美國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家阿克斯勒的經(jīng)典之作《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)（第4版）》自引進(jìn)出版后，廣受好評(píng)，收獲了十余萬(wàn)讀者的認(rèn)可。

這本書長(zhǎng)銷了30年，被超過(guò)50個(gè)國(guó)家的420所學(xué)校使用，其實(shí)不乏頂尖名校，如加州伯克利、麻省理工、蘇黎世聯(lián)邦理工、巴黎高師等國(guó)際名校都用于教材。

在內(nèi)容上，這本書重塑數(shù)學(xué)觀的線性代數(shù)教材，解決了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的常見困惑，告別煩瑣的代數(shù)計(jì)算，從幾何視角領(lǐng)悟線性代數(shù)的思想本質(zhì)，思路行云流水，定理環(huán)環(huán)相扣，貼心講解定義的引入動(dòng)機(jī)和證明的靈感啟發(fā)。

同時(shí)配有10小時(shí)導(dǎo)讀視頻，700多道高質(zhì)量習(xí)題。

而此次出版的第四版變化有：內(nèi)容增加15%，習(xí)題增加35%，除內(nèi)容更新外，更增加了250多道習(xí)題。

圖 | 作者謝爾登?阿克斯勒（Sheldon Axler）和他的貓

作者 | 林開亮，現(xiàn)任教于西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院

在中國(guó)，線性代數(shù)一般等同于矩陣論，這主要是受華羅庚先生的影響，他的矩陣功底爐火純青，因此他的學(xué)生曾肯成教授這樣說(shuō)：“龍生龍，鳳生鳳，華羅庚的學(xué)生會(huì)打洞?！彼^“打洞”，就是用相似變換或其它矩陣變換將矩陣化成標(biāo)準(zhǔn)型（其中有很多元素為0，即“洞”）。

據(jù)華羅庚的另一得意弟子陸啟鏗院士講，當(dāng)初邀請(qǐng)華羅庚訪問(wèn)美國(guó)普林斯頓高等研究所的外爾（H. Weyl）曾這樣評(píng)價(jià)：“華羅庚玩矩陣就像玩數(shù)字一樣得心應(yīng)手?！贝蟾攀顷憜㈢H先生的話被人聽岔了，做出這一評(píng)價(jià)的外爾教授，有時(shí)被訛傳為韋伊（A. Weil）。稍微了解韋伊的人都知道，他不可能說(shuō)這話。為什么呢？因?yàn)轫f伊是法國(guó)布爾巴基學(xué)派的靈魂人物，他跟謝瓦萊（C. Chevalley）都致力于消除代數(shù)中的行列式、結(jié)式等計(jì)算性的概念，而華羅庚是以矩陣計(jì)算見長(zhǎng)，絕非韋伊所欣賞的風(fēng)格。

“ 即便是本科生的線性代數(shù)教學(xué)，也留下了阿廷（E. Artin）清晰可見的印記：他在我們面前從來(lái)絕口不提基和行列式（考慮到他是那么喜歡計(jì)算，這真是奇怪的禁令）。阿廷的盟友，謝瓦萊和韋伊，竭盡全力將行列式和結(jié)式驅(qū)逐出代數(shù)。每每想到革命尚未成功，九泉之下的兩位（注：指1962年過(guò)世的阿廷和1984年過(guò)世的謝瓦萊，韋伊也在1998年過(guò)世）可能都無(wú)心睡眠。 ”

在這方面，韋伊和謝瓦萊的先驅(qū)，正是羅塔這里所提到的阿廷。荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登（van der Waerden）曾根據(jù)阿廷和諾特（E. Noether）的講義，寫成抽象代數(shù)的經(jīng)典名著《近世代數(shù)》（后來(lái)更名為《代數(shù)學(xué)》，有中譯本，科學(xué)出版社），此書直接刺激了布爾巴基學(xué)派的誕生。希爾伯特（Hilbert）、諾特、阿廷是近世代數(shù)的先驅(qū)，近世代數(shù)的思想一度在德國(guó)盛行。特別地，受到量子力學(xué)的刺激，馮?諾依曼（von Neumann）將這一思想應(yīng)用到無(wú)限維空間的泛函分析中，導(dǎo)致了線性代數(shù)的幾何化。

這方面的第一本書，就是馮?諾依曼在普林斯頓高等研究院的助手哈爾莫斯（P.R. Halmos）根據(jù)他的講義寫成的《有限維向量空間》（Finite-Dimensional Vector Spaces）。該書1942年出版，之后多次再版，現(xiàn)已成為經(jīng)典（期待有朝一日能夠引進(jìn)中譯本，這是筆者心目中獨(dú)一無(wú)二的線代數(shù)圣經(jīng)）。

眼下這本《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》（Linear Algebra Done Right 第三版），可以說(shuō)，基本上是按照《有限維向量空間》的精神寫的一本新書。這毫不奇怪，作者是圣弗朗西斯科州立大學(xué)數(shù)學(xué)系的教授阿克斯勒（Sheldon Axler）。他是哈爾莫斯的徒孫，中間的鏈接是薩拉森（Donald Sarason）。阿克斯勒寫作這本書，可以追溯到他在1995年發(fā)表在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上的一篇闡述性文章《打倒行列式！》（Down with determinants!），該文次年獲得了美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)頒發(fā)的 Lester R. Ford 寫作獎(jiǎng)。標(biāo)題取名為“打倒行列式! ”，也許在中國(guó)的讀者看來(lái)，有點(diǎn)不可思議！因?yàn)樵谕ㄐ械木€性代數(shù)教科書中，行列式通常放在一開頭講的，如果直接扔掉了，后面還怎么講？事實(shí)上，這是完全可以做到的，《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》就做到了這一點(diǎn)。在全書中，跡和行列式是最后一章，而之前講完了線性代數(shù)所有其它內(nèi)容（尤其是作為矩陣靈魂的特征值與特征向量），根本不需用到這兩個(gè)概念！

阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出線性代數(shù)的本質(zhì)方面是概念而非計(jì)算。正是出于對(duì)后一個(gè)看法的支持，促使我在這里向讀者推薦這本書。

如前所說(shuō)，線性代數(shù)的教學(xué)分兩派：一派注重代數(shù)計(jì)算，以華羅庚先生為代表，這條線最終可溯源到美國(guó)的代數(shù)與數(shù)論學(xué)家迪克森(L. E. Dickson)，中間的鏈接是楊武之教授（楊振寧的父親，把近世代數(shù)和數(shù)論引進(jìn)到中國(guó)）；一派注重幾何直觀，以哈爾莫斯為代表，最終追溯到諾特和阿廷，中間的鏈接是馮?諾依曼。雖然我本人經(jīng)受的課堂訓(xùn)練是偏計(jì)算的(教材用北大的經(jīng)典《高等代數(shù)》，它以丁石孫先生的《高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程》為藍(lán)本，丁先生在自傳中說(shuō)他借鑒了蘇聯(lián)斯米爾諾夫的《高等數(shù)學(xué)教程》；課堂之外，我的高等代數(shù)老師、天津大學(xué)數(shù)學(xué)系田代軍教授指引我去讀華羅庚、萬(wàn)哲先的《典型群》以及雅各布森（N. Jacobson）的抽象代數(shù)著作)，然而只是在我后來(lái)用哈爾莫斯的《有限維向量空間》重新學(xué)了一遍線性代數(shù)以后，我才敢說(shuō)我對(duì)線性代數(shù)有了一點(diǎn)底氣。我希望我說(shuō)這話時(shí)，你不要認(rèn)為我是在吹牛，我甚至希望這話能得到專業(yè)人士的認(rèn)可，因?yàn)槲以诓┦空撐闹械牟糠止ぷ鳎褪怯冒⑼ⅰⅠT?諾依曼、哈爾莫斯那一派的幾何觀念和方法,完善了華羅庚先生1947年的一項(xiàng)純代數(shù)的矩陣工作。因此可以說(shuō)，我是華羅庚先生和哈爾莫斯教授兩派結(jié)合的產(chǎn)物。

代數(shù)計(jì)算將線性代數(shù)機(jī)械化了（我有一次在打乒乓球時(shí)感覺每一次回球就像在做一次初等變換），同時(shí)也變得有點(diǎn)無(wú)聊。我常常有一種天真的想法，也許可以考慮用吳文俊先生倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)機(jī)械化，將華羅庚學(xué)派爐火純青的打洞技術(shù)給實(shí)現(xiàn)了！

要想讓線性代數(shù)生動(dòng)起來(lái)，除了介紹一些精彩應(yīng)用的例子外, 一個(gè)可行的辦法是強(qiáng)調(diào)幾何的語(yǔ)言。幾何的語(yǔ)言, 自然是相對(duì)于代數(shù)的語(yǔ)言而說(shuō)的。簡(jiǎn)單講, 就是用線性變換代替矩陣, 用抽象向量代替列向量。幾何語(yǔ)言的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔明快, 例如“作用（action）”這個(gè)詞給人的感覺就是如此。代數(shù)語(yǔ)言的好處是具體清晰, 兩個(gè)矩陣“相乘”在我們頭腦中的圖象,是一系列具體運(yùn)算的運(yùn)作。通常的教科書往往過(guò)分強(qiáng)調(diào)了代數(shù)的語(yǔ)言, 這同時(shí)也充分暴露了其諸多弊端。最大的缺點(diǎn)在于容易將幾何淹沒于代數(shù)。而且，在很多問(wèn)題中坐標(biāo)的選取并不重要,我們所需要的往往只是一些基本的運(yùn)算規(guī)律, 例如分配律、結(jié)合律等。這時(shí)抽象的幾何語(yǔ)言就十分適用了, 例如在內(nèi)積空間的理論中, 我們往往采用幾何語(yǔ)言。其實(shí)，數(shù)學(xué)家正是靠這種幾何觀點(diǎn)來(lái)指引具體的代數(shù)運(yùn)算的, 例如所謂Gram-Schmidt正交化, 無(wú)非就是將第二個(gè)向量沿第一個(gè)向量作垂線（從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)往底邊引高線）, 一旦指出這一點(diǎn), Gram-Schmidt正交化的公式就很容易理解了。更近一步，理解Cauchy-Schwarz不等式就是水到渠成的了：它所對(duì)應(yīng)的,無(wú)非是這樣一個(gè)熟知的幾何事實(shí):直角三角形的直角邊長(zhǎng)不超過(guò)斜邊長(zhǎng)。

我要指出，我這里并非說(shuō)代數(shù)計(jì)算不好，我想強(qiáng)調(diào)的是，要盡可能在在幾何直觀的指引下做代數(shù)計(jì)算。我覺得借用阿廷在其名著《幾何化的代數(shù)》（Geometric Algebra,1957年出版）一書中的一句話來(lái)評(píng)論阿克斯勒的《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》再好不過(guò)了：

“ 我的經(jīng)驗(yàn)是，一個(gè)用矩陣進(jìn)行的證明，如果你拋開矩陣的話往往可以使這個(gè)證明縮短一半。有時(shí)，這一點(diǎn)是辦不到的，你需要計(jì)算一個(gè)行列式。 ”

我將阿克斯勒的這本書鄭重推薦給所有想重新從幾何的觀點(diǎn)看待線性代數(shù)的朋友，所有想從零開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)的朋友。該書繼承和發(fā)揚(yáng)了哈爾莫斯《有限維向量空間》的幾何化特色，以幾何引代數(shù)，以概念指導(dǎo)計(jì)算！它會(huì)告訴你，線性代數(shù)不僅僅是矩陣論，或者更恰當(dāng)?shù)卣f(shuō)，從幾何的觀點(diǎn)看，線性代數(shù)和矩陣論原來(lái)可以很簡(jiǎn)單！你不再需要 -矩陣，不再需要分塊矩陣，更不必?fù)?dān)心復(fù)雜的行列式計(jì)算會(huì)擋住你前行的道路！而且，額外的好處是，一旦熟悉了這種幾何的觀念和思維，當(dāng)你應(yīng)用線性代數(shù)和學(xué)習(xí)泛函分析時(shí)會(huì)更加得心應(yīng)手。

根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，要使線性代數(shù)在你心中扎根，你需要讀哈爾莫斯的Finite-Dimensional Vector Spaces。如果你還不習(xí)慣讀外文教材，那么阿克斯勒的《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》中譯本在目前是首選。

下面我們簡(jiǎn)單介紹一下本書的內(nèi)容。全書共十章，其中三章講向量空間(1,2,6)， 一章講多項(xiàng)式(4),六章講線性映射（其余）。

第一章講向量空間，從經(jīng)典的 維實(shí)列向量空間與 維復(fù)列向量空間出發(fā)，引出線性空間的一般概念。向量空間是線性代數(shù)演出的舞臺(tái)。(記得我博士畢業(yè)找工作時(shí)面試高校教師時(shí)抽到的一刻鐘試講題目，就是向量空間。）

第二章講有限維向量空間，維數(shù)是向量空間的基本不變量，借助基與坐標(biāo)映射可以給出抽象向量空間到列空間的同構(gòu)。限制于有限維的好處是，所有的運(yùn)算都是有限的代數(shù)運(yùn)算（不會(huì)涉及無(wú)窮）。

現(xiàn)在舞臺(tái)搭好，主角要出場(chǎng)了，第三章給出線性映射的基本概念。線性映射是向量空間之間的自然映射，在基底下體現(xiàn)為矩陣。給定一個(gè)線性映射，就誘導(dǎo)出兩個(gè)重要的子空間，核空間與像空間。線性映射的基本定理(3.22節(jié)）給出了這兩個(gè)子空間的維數(shù)關(guān)系。(這樣一個(gè)定量關(guān)系，其實(shí)可以用線性方程組的基本定理來(lái)描述。)這個(gè)基本定理只是對(duì)線性映射給出了最粗略的描述，為了更精細(xì)地觀察線性映射，我們需要將它分解為簡(jiǎn)單的線性映射。

為此，一個(gè)有效的工具是多項(xiàng)式，這是第四章的主題。這個(gè)概念其實(shí)不屬于線性代數(shù)，但它的理論可以服務(wù)于線性變換，此即第五章的內(nèi)容。主要的原因在于，當(dāng)一個(gè)線性變換 作用于有限維向量空間 時(shí)，一定存在多項(xiàng)式 ，使得 。這樣的零化多項(xiàng)式 可用于研究 。例如， 的分解就對(duì)應(yīng)給出 的不變子空間分解。在最理想的情況，若 分解為不同的一次因子的乘積，則 就分解為特征子空間的直和。(特征值與特征向量是觀察線性變換的最佳視角，不過(guò)并非所有的線性變換都可以完全通過(guò)特征向量刻畫）。

第六章討論內(nèi)積空間。內(nèi)積空間中因?yàn)橘x予了可以度量長(zhǎng)度、角度等幾何觀念的內(nèi)積，從而拓展了中學(xué)階段所熟悉的平面向量和空間向量的幾何知識(shí)，例如勾股定理、正交投影等。但這不只是簡(jiǎn)單地重新喚醒我們的記憶，讓我們將向量幾何從二維三維推廣到高維；現(xiàn)在有了前面關(guān)于向量空間與線性映射的概念，自然我們就要問(wèn)，內(nèi)積空間的不變量如何刻畫？這就自然引出正交變換的概念，最終我們發(fā)現(xiàn)，原來(lái)正交變換（以及平移變換——注意它一般不是線性變換）就是我們中學(xué)所學(xué)習(xí)的全等（也稱為歐幾里得運(yùn)動(dòng)）概念的實(shí)質(zhì)。（在中學(xué)時(shí)，我從未了解到，平面上兩個(gè)圖形全等的真正含義是，存在平面上的一個(gè)全等變換可以將其中一個(gè)圖形一一映射成另一個(gè)圖形。）

第七章的主題是譜定理，主要的結(jié)果是內(nèi)積空間上的對(duì)稱變換可正交分解為一些伸縮變換的直和。這是線性代數(shù)最核心的結(jié)果。據(jù)我分析，每年高等數(shù)學(xué)考研線性代數(shù)兩道大題，分別考察線性方程組的基本定理與實(shí)對(duì)稱矩陣的譜定理。遺憾的是，我接觸到的一些迎考學(xué)生甚至在線性代數(shù)課程中都沒有學(xué)過(guò)譜定理！在我看來(lái)，對(duì)大部分學(xué)生，線性代數(shù)至少要學(xué)到這里，還應(yīng)知道正交變換的譜定理——因?yàn)橹挥兄懒诵D(zhuǎn)與反射的幾何圖景，你才會(huì)與全等變換的直觀印象聯(lián)系起來(lái)，代數(shù)與幾何才合二為一。就我個(gè)人來(lái)說(shuō)，我真的是學(xué)完第2遍線性代數(shù)才明白我們通常說(shuō)的三維空間的旋轉(zhuǎn)是什么含義！

致敬科比（單指轉(zhuǎn)球可以看成三維空間的一系列旋轉(zhuǎn)）

第八章講復(fù)向量空間上的線性變換的標(biāo)準(zhǔn)型，第九章講實(shí)向量空間上線性變換的標(biāo)準(zhǔn)型，它們都是線性代數(shù)中的經(jīng)典結(jié)果，要用到諸如廣義特征向量之類的概念。不過(guò)對(duì)一般讀者來(lái)說(shuō)，也許你知道有這么一回事就可以了，畢竟通常呈現(xiàn)在你眼前的線性變換（或矩陣）都是比較簡(jiǎn)單而特殊的，用不到如此一般的系統(tǒng)理論。

第十章是跡與行列式，這是線性變換的兩個(gè)基本不變量。行列式比跡要復(fù)雜，所以放在后面。我的朋友吳帆在線性代數(shù)教學(xué)方面頗有心得，他曾說(shuō)過(guò)，任何一本線性代數(shù)教材，如果一開頭就講行列式，學(xué)生基本上就學(xué)不會(huì)線性代數(shù)了。我想，這正是國(guó)內(nèi)許多人學(xué)不會(huì)線性代數(shù)的原因吧。因此，我們特別提醒那些想學(xué)會(huì)線性代數(shù)的讀者，如果你不想一開頭就被行列式弄頭大，不妨選擇我們推薦的這本書。

對(duì)了，各章開頭插入的精美彩圖也會(huì)令你眼前一亮，心向往之！我們僅取第一章和最后一章的兩幅插圖為證！

第一章插圖：笛卡兒（右一）在向瑞典女王克里斯蒂娜講解自己的工作

第十章插圖：英國(guó)數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)先驅(qū)艾達(dá)?洛夫萊斯

本書的前兩版曾在美國(guó)近420所院校作為教材使用，作者因此收到了成千上萬(wàn)條反饋意見，可以想見，第三版將何等卓越。奇文共欣賞，疑義相與析。預(yù)祝你們閱讀愉快，有疑問(wèn)不妨直接與作者聯(lián)系，據(jù)我的經(jīng)歷，阿克斯勒非常歡迎讀者給他提意見與建議。

注：正規(guī)矩陣（normal matrix）是一類重要的矩陣。此處的笑點(diǎn)在于，normal 在英文中是“正?！钡囊馑?。所以，如果要真正體現(xiàn)出幽默來(lái)，可能要將“正規(guī)矩陣”翻譯為“正常矩陣”。請(qǐng)?jiān)试S我多說(shuō)一句，可以說(shuō)，正規(guī)矩陣的譜定理（各個(gè)版本）是線性代數(shù)中最重要的一個(gè)定理。

• 溫馨提示1：雖然這本書中穿插著一些幽默的圖片與言論（如上圖,取自原書7.B節(jié)習(xí)題15，題目是求圖片中第一個(gè)矩陣被擋住的右下角元素。），但它更適合比較嚴(yán)肅的讀者，特別是數(shù)學(xué)系的學(xué)生。讀完這本書，再接觸抽象代數(shù)（如小阿廷（M. Artin）的著作），應(yīng)該會(huì)比較容易。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，我想可能你們會(huì)更適應(yīng)MIT數(shù)學(xué)系教授Gilbert Strang的線性代數(shù)教材和公開課視頻。我想這兩本書的差別可以概括為：本書重線性映射的理論，從不變量的角度以幾何的觀點(diǎn)考察線性代數(shù)；Strang的書重矩陣的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)具體計(jì)算以詮釋線性代數(shù)的種種應(yīng)用。簡(jiǎn)單說(shuō)，如果你更喜歡線性映射之類的幾何語(yǔ)言，那么用本書；如果你更習(xí)慣矩陣之類的代數(shù)語(yǔ)言，用Strang的書。當(dāng)然，并無(wú)絕對(duì)，本質(zhì)上線性代數(shù)是代數(shù)與幾何的統(tǒng)一，兩種觀點(diǎn)都是需要的。Strang的個(gè)人主頁(yè)為：

  http://www-math.mit.edu/~gs/

• 溫馨提示2：《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》原書在2016年出版了一個(gè)刪節(jié)版，可以在作者的個(gè)人主頁(yè)免費(fèi)下載：

  http://linear.axler.net/LinearAbridged.pdf

• 溫馨提示3：作者制作了本書的音頻（帶幻燈片），有興趣的讀者可以瀏覽：

  https://www.bilibili.com/video/av63561127/

“ 致謝：感謝本刊編委、美國(guó)南密西西比大學(xué)丁玖教授和付曉青博士對(duì)初稿提出了有價(jià)值的建議！ ”

《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)（第4版）》

作者：【美】阿克斯勒（Sheldon Axler）

譯者：杜現(xiàn)昆、劉大艷、劉阿明、楊行

美國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家阿克斯勒的經(jīng)典之作，影響全球數(shù)學(xué)教育的線性代數(shù)教學(xué)標(biāo)桿；

加州伯克利、麻省理工、蘇黎世聯(lián)邦理工、巴黎高師等國(guó)際名校教材；

長(zhǎng)銷30年，被超過(guò)50個(gè)國(guó)家的420所學(xué)校使用，不依賴行列式的線性代數(shù)教學(xué)法；

新版變化：內(nèi)容增加15%，習(xí)題增加35%，除內(nèi)容更新外，更增加了250多道習(xí)題。