導(dǎo)語

動物集體運動中涌現(xiàn)的集體智能現(xiàn)象，在不同物種中普遍存在，是復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)研究的重要課題。從集體行為中推斷區(qū)分群體中的領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者，進(jìn)而理解集體行為中領(lǐng)導(dǎo)-追隨模式的形成和發(fā)展，對于理解人類社會的復(fù)雜集體行為、優(yōu)化集群機器人行為邏輯、設(shè)計大規(guī)模分布式人機互動決策的算法，具有啟發(fā)意義。來自圣塔菲研究所、華盛頓大學(xué)、克拉克森大學(xué)的合作團隊，提出了一個數(shù)學(xué)分析框架，從多維度、多類型、廣譜的角度剖析了集體行為中的領(lǐng)導(dǎo)力（leadership）。

關(guān)鍵詞：集體運動，集體智能，涌現(xiàn)

Joshua Garland, Andrew M. Berdahl, Jie Sun, Erik M. Bollt| 作者

劉培源、劉志航| 譯者

鄧一雪|編輯

論文題目： Anatomy of leadership in collective behaviour 論文鏈接： https://aip.scitation.org/doi/full/10.1063/1.502439 5

目錄

摘要

1. 概述

2. 一般數(shù)學(xué)框架

3. 領(lǐng)導(dǎo)力的主要組成部分

4. 驗證領(lǐng)導(dǎo)力推斷方法的模型沙盒

5. 后記

摘要

了解動物群體協(xié)調(diào)運動 （集體運動） 背后的機制，可以為它們的生物學(xué)和生態(tài)學(xué)提供關(guān)鍵的見解，同時也可以為生物啟發(fā)的技術(shù)和自主系統(tǒng)的創(chuàng)新提供算法。越來越清楚的是，許多移動的動物群體由異質(zhì)的個體組成，這些個體對群體行為的影響程度和類型各不相同。推斷這種不同的影響或領(lǐng)導(dǎo)力的能力，對于理解這些集體動物系統(tǒng)中的群體功能至關(guān)重要。許多不同的度量和數(shù)學(xué)工具被用來描述和推理“領(lǐng)導(dǎo)力”，例如職位、因果關(guān)系、影響力和信息流。但一個關(guān)鍵問題仍然存在：這些概念中，哪一個 （如果有的話） 真正描述了領(lǐng)導(dǎo)力？我們認(rèn)為，與其斷言一個單一的定義或領(lǐng)導(dǎo)力概念，一個團體典型的復(fù)雜互動規(guī)則和動力學(xué)意味著領(lǐng)導(dǎo)力本身不僅僅是一個二元分類 （領(lǐng)導(dǎo)者或追隨者） ，而是許多不同成分的復(fù)雜組合。在本文中，我們對領(lǐng)導(dǎo)力進(jìn)行了解剖，確定了幾個主要組成部分，并提供了一個討論領(lǐng)導(dǎo)力的一般數(shù)學(xué)框架?？紤]到這一分類法的復(fù)雜性，我們提出了一套面向領(lǐng)導(dǎo)力的玩具模型，這些模型應(yīng)該被用作未來領(lǐng)導(dǎo)力推理方法的試驗場。我們相信，這種多層面的領(lǐng)導(dǎo)力分析方法將使我們能夠更廣泛地理解領(lǐng)導(dǎo)力，并從動物群體及其他方面的數(shù)據(jù)中推斷領(lǐng)導(dǎo)力。

當(dāng)觀察動物群體的集體運動時 （如魚群、牛群或羊群） ，一個直接的問題是，領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)是什么？誰 （如果有的話） 在負(fù)責(zé)，誰在跟隨，這種結(jié)構(gòu)是保持不變還是隨時間變化？最近在圖像處理和動物安裝的傳感器方面的技術(shù)進(jìn)步，使得記錄群體中單個動物的同時運動軌跡成為可能。如此豐富的數(shù)據(jù)，使得目前是在理解動物群體運動的領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)方面取得進(jìn)展的大好時機。盡管數(shù)據(jù)的可用性和理解集體運動中的領(lǐng)導(dǎo)力至關(guān)重要，但令人驚訝的是，很少有明確的數(shù)學(xué)描述，甚至沒有一致且明確定義的方法來解決這個問題。在此，作為解決這一缺陷的第一步，我們構(gòu)建了一個框架，用于討論和推理集體運動中的領(lǐng)導(dǎo)力。我們回顧了領(lǐng)導(dǎo)力的各種來源和特征，為描述各種動物社會中領(lǐng)導(dǎo)力的多面性提供了一種剖析和語言。然后，我們提出了一套以領(lǐng)導(dǎo)力為重點的玩具模型，在被應(yīng)用于 （經(jīng)驗） 數(shù)據(jù)之前，這些模型可以作為任何建議的領(lǐng)導(dǎo)力推斷方法的試驗場?？傊@為有原則地探索一個長期存在的問題奠定了基礎(chǔ)：集體系統(tǒng)的控制權(quán)是如何分配的？這樣的理解不僅有助于群居物種的生態(tài)學(xué)和保護(hù)，而且也有助于設(shè)計新興分布式技術(shù)的控制策略和算法。

1. 概述

移動的動物群體 （如羊群、牛群、魚群、蜂群） 在自然界中無處不在。在這樣的集體系統(tǒng)中，個體之間的相互作用可能與個體本身的特征一樣重要[1]。洞察這些相互作用及其對群體動力學(xué)的影響，對于我們理解這些系統(tǒng)的生態(tài)學(xué)[2]以及一般復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計和控制原則[3]都具有根本的重要性。

研究動物集體行為的一個關(guān)鍵挑戰(zhàn)是了解生物群體如何作為一個整體作出決定[4]，例如，關(guān)于去哪里[5]或何時[6、7]。群體決策過程從專制到共享權(quán)力[8]不等，即使在共享權(quán)力或分布式?jīng)Q策的系統(tǒng)中，也可能存在個體間的差異 （如性別、等級、個性、大小、營養(yǎng)狀態(tài)、信息狀態(tài)） ，產(chǎn)生不對稱的影響。模型表明，這種異質(zhì)性對群體層面的動力學(xué)有潛在的重要性[9,10]，雖然研究人員經(jīng)常嘗試從經(jīng)驗數(shù)據(jù)中推斷不同的影響力和領(lǐng)導(dǎo)力，但這一直是一個公開的挑戰(zhàn)。正如我們在本文中詳細(xì)闡述的那樣，應(yīng)對這一挑戰(zhàn)的關(guān)鍵一步在于認(rèn)識到領(lǐng)導(dǎo)力的概念不僅僅是一個簡單的、單維的概念。相反，不同類型和形式的領(lǐng)導(dǎo)力常常并存，甚至在同一個系統(tǒng)中也是如此。因此，我們認(rèn)為，對領(lǐng)導(dǎo)力進(jìn)行“正確”推斷的一個前提步驟是澄清所尋求的領(lǐng)導(dǎo)力的 （類型） 。沒有這一點，任何推斷的領(lǐng)導(dǎo)力都有可能被認(rèn)為是不合適的。

區(qū)分領(lǐng)導(dǎo)力的定義和推斷的必要性是一個核心的突出問題，部分原因是技術(shù)進(jìn)步的加速使得大數(shù)據(jù)的收集成為可能。例如，收集一個移動動物群體所有成員的同時軌跡的新技術(shù)[11]，以及計算能力的提高，使不久的將來成為迎接這一挑戰(zhàn)的富有成效的時機。僅僅擁有大量的現(xiàn)實世界的數(shù)據(jù)還不足以解決有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)力的問題，我們?nèi)匀恍枰拍钌系倪M(jìn)步。正如最近Strandburg-Peshkin等人所回顧的那樣[12]，大多數(shù)推斷領(lǐng)導(dǎo)力的努力都使用了群體中的位置[13-16] （例如，假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)在前面） 、領(lǐng)導(dǎo)者-追隨者的動態(tài)關(guān)系[17,18]或時間延遲的方向性關(guān)聯(lián)[24-26]。然而，本文的一個核心觀點是，任何領(lǐng)導(dǎo)力的測量都需要從澄清我們所追求的特定類型或形式的領(lǐng)導(dǎo)開始。如果沒有這樣的澄清，應(yīng)用任何推斷方法得出的領(lǐng)導(dǎo)力都可能被誤解，也許更嚴(yán)重的是，會導(dǎo)致對動物系統(tǒng)的互動機制產(chǎn)生根本性的錯誤結(jié)論。

為了說明領(lǐng)導(dǎo)力的許多方面，需要區(qū)分其定義和測量方法，例如考慮遷徙馴鹿的情況。年長的、更有經(jīng)驗的個體被認(rèn)為遷移的者[27]；然而，懷孕或哺乳期的雌性馴鹿可能有更多的營養(yǎng)需求[28] ，從而引導(dǎo)沿著該路徑向有更好覓食機會的棲息地遷移[29]。因此，誰在引導(dǎo)取決于所考慮的運動的時間和距離尺度。此外，對一些種群來說，秋季遷徙與發(fā)情期相吻合，因此交配行為推動了社會互動：一只占優(yōu)勢的雄性可能試圖驅(qū)趕雌性或趕走其他雄性。這樣的雄性肯定是有影響力的，但也許不應(yīng)該總是被認(rèn)為是領(lǐng)導(dǎo)者，至少在遷徙的背景下是這樣。最后，一個人是否是領(lǐng)導(dǎo)者可能取決于誰 （或哪個群體） 被認(rèn)為是潛在的追隨者。一個正在哺乳 （因此不能生育） 的雌性動物可能會被好色的雄性動物忽視，但會被她的小鹿緊緊跟隨[30]。由于影響/領(lǐng)導(dǎo)地位有許多尺度和類型，我們認(rèn)為應(yīng)該以一個明確的問題開始這種探索，并仔細(xì)選擇與之相匹配的分析方法。

本文的核心目標(biāo)是開發(fā)一種正式的語言和多層次的框架，用于定義和 （潛在的） 推斷領(lǐng)導(dǎo)力的許多方面。此外，我們旨在提供一套面向領(lǐng)導(dǎo)力的玩具模型，作為領(lǐng)導(dǎo)力推斷方法的試驗場。因此，我們的工作為研究人員提供了一種實用的語言和一套工具，希望能夠?qū)⒂嘘P(guān)領(lǐng)導(dǎo)力的問題與適當(dāng)?shù)姆椒ㄏ嗥ヅ?，同時避免潛在的陷阱。我們希望數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、生物的直覺以及一些真實的和合成的例子的結(jié)合將使我們的框架對生物學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家來說都是容易理解和感興趣的。

2. 一般數(shù)學(xué)框架

為了捕捉各種形式的領(lǐng)導(dǎo)力，考慮個體的動力學(xué) （他們之間通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行潛在的互動） 以及由個體決定的群體的動力學(xué)，由普通微分方程 （ODEs） 的一般形式建模：

在這個一般的模型類別中， 代表第 i 個個體在時間
的狀態(tài)。是編碼交互結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)的 （與時間相關(guān)的） 鄰接矩陣 （也稱為社會性矩陣） ，其中如果 j 有可能 （直接） 影響 i 的狀態(tài)，則 。此外, 表示與 i 相關(guān)的參數(shù) （向量） ， 是噪聲。這里的參數(shù)可以是描述群體中個體異質(zhì)性的任何東西。例如，在Viscek模型中[31]，參數(shù) 可以表示個體的偏好方向，也可以用來表示個體之間可能存在的速度差異，或者通過給每個個體關(guān)聯(lián)一個參數(shù)向量來表示兩者。函數(shù) f 模擬每個個體的動力學(xué)如何取決于他們自己的狀態(tài)和參數(shù)、網(wǎng)絡(luò)中其他個體的狀態(tài)以及噪聲。最后，群體的狀態(tài) 是由個體的狀態(tài)通過函數(shù) h 決定的；例如，取將群體狀態(tài)定義為個體狀態(tài)的平均值。

另一個互補的觀點是將個體和群體的動力學(xué)建模 / 表示為一個多變量的隨機過程，重點是靜止變量 和 。從這個角度來看，群體變量和變量之間的關(guān)系被編碼為條件分布函數(shù) ：

其中 表示系統(tǒng)的時間歷史，考慮到 的時滯。

我們指出，動力學(xué)系統(tǒng)[如公式（1）所定義的系統(tǒng)]和隨機過程之間有密切的聯(lián)系，一般是通過一個基本的 （遍歷式） 度量[32]，其中與變量狀態(tài)相關(guān)的不確定性一般與初始條件的分布和噪聲有關(guān)，此外還有耦合的動力學(xué)。對于一個確定的系統(tǒng)，隨機性完全來自于選擇和確定初始條件的 （實驗） 不完善，不確定性的演變可以被視為一個隨機的過程。因此，熵的方法甚至與其他確定的動力學(xué)系統(tǒng)自然地聯(lián)系在一起，公式（1）是以相關(guān)的隨機過程為基礎(chǔ)的。

從動態(tài)的隨機表示（2）中，我們可以用各種形式的條件互信息 （CMI） 來定義一個個體 （觀察到的） 對群體的影響。例如， （無條件的） 互信息 （MI）

衡量直接和間接因素 i 對該群體的明顯影響。另一方面，在剔除間接因素后， i 對群體的“凈”影響可以用條件互信息（CMI）來衡量

其中
。正如James等人最近建議的那樣[33]，公式（4）可能無法完全反映影響；因此，在以這種方式量化凈影響時，應(yīng)該注意。

注意公式（1）本身并不能唯一地確定公式（2）中的分布，因為系統(tǒng)可能會因初始條件、參數(shù)和其他因素而出現(xiàn)不同的狀態(tài) / 軌跡；如果我們想討論唯一性的話，遍歷性和固定參數(shù)是可能的假設(shè)。方程（1）可以解釋為對個體之間可能的相互作用進(jìn)行建模，盡管這些相互作用在特定的環(huán)境中可能實現(xiàn)，也可能不實現(xiàn)，這取決于系統(tǒng)運行的狀態(tài)；另一方面，方程（2）中的偏微分方程編碼了群體變量和個體變量之間的 （內(nèi)在） 依賴性，不一定與方程（1）中的結(jié)構(gòu)信息相匹配，即使這種依賴性來自方程（1）的動力學(xué)。

接下來，我們對系統(tǒng)的內(nèi)在狀態(tài)與觀察到的狀態(tài)進(jìn)行區(qū)分，因為在對任何過程進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋時，包括群體的領(lǐng)導(dǎo)作用，一個關(guān)鍵的方面是對觀察物的測量概念，從基本的過程來看。事實上，領(lǐng)導(dǎo)力和信息流的概念可以被極大地掩蓋，這取決于相對于基礎(chǔ)系統(tǒng) （內(nèi)在變量） 的觀察物 （外在變量） 的細(xì)節(jié)。我們用 來表示關(guān)于 的觀察狀態(tài)，同樣地， 表示關(guān)于 的觀察狀態(tài)。我們在一個有限的時間窗口上表示觀察結(jié)果，產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)：

對領(lǐng)導(dǎo)力的正確定性和解釋需要 （主觀 ）確定一個參考框架，即選擇 （可觀察的） 變量、群體以及時間和空間尺度。也就是說，我們認(rèn)為，定義這樣一個框架至少需要包括做出以下三個選擇。

1. 變量 （例如，位置、速度、加速度、運動方向，或這些的一些組合） 。根據(jù)對變量的選擇，不同類型的領(lǐng)導(dǎo)力可以被定義和 （潛在的） 識別。

2. 時間分辨率和時間滯后。所關(guān)注的行動的時間分辨率是什么 （例如，秒，天，或年） ？此外，還有一個時間滯后的問題。一個行動被認(rèn)為在多遠(yuǎn)的將來會有潛在的影響？如果時間滯后大于對個人行動的典型反應(yīng)的時間尺度，那么每個人看起來都會對其他人產(chǎn)生類似的隨機影響。另一方面，太小的時間滯后可能會妨礙檢測群體對個人行動的 （延時） 動態(tài)反應(yīng)。

3. 群體的定義和它所代表的內(nèi)容。例如，一個群體可以包含一個空間領(lǐng)域內(nèi)的所有個體，也可以是基于年齡、性別等的某一類個體。

3. 領(lǐng)導(dǎo)力的主要組成部分

從廣義上講，我們將領(lǐng)導(dǎo)力定義為具有不對稱潛力的個人，以影響群體中主體的軌跡。正如我們在下文中所探討的，這種不對稱的影響的來源可能是由于群體結(jié)構(gòu)、個人信息或者僅僅是社會互動規(guī)則所產(chǎn)生的。此外，由此產(chǎn)生的領(lǐng)導(dǎo)力的分布和時間及距離尺度可能有很大的不同。在本節(jié)中，我們構(gòu)建了一系列的信息分類，我們將其稱為領(lǐng)導(dǎo)力的組成部分。我們進(jìn)一步將這些組成部分劃分為領(lǐng)導(dǎo)力的來源和特征。

A. 領(lǐng)導(dǎo)力的來源

1. 結(jié)構(gòu)性型領(lǐng)導(dǎo)力

結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)力 （Structural leadership） 包括廣泛的領(lǐng)導(dǎo)力類型，它從根本上依賴于動物社會的結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)可以是明確的統(tǒng)治等級，也可以是由于半永久性特征 （如年齡、性別、生殖狀況） 造成的不平等的社會影響而更加微妙。根據(jù)特定的分類群，這種不對稱的相互作用的驅(qū)動機制是不同的，推導(dǎo)這樣的機制不是本文的目的。為簡單起見，我們假設(shè)所有這些豐富的社會結(jié)構(gòu)都已預(yù)先編碼在公式（1）定義的社會性矩陣中。具體來說，當(dāng)且僅當(dāng) j 有能力領(lǐng)導(dǎo) i 時 ，其中“領(lǐng)導(dǎo)能力”由特定的社會來定義。

為了正式確定領(lǐng)導(dǎo)力的這個組成部分，讓 是與社會性矩陣 S 相關(guān)的有向圖，其中如果 ，則存在一條從 j 到 i 的邊。對于每個節(jié)點 ，將節(jié)點 的可達(dá)性集合表示為 。特別是，如果在 中存在一條從 到 k 的有向路徑，則節(jié)點 k 就是 的成員。如果 ，那么 就被定義為具有結(jié)構(gòu)領(lǐng)導(dǎo)能力。我們將具有非零的結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)能力 （在社會性矩陣上有一個非空的可達(dá)性集合） 的個體集合定義為 L 。當(dāng)然，一個個體作為結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)的程度存在于一個連續(xù)體上。量化這種領(lǐng)導(dǎo)力的強度是一項高度非瑣碎的、可能是特定系統(tǒng)的任務(wù) （例如，參考文獻(xiàn)[34-36]） 。然而，首先，在社會性矩陣中，下游個體多而上游個體少的個體將傾向于發(fā)揮更強的領(lǐng)導(dǎo)作用，或者至少有潛力這樣做。

在介紹中的馴鹿例子中，我們可能期望在發(fā)情期發(fā)現(xiàn)雄性之間強烈的等級關(guān)系。隨著這些等級關(guān)系在社會性矩陣中的編碼，占優(yōu)勢的雄性將被標(biāo)記為強大的結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)，而較弱的雄性將是各種可達(dá)性集合的成員。在同樣的例子中，如果哺乳期的后代緊緊跟隨它們的母鹿，那么母鹿就會表現(xiàn)出對其小鹿的結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)。最后，請注意，雖然母鹿是小鹿的結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)，但她可能會受到優(yōu)勢雄性的影響；使這個母鹿同時成為結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)和追隨者，使雄性成為小鹿的間接結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)。因此，“領(lǐng)導(dǎo)者與追隨者”的二元分類一般是不合適的。

為了進(jìn)一步說明這一點，請考慮圖1中Nagy等人[19]所描述的鴿群中等級動態(tài)的典型例子。在這個例子中，假設(shè)這個經(jīng)驗測量的網(wǎng)絡(luò)是結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)的結(jié)果，節(jié)點 C 和 J 沒有結(jié)構(gòu)領(lǐng)導(dǎo)能力，因為它們的可達(dá)性集是空的。然而，所有其他節(jié)點都有能力領(lǐng)導(dǎo)至少一個其他個體，因此都有一定程度的結(jié)構(gòu)領(lǐng)導(dǎo)能力。請注意，除了節(jié)點 A 之外，剩下的每個人都既領(lǐng)導(dǎo)又跟隨，也就是說，它們有非空的可達(dá)性集合，也是其他個體的可達(dá)性集合的成員。它們的結(jié)構(gòu)領(lǐng)導(dǎo)能力的強弱將大致反映它們在圖1中的垂直位置。

圖1. 鴿群中的等級領(lǐng)導(dǎo)。根據(jù)Nagy等人的定義，定向邊從有影響力的個體指向他們所影響的個體[19 ]，例如，傾向于領(lǐng)導(dǎo) ，而沒有領(lǐng)導(dǎo)任何人。

結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)力只是一個動物社會的成員按照社會規(guī)則的要求領(lǐng)導(dǎo)該社會的其他成員的能力。從這個意義上說，結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)力應(yīng)該更多地被看作是流動動物群體內(nèi)發(fā)生領(lǐng)導(dǎo)力的一個必要條件，但不是充分條件。然而，在現(xiàn)實中，領(lǐng)導(dǎo)力的這一組成部分是相當(dāng)重要的，因為它編碼了特定的一對個體之間互動的潛在異質(zhì)性，以及群體中更普遍的等級制度。

2. 知情型領(lǐng)導(dǎo)力

當(dāng)群體中的一個子集獲得不同的信息并有動機根據(jù)該信息采取行動時，就會產(chǎn)生知情型領(lǐng)導(dǎo)，例如，群體中的一個子集感覺到了某種資源[37,38]，或擁有關(guān)于遷移路線的信息[5,39]。這種領(lǐng)導(dǎo)力可能是匿名的[9]，也可能表明他們擁有信息，例如，通過改變速度[40]或發(fā)出信號[41]。

在我們的遷徙馴鹿的案例中，領(lǐng)導(dǎo)大規(guī)模遷徙運動的有經(jīng)驗的個體和對當(dāng)?shù)厥澄锖筒妒尘€索做出反應(yīng)的個體，都是知情型領(lǐng)導(dǎo)的補充例子。

知情型領(lǐng)導(dǎo)力通常產(chǎn)生于一些潛在的意圖或動機，如饑餓或恐懼。由于這個原因，雖然知情領(lǐng)導(dǎo)的概念在直覺上是合理的，但從數(shù)學(xué)的角度來看，它既難以定義，也許也不可能在沒有系統(tǒng)的額外知識的情況下準(zhǔn)確推斷。

3. 目標(biāo)驅(qū)動型領(lǐng)導(dǎo)力

目標(biāo)驅(qū)動型領(lǐng)導(dǎo)力是知情型領(lǐng)導(dǎo)力的一個特定子集。目標(biāo)驅(qū)動型領(lǐng)導(dǎo)是一種知情的領(lǐng)導(dǎo) （“通過目標(biāo)知情”） ，它使用一系列有意的控制輸入，如呼叫和明確的動作，來引導(dǎo)群體走向一個特定的目標(biāo)狀態(tài)或一組目標(biāo)狀態(tài)。然而，并非所有的知情領(lǐng)導(dǎo)都是目標(biāo)驅(qū)動的。例如，當(dāng)一群動物中的一個個體檢測到捕食者時，該個體會變得“知情”并試圖離開，而這種突然的運動變化可能會導(dǎo)致群體中的其他成員跟隨。在這種情況下，第一個反應(yīng)的個體表現(xiàn)出知情型領(lǐng)導(dǎo)力，但它唯一的“目標(biāo)” （如果有的話） 是遠(yuǎn)離捕食者，而不是試圖帶領(lǐng)整個群體遠(yuǎn)離捕食者。

更準(zhǔn)確地說，我們把目標(biāo)驅(qū)動型領(lǐng)導(dǎo)者描述為一個不僅影響群體，而且有意控制群體走向某種目標(biāo)狀態(tài)的個體。此外，移除這樣的個體應(yīng)該導(dǎo)致群體不朝著目標(biāo)狀態(tài)前進(jìn)。在數(shù)學(xué)上，我們對這個部分的定義如下。鑒于 是一組目標(biāo)狀態(tài)，那么，如果 i 對群體的凈影響[見公式（4）]非零，則個體 i 是一個目標(biāo)驅(qū)動的領(lǐng)導(dǎo)者（就 而言）。

也就是說，個人直接影響整個團體，這種影響的結(jié)果是團體朝著目標(biāo)狀態(tài)前進(jìn)。目標(biāo)驅(qū)動型領(lǐng)導(dǎo)者的一個例子是牧羊犬。這些狗跑在一群羊的后面，通過一系列有意的信號，如吠叫、眼神接觸和身體姿勢，狗故意控制羊群走向一個給定的目標(biāo)狀態(tài)，如谷倉或田野。

4. 涌現(xiàn)型領(lǐng)導(dǎo)力

在沒有社會結(jié)構(gòu)或差異化信息的情況下，不對稱的影響以及領(lǐng)導(dǎo)力可能僅僅來自于社會互動規(guī)則；我們稱之為涌現(xiàn)型領(lǐng)導(dǎo)力。如果動物使用各向異性的社會互動規(guī)則，就會出現(xiàn)這種情況。例如，當(dāng)個體受到在他們前面的其他個體的影響更大時，那么在群體中處于更前面位置的個體就更有影響力，即使他們沒有額外的信息、動機或地位。最近在我們的遷徙馴鹿的例子中，已經(jīng)證明了這種涌現(xiàn)型領(lǐng)導(dǎo)力的存在[30]。

另一種情況是，如果個體受移動速度較快的群體伙伴的影響較大[42]，那么這些移動速度較快的個體將具有更大的影響力。如果這些個體移動得更快是對信息的反應(yīng)，或者是為了發(fā)出支配地位的信號，那么這將分別是知情型的或結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)，但如果速度的增加純粹是群體動力學(xué)的功能，這將是一個涌現(xiàn)型領(lǐng)導(dǎo)力的例子。

B. 領(lǐng)導(dǎo)力的特點

1. 領(lǐng)導(dǎo)力的分布

在動物群體中，決策范圍從完全分配給所有群體成員 （“民主”） 到由一個或幾個人主導(dǎo) （“專制”） [8,12]。量化在團隊中擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)角色的個人數(shù)量可能會提供信息。類似于參考文獻(xiàn)[12]。我們將其稱為領(lǐng)導(dǎo)力的分部，我們將其定義為介于集中式領(lǐng)導(dǎo)和分布式領(lǐng)導(dǎo)之間的一個連續(xù)體。 （centralized and distributed leadership） 。

在整個牧群的規(guī)模上，我們可能期望我們的遷徙馴鹿屬于這個光譜上的某個地方，一端是有首領(lǐng)個體的靈長類社會，另一端是無首領(lǐng)的分裂融合的魚群。如果我們把母鹿和小鹿對看作是子群體，我們會期望母鹿是一個集中的領(lǐng)導(dǎo)者。然而，在一個包含許多這樣的配對的大群體中，我們會期望母鹿之間共享分布式領(lǐng)導(dǎo)。圖1中的鴿子群例子說明，許多系統(tǒng)處于這兩個極端之間。在這個例子中，幾乎所有的個體都有一定的影響力，但它有一個明確的等級制度，所以它不是完全分散的；因此它介于集中式和分布式之間。

2. 領(lǐng)導(dǎo)力的時間尺度

一個領(lǐng)導(dǎo)者可能不會在任何時候都積極地影響其他個體的運動，因此，量化和理解領(lǐng)導(dǎo)者在任何一個情境下都有資格成為領(lǐng)導(dǎo)者的時間尺度是有用的。在這里，我們考慮兩個時間尺度的概念--一致性和粒度。在下面的討論中，我們考慮個體的動力學(xué)，用離散時間觀測值
表示。

領(lǐng)導(dǎo)力的一致性被簡單地定義為領(lǐng)導(dǎo)者有資格成為領(lǐng)導(dǎo)者的觀察時間窗口的比例。更具體地說，如果領(lǐng)導(dǎo)者在整個時間窗口內(nèi)都被認(rèn)定為領(lǐng)導(dǎo)者，我們就將其歸類為在觀察窗口內(nèi)的持久性/一致性。相反，如果一個領(lǐng)導(dǎo)者只在某個小的時間窗口 內(nèi)被確定為領(lǐng)導(dǎo)者，我們就把它歸為短暫的，其中 。參考文獻(xiàn)[12]中提出了一個類似的時間領(lǐng)導(dǎo)力量表，其范圍從可變到一致，但試圖捕捉相同的概念。

領(lǐng)導(dǎo)力的粒度涉及到個體作為領(lǐng)導(dǎo)的時間步驟的分辨率。例如，一個負(fù)責(zé)日?；顒拥念I(lǐng)導(dǎo)可能與一個負(fù)責(zé)季節(jié)性活動的領(lǐng)導(dǎo)不同。我們可以通過改變我們考察動態(tài)的時間步驟來檢查粒度。特別是，只用觀測大的 k 值，
( k >1)來量化領(lǐng)導(dǎo)力。如果一個領(lǐng)導(dǎo)者只在粗粒度的基礎(chǔ)上行動，那么他們可能不會在小的時作為領(lǐng)導(dǎo)者，但隨后可能在一些較大的 k 時作為領(lǐng)導(dǎo)者。與此相反，細(xì)粒度的領(lǐng)導(dǎo)者可能在小的 k 時為領(lǐng)導(dǎo)者。

在我們的遷徙馴鹿的例子中，有經(jīng)驗的個體領(lǐng)導(dǎo)著廣泛的遷徙路徑，表現(xiàn)出持久的領(lǐng)導(dǎo)力，但也許具有粗粒度。相比之下，那些對沿途資源或捕食威脅做出反應(yīng)的動物的領(lǐng)導(dǎo)力是短暫的，具有細(xì)粒度。

對于那些試圖從時間序列中推斷領(lǐng)導(dǎo)角色的人來說，時間尺度帶來了一些挑戰(zhàn)。如果顆粒度或觀察窗口長度與領(lǐng)導(dǎo)力的自然時間尺度不一致，那么領(lǐng)導(dǎo)力事件可能會被完全遺漏或錯誤分類。例如，考慮一個結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo) ，其屬性為
，即一個不直接影響群體的結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)——盡管它有可能。無論采用何種推理方法，這樣的潛在領(lǐng)導(dǎo)者總是會被錯誤地分類。同樣地，考慮一個知情型的領(lǐng)導(dǎo)者，只有當(dāng)他們在已知資源的某個半徑范圍內(nèi)時才會領(lǐng)導(dǎo)。假設(shè)這個事件只發(fā)生在一個很短的時間窗口 ，其中 。如果我們只考慮在整個觀察窗口中領(lǐng)導(dǎo)的領(lǐng)導(dǎo)者，那么大多數(shù)的綜合衡量標(biāo)準(zhǔn)將掩蓋掉這樣一個短暫的領(lǐng)導(dǎo)事件。由于這些原因，通過研究數(shù)據(jù)集的子樣本，仔細(xì)考慮一致性，以及通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行向下取樣和重新測試的粒度，人們可能會得到一個更清晰的關(guān)于移動的動動物群體中存在的領(lǐng)導(dǎo)的圖景。

3. 領(lǐng)導(dǎo)力的范圍

領(lǐng)導(dǎo)者的影響力量化了領(lǐng)導(dǎo)者直接或間接通過后續(xù)互動對群體成員的潛在影響。從形式上看，我們將領(lǐng)導(dǎo)者的影響力定義為該領(lǐng)導(dǎo)者在與特定領(lǐng)導(dǎo)力來源相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)上的可達(dá)性集合的成員。具體來說，讓 是一個網(wǎng)絡(luò)，如果 j 有能力領(lǐng)導(dǎo)i ，則存在一條從節(jié)點 j 到節(jié)點的有向邊，其中領(lǐng)導(dǎo)力可以是結(jié)構(gòu)性的、涌現(xiàn)型或知情型的領(lǐng)導(dǎo)。那么，個體的可達(dá)性就是 i 在 上的可達(dá)性集合。

考慮到圖2，圖中表示結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)的潛力。在這個例子中，個體 有一個 的可達(dá)性集合，因此這7個個體都在結(jié)構(gòu)領(lǐng)導(dǎo)者 的范圍之內(nèi)。影響力自然是在局部和全局之間的一個連續(xù)體。如果一個個體對所有的個體都體現(xiàn)了某種形式的領(lǐng)導(dǎo)力，這將是全局性的影響；如果一個人只領(lǐng)導(dǎo)群體中的一些小子集，那么這個領(lǐng)導(dǎo)者就被認(rèn)為是局部的。在圖2中，個體具有全局影響力，個體 I 具有局部影響力。

圖2. 個體領(lǐng)導(dǎo)力的覆蓋范圍。每個帶紅圈的節(jié)點都在可達(dá)性集合內(nèi)，因此也是個體的可及范圍。

就我們的遷徙馴鹿案例而言，有經(jīng)驗的遷徙者帶領(lǐng)整個鹿群走在寬廣的遷徙道路上，會有全局性的影響，而母鹿帶領(lǐng)她的小鹿走在更細(xì)粒度的范圍內(nèi)，會有局部的影響。

4. 領(lǐng)導(dǎo)力的可觀察性

當(dāng)我們觀察一個動物社會時，我們是不完美的，主要表現(xiàn)在兩個方面。首先，任何觀察到的數(shù)量都會受到噪聲和測量誤差的影響。其次，也許更重要的是，社會中可能有一些元素沒有被觀察到。這種隱藏的變量和狀態(tài)可能反過來在我們對領(lǐng)導(dǎo)力的解釋和推斷中起作用。事實上，如果數(shù)據(jù)不合適，最強大的領(lǐng)導(dǎo)力可能無法被發(fā)現(xiàn)。在各種分類中，領(lǐng)導(dǎo)力可能使用聲音提示[43,44]、手勢[45]、或過于精細(xì)而無法被GPS發(fā)現(xiàn)的運動 （如飛行前的拍打翅膀[46]） 來啟動或控制群體運動。如果所產(chǎn)生的運動是同步的，基于軌跡的領(lǐng)導(dǎo)力推斷很可能會失敗。更糟糕的是，如果在所產(chǎn)生的運動中，最不占優(yōu)勢的個體首先對提示作出反應(yīng)，那么就會顯得這些個體在領(lǐng)導(dǎo)。

在我們的遷徙馴鹿的案例中，領(lǐng)先的個體可能會站起來發(fā)出離開的信號，或者激勵其它個體開始移動。這不會被GPS標(biāo)簽捕捉到，因此對于僅基于軌跡的推理方法來說是無效的。

在實踐中，對隱匿的領(lǐng)導(dǎo)力進(jìn)行量化，從定義上來說是相當(dāng)困難的。也就是說，如果人們檢測到了領(lǐng)導(dǎo)力，它就被觀察到了。然而，在理論上這樣做是非常微不足道的。正如第二節(jié)所定義的那樣，我們通過 （或是這些的一些混合） 定義整個系統(tǒng)的動力學(xué)。當(dāng)系統(tǒng)被觀察時，觀察到的變量，即 和 ，可能與真實變量不同。如果一個個體表現(xiàn)出內(nèi)在變量 所定義的領(lǐng)導(dǎo)力，但在觀察變量
下似乎沒有這樣做，我們稱之為“隱藏的”領(lǐng)導(dǎo)角色。一個沒有被隱藏的領(lǐng)導(dǎo)者就被稱為可觀察的領(lǐng)導(dǎo)者。

C. 現(xiàn)實世界的動物行為和領(lǐng)導(dǎo)力的剖析

在這里，我們討論現(xiàn)實世界的動物互動，并以強調(diào)我們的領(lǐng)導(dǎo)力分類剖析學(xué)術(shù)語的方式進(jìn)行討論。

我們希望在相對穩(wěn)定的動物群體中找到結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)，這些群體通常具有復(fù)雜的社會等級，如鯨類、狼、野狗、大象和靈長類動物[15,47-50]。典型的例子是靈長類社會中所謂的首領(lǐng)個體，它在很長一段時間內(nèi)對整個群體有一定程度的控制 （假設(shè)社會是穩(wěn)定的） 。值得注意的是，在這種社會中，結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)很可能與知情型領(lǐng)導(dǎo)相關(guān)聯(lián)。例如，一頭母象可能對很少有人光顧的水坑有更好的信息，同時也有更大的均值影響力來帶領(lǐng)她的群體去那里。

我們預(yù)計，在由不相關(guān)的個體和不穩(wěn)定的成員組成的動物群體中，如魚群和鳥群，知情型領(lǐng)導(dǎo)會占主導(dǎo)地位。一個魚群中的單個任意成員可能會察覺到一個威脅，使它周圍的人也感到驚愕，或者整個群體做出規(guī)避動作[52]。這是一個集中的、短暫的、知情領(lǐng)導(dǎo)的例子，其影響范圍是有限的還是全局性的，取決于群體中有多少個體做出反應(yīng)。同樣，同一魚群的一些人可能擁有關(guān)于食物資源可能出現(xiàn)的地點或時間的信息，并帶領(lǐng)整個魚群去那個時空位置。

知情型領(lǐng)導(dǎo)在長的距離尺度的運動中也很常見。在鴿群中，消息靈通的個體在歸巢飛行中充當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者[54]。 （然而，應(yīng)該注意的是，鴿子也表現(xiàn)出一種結(jié)構(gòu)層次。） 在遷徙過程中，年長的、更有經(jīng)驗的鳥類引導(dǎo)群體走有效的遷徙路線[5,39]。在這兩個例子中，知情的鳥類是集中的、持久的、目標(biāo)驅(qū)動的、具有全局影響力的知情型領(lǐng)導(dǎo)者。

在遷徙的白鸛中，一些個體積極尋找熱力上升氣流，這是它們獲得有效升力以完成遷徙的必要條件，而其它個體則傾向于模仿，向已經(jīng)處于熱力中的個體移動。這是一個被稱為“突發(fā)感應(yīng)”[5]的一般現(xiàn)象的具體例子，在這種現(xiàn)象中，一個群體跨越一個環(huán)境梯度，梯度的“首選”一端的個體改變它們的行為 （有意或無意） ，使整個群體跨越梯度[41,56]。一般來說，這種領(lǐng)導(dǎo)力將是分散的和短暫的 （盡管可能是持久的，如果像白鸛一樣，同樣的個體總是找到熱源） ，具有全局影響力的知情型領(lǐng)導(dǎo)者。

4. 驗證領(lǐng)導(dǎo)力推斷方法的模型沙盒

最終，人們希望能夠開發(fā)出從經(jīng)驗數(shù)據(jù)中推斷和分類領(lǐng)導(dǎo)力的方法。這當(dāng)然是一個長期的、非比尋常的挑戰(zhàn)，一個務(wù)實的方法是首先在模擬數(shù)據(jù)上測試推斷方法，在這些數(shù)據(jù)中，領(lǐng)導(dǎo)力類型和分布是已知的，因為它是明確編程的。對于移動的動物群體來說，一個明顯的出發(fā)點是修改經(jīng)典的群體行為模型 （例如，參考文獻(xiàn)[31,57,58]） ，以包括已知的領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)。在本節(jié)中，我們首先描述一個典型的集體運動模型--所謂的分區(qū)模型 （zonal model） [9,58]。隨后，我們修改該模型以納入本文描述的各種領(lǐng)導(dǎo)力來源和特征。

A. 基本的集體運動模型

按照Couzin等人的說法[9,58]，對于每個個體，編號為 每個時間 t ，都有一個“集體運動”模型，由向量 、方向向量 和速度 被保持。在每個時間步上，個體根據(jù)三個不同區(qū)域的鄰居計算出一個期望的方向 ，如圖3所示：

圖3. 帶狀蜂群模型示意圖。黑色的三角形是焦點個體。紅色的環(huán)標(biāo)志著排斥區(qū)R。藍(lán)色圓圈是定向區(qū)O，焦點個體試圖與這個區(qū)域的個體（圖中的藍(lán)色三角形）對齊。外圈是吸引區(qū)A，焦點個體試圖靠近這些個體（圖中的綠色三角形）。然后，產(chǎn)生的期望方向是綠色和藍(lán)色矢量的總和。

第一個要考慮的區(qū)域被稱為排斥區(qū)，用 R 表示。這個區(qū)域確保每個個體的“個體空間”得到保持。如果任何其他代理處于排斥區(qū) R ，對焦點個體來說，那么在下一個時間步驟中的期望方向定義為：

這個理想的方向確保了在時間
時不會發(fā)生碰撞。然而，如果對焦點個體來說， ，那么焦點個體就會試圖接近其吸引區(qū)的個體，并與它們定向區(qū)的個體一起定向。這是通過在時間 選擇一個期望的方向來實現(xiàn)的，方法如下：

其中 α 是一個參數(shù)，控制吸引和排列的相對強度。例如，一群鵝 （以排列為主） 會有一個相對較低的 α ，而一群昆蟲 （以吸引為主） 會有一個相對較高的 α 。

所需的方向矢量 d 被歸一化為單位矢量：

接下來，為了表示源于感官和認(rèn)知能力限制的不確定性，該單位向量被轉(zhuǎn)化為
，將其旋轉(zhuǎn)一個小角度，從以零為中心的圓形包裹的高斯分布中抽取。最后，假設(shè)個體在單位時間內(nèi)的最大轉(zhuǎn)彎速度 為θ弧 度。因此，如果一個個體的當(dāng)前方向 與它在下一時間步長的期望方向之間的差異，小于 ，那么就達(dá)到了期望方向， 。否則，該個體的方向 是將 旋轉(zhuǎn) 向其期望的方向 的結(jié)果。

在航向分配完畢后，在 的位置可以通過以下方式計算出來：

其中 ，是個體 i 的速度。

B. 明確增加領(lǐng)導(dǎo)力的來源

雖然這個基礎(chǔ)模型捕捉了各種各樣的群體行為，但它沒有明確說明領(lǐng)導(dǎo)力來源。為了測試領(lǐng)導(dǎo)力推斷方法，對這個基礎(chǔ)模型做一些簡單的修改是有幫助的：（1）增加一個社會性矩陣[59] （結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)力） ，（2）在群體中增加“知情”個體[9] （知情型領(lǐng)導(dǎo)力） ，以及（3）使互動規(guī)則各向同性[58] （涌現(xiàn)型領(lǐng)導(dǎo)力） 。

1. 結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)力

為了納入結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)，我們引入一個社會性矩陣 ，如果個體 i 能被個體 j 影響。更一般地說， 是一個連續(xù)值，給出了個體 j 對個體 j 的相對影響。為了考慮到這一點，理想方向的計算被修改為對每個鄰居相對于 的影響進(jìn)行加權(quán)，而不是對 和 中的每個人進(jìn)行等額加權(quán)），即：

將這個社會性矩陣添加到基礎(chǔ)模型中，就可以明確地將結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)力包含在內(nèi)。這是一個優(yōu)勢，因為人們可以在事后看看放在模型中的結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)力是否可以通過一個候選推斷方法提取出來。

2. 知情型領(lǐng)導(dǎo)力

為了模擬知情型領(lǐng)導(dǎo)力，個體的一個子集被賦予首選方向的“知識” （例如，這個首選方向可以代表一條遷徙路線或一個獵物或已知資源的方向 ）[9]。不知情的群體成員對 沒有了解，可能知道也可能不知道哪些個體是知情的。按照Couzin等人的觀點[9]，為了將其納入模型，知情個體在社會互動和他們的首選方向之間用一個加權(quán)項進(jìn)行平衡。特別是，知情的個體有一個期望的方向 ，由以下公式給出：

如 果 ω=0 ，則完全忽略了首選方向，只遵循社會互動。當(dāng) ω 向1增加時，首選方向的影響與社會互動的影響就會平衡。隨著 ω >1時，首選方向比社會互動更受青睞。

3. 涌現(xiàn)型領(lǐng)導(dǎo)力

做一個推斷涌現(xiàn)型領(lǐng)導(dǎo)力的測試案例的一個方法是使互動在空間上不對稱。特別是，我們可以簡單地在公式（7）-（9）中描述的模型中加入“盲區(qū)”[58]。在這種情況下，區(qū)域 和 會有部分盲區(qū)，這些盲區(qū)中的個體被忽略了。如果這些盲區(qū)足夠大，個體就會更多地受到他們前面的個體的影響[30]。

C. 測試領(lǐng)導(dǎo)力的特征

1. 領(lǐng)導(dǎo)力的分布

使用前幾節(jié)中介紹的框架，可以探索從集中式到分布式的各種領(lǐng)導(dǎo)分布[12]。對于結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)力，范圍可以從具有中心結(jié)構(gòu) （集中式） 的社交矩陣到具有隨機連接，甚至完全連接 （去中心化） 。對于知情型領(lǐng)導(dǎo)力，具有非零值的群體部分將大致跨越領(lǐng)導(dǎo)分布的范圍。我們注意到結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)和知情型領(lǐng)導(dǎo)的分布可能是正交的。例如，一個團隊可以擁有高度集中的結(jié)構(gòu)領(lǐng)導(dǎo)，同時擁有完全分布式的信息領(lǐng)導(dǎo)，反之亦然。

2. 領(lǐng)導(dǎo)力的時間尺度

領(lǐng)導(dǎo)力的時間一致性和粒度可以通過使與領(lǐng)導(dǎo)力相關(guān)的模型參數(shù)與時間相關(guān)來建立，例如 ， ，以及 。例如，我們可以通過定義時變的 ，在固定的時間間隔內(nèi)移除或改變首選方向，然后再看推斷算法是否能檢測到這種變化。

3. 領(lǐng)導(dǎo)力的范圍

通過設(shè)置社會性矩陣的具體例子，人們可以實驗各種領(lǐng)導(dǎo)力的達(dá)成情況，并測試各種推斷措施恢復(fù)的能力。

4. 領(lǐng)導(dǎo)力的可觀察性

這里提出的框架有大量的變化，可以對領(lǐng)導(dǎo)力由非軌跡的線索或信號驅(qū)動的可能性進(jìn)行編碼[43-46,60]。一個明顯的例子 （在自然界也是無處不在的） 是聽覺信號，它可以提供遠(yuǎn)距離的互動。

D.一個潛在的陷阱：影響力vs.領(lǐng)導(dǎo)力

考慮一個移動的動物群體，每個成員都受公式（9）支配，方向由公式（7）和（10）決定。此外，定義 否則為0，
，并讓 。這描述了一個簡單的鏈?zhǔn)酵負(fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中每個個體都有能力對最多一個其它個體進(jìn)行結(jié)構(gòu)性領(lǐng)導(dǎo)。特別是，每個個體直接定向并吸引到 （跟隨） 群體中最多一個其它個體。然而，需要注意的是，每個個體都要避免與所有其他個體發(fā)生碰撞 [社會性矩陣適用于公式（10），但不適用于公式（7）] 。

在這個例子中，偶然的社會互動，如由排斥引起的互動，對大多數(shù)影響 / 因果推斷算法構(gòu)成了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)。例如，如果盲目地應(yīng)用最優(yōu)因果熵[26]或轉(zhuǎn)移熵[61]來推斷誰領(lǐng)導(dǎo)誰，那么這些算法會得出一個所有個體對所有個體的領(lǐng)導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)。然而，根據(jù)結(jié)構(gòu)，我們知道這是不正確的，潛在的影響網(wǎng)絡(luò)是一個簡單的鏈條。這里的問題是，這些措施[26,61]，以及一般的信息因果推斷，都不是明確地測量領(lǐng)導(dǎo)力，而是減少對某個特定變量的不確定性。在這個例子中，微小的局部排斥作用隨著時間的推移引起了足夠的“信息流”來觸發(fā)這些算法/措施。然而，正如附錄中所討論的，將影響力、信息流、因果關(guān)系和領(lǐng)導(dǎo)力混為一談是一個非同尋常的挑戰(zhàn)，本例很好地強調(diào)了這一點。

5. 后記

傳統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)力推斷方法主要集中在一個單一的定義性特征上，例如，在一個團體中的地位、社會等級、信息流或影響力。我們認(rèn)為，一般來說，這些概念中沒有一個能單獨完全抓住領(lǐng)導(dǎo)力。在這篇文章中，我們表明，對領(lǐng)導(dǎo)力的多個層面進(jìn)行分析的多元方法提供了一個更完整的領(lǐng)導(dǎo)力結(jié)構(gòu)分類。這種形式主義應(yīng)該有助于將有關(guān)經(jīng)驗系統(tǒng)的問題，并與解決這些問題的適當(dāng)分析工具聯(lián)系起來。雖然我們提供的這個分類法肯定是不完整的，但我們希望這一努力能夠作為一個起點，將領(lǐng)導(dǎo)力定義和推斷的多面性方法正規(guī)化。

傳感器、計算機視覺方面的多種技術(shù)進(jìn)步導(dǎo)致了比以往任何時候都更多的高分辨率集體運動數(shù)據(jù)的出現(xiàn)[11]。因此，不久的將來是在領(lǐng)導(dǎo)力推斷方面取得有意義的進(jìn)展的一個好時機。因果推斷和信息論在這一領(lǐng)域很有前途，但正如我們在本文中所展示的，領(lǐng)導(dǎo)力是一個高度復(fù)雜和多面的主題，無論是因果推斷還是信息論都無法單獨完成這一任務(wù)。我們希望，隨著新的推理算法的出現(xiàn)，這里開發(fā)的正式語言和玩具模型將作為一個試驗場。我們相信，當(dāng)實踐者和理論家開始處理所有可用的高分辨率數(shù)據(jù)時，能夠仔細(xì)地對被推斷的領(lǐng)導(dǎo)力成分進(jìn)行分類將是非常寶貴的。

附錄：信息流、因果關(guān)系、影響力和領(lǐng)導(dǎo)力

信息論為嚴(yán)格量化概念提供了復(fù)雜的測量方法，例如“減少給定過去狀態(tài)Y的當(dāng)前狀態(tài)X的不確定性”。因此，這些衡量標(biāo)準(zhǔn)通常與信息流、因果關(guān)系、影響力甚至領(lǐng)導(dǎo)力等概念相關(guān)聯(lián)——而且所有這些術(shù)語通常都可以互換使用。這些措施通常被視為不太主觀的推理方法，因為幾乎不需要對所觀察系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或動態(tài)做出假設(shè)。因此，信息論已成為從時間序列推斷領(lǐng)導(dǎo)力的流行工具[19–26,62]。然而，雖然影響力、信息流和因果關(guān)系都與領(lǐng)導(dǎo)力的概念密切相關(guān)，但這些概念本質(zhì)上是不同的，因此不容易互換。此外，最近的工作已經(jīng)開始表明，這些信息措施甚至無法捕獲信息流[33]，更不用說領(lǐng)導(dǎo)力了。

下面的附錄討論了信息流、因果關(guān)系和影響，并提供了為什么我們不相信僅憑這些中的任何一個就可以充分量化領(lǐng)導(dǎo)力的原因。

信息流和熵，正如我們在以前的數(shù)學(xué)作品中所論證的那樣[24,32,63 ]，是耦合 （動態(tài)） 系統(tǒng)的一個基本概念，以及相關(guān)的隨機過程。信息論，正如在香農(nóng)熵及其變體上制定的那樣，基本上描述了一個人在觀察一個隨機變量的特定值或狀態(tài)時應(yīng)該歸因于的平均“驚喜”。更正式地說，這種驚喜或 （非） 可預(yù)測性的量化被稱為“熵”，可以嚴(yán)格地定義為基礎(chǔ)概率分布的函數(shù)。當(dāng)考慮到多個變量的時間演變時，一個變量的狀態(tài)往往取決于一組相關(guān)變量的歷史，這種變量間的依賴關(guān)系可以被看作是”信息流“。耦合系統(tǒng)中信息流的明確表征可以通過量化一個人在給定的先前觀察條件下測量觀察的信息量 （同樣作為驚喜的概念） 來完成，這就產(chǎn)生了常用的措施，如轉(zhuǎn)移熵[61]和因果關(guān)系熵[26,64,65]。換句話說，信息流描述了與過去各種組合的條件有關(guān)的預(yù)測的不確定性的減少。因此，無論是通過格蘭杰因果關(guān)系[66]、轉(zhuǎn)移熵[61]、因果熵[26,64,65,67]，還是其他一些方法，我們的想法是要問，如果知道了一個可能的耦合變量的過去，不確定性是否會減少。顯然，這個問題從科學(xué)或數(shù)學(xué)的廣泛的科學(xué)領(lǐng)域是普遍適用的。然而，本文的部分主題是，這些信息流概念本身并不充分或等同于領(lǐng)導(dǎo)力。

因果關(guān)系是一個與信息流相關(guān)但不相同的概念。因果關(guān)系的概念有很多解釋，取決于上下文，從哲學(xué)的[68-70]，到統(tǒng)計學(xué)的[71-75]，到動力學(xué)的[61,64,66,76]。在這里，我們將完全避免哲學(xué)方向，但要注意其中一些確實與其他方向相吻合。統(tǒng)計學(xué)的觀點有時與隨機過程有關(guān)，特別是來自Pearl的有影響力的工作[71-73]，與理解干預(yù)的微積分有關(guān)，但不一定與我們的背景有關(guān)。我們對理解因果影響的解釋更感興趣，一個自由運行的系統(tǒng)，也就是一個被動觀察而不是主動探測的系統(tǒng)。因此，這與隨機過程中的信息流概念關(guān)系更密切，幾乎是同義的，但不完全相同。我們采取了與格蘭杰相同的觀點，他的推理最終導(dǎo)致了2003年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的頒發(fā)；格蘭杰的基本原則是：（1）原因發(fā)生在結(jié)果之前；（2）原因必然包含關(guān)于其結(jié)果的未來狀態(tài)的獨特信息[66]。詳細(xì)來說，所謂的格蘭杰因果關(guān)系是一種假設(shè)為線性隨機過程的特定計算，因此，它被證明[76]完全等同于在具有高斯噪聲的線性隨機過程的特殊情況下，通過其他手段 （在信息論中通過適當(dāng)?shù)臈l件的庫爾貝克-列布勒分歧） 計算的轉(zhuǎn)移熵。所以說，雖然格蘭杰的基本原則是相同的，但計算的細(xì)節(jié)可能不同。

影響力可以在這個形式化的框架內(nèi)被描述為與領(lǐng)導(dǎo)力有關(guān)，但又有些不同，這取決于我們是否從信息論、減少不確定性或其他一些基本原則的角度來聯(lián)系個體之間的互動，包括控制系統(tǒng)的潛在目標(biāo)。考慮到一個群體中的一些個體可能是領(lǐng)導(dǎo)者，對這句話的各種解釋方式將在隨后的下文中陳述。例如，對領(lǐng)導(dǎo)力的衡量可能與信息流有關(guān)，或者作為因果影響的代表，領(lǐng)導(dǎo)可能會在其他代理人之前改變狀態(tài)，這個概念將類似于先有因后有果。一個群體中具有影響力的成員不一定被解釋為領(lǐng)導(dǎo)者，盡管在某種意義上，影響力是一種事實上的領(lǐng)導(dǎo)力，因為影響力相當(dāng)于導(dǎo)致他人改變其行為的可能性 （動力學(xué)） 。

那么說，從信息流的角度來看，影響力、因果關(guān)系和領(lǐng)導(dǎo)力之間的區(qū)別是什么？在一些解釋中，對他人的影響或因果關(guān)系和領(lǐng)導(dǎo)力幾乎是同義的，但有重要的區(qū)別。如果從減少不確定性的角度來看待領(lǐng)導(dǎo)力 （因此可以通過因果推理和信息流來衡量） ，那么因果關(guān)系和影響就成為領(lǐng)導(dǎo)力的同義詞。因此，如果一個領(lǐng)導(dǎo)行為是積極的、可觀察的，那么因果關(guān)系和信息流就是核心概念，使人們能夠?qū)︻I(lǐng)導(dǎo)力進(jìn)行定義和經(jīng)驗上的評分。然而，還有一些領(lǐng)導(dǎo)力的概念，顯然超出了信息流的范圍。在正文中，通過使用領(lǐng)導(dǎo)力的分類法，我們超越了典型的因果關(guān)系和信息流概念[24,25,37]，以允許那些通過狹義的熵解釋可能被忽略的特征，包括結(jié)構(gòu)、個體的知情程度、分布、時間和空間尺度以及目標(biāo)驅(qū)動是我們將在此討論的一些其他方面。

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群體智能讀書會

如果你對這些反直覺但極有用的現(xiàn)象感興趣——從蟻群搭橋、魚群同步、到無人機集群表演、集群機器人協(xié)作、群智優(yōu)化與多智能體系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)輿論建模研究等——歡迎加入「群體智能」讀書會：我們用動物—人類—機器三條線，希望把群體智能的涌現(xiàn)這件事講清楚、講透徹；用物理學(xué)、數(shù)理邏輯、多主體建模、計算傳播等多學(xué)科視角，去追問同一個核心：集群何以比個體更聰明？群體智能又在何時涌現(xiàn)？

集智俱樂部聯(lián)合北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院韓戰(zhàn)鋼教授、暨南大學(xué)計算傳播研究中心趙甜芳副教授、新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院玉素甫·艾比布拉副教授等來自11所高校的學(xué)者，共同發(fā)起本次，嘗試用一條普適的線索，把自然界的鳥群蟻群、人類社會的集群行為、以及人工智能時代的多智能體與群智優(yōu)化，放在同一張地圖上重新理解。讀書會自2026年1月17日開始，安排在每周六下午 14:00–16:00，歡迎所有對群體智能如何涌現(xiàn)、如何被理解、以及如何被設(shè)計，感興趣的朋友一起加入：帶著問題來，帶著更有趣的問題去。

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