數(shù)論其實(shí)就是研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)，被譽(yù)為“最純”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在20世紀(jì)前，數(shù)論還一直叫算術(shù)呢。

但是，千萬(wàn)別以為整數(shù)就變不出什么花樣。正整數(shù)按乘法性質(zhì)劃分，可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1，質(zhì)數(shù)產(chǎn)生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問(wèn)題，如哥德巴赫猜想，孿生質(zhì)數(shù)猜想等。

也就是說(shuō)，很多問(wèn)題雖然形式上十分初等，解決起來(lái)卻要用到許多艱深的數(shù)學(xué)知識(shí)。這一領(lǐng)域的研究從某種意義上推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，催生了大量的新思想和新方法。很多知名數(shù)學(xué)家都為數(shù)論都發(fā)展作出過(guò)貢獻(xiàn)，包括費(fèi)馬、梅森、歐拉、高斯、勒讓德、黎曼、希爾伯特等人。

高斯有過(guò)這么一個(gè)經(jīng)典比喻：「數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后?！?/p>

——卡爾·弗里德里希·高斯

《數(shù)學(xué)女王的邀請(qǐng)》，被讀者稱(chēng)為真正的初等數(shù)論入門(mén)讀物，作者遠(yuǎn)山啟從數(shù)的由來(lái)說(shuō)起，如搭積木一般，層層遞進(jìn)，揭示出整數(shù)宇宙的深刻秩序。

《數(shù)學(xué)女王的邀請(qǐng)：初等數(shù)論入門(mén)》

作者：[日]遠(yuǎn)山啟

譯者：逸寧

01

小學(xué)時(shí)期的高斯

通過(guò)前文的介紹，想必大家已經(jīng)了解到，用同余式能給計(jì)算帶來(lái)極大的便利。在簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程和思考方式等方面，可以說(shuō)同余式是一項(xiàng)偉大的發(fā)明。

同余式是由偉大的數(shù)學(xué)家高斯（1777—1855）發(fā)明的。

高斯于1777年4月30日出生在德國(guó)的不倫瑞克。當(dāng)時(shí)的德國(guó)由多個(gè)小國(guó)組成，不倫瑞克也是其中之一。

高斯的父親是一名泥瓦匠，當(dāng)時(shí)高斯的家庭條件比較貧困。高斯在上小學(xué)時(shí)進(jìn)入了比特納老師的班級(jí)學(xué)習(xí)。

有一天，比特納老師讓學(xué)生們計(jì)算從1到40的所有數(shù)的總和。

其實(shí)，比特納老師當(dāng)時(shí)很有可能只是因?yàn)楦杏X(jué)到上課有些疲憊，才故意出了一道題讓學(xué)生們做，自己打算利用這段時(shí)間稍作休息。

對(duì)于小學(xué)生而言，得出從1加到40的結(jié)果需要花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間，而比特納老師或許是想利用這個(gè)間隙在教室里散散步。

然而，比特納老師剛把教鞭放下，高斯就立馬站起來(lái)興高采烈地喊道：“我算出來(lái)了！”

老師認(rèn)為這個(gè)孩子肯定是哪里搞錯(cuò)了，于是就走過(guò)去瞥了一眼高斯的石板。令老師感到震驚的是，高斯的石板上確實(shí)寫(xiě)著正確答案820，而且他的計(jì)算方式并非像其他孩子那樣，將1,2,3,···逐一相加，而是將1和40、2和39、3和38等首尾組合兩兩相加。這樣一來(lái)，每組數(shù)字相加的結(jié)果均為41，一共有20組，所以答案為41×20=820。

比特納老師對(duì)此感到震驚不已，沒(méi)想到這個(gè)孩子竟然獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的求和公式。他認(rèn)為，這個(gè)孩子將來(lái)一定會(huì)成為一名頗有成就的數(shù)學(xué)家。

后來(lái)，比特納老師又從德國(guó)的漢堡買(mǎi)來(lái)一本數(shù)學(xué)書(shū)送給高斯閱讀。高斯對(duì)這本書(shū)愛(ài)不釋手，并在書(shū)的封皮背面寫(xiě)道：“我很喜歡這本書(shū)?！?/p>

02

發(fā)現(xiàn)“黃金定理”

在比特納老師的學(xué)校里，還有一位叫巴特爾斯的年輕教師，他后來(lái)成為了俄國(guó)喀山大學(xué)的教授。巴特爾斯發(fā)現(xiàn)了高斯的數(shù)學(xué)天賦，1788年，他專(zhuān)程前往高斯所在的中學(xué)任教。

高斯的父親并不指望自己的兒子能學(xué)有所成，而是希望高斯能協(xié)助自己的泥瓦匠工作。他甚至覺(jué)得，年少的高斯在夜里學(xué)習(xí)簡(jiǎn)直就是在浪費(fèi)燈油。

不過(guò)，高斯的母親卻很支持高斯，她想方設(shè)法要讓高斯繼續(xù)接受教育。在巴特爾斯老師和母親的努力下，高斯獲得了由布倫斯維克公爵資助的學(xué)費(fèi)。高斯在15歲時(shí)考入高中，他不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還開(kāi)始學(xué)習(xí)希臘語(yǔ)和拉丁語(yǔ)等古典語(yǔ)言，并取得了驚人的進(jìn)步。

在3年大學(xué)期間，高斯通讀了過(guò)去眾多偉大數(shù)學(xué)家的著作，最用功學(xué)習(xí)的是牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。這本不朽的杰作記述了從力學(xué)原理到行星運(yùn)動(dòng)的方方面面。

另外，在校期間他還致力于數(shù)論的研究，并發(fā)現(xiàn)了被他稱(chēng)為“黃金定理”的二次互反律。

除此之外，他還發(fā)明了前文中用三條橫線(xiàn)表示的同余式符號(hào)。

高斯在18歲時(shí)進(jìn)入著名的哥根廷大學(xué)學(xué)習(xí)。完成學(xué)業(yè)后，他在1807年到1855年間一直作為教授留校工作，哥根廷大學(xué)也因此成為當(dāng)時(shí)世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)研究中心。

不過(guò)，高斯在進(jìn)入大學(xué)后也曾為前途感到迷茫，不知自己該成為一名數(shù)學(xué)家還是一名語(yǔ)言學(xué)家。

03

解決正n邊形的作圖問(wèn)題

高斯在大學(xué)的第二年，也就是1796年的3月30日，終于決定要成為一名數(shù)學(xué)家。

因?yàn)樵谶@一天，他發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法。想必大家都知道，我們只用直尺和圓規(guī)就能畫(huà)出正三邊形（等邊三角形）。

另外，我們也能利用尺規(guī)作圖法畫(huà)出正四邊形、正五邊形和正六邊形。

但是，我們卻無(wú)論如何也畫(huà)不出正七邊形。古人曾嘗試使用各種方法，最終都以失敗告終了。

自古以來(lái)，有很多人研究過(guò)用尺規(guī)作圖法來(lái)畫(huà)正多邊形的問(wèn)題，但只有高斯真正地解決了這個(gè)難題。

就在1796年3月30日，高斯發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法。

他用數(shù)論而非幾何學(xué)的方法解決了這個(gè)問(wèn)題，也對(duì)“當(dāng)n為哪些整數(shù)時(shí)，可以用直尺和圓規(guī)作出正n邊形”這一問(wèn)題做出了完整的解答。

他給出的答案如下：當(dāng)?(n)=2s且只有滿(mǎn)足該條件時(shí)，我們才能用直尺和圓規(guī)作出正n邊形（關(guān)于?(n)，請(qǐng)參考本書(shū)第5章第2節(jié)）

由于這一定理的證明過(guò)程超出了本書(shū)的范圍，所以我在此將其省略。

不過(guò)，該定理確實(shí)解決了有關(guān)正n邊形的難題。我們可以試著將一些具體的數(shù)值代入n，即可求得下列?(n)：

因此，我們可以通過(guò)?(n)的數(shù)值判斷能否利用尺規(guī)作圖法畫(huà)出正n邊形。

當(dāng)n＝17時(shí)，?(17)=16=24，所以根據(jù)高斯發(fā)現(xiàn)的定理可知，可以用直尺和圓規(guī)作出正十七邊形。

對(duì)于高斯而言，1796年3月30日無(wú)疑是值得紀(jì)念的一天，他也從這一天起開(kāi)始堅(jiān)持寫(xiě)日記。

高斯出身貧寒，為了節(jié)約紙張，他在寫(xiě)日記時(shí)故意把字寫(xiě)得很小、很密。他的這些日記中，記載了大量當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重大發(fā)現(xiàn)。

04

代數(shù)學(xué)基本定理

高斯在哥廷根大學(xué)的學(xué)習(xí)生活結(jié)束于1798年，這是他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域最活躍、最高產(chǎn)的時(shí)期。

其間，他獨(dú)立完成了以數(shù)論為核心的學(xué)術(shù)巨著《算術(shù)研究》。

1798 年，高斯轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，之后提交了自己的學(xué)位論文。這篇論文的內(nèi)容便是現(xiàn)今所謂的“代數(shù)學(xué)基本定理”。

想必一定有讀者學(xué)過(guò)一元二次方程吧。所謂的一元二次方程，就是指形式為

的方程。該方程的根可以用以下公式表示。

如果根號(hào)中的數(shù)是正數(shù)，那么就是實(shí)數(shù)。如果根號(hào)中的數(shù)是負(fù)數(shù)，那么其結(jié)果就是復(fù)數(shù)而非實(shí)數(shù)。

也就是說(shuō)，如果不將數(shù)的范圍從實(shí)數(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)，那么就無(wú)法求解一元二次方程。

反言之，只要擴(kuò)展到復(fù)數(shù)就能解開(kāi)任意一元二次方程。

那么，一元三次方程、一元四次方程等高次方程的情況又如何呢？高斯的學(xué)位論文給出了這個(gè)問(wèn)題的答案：

也就是說(shuō)，只要將數(shù)的范圍擴(kuò)展至復(fù)數(shù)，那么就能解開(kāi)包括一元二次方程在內(nèi)的一元n次方程。

《算術(shù)研究》于1801年出版，當(dāng)時(shí)的高斯只有24歲。這本書(shū)可以說(shuō)是高斯最杰出的著作，它的出版對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展史而言也是具有劃時(shí)代意義的重大事件。

此后，高斯在數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都取得了驚人的研究成果?？梢哉f(shuō)，幾乎不存在他不曾涉及的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

此外，高斯的研究還不僅局限于數(shù)學(xué)，在天文學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)和地質(zhì)測(cè)量等領(lǐng)域也都有他活躍的身影。在電磁學(xué)中，至今還在使用“高斯”這個(gè)單位。

高斯于1855年2月23日逝世，享年78歲。不過(guò)，

只要數(shù)學(xué)仍在，他的名字就永遠(yuǎn)不會(huì)消失。

《數(shù)學(xué)女王的邀請(qǐng)：初等數(shù)論入門(mén)》

作者：[日]遠(yuǎn)山啟

譯者：逸寧

日本長(zhǎng)銷(xiāo)數(shù)論入門(mén)科普讀物，日本學(xué)校圖書(shū)館協(xié)議會(huì)選定圖書(shū)。

迷倒高斯、費(fèi)馬、歐拉的“數(shù)學(xué)女王”，究竟有何魅人魔力？

本書(shū)是初等數(shù)論入門(mén)的通俗科普讀本。書(shū)中以身邊的生活之事為例，由淺入深、生動(dòng)形象地介紹了數(shù)的奇妙性質(zhì)與規(guī)律。作者用直觀、易懂的講解，引領(lǐng)讀者去體會(huì)數(shù)論證明的不可思議與酣暢淋漓，在驚奇與暢快之中提升對(duì)數(shù)學(xué)的理解程度。