深入理解函數(shù)

2024年湖北省中考模擬數(shù)學(xué)第24題

作為2024年湖北省中考模擬數(shù)學(xué)卷（非武漢地區(qū)）的終極BOSS，本題最后一問的設(shè)置很巧妙，事實(shí)上它是一個(gè)新函數(shù)，即要求學(xué)生用函數(shù)的觀念去理解這一問涉及到的變量，前面兩個(gè)小問一如既往比較簡(jiǎn)單。

函數(shù)綜合題的考查對(duì)命題的確是極高的要求，我們?cè)诮虒W(xué)中經(jīng)常說函數(shù)課要有函數(shù)味道，而不能把函數(shù)教學(xué)局限于復(fù)雜的代數(shù)恒等變換，看上去參數(shù)眾多，實(shí)際上就是“死算”；全國(guó)各地中考題對(duì)函數(shù)綜合的命題，越來(lái)越多地開始檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念的深層理解，包括新定義題型，在個(gè)人看來(lái)，本題適當(dāng)改編，也不失為新定義的優(yōu)秀素材，那究竟要如何體現(xiàn)函數(shù)味道，我們一起來(lái)看本題。

題目

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c（b，c是常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，P為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)直接寫出b，c的值；

(2)如圖，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的右側(cè)時(shí)，連接PA，過點(diǎn)P作PD⊥PA，交直線l于點(diǎn)D，若PA=PD，求m的值；

(3)過點(diǎn)P作x軸的平行線與直線BC交于點(diǎn)Q，線段PQ的長(zhǎng)記為d.

①求d關(guān)于m的函數(shù)解析式；

②根據(jù)d的不同取值，試探索點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況.

解析：

0 1

(1)由條件可知該二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為-1，直接由交點(diǎn)式寫出y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，即b=2，c=3；

0 2

(2)PD⊥PA且PA=PD，所以構(gòu)造“一線三直角”模型即可解決各點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)問題，如下圖：

顯然圖中△APF≌△PDE，先寫出點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,-m2+2m+3)，然后表示出PF=-m2+2m+3，DE=m-1，于是由PF=DE列方程為-m2+2m+3=m-1，解得m=(1+√17)/2；

0 3

(3)本題一定要認(rèn)真作圖，一定要認(rèn)真觀察圖形的變化，按要求在備用圖中作x軸的平行線，可以發(fā)現(xiàn)這條平行線隨點(diǎn)P位置不同，交點(diǎn)Q的位置也隨之變化，如下圖：

在草圖中，我們需要思考以下幾個(gè)問題：

第一，過點(diǎn)P且平行于x軸的直線，與拋物線的交點(diǎn)情況；

第二，這條平行線與拋物線的哪個(gè)交點(diǎn)可記為點(diǎn)P？

第三，PQ的長(zhǎng)度d如何用含m的代數(shù)式表示？

①拋物線的頂點(diǎn)為(1,4)，當(dāng)點(diǎn)P位于此處時(shí)，d=2，這是特殊位置；然后我們求出直線BC的解析式為y=-x+3，從而可表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)為(m2-2m，-m2+2m+3)，為后面表示出d作準(zhǔn)備；

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)，d=m-(m2-2m)=-m2+3m；

當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，d=(m2-2m)-m=m2-3m；

綜上可得d=-m2+3m(0

②在前面對(duì)點(diǎn)P位置的討論過，我們簡(jiǎn)單地用點(diǎn)P所在象限分類，其實(shí)還是有邏輯上的“漏洞”，即前面所說第二個(gè)問題，哪個(gè)交點(diǎn)可記為點(diǎn)P？

除了點(diǎn)P在拋物線頂點(diǎn)處時(shí)，這條平行線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，即點(diǎn)P有兩處，如下圖：

那前面的討論中為何不分兩處來(lái)寫解析式呢？

因?yàn)闊o(wú)論上圖中的點(diǎn)P或點(diǎn)P'，其坐標(biāo)都是同一種，都用參數(shù)m表示，而m本身的取值，有兩個(gè)結(jié)果，從解析式角度來(lái)看，并無(wú)問題；

但輪到討論點(diǎn)P個(gè)數(shù)時(shí)，問題就來(lái)了，圖中很明顯，當(dāng)d的取值不同，滿足條件的點(diǎn)P不止一處，所以我們需要重新用變量的觀念去理解問題。

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，d=-m2+3m=-(m-3/2)2+9/4，說明在這個(gè)范圍內(nèi)，d是有最大值9/4的，如下圖：

當(dāng)m=3/2時(shí)，PQ長(zhǎng)度最大，我們過點(diǎn)P作BC的垂線段PG，此時(shí)PG長(zhǎng)度也最長(zhǎng)，即點(diǎn)P到直線BC的距離最長(zhǎng)；由于△BOC是一個(gè)等腰直角三角形，很容易證明△PQG也是等腰直角三角形，因此我們建立了PQ與PG間的關(guān)聯(lián)，即d=√2PG，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，PG的長(zhǎng)度變化趨勢(shì)是：點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，PG先變長(zhǎng)，到圖中PG位置時(shí)最長(zhǎng)，然后又變短，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，d=0；

現(xiàn)在我們將這種探討方式推廣，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)PG的長(zhǎng)度變化趨勢(shì)是：點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，PG先變長(zhǎng)，當(dāng)PG長(zhǎng)度超過前面的“最大長(zhǎng)度”后，還在繼續(xù)變大，直到到達(dá)點(diǎn)A，此時(shí)d=4，如下圖：

于是根據(jù)前面的探索，我們成功將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到直線BC的距離，與點(diǎn)P個(gè)數(shù)間的關(guān)系，現(xiàn)在理解起來(lái)就容易多了；

總體上d的范圍是0

為幫助理解，我們過點(diǎn)P作直線BC的平行線，請(qǐng)注意在兩側(cè)各有一條平行線，即直線m和直線n，仍然先看特殊情況，當(dāng)PG=9√2/8時(shí)，d=9/4，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，如下圖：

當(dāng)0

當(dāng)9√2/8

解題反思

從最難想的第三問看，如何尋找d與點(diǎn)P個(gè)數(shù)間的關(guān)系，很多學(xué)生沒能找到門路，因?yàn)閐的值并不是和點(diǎn)P位置一一對(duì)應(yīng)，如果本題根據(jù)點(diǎn)P位置去求d的值，這個(gè)難度一下子就降低了，所以說這道題的命題很智慧。

當(dāng)然，解這道題之后，作為老師，接下來(lái)就是思考如何講給學(xué)生懂，如果把自已的思維過程以清晰的脈絡(luò)呈現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生才有可能理解清楚，所以在思考解法講授的時(shí)候，多畫了幾組圖，事實(shí)上在解題過程中，并沒有繪制這么多圖示。

d值與線段PQ長(zhǎng)度有關(guān)，雖然PQ看上去很“直”，但最終不如轉(zhuǎn)化成PG長(zhǎng)度直觀，顯然PG看上去是“斜”，這也可以看作是化斜為直的反套路，經(jīng)此一役，學(xué)生應(yīng)該明白，數(shù)學(xué)中的“斜”或“直”，永遠(yuǎn)是相對(duì)的，不可拘泥。

一旦問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)P到直線BC的距離與點(diǎn)P個(gè)數(shù)的關(guān)系，則問題又變成了“老熟人”，這是典型的化歸思想。