們在不同奇異值分布下的漸近行為。

整體思路并不依賴具體模型的細(xì)節(jié)，而是圍繞一個更為抽象、卻極具解釋力的概念展開：奇異值包絡(luò)線。通過為真實奇異值序列構(gòu)造上下界包絡(luò)函數(shù)，可以將離散譜問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)的積分估計問題，從而大幅簡化分析，同時保留對漸近行為的精確控制。

奇異值包絡(luò)線

這兩個函數(shù)在x=1處歸一化為1，從而避免通過整體縮放人為引入虛假的秩標(biāo)度。

這一設(shè)定的關(guān)鍵意義在于：有效秩的大小不再依賴于每一個具體奇異值，而主要由其整體衰減輪廓所決定。

圖S4：典型的奇異值包絡(luò)函數(shù) w(x)，描述了歸一化奇異值σi/σ1隨連續(xù)變量 x（在索引 i 之間插值）的遞減行為，及其對srank、nrank和erank漸近行為的影響（右下子圖）。

除了奇異值的衰減形態(tài)，矩陣的密度同樣會影響有效秩，尤其是穩(wěn)定秩。一般而言，在其他條件相同的情況下，更稠密的矩陣往往具有更高的穩(wěn)定秩，這一結(jié)論可通過通用不等式直接給出。這為比較不同網(wǎng)絡(luò)（如稀疏真實網(wǎng)絡(luò)與稠密隨機模型）提供了額外的結(jié)構(gòu)維度。

有向網(wǎng)絡(luò)的中心性度量

對于有向網(wǎng)絡(luò)，其對應(yīng)矩陣的特征值與特征向量通常為復(fù)數(shù)，這使得基于特征值分解的傳統(tǒng)中心性定義在解釋和應(yīng)用上面臨困難。因此，在有向情形下，有必要對中心性度量的構(gòu)造方式進(jìn)行調(diào)整。一種自然且穩(wěn)定的替代方案是采用奇異值分解（SVD）。

基于有向網(wǎng)絡(luò)的 SVD，可以得到兩類互補的頂點中心性度量：權(quán)威中心性（authority centrality），對應(yīng)于主導(dǎo)左奇異向量 u1；以及樞紐中心性（hub centrality）對應(yīng)于主導(dǎo)右奇異向量v1[16, 17]，如圖 S5 所示。

這一點指導(dǎo)了在構(gòu)造降維動力學(xué)時對可觀測量的選擇。同時，當(dāng)在定理 S57 中采用右奇異向量作為降維矩陣時，這一視角也有助于理解其中出現(xiàn)的不同項與方程所具有的物理或結(jié)構(gòu)含義。

需要指出的是，在帶符號網(wǎng)絡(luò)（即由包含負(fù)權(quán)重的矩陣描述的網(wǎng)絡(luò)）中，上述基于 SVD 的中心性度量可能存在解釋上的歧義。這是因為在該情形下，主導(dǎo)左、右奇異向量通常包含正負(fù)混合的分量，經(jīng)典的 Perron–Frobenius 定理[4] 不再適用，從而無法保證中心性向量的非負(fù)性與唯一性。這一限制提示，在處理帶符號網(wǎng)絡(luò)時，有必要對中心性的定義及其物理含義進(jìn)行更為謹(jǐn)慎的解讀。

圖 S5：（a）權(quán)威中心性與樞紐中心性分別由主導(dǎo)左奇異向量與主導(dǎo)右奇異向量的分量給出。（b）幼年斑馬魚（Danio rerio）中尺度連接組網(wǎng)絡(luò)的中心性分布，該網(wǎng)絡(luò)包含N=71個社區(qū)，并加入了自環(huán)（改編自文獻(xiàn) [18]）。

自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)

復(fù)雜系統(tǒng)不僅由其非線性動力學(xué)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所刻畫，還體現(xiàn)在其對環(huán)境變化的適應(yīng)能力上[19]。因此，一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有效秩可能隨時間和系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化。通過一個初步研究考察了這一現(xiàn)象，方法是提取秀麗隱桿線蟲（C. elegans）連接組在不同成熟階段的有效秩，如圖 S6 所示。結(jié)果顯示，穩(wěn)定秩會隨個體年齡增長而減小。關(guān)于這一現(xiàn)象，還需要進(jìn)一步研究，以檢驗這種下降是否具有統(tǒng)計顯著性，并闡明有效秩隨成熟階段降低所對應(yīng)的生物學(xué)含義。

圖 S6：描述秀麗隱桿線蟲大腦連接結(jié)構(gòu)的矩陣在不同成熟階段的奇異值分布。對應(yīng)的穩(wěn)定秩分別為：21.6（發(fā)育階段 1）、19.7（發(fā)育階段 5）以及 18.5（發(fā)育階段 8）。

此外，文獻(xiàn)[20]的數(shù)值計算表明，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練會降低其穩(wěn)定秩。這一現(xiàn)象在一定程度上與上述生物學(xué)實例觀察到的趨勢一致，提示穩(wěn)定秩可能與網(wǎng)絡(luò)功能優(yōu)化和適應(yīng)性調(diào)節(jié)密切相關(guān)。

動力系統(tǒng)中的奇異值分解

SVD在動力系統(tǒng)中的應(yīng)用范圍非常廣泛，尤其是在工程學(xué)和線性控制系統(tǒng)領(lǐng)域中[21]。此外，SVD 也已經(jīng)被推廣到非線性算符的情形[22]。甚至還可以對隨時間演化的矩陣動力學(xué)，

在降維實踐中，如何合理選擇降維矩陣M往往是一個具有挑戰(zhàn)的問題[25] ，SVD 的一個重要優(yōu)勢在于：其奇異值為非負(fù)實數(shù)，奇異向量為實向量。這使得奇異值分解在解析譜結(jié)構(gòu)和為動力學(xué)定義可解釋的觀測量時特別有用。相比之下，若采用一般實矩陣的特征值分解，降維矩陣可能為復(fù)數(shù)，從而導(dǎo)致原本實值的動力系統(tǒng)在降維后表現(xiàn)為復(fù)動力學(xué)[25, 26]。

從靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)到動態(tài)演化過程，從隨機模型到真實系統(tǒng)，SVD提供了一套連貫、強大且可計算的理論工具。它揭示了復(fù)雜系統(tǒng)中“多者異也”的簡約之美，將高維復(fù)雜行為映射為少數(shù)主導(dǎo)模式，為網(wǎng)絡(luò)壓縮、降維、中心性度量及動力學(xué)建模提供堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

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