導(dǎo)語

基于有效信息的因果涌現(xiàn)表明，在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中宏觀動(dòng)力學(xué)可能比微觀動(dòng)力學(xué)表現(xiàn)出更強(qiáng)的因果效應(yīng)。然而，因果涌現(xiàn)的識別與有效信息的最大化均依賴于粗?；呗缘亩x，這構(gòu)成了該領(lǐng)域的核心挑戰(zhàn)。近期提出的基于近似動(dòng)力學(xué)可逆性的因果涌現(xiàn)框架，通過奇異值分解技術(shù)規(guī)避了粗?；蕾?，但該方法目前僅限于離散狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣。為解決這一局限，本文針對高斯迭代系統(tǒng)提出了一種基于動(dòng)力學(xué)可逆性的因果涌現(xiàn)量化框架，通過分析前向與后向動(dòng)力學(xué)中逆協(xié)方差矩陣的奇異值分解來實(shí)現(xiàn)。

為系統(tǒng)梳理因果涌現(xiàn)領(lǐng)域的最新進(jìn)展，北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院教授、集智俱樂部創(chuàng)始人張江老師領(lǐng)銜發(fā)起，組織對該主題感興趣的研究者與探索者共同研讀前沿文獻(xiàn)、交流研究思路。讀書會將于2026年2月22日起每周日上午（創(chuàng)建讀書會暫定時(shí)間為10:00-22:00）線上開展，持續(xù)約10周，包含主講分享與討論交流，并提供會后視頻回放，誠邀相關(guān)領(lǐng)域研究者及跨學(xué)科興趣者參與。

關(guān)鍵詞：因果涌現(xiàn) (Causal emergence），近似動(dòng)力學(xué)可逆性（approximate dynamical reversibility），高斯迭代系統(tǒng)（Gaussian iterative systems），奇異值分解（singular value decomposition），逆協(xié)方差矩陣（inverse covariance matrix）

劉凱威丨作者

張江丨審校

論文題目：Singular-value-decomposition-based causal emergence for Gaussian iterative systems 論文作者：劉凱威，潘琳莉，王志鵬，楊明哲，袁冰，張江 論文鏈接：https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/mfct-sxn5 發(fā)表時(shí)間：2025年11月25日 論文來源：PHYSICAL REVIEW E

作者簡介：

簡介

什么是涌現(xiàn)？因果涌現(xiàn)理論框架給出了定量的刻畫：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)可以被某種粗?；绞胶喕癁橐粋€(gè)更簡單的宏觀動(dòng)力學(xué)（狀態(tài)數(shù)量更少），并且因果效應(yīng)強(qiáng)度（以有效信息來衡量）會得到顯著的提升的時(shí)候，則該系統(tǒng)中就存在著涌現(xiàn)現(xiàn)象。

盡管這一定義簡單清晰，但是傳統(tǒng)因果涌現(xiàn)現(xiàn)象的討論卻大多受限于離散狀態(tài)的動(dòng)力系統(tǒng)。近期，我們組發(fā)表在Physical Review E上的論文提出，當(dāng)我們將系統(tǒng)擴(kuò)展為連續(xù)狀態(tài)變量的馬爾可夫動(dòng)力學(xué)時(shí)，則因果涌現(xiàn)現(xiàn)象就體現(xiàn)為對一個(gè)系統(tǒng)的降維，可以使得它的動(dòng)力學(xué)的因果效應(yīng)得到顯著增強(qiáng)，為了找到這種增強(qiáng)方法，我們只需要對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和協(xié)方差矩陣同時(shí)進(jìn)行奇異值分解。

因果涌現(xiàn)實(shí)例

下面來看三個(gè)例子：

例1:帶噪聲的三維螺旋曲線

圖1

圖1中展示了一個(gè)三維空間中的螺旋線旋轉(zhuǎn)模型（繞著豎直直線x1=x2=0旋轉(zhuǎn)），同時(shí)該旋轉(zhuǎn)的半徑以及高度x3都逐漸提升。與此同時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)帶有高斯噪聲。

這個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡可以由方程描繪：

其中，動(dòng)力學(xué)系數(shù)A和噪聲的協(xié)方差矩陣∑如下圖所示：

其中A中的第三行第三列元素A(3,3)便控制著螺旋線在x3軸上的上升速度。當(dāng)A(3,3)很小的時(shí)候（小于1），則系統(tǒng)便產(chǎn)生了較明顯的因果涌現(xiàn)現(xiàn)象：此時(shí)系統(tǒng)看起來沒有高度的提升，只存在較大的不確定的噪聲（下圖協(xié)方差學(xué)矩陣∑的∑33元素），而表現(xiàn)為一個(gè)在x1,x2平面上的螺旋線。所以，我們只要保留x1、x2兩個(gè)維度，就可以近乎完整地描述系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)過程，增加x3只會增加系統(tǒng)的噪聲和不確定性，故該系統(tǒng)在2維比3維存在更強(qiáng)的因果效應(yīng)，存在因果涌現(xiàn)。

例2: 帶噪聲的馬爾薩斯人口增長模型

圖2

圖2模擬的是一個(gè)馬爾薩斯增長模型生成的增長曲線，該曲線的增長方程為也可以描述為（1）式，許多學(xué)者甚至是智庫對于人類發(fā)展遇到的在資源、環(huán)境、社會甚至國際局勢方面的諸多問題的研究與解釋，都可以溯源到該模型。該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)系數(shù)矩陣A如下圖所示：

可以明顯看出，系數(shù)矩陣的兩行完全相同。事實(shí)上，為了增加模型的冗余性（人為制造因果涌現(xiàn)的一種方式），我們給這兩個(gè)維度的變量增加了拷貝，如下圖：

這個(gè)系統(tǒng)中發(fā)生了因果涌現(xiàn)，是因?yàn)榫S度x1、x3高度相關(guān)，x2、x4高度相關(guān)，在存在噪聲的情況下，如果我們?nèi)コ@兩個(gè)拷貝的變量，或直接將相關(guān)性強(qiáng)的維度求平均組合在一起，就可以起到降低噪聲的作用，使2維情況下的宏觀系統(tǒng)4維情況下微觀系統(tǒng)因果性更強(qiáng)。

例3: 布朗運(yùn)動(dòng)

圖3

圖3則是一個(gè)噪聲占主導(dǎo)的布朗運(yùn)動(dòng)，在統(tǒng)計(jì)物理中，該模型會被用于描述微觀分子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。雖然這些模型以及他們衍生模型，應(yīng)用在在不同領(lǐng)域。

它同樣是由(1)式生成的10條樣本軌道，系數(shù)矩陣和協(xié)方差矩陣如下圖所示：

該系統(tǒng)中不同維度的噪聲不同，有的維度噪聲很小，有的維度卻很大。刪掉噪聲大的維度，保留噪聲小的維度，可以使整個(gè)系統(tǒng)噪聲減小，從保留的確定性強(qiáng)、噪聲小的維度、更容易觀察到系統(tǒng)的演化規(guī)律，說明這幾個(gè)保留的維度具有更強(qiáng)的因果性，這也是因果涌現(xiàn)存在的評判標(biāo)準(zhǔn)。

高斯迭代動(dòng)力系統(tǒng)

那么，這三類系統(tǒng)的共性是什么呢？首先，它們都是高斯迭代系統(tǒng)，即：

其中f(xt)是變量確定的演化函數(shù)，是隨機(jī)噪聲的部分。

許多現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜系統(tǒng)，無論是物理、生物、經(jīng)濟(jì)還是社會，都表現(xiàn)出由確定性規(guī)律和隨機(jī)干擾相互作用構(gòu)建的動(dòng)力學(xué)。對于非線性函數(shù)，我們通常將其線性化以分析其局部性質(zhì)，對于任意函數(shù)都可以通過泰勒展開在局部線性化，形如

或直接忽略掉常數(shù)項(xiàng)，簡寫為（1）式的形式。

我們稱之為線性高斯迭代系統(tǒng)，其中，對應(yīng)xt附近的雅克比矩陣。我們可以看到隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的噪聲無限累加，整個(gè)系統(tǒng)也會越來越不可預(yù)測。例如Logistic Map，Hanon Map，包括一些連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)（如Kuramoto、SIR、捕食者），都可以近似成這種形式。即使是線性模型，也能描述豐富的物理規(guī)律，其實(shí)上面三幅圖描述的物理模型都只需要用一個(gè)線性的高斯迭代系統(tǒng)就可以有效的表達(dá)。

其次，在這三個(gè)例子中，我們都能夠找到某種粗?；呗裕瑢⒃到y(tǒng)簡化為一個(gè)更小維度的系統(tǒng)，從而讓因果效應(yīng)提升。于是，關(guān)鍵問題是，我們?nèi)绾握业竭@樣的粗?；呗?？特別是，針對一般的大型復(fù)雜系統(tǒng)，我們要如何找到呢？

近期，張江團(tuán)隊(duì)基于他們構(gòu)建的基于動(dòng)力學(xué)可逆性和SVD方法的因果涌現(xiàn)量化方法就很好地解決了這個(gè)問題，并發(fā)表在PRE【1】上。簡單來說，針對一個(gè)給定的高斯迭代動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，我們只需要對該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和協(xié)方差矩陣做SVD分解，就可以找到判斷系統(tǒng)是否存在因果涌現(xiàn)，以及如何找到最優(yōu)的粗?；呗?。然而，為什么可以如此簡單？我們又應(yīng)該對誰做SVD分解呢？

因果性與可逆性

要想理解這個(gè)理論框架，首先，我們需要理解在一個(gè)給定的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，因果性和可逆性是兩個(gè)密切相關(guān)的概念。我們分別介紹：

因果性

任何一個(gè)動(dòng)力學(xué)都可以看作是一個(gè)因果模型。其中，前一時(shí)刻的狀態(tài)引起了后一時(shí)刻的狀態(tài)的變化，因此前一時(shí)刻的狀態(tài)是因變量，而后一時(shí)刻的狀態(tài)是果變量。本文所討論的因果性轉(zhuǎn)指在給定因果變量的前提下，因變量對果變量的因果影響的效應(yīng)強(qiáng)弱，即如果因變量發(fā)生改變，果變量也跟著發(fā)生改變的明確程度。

圖4 我們在這里展示高斯迭代系統(tǒng)的因果效應(yīng)強(qiáng)度（有效信息）與近似動(dòng)力學(xué)可逆性（γ）的相關(guān)性，如圖1所示，每張圖的左側(cè)為因變量的分布，右側(cè)為果變量的分布。圖1從左到右，因果效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，近似動(dòng)力學(xué)可逆性也在增強(qiáng)。上下對應(yīng)的兩張圖中的動(dòng)力學(xué)相同，但是輸入分布不同，因此它們的因果效應(yīng)強(qiáng)度和動(dòng)力學(xué)可逆性也都完全相同，即動(dòng)力學(xué)可逆性只與動(dòng)力學(xué)有關(guān)。

動(dòng)力學(xué)可逆性

動(dòng)力系統(tǒng)可以看作一個(gè)將前一時(shí)刻t的狀態(tài)映射到后一時(shí)刻t+Δt時(shí)刻狀態(tài)的函數(shù)。如果該映射是可逆的，我們就稱該動(dòng)力學(xué)是可逆的。例如，一個(gè)不受外力的勻速直線運(yùn)動(dòng)模型就是可逆的動(dòng)力學(xué)，它在任何兩個(gè)連續(xù)時(shí)刻之間的狀態(tài)映射是一一對應(yīng)的：只要知道物體在t時(shí)刻的位置xt，規(guī)定速度v，就可以唯一確定它在t+Δt時(shí)刻的位置xt+Δt；與此同時(shí)知道t+Δt時(shí)刻的位置xt+Δt，我們同樣可以直接倒推出t時(shí)刻的位置xt。而這個(gè)回溯的過程可以視為一個(gè)速度為-v的逆向動(dòng)力學(xué)，如圖所示。

也就是說，如果動(dòng)力學(xué)是可逆的，就意味著整個(gè)過程可以沿時(shí)間逆推——相當(dāng)于時(shí)間可以倒流。

我們只需在物理上逆轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方向，就能讓過程回溯。如同在勻速直線運(yùn)動(dòng)的例子中，將速度反向，物體就會沿著原來的路徑退回到起點(diǎn)，完全遵循逆動(dòng)力學(xué)演化。

注：這里面的動(dòng)力學(xué)可逆的概念與經(jīng)典力學(xué)哈密頓系統(tǒng)中的可逆性存在著微妙的差別。在經(jīng)典力學(xué)中，如果時(shí)間t反號，而動(dòng)力學(xué)方程形式不變，則動(dòng)力學(xué)是可逆的。我們這里的可逆性則要求只要?jiǎng)恿W(xué)的Perron-Frobenius算符是可逆的就可以，因此我們的可逆性蘊(yùn)含了力學(xué)中的可逆性。

近似動(dòng)力學(xué)可逆性的量化

然而，現(xiàn)實(shí)中絕大多數(shù)動(dòng)力學(xué)過程是不可逆的，尤其當(dāng)存在隨機(jī)噪聲影響時(shí)。因此，不同動(dòng)力學(xué)的可逆程度也有所不同，有些只是有輕微擾動(dòng)但是接近可逆，有些則完全雜亂無章高度不可逆。但是如上面描述隨機(jī)微分方程的兩個(gè)路徑圖所示，我們會發(fā)現(xiàn)，對于含有高斯噪聲的動(dòng)力學(xué)，上分噪聲的方差較小的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)軌跡看起來更為平滑，變量的變化規(guī)律更易描述，直到任一時(shí)刻狀態(tài)變量xt，我們推測出前一時(shí)刻或后一時(shí)刻的狀態(tài)變量xt-1或xt+1將更容易。若噪聲方差較大，預(yù)測就更為困難。由此可見噪聲小的動(dòng)力學(xué)將比噪聲大的動(dòng)力學(xué)更接近可逆動(dòng)力學(xué)。這就引出了“近似動(dòng)力學(xué)可逆性”的概念。

圖5

張江團(tuán)隊(duì)早在npj Complexity的這篇文章【2】中定義了“近似動(dòng)力學(xué)可逆性”基于馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣（TPM）的奇異值分解，通過，σi表示TPM的奇異值，量化動(dòng)力學(xué)接近可逆置換矩陣的程度。其局限在于該方法只適用于離散狀態(tài)的TPM矩陣，應(yīng)用范圍較小且難以基于數(shù)據(jù)解決實(shí)際問題。

本文利用泛函分析中奇異值譜與傅里葉變換方法，拓展了近似可逆性的概念，應(yīng)用于（1）式的高斯迭代系統(tǒng)中，定義如下：

其中pdet(·)表示矩陣·的偽行列式運(yùn)算。Γα之所以可以看作是對近似可逆性的度量，是因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)的正向、逆向動(dòng)力學(xué)中的不確定性（即協(xié)方差矩陣的行列式值）噪聲很大的時(shí)候，正向、逆向動(dòng)力學(xué)的逆協(xié)方差矩陣（也叫精度矩陣）∑-1與A∑-1AT的行列式都會變得很小，動(dòng)力學(xué)會變得高度不可逆。反之若系統(tǒng)正向、逆向動(dòng)力學(xué)中的不確定噪聲很小，甚至趨于0的時(shí)候，∑-1與A ∑-1AT會變得很大甚至趨于無窮，此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)就十分接近可逆動(dòng)力學(xué)，此時(shí)用去噪聲后的可逆動(dòng)力學(xué)來近似高斯迭代系統(tǒng)則會變得有效。

這里，α是一個(gè)取值在0到2之間的參數(shù)，控制著正向動(dòng)力學(xué)和逆向動(dòng)力學(xué)在近似可逆性定義中的相對權(quán)重大?。ㄈ鐖D5所示）。如果α<1，則可逆性更依賴于逆向動(dòng)力學(xué)，否則若1"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">α>1，則可逆性更偏重正向動(dòng)力學(xué)。這種正向反向動(dòng)力學(xué)的依賴剛好與有效信息定義中的確定性和簡并性起到了異曲同工的作用。通常，我們?nèi)?\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"mpa-font-style":"mkatyen316xq","style":"font-size: 15px;"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"data-meta-block-props":"{\"blockId\":\"9ddfda7d-ef0a-4164-9395-ea3ca1fe779d\",\"blockType\":\"EQUATION_BLOCK\",\"initData\":{},\"props\":{\"data\":{\"equation\":\"\\\\alpha\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"}]">α=1，表示動(dòng)力學(xué)可逆性對正向和反向沒有偏好。

為了避免變量維度對動(dòng)力學(xué)可逆性的影響過大，我們通常計(jì)算維度平均的可逆信息來優(yōu)化指標(biāo)，該指標(biāo)是一個(gè)由奇異值決定的變量

這里rs,rκ 分別表示矩陣A∑-1AT，∑-1的秩，si和 κi分別表示矩陣∑-1AT和矩陣∑-1的第i個(gè)奇異值。

因果性與可逆性是密切相關(guān)的

事實(shí)上，張江團(tuán)隊(duì)早在npj Complexity的這篇文章【2】中就已經(jīng)在離散馬爾可夫鏈上發(fā)現(xiàn)了因果性與可逆性的密切關(guān)系。這主要體現(xiàn)為，因果性的量化指標(biāo)有效信息在很多馬爾可夫動(dòng)力學(xué)上都表現(xiàn)出與近似動(dòng)力學(xué)可逆性指標(biāo)的對數(shù)正相關(guān)的特性，參考：因果涌現(xiàn)與“時(shí)間倒流”。

在這篇PRE文章中，劉凱威等人進(jìn)一步將這一結(jié)論擴(kuò)展到了連續(xù)狀態(tài)的高斯迭代動(dòng)力系統(tǒng)之中，并且給出了有效信息和近似動(dòng)力學(xué)可逆性的解析表達(dá)式。

圖4中有效信息的下方也同樣展示了每一種映射對應(yīng)的值（其中1\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"mpa-font-style":"mkatyen316xq","style":"font-size: 15px;"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"data-meta-block-props":"{\"blockId\":\"9ddfda7d-ef0a-4164-9395-ea3ca1fe779d\",\"blockType\":\"EQUATION_BLOCK\",\"initData\":{},\"props\":{\"data\":{\"equation\":\"\\\\alpha\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"}]">α=1），可以看出它與有效信息一樣會隨著迭代映射中的方差σ增大而減小，隨著系數(shù)a增大而增大，且只與動(dòng)力學(xué)（因果機(jī)制p(xt+1|xt))有關(guān)，而與xt分布無關(guān)。這種觀察并非偶然，事實(shí)上我們可以得到一般性的結(jié)論：近似可逆性與有效信息的近似線性相關(guān)，即

其中表示近似相等，當(dāng)A滿秩，且A∑-1AT=In即逆向動(dòng)力學(xué)為為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，等號嚴(yán)格成立，為常數(shù)項(xiàng)。在附錄中存在詳細(xì)證明。由此可見，對于如（1）式的線性高斯噪聲動(dòng)力系統(tǒng)而言，動(dòng)力學(xué)的近似可逆性與因果效應(yīng)強(qiáng)度存在著一定的等價(jià)性。

因果涌現(xiàn)

在文獻(xiàn)【2】中基于動(dòng)力學(xué)近似可逆性的概念，張江等人提出了一種基于SVD分解的因果涌現(xiàn)量化定義，無需粗?；瑑H有動(dòng)力學(xué)的奇異值譜特性就可以定量刻畫因果涌現(xiàn)。然而，這些討論都局限于離散狀態(tài)的馬爾可夫鏈系統(tǒng)。本文將討論因果涌現(xiàn)在（1）式所示的線性高斯迭代系統(tǒng)的擴(kuò)展，并證明兩套框架的等價(jià)性。

通過基于奇異值分解的可逆性度量的因果涌現(xiàn)

基于最大化有效信息的因果涌現(xiàn)理論需要求解一個(gè)優(yōu)化問題，從而得到最優(yōu)的粗?；呗浴Ｒ虼?，我們需要一種更直接的不依賴于粗?；桨傅慕频葍r(jià)的因果涌現(xiàn)定義。這就是基于動(dòng)力學(xué)可逆性概念的因果涌現(xiàn)定義，它可以把求解最優(yōu)粗?；桨竁的問題，轉(zhuǎn)化為對動(dòng)力學(xué)進(jìn)行SVD分解的問題。

由前文中維度平均可逆信息的定義式，我們可以得到它最終值取決于兩個(gè)譜，一個(gè)是A∑-1AT的譜s1≥…≥sn，另一個(gè)是∑-1的譜κ1≥…≥κn，因此，仿照因果涌現(xiàn)的量化式子（前一個(gè)式子）我們可以從這兩個(gè)譜的分布來定義基于動(dòng)力學(xué)近似可逆性與SVD的因果涌現(xiàn)為（附錄定義）

其中我們定義有效秩r?為在剔除所有包含小于給定閾值的奇異值，即滿足κi <?< pan> 或si <?< pan> ，的維度后，動(dòng)力學(xué)可逆性得以增強(qiáng)的新系統(tǒng)的維數(shù)，這種情況我們也稱為模糊因果涌現(xiàn)。若∑-1AT或∑-1不滿秩，那么?=0時(shí)，仍然會出現(xiàn)0\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">ΔΓα(0)>0的情況，我們將這種情況定義為清晰因果涌現(xiàn)。這就是基于SVD的因果涌現(xiàn)量化方法的兩種形式。

這套框架是合理的，最重要的一個(gè)原因是這套新的對因果涌現(xiàn)的定義近似是與Hoel等人【3】的定義的基于有效信息的因果涌現(xiàn)在連續(xù)系統(tǒng)在的結(jié)果是一致的。基于SVD的因果涌現(xiàn)與基于最大化有效信息得到的因果涌現(xiàn)，呈近似線性關(guān)系

當(dāng)A滿秩，且A∑-1AT=In即逆向動(dòng)力學(xué)為為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，等號成立。

模型分析

基于這種量化方法，我們僅僅需要知道∑-1與A∑-1}AT的奇異值，并觀察奇異值譜就可以讓因果涌現(xiàn)是否存在一目了然?，F(xiàn)在我們就可以回到我們開頭提到的三個(gè)模型，對他們的因果涌現(xiàn)進(jìn)行量化分析。

旋轉(zhuǎn)模型

例如旋轉(zhuǎn)模型的動(dòng)力學(xué)，我們可以先在下圖（a）中寫出他的參數(shù)矩陣A, ∑，A,∑中黃色覆蓋的模塊代表了例1圖1（a）中旋轉(zhuǎn)軌跡明顯，噪聲較小的x1,x2維度，而灰色區(qū)域覆蓋的模塊代表無明顯變換，只有噪聲影響的x3維度。這樣我們可以通過將所有維度依據(jù)其對應(yīng)的∑-1與A∑-1AT的奇異值從大到小排序，從而繪制出奇異值譜。從（b）中，我們看到∑-1與A∑-1AT的奇異值都在第2和第3個(gè)維度之間存在著明顯的數(shù)值上的衰減。于是，我們可以在這個(gè)位置設(shè)定閾值?（水平虛線）并做截?cái)啵瑥亩雎缘艚財(cái)啵ㄘQ直虛線）右側(cè)的接近于零的奇異值以及其對應(yīng)的維度，而保留剩下的明顯大于零的奇異值以及其對應(yīng)的維度。

也就是說從這張圖上，我們只需要觀察奇異值譜上是否有接近或等于零的奇異值，就可以判斷是否存在因果涌現(xiàn)，如果存在，則系統(tǒng)中就發(fā)生了因果涌現(xiàn)，否則就沒有發(fā)生。而這種觀察到的結(jié)果，可以直接用近似可逆性指標(biāo)進(jìn)行量化。

從物理意義上分析，若系統(tǒng)的正向或逆向動(dòng)力學(xué)的逆協(xié)方差矩陣存在一個(gè)或多個(gè)為零或近似為零的奇異值，則稱該系統(tǒng)發(fā)生了因果涌現(xiàn)，這些等于或接近零的奇異值所對應(yīng)的奇異向量表征了動(dòng)力學(xué)中冗余的維度，如同前文例1圖1（a）中的x3維度，不僅動(dòng)力學(xué)參數(shù)較小而且噪聲很大，其存在顯著降低了系統(tǒng)的整體的近似可逆性。

進(jìn)一步講，若通過適當(dāng)?shù)拇至；僮飨@些冗余維度，則可實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)去冗余化的降維壓縮，壓縮后維度平均可逆性將得到提升，例如圖中的三維動(dòng)力學(xué)粗?；癁橄轮械亩S動(dòng)力學(xué)。

因此，可基于近似可逆性的最大可能的增長值，即通過理想粗?；苓_(dá)到的單位維度動(dòng)力學(xué)可逆性的最大提升程度，對系統(tǒng)因果涌現(xiàn)的強(qiáng)度進(jìn)行定量刻畫。

馬爾薩斯增長模型

這一點(diǎn)對于另外兩個(gè)模型也同樣適用。

首先導(dǎo)致馬爾薩斯增長動(dòng)力學(xué)不可逆的一個(gè)原因，就是系統(tǒng)中的不同維度之間存在相關(guān)性，也就是說整個(gè)系統(tǒng)的自由度可能遠(yuǎn)低于其所占空間的維數(shù)。

我們舉了一個(gè)最極端的例子，假設(shè)一個(gè)4維的向量，前兩個(gè)維度x1,x2遵循增長率為0.2和0.05的馬爾薩斯增長模型。同時(shí)另外兩個(gè)維度x3,x4直接復(fù)制了前兩個(gè)維度的狀態(tài)如下圖所示，他們和前兩個(gè)維度高度相關(guān)，甚至可以視為冗余的維度。

最終生成數(shù)據(jù)如例2對應(yīng)的圖2所示，直接用肉眼觀測數(shù)據(jù)我們?nèi)绻蛔屑?xì)觀察也會覺得似乎只有兩條曲線，似乎宏觀的y1,y2就能直接描述動(dòng)力學(xué)的演化。這一切并不單純是我們的錯(cuò)覺。

我們嚴(yán)格按矩陣論和高斯過程的理論進(jìn)行分析，該系統(tǒng)我們可以認(rèn)為是A如下圖（a）所示。若規(guī)定正向協(xié)方差矩陣為單位矩陣，如圖（b）所示，我們可以明顯感覺反向動(dòng)力學(xué)協(xié)方差矩陣只有兩個(gè)維度起主要作用，另外兩個(gè)維度信息會大打折扣。

這一點(diǎn)，我們可以用下圖的奇異值譜觀察，我們可以看到橫軸表示逆向動(dòng)力學(xué)協(xié)方差矩陣的奇異值s1≥…≥s4, 縱軸表示奇異值大小，我們只能看到兩個(gè)較大的逆向動(dòng)力學(xué)奇異值，此時(shí)我們規(guī)定閾值?=2, 因果涌現(xiàn)可以計(jì)算得到0\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">ΔΓα(?)=0.4195。

布朗運(yùn)動(dòng)

相關(guān)性可以通過影響逆想動(dòng)力學(xué)的協(xié)方差矩陣，降低動(dòng)力系統(tǒng)的可逆性，同時(shí)正向動(dòng)力學(xué)噪聲本身，也會改變動(dòng)力學(xué)的可逆性大小，如果某個(gè)維度噪聲越大，該維度越不可逆。這也給我們研究動(dòng)力學(xué)演化提供了一個(gè)新思路：在隨機(jī)系統(tǒng)中尋找噪聲小的維度，更能觀察到系統(tǒng)整體的演化規(guī)律，第二個(gè)案例就能給出展示。

離散布朗運(yùn)動(dòng)是離散時(shí)間內(nèi)連續(xù)布朗運(yùn)動(dòng)的近似，常用于數(shù)值模擬和隨機(jī)過程建模。方程s1≥…≥s4可以被視為奧恩斯坦-烏倫貝克（OU）過程的離散版本方法。在這個(gè)模型中，f(xt)=a0+Axt是影響狀態(tài)演化的漂移向量，協(xié)方差矩陣∑表示擴(kuò)散系數(shù)，它決定了噪聲的隨機(jī)波動(dòng)的幅度。由此我們可以直接得到對∑-1和AT∑-1A，如圖所示。

進(jìn)行SVD分解之后我們可以得到下圖中的奇異值譜之后，規(guī)定?=0.6，我們可以得到Δ0\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">Γα(?)=0.5167，其中有效秩為4。

基于奇異值分解的粗粒化策略

最終我們可以從動(dòng)力學(xué)的角度看出，因果涌現(xiàn)的產(chǎn)生其實(shí)是有兩個(gè)關(guān)鍵因素，一個(gè)就是演化過程中，系統(tǒng)之間不同元素、不同維度之間存在相關(guān)性，導(dǎo)致自由度存在冗余。以鳥群為例，下圖（a）中，左側(cè)兩只鳥完全獨(dú)立不存在相關(guān)性，從動(dòng)力學(xué)角度講，若兩只鳥運(yùn)動(dòng)速度與隨機(jī)性都相同，則不存在涌現(xiàn)；一旦右側(cè)兩只鳥之間存在相關(guān)性，彼此進(jìn)入了對方的檢測范圍（橙色圓環(huán)），那么此時(shí)的自由度就會降低，甚至可以將兩只鳥看成一個(gè)整體分析更容易判斷整體的運(yùn)動(dòng)趨勢。

另一個(gè)就是噪聲在不同維度存在不同的大小，有的維度隨機(jī)性很強(qiáng)，難以預(yù)測運(yùn)動(dòng)趨勢，但是有的維度就確定性很強(qiáng)，隨機(jī)性很弱，如同下圖（b）中較大的奇異值κ1代表維度確定性更強(qiáng)，隨機(jī)性更弱，該維度可能的變化范圍就更小；κ2代表維度確定性更弱，可能的變動(dòng)范圍會更大。此時(shí)如果重點(diǎn)分析隨機(jī)性較小，確定性更強(qiáng)的維度，就能對系統(tǒng)的演化存在更有效的分析。

我們的粗?；呗宰罱K其實(shí)就是需要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)目的，第一，整合相關(guān)性強(qiáng)的維度，降低冗余的維度，尋找真正的自由度；第二刪除噪聲過強(qiáng)的維度，保留更有確定性的部分。我們只需要下面的兩輪SVD法就可以實(shí)現(xiàn)。

對于任何高斯迭代系統(tǒng)，我們可以首先在AT∑-1 A和∑-1上執(zhí)行奇異值分解，以獲得兩個(gè)奇異值譜\\cdots>s_n\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">s1>…>sn和\\cdots>\\kappa_n\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">κ1>…>κn。其次，我們需要對兩組奇異值譜進(jìn)行截?cái)唷Ｈ欢?，由于它們對?yīng)的奇異向量可能并不都是正交的，它們的子空間可能會重疊或沖突。因此，我們結(jié)合兩個(gè)奇異向量矩陣并執(zhí)行第二輪奇異值分解。基于此，我們可以通過降維得到粗?；仃嚭拖鄳?yīng)的宏觀動(dòng)力學(xué)。經(jīng)過兩輪奇異值分解，我們得到最終的粗?；呗?。

我們最終達(dá)到的效果就是保留重合的空間，并對存在沖突的空間基于奇異值大小優(yōu)先保留較大的奇異值。可以通過下圖進(jìn)行直觀的理解，例如有效秩為2的時(shí)候，我們希望把三維動(dòng)力學(xué)降維到二維空間。動(dòng)力學(xué)中的奇異值譜s1=1.2,s2=0.8,s3=0.2和κ1=1,κ2=0.7,κ3=0.3對應(yīng)的奇異向量u1,u2,u3與v1,v2,v3，u1與v1近乎重合，我們認(rèn)為不存在明顯的沖突，此時(shí)我們的策略可以得到一個(gè)居中的向量，盡量同時(shí)保留兩個(gè)維度對應(yīng)的奇異值s1與κ1；然而剩下的維度中，存在沖突，我們的方法會優(yōu)先保留剩余奇異值中最大的s2對應(yīng)的奇異向量v2，構(gòu)建向量。將行向量w1與w2拼接后就可以得到粗粒化矩陣W，他可以將三維空間中的動(dòng)力學(xué)投影到兩條紅色向量張成的二維空間當(dāng)中。

例如圖1中我們就可以得到將前兩個(gè)維度保留，第三個(gè)維度舍棄的粗粒化策略。

知道粗?；呗院推湓碇?，我們就可以返回來看看開始的三個(gè)案例粗?；玫降慕Y(jié)果。對于旋轉(zhuǎn)模型，我們之前提到三維動(dòng)力學(xué)粗粒化為二維動(dòng)力學(xué)。因此，可基于近似可逆性的最大可能的增長值，即通過理想粗?；苓_(dá)到的單位維度動(dòng)力學(xué)可逆性的最大提升程度，對系統(tǒng)因果涌現(xiàn)的強(qiáng)度進(jìn)行定量刻畫。而基于SVD得到的粗粒化矩陣做的就是舍棄第一個(gè)維度，并將前兩個(gè)維度重新組合，變成二維動(dòng)力學(xué)。

而馬爾薩斯增長模型由于復(fù)制的存在，我們基于奇異值分解的粗?；呗詫1,x3信息合并，x2,x4信息合并，達(dá)到降維并增強(qiáng)可逆性的效果。可見我們的框架一個(gè)重要的功能就是可以找到系統(tǒng)中相關(guān)的維度，并將其合并。

而對于布朗運(yùn)動(dòng)，基于SVD我們可以計(jì)算具體的粗?；呗裕玫较聢D中的矩陣W。通過粗粒化策略的求解，我們可以觀察到我們的宏觀態(tài)yt=Wxt，其保留了x1,x2,x3,x5四個(gè)維度，正向、逆向動(dòng)力學(xué)噪聲都較大的x4,x6,x7,x8被舍棄。這些維度對應(yīng)的關(guān)系如右圖所示，這里1-8節(jié)點(diǎn)代表8個(gè)維度。（連線代表i節(jié)點(diǎn)與j節(jié)點(diǎn)之間動(dòng)力學(xué)連接，由矩陣A決定，若0\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">Aji-Aij>0則會出現(xiàn)一條i指向j的連邊，顏色越接近黑色Aji-Aij越大，反之亦然）。

我們可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)我們這個(gè)案例，在正向、逆向動(dòng)力學(xué)的協(xié)方差矩陣都不是對角陣，即不同維度的可逆性存在差異的情況下，我們會優(yōu)先保留包含正向或逆向動(dòng)力學(xué)中噪聲的逆協(xié)方差矩陣較大的奇異值的維度，這些維度噪聲更小，動(dòng)力學(xué)函數(shù)的梯度更大，可逆性更強(qiáng)。保留這些可逆性強(qiáng)的維度，忽略噪聲大可逆性弱的維度，就能讓整個(gè)系統(tǒng)具有更強(qiáng)的因果性，因果涌現(xiàn)也會隨之產(chǎn)生。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)下的SIR模型

在NIS+中的SIR模型在這里也可以通過可逆性與SVD分解計(jì)算因果涌現(xiàn)并研究其底層產(chǎn)生涌現(xiàn)的機(jī)理?，F(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)系統(tǒng)都無法獲得精確的動(dòng)態(tài)模型來計(jì)算因果涌現(xiàn)的解析解。然而，我們可以通過觀察到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來獲得近似動(dòng)力學(xué)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如下圖所示，我們通過訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)習(xí)到SIR動(dòng)力學(xué)的映射函數(shù)與協(xié)方差矩陣，并計(jì)算近似可逆性與因果涌現(xiàn)。

我們用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NN）在易感-感染-恢復(fù)（SIR）模型生成的訓(xùn)練時(shí)間序列數(shù)據(jù)上的因果涌現(xiàn)現(xiàn)象時(shí)，模型有兩個(gè)自由度，如下所示

其中S表示易感態(tài)樣本的比例，I表示感染態(tài)的比例，R表示恢復(fù)態(tài)的比例，三者的關(guān)系如圖所示。

我們可以采取和增長模型相同的數(shù)據(jù)處理方法，x3,x4直接復(fù)制了前兩個(gè)維度的狀態(tài)，得到x=(S,I,S,I)，之后我們可以將模型離散化，即

由此可以通過機(jī)器學(xué)習(xí)得到下圖中的生成數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)雖然處于三維空間，但其實(shí)只有S和I兩個(gè)自由度。

經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練后，對得到的正、逆向協(xié)方差矩陣求平均值，我們就可以近似估計(jì)出系統(tǒng)的兩個(gè)協(xié)方差矩陣，如下圖所示，可以看出，AT∑-1A（如圖c所示）有兩個(gè)較大的奇異值，差距比∑-1（如圖d所示）更大。規(guī)定?=5在模型訓(xùn)練中，當(dāng)訓(xùn)練周期為50000時(shí)，我們可以得到最終有效秩r?=2，因果涌現(xiàn)的值為Δ0\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">Γα(?)=0.8685。

我們可以得到左上圖中的粗?；呗詤?shù)矩陣，粗?；呗詫1,x3信息合并，x2,x4信息合并，達(dá)到降維的效果。這一點(diǎn)與左下方中NIS+【4】的編碼器的梯度相符。同時(shí)圖右側(cè)我們可以看到隨著協(xié)方差矩陣中標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)σ增大，基于有效信息與基于可逆性的因果涌現(xiàn)都在σ=0.01時(shí)達(dá)到峰值，這與NIS+中的結(jié)果相符。

而整個(gè)方法也為我們處理一些未知模型或者難以計(jì)算的模型如何檢測因果涌現(xiàn)的大小提供了一個(gè)有效的途徑，為我們基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的因果涌現(xiàn)打下了基礎(chǔ)。

總結(jié)與討論

本文提出了基于近似動(dòng)力學(xué)可逆性的因果涌現(xiàn)新框架，適用于高斯信息系統(tǒng)。該方法直接利用正向、逆向動(dòng)力學(xué)逆協(xié)方差矩陣的奇異值分解來量化因果涌現(xiàn)，其度量 不依賴于預(yù)設(shè)的粗?；呗裕哂懈叩挠?jì)算精度與效率。同時(shí)，從這兩個(gè)矩陣的奇異向量可直接導(dǎo)出最優(yōu)粗?；桨福核詣?dòng)合并強(qiáng)相關(guān)維度并剔除噪聲主導(dǎo)維度，從而得到物理意義清晰、可解釋性強(qiáng)的宏觀描述，克服了傳統(tǒng)方法依賴人工設(shè)計(jì)以最大化有效信息的局限。理論分析進(jìn)一步揭示了兩個(gè)框架之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過隨機(jī)參數(shù)采樣得到了證實(shí)。

本工作的另一創(chuàng)新在于將 SVD 系統(tǒng)性地應(yīng)用于隨機(jī)動(dòng)力學(xué)分析。傳統(tǒng)研究多聚焦于確定性系統(tǒng)或僅將噪聲視為擾動(dòng)，而我們將 SVD 作用于連續(xù)馬爾可夫過程，同時(shí)涵蓋確定性映射 與隨機(jī)協(xié)方差，并以逆協(xié)方差矩陣作為信息載體，其奇異值揭示了系統(tǒng)內(nèi)嵌的可逆信息。這一視角統(tǒng)一處理了確定性、隨機(jī)性與可逆性，能夠辨識驅(qū)動(dòng)復(fù)雜系統(tǒng)演化的關(guān)鍵自由度，為理解各類實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)提供了新途徑。

這篇工作在最后提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)下的因果涌現(xiàn)，其實(shí)我們可以認(rèn)為是機(jī)器本身作為觀察者，在不可逆的系統(tǒng)中，尋找可逆性。智能體在本質(zhì)上不可逆的宏觀世界中，通過學(xué)習(xí)“粗粒化”——即忽略細(xì)節(jié)、進(jìn)行歸類與壓縮——來構(gòu)建一個(gè)近似可逆的動(dòng)力學(xué)模型。這看似矛盾：壓縮本身意味著信息損失，本應(yīng)引入不可逆性；正如玻爾茲曼所指出的，觀測者因信息受限而在宏觀層面看到熵增與不可逆。然而，智能體所做的恰恰是在這一“不可逆的宏觀廢墟”上有意識地重建秩序與可逆性：它并非復(fù)原微觀細(xì)節(jié)，而是通過有選擇的忽略，提煉出那些能夠保持預(yù)測穩(wěn)定性與因果解釋力的宏觀模式，從而在信息簡化后的表征中重新構(gòu)造出近似可逆的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。這揭示了一種深刻的適應(yīng)性智慧：智能體不是被動(dòng)承受不可逆性，而是主動(dòng)塑造一種簡化的、卻更具操作性與可理解性的“可逆表象”，并借此在復(fù)雜世界中有效認(rèn)知與行動(dòng)。

盡管取得進(jìn)展，當(dāng)前框架仍面臨若干挑戰(zhàn)：其一，模型目前局限于線性 GIS，非線性情況需局部線性化，但梯度病態(tài)可能導(dǎo)致框架失效；其二，連續(xù)時(shí)間情形缺乏客觀的 CE 量化公式，離散化的時(shí)間步長對結(jié)果影響顯著；其三，當(dāng)系統(tǒng)方程未知時(shí)，依賴神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)動(dòng)力學(xué)會引入數(shù)據(jù)依賴性與參數(shù)誤差。未來工作將致力于優(yōu)化現(xiàn)有框架，并借助機(jī)器學(xué)習(xí)將其應(yīng)用于維切克、倉本等復(fù)雜模型以及氣象、腦電等真實(shí)數(shù)據(jù)，以探索 CE 與臨界狀態(tài)的關(guān)系，并在實(shí)際系統(tǒng)中驗(yàn)證其洞察力。

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因果涌現(xiàn)第七季——從理論到應(yīng)用

在神經(jīng)系統(tǒng)中意識的生成、城市交通的擁堵演化、全球產(chǎn)業(yè)系統(tǒng)的協(xié)同與失穩(wěn)之中，始終潛藏著一條貫穿微觀與宏觀的因果脈絡(luò)：個(gè)體行為本身或許簡單，卻能在尺度躍遷中孕育出高度組織化、難以還原的整體結(jié)構(gòu)。復(fù)雜現(xiàn)象并非微觀規(guī)則的線性疊加，而是源于多尺度動(dòng)力學(xué)作用下逐步形成的因果組織。正是在這一背景下，因果涌現(xiàn)理論被提出，并在因果涌現(xiàn) 2.0、工程化涌現(xiàn)以及多尺度因果抽象等工作中推進(jìn)，逐漸發(fā)展出一套融合動(dòng)力學(xué)分析、信息論度量以及譜方法與人工智能工具的研究框架，從而將研究重心從“復(fù)雜性本身”轉(zhuǎn)向“因果結(jié)構(gòu)如何出現(xiàn)、如何被度量并在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中發(fā)揮作用”。

為系統(tǒng)梳理因果涌現(xiàn)領(lǐng)域的最新進(jìn)展，北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院教授、集智俱樂部創(chuàng)始人張江老師領(lǐng)銜發(fā)起，組織對該主題感興趣的研究者與探索者共同研讀前沿文獻(xiàn)、交流研究思路。讀書會將于2026年2月22日起每周日上午（創(chuàng)建讀書會暫定時(shí)間為10:00-22:00）線上開展，持續(xù)約10周，包含主講分享與討論交流，并提供會后視頻回放，誠邀相關(guān)領(lǐng)域研究者及跨學(xué)科興趣者參與。

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線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課

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